數(shù)值計算課程設(shè)計報告

華東交通大學《數(shù)值計算》課程設(shè)計報告專業(yè)班級：09信息與計算科學(1)班姓名：汪媛20090810010113組內(nèi)成員：汪媛、李志鵬、鄭福寶設(shè)計時間：2011年12月指導教師：周鳳麒目錄TOC\o"1-4"\h\z\u內(nèi)容提要………………一、課程設(shè)計目的、背景、意義以及準備工作……(一)目的…………(二)背景…………(三)意義…………(四)準備工作……………………二、理論分析…………(一)問題分析.……………………(二)理論依據(jù)和求解對策………三、方法詳解…………四、問題結(jié)果與精度分析……………五、心得體會…………六、參考文獻…………七、代碼附錄…………內(nèi)容提要設(shè)某城市男子的身高X~N〔170，36〕〔單位：cm〕，應(yīng)如何選擇公共汽車門的高度H使男子與車門碰頭的時機小于1%。問題分析：由題設(shè)男子身高數(shù)據(jù)服從平均值為170cm，方差為6按正態(tài)分布的分布規(guī)律〔原那么〕，這個城市的男子身高超過188cm的人數(shù)極少。故可以對H=188，187，186，…求出概率的值，觀察使概率不超過1%的H，以確定公共汽車門應(yīng)該取的高度。概念值的計算實際上是求定積分〔1〕選用一種數(shù)值求積公式分別計算出H=180、181、…、188時定積分近似值?！?〕根據(jù)上面計算的積分值，按題目要求確定公共汽車門的高度取值〔答案184cm〕。如果將汽車門的高度取180〔3〕用計算機模擬的方法來檢驗你的結(jié)論，計算機產(chǎn)生10000個正態(tài)隨機數(shù)〔它們服從均值為170，方差為6的正態(tài)分布〕來模擬這個城市中10000個男子的身高，然后統(tǒng)計出這10000人中身高超過180〔cm〕的男子數(shù)量所占的百分比。 一、課程設(shè)計目的、背景、意義以及準備工作〔一〕目的1)學會用數(shù)值積分避開求f(x)的原函F(x)的繁瑣步驟，并可以有效的控制結(jié)果，使其在要求的誤差范圍之內(nèi)。2)在某些求積函數(shù)中，用數(shù)值積分求解一些原函數(shù)F(x)不能用初等函數(shù)表示成有限形式。3)熟練掌握用復化辛普森求解積分。4)編程實現(xiàn)復化辛普森的遞推算法。5)編程實現(xiàn)復化辛普森積分法〔二〕背景對于較大積分區(qū)間、復雜被積函數(shù)、較高精度要求的數(shù)值積分問題，需要較多的求積節(jié)點。如果采用高階插值型求積公式，當被積函數(shù)f(x)不是多項式函數(shù)時，求積過程可能不穩(wěn)定，因此這時只能采用復化求積。而龍貝格求積是對逐次分半梯形公式求積公式加速的一種外推方法，收斂速度較復化求積更快，也是一種實用的數(shù)值積分方法。在一元函數(shù)的積分學中,我們已經(jīng)熟知,假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)且其原?函數(shù)為F(x),那么可用牛頓―萊布尼茲公式來求定積分。牛頓―萊布尼茲公式雖然在理論上或在解決實際問題中都起了很大的作用,?但它并不能完全解決定積分的計算問題。因為定積分的計算常常會碰到以下三種情況：(1)被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)不易找到。許多很簡單的函?數(shù),例等,其原函數(shù)都不能用初等函數(shù)表示成有限形式。(2)被積函數(shù)f(x)沒有具體的解析表達式。其函數(shù)關(guān)系由表格或圖形表示,無法求出原函數(shù)。(3)盡管f(x)的原函數(shù)能表示成有限形式但其表達式相當復雜。另外，許多實際問題中的被積函數(shù)往往是列表函數(shù)或其他形式的非連續(xù)函數(shù)，對這類函數(shù)的定積分，也不能用不定積分方法求解。由于以上原因，數(shù)值積分的理論與方法一直是計算數(shù)學研究的根本課題。而在這次的課程設(shè)計中，具體的問題就是公共汽車的車門的高度?！踩骋饬x在現(xiàn)實生活中公交車的車門高度問題是一個非常普遍的問題，如何設(shè)計好適當?shù)能囬T高度，是非常重要，過高或者過低都會產(chǎn)生一些不必要的麻煩。而本次的數(shù)值計算課程設(shè)計就是有關(guān)這個問題的，通過模擬某城市的身高分布函數(shù)，通過一系列的計算，最后得到一個數(shù)，有這個數(shù)確定公共汽車的車門高度。在本次課程設(shè)計中，我們通過編程求積分的方式簡化了計算的難度，通過計算得到幾個不同的積分值，然后由符合二項式分布的函數(shù)產(chǎn)生的隨機數(shù)來確定最正確的函數(shù)值即車門高度〔四〕準備工作分析題意，用Matlab編程實現(xiàn)復化辛普森的積分法，并控制了結(jié)果的精度，比擬最后的結(jié)果與給定的數(shù)據(jù)的誤差，使其在要求的誤差范圍之內(nèi)。最后找到符合條件的數(shù)據(jù)即可找到最后公共汽車的門的最正確高度。二、理論分析〔一〕問題分析由的身高的分布函數(shù)，可以得知該城市的身高的大概區(qū)間，將區(qū)間分成8等分，因此通過一種求積分的方法可以計算出在不同區(qū)間的函數(shù)的近似積分值(H)，而由題意的滿足概率不超過1%的H，即得解，最后一問中，通過Matlab的隨機函數(shù)normrnd產(chǎn)生的隨機數(shù)驗證上述結(jié)果即可?！捕忱碚撘罁?jù)和求解對策復化Simpson求積算法的N-S圖：給定f表示被積函數(shù)，[a,b]表示積分區(qū)間，n表示積分區(qū)間被拆分成小區(qū)間個數(shù)functionQ=SJF(f,a,b,n)g=f(a)w=f(b)h=(b-a)/n;i=1i<=n-1yy=f(a+i*h);y=2*sum(yy)k=1K<=nll=f(a+k*h-h/2);l=4*sum(ll);Q=(g+w+y+l)*h/6;三、方法詳解〔包括推導、求解、分析、程序框圖等〕(1)由前面的問題分析可知概率值的計算實際上是求定積分其中題采用復化的辛普生公式進行求解：(1)實際上是求出相應(yīng)的H使得對應(yīng)的概率值滿足題意要求即可。由于其中我們從170到194之間選出一個能滿足的H〔3〕運用函數(shù)便可模擬出這個城市中10000個男子的身高，然后再計算其中身高大于180cm的百分比。四、問題結(jié)果與精度分析(代碼祥見附錄)〔一〕程序運行及結(jié)果1、問題〔1〕結(jié)果如下〔e1.m〕：P=0.047758637464544P=0.033344869800652PPP=0.009783695738731PP=0.003798722285391P=0.002271601047586P2、問題〔2〕結(jié)果如下(e2.m)：1843、問題〔3〕結(jié)果如下(e3.m)：模擬數(shù)中大于180的數(shù)所占比例為：ans=0.046300000000000〔二〕身高分布模型圖(e4.m)2、精度分析在計算問題〔1〕和〔2〕題時運用了復化辛普森公式，由于公式本身就存在一定的局限性，所以在計算概率值時與準確值之間存在一定的誤差。但由于復化辛普生公式有較高的收斂階，所以誤差非常小。通過問題(3)的模擬可知將高度定于180還是滿足大多數(shù)人的利益的五、心得體會在這次數(shù)值計算課程設(shè)計中，我受益很多。首先在分析問題過程中，不僅要對問題進剖析還要結(jié)合一些現(xiàn)實實際情況。再者，在找出問題后，要解決問題，通過查找相關(guān)資料書籍，找到解決方法的過程中，我也學到了其他方面的知識，再另一方面拓展了我的知識面。最后，就是通過數(shù)值課程中的設(shè)計，讓我在maltab方面學到了很多。因為在此次課程設(shè)計中，我們采用的語言是maltab程序語言。六、參考文獻1、數(shù)值方法第二版金一慶陳越王冬梅編著機械工業(yè)出版社2、數(shù)值方法〔Matlab版〕七、代碼附錄e1.m%這里令n=10fora=180:1:188b=194;n=10;h=(b-a)/n;p=0;q=0;f=inline('exp((-(x-170)^2)/72)');fori=0:n-1p1=f((a+i*h+a+(i+1)*h)/2);p=p+p1;endforj=1:n-1q1=f(a+j*h);q=q+q1;endformatlongP=(1/(6*sqrt(2*pi)))*(h/6)*(f(a)+4*p+2*q+f(b))ende2.mfora=170:1:194b=194;n=10;h=(b-a)/n;p=0;q=0;f=inline('exp((-(x-170)^2)/72)');fori=0:n-1p1=f((a+i*h+a+(i+1)*h)/2);p=p+p1;endforj=1:n-1q1=f(a+j*h);q=q+q1;endformatlongP=(1/(6*sqrt(2*pi)))*(h/6)*(f(a)+4*p+2*q+f(b));ifP<=0.01ab