2023-2024學(xué)年河北省中原名校聯(lián)盟高二年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2023-2024學(xué)年河北省中原名校聯(lián)盟高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若球的半徑為1051,一個(gè)截面圓的面積是36萬加之，則球心到截面圓心的距離是()

A.5cmB.6cm

C.ScmD.lOcm

2.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而

系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知

動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q,P的距離之比T-■>0,Xw1),那么點(diǎn)凹的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是

lA1P\

,其中，定點(diǎn)。為X軸上一點(diǎn)，定點(diǎn)P的坐標(biāo)為g,o]"=3,若點(diǎn)5(1,1),

阿波羅尼斯圓，其方程為％2+y2=l

則31Mpi+|MB|的最小值為()

A.110B.JTT

C.Jl5D.^/17

3.若直線4:陽x+y+l=O與4：2%—>一3=0平行，則實(shí)數(shù)機(jī)等于()

A.lB.-2

C.4D.O

4.在等腰RtZXABC中，在線段斜邊A3上任取一點(diǎn)加，則線段AM的長(zhǎng)度大于AC的長(zhǎng)度的概率()

A四R1

-------JL5?

22

C.1—交

23

22

5.已知圓G：V+y2=〃和橢圓c,：工+二=1(。〉6〉o).直線y=H與圓G交于A、A兩點(diǎn)，與橢圓交于

ab

OB

B、B]兩點(diǎn).若ZeH時(shí)，的取值范圍是（1,2],則橢圓G的離心率為（）

OA

1

A.-B.正

22

顯D.2

C.

24

6.從2,4中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.48B.36

C.24D.18

7.命題“對(duì)任意都有d—7X+6K0”的否定是O

A.對(duì)任意xcR，都有%2—7x+6>0B.存在％￡R，使得f—7x+6>0

C.對(duì)任意％￡R，都有%2—7x+6>0D.存在XGR,使得尤2—7X+6V0

8.已知函數(shù)八％）的導(dǎo)數(shù)為廣⑺,且/（%）=2獷（e）+ln%,則/（e）=（）

A.--B.-l

e

C.lD.e

9.=；”是直線4:（2a_l）x_歿+1=0與直線4：x+2ay_l=0平行的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.命題：\/x>l,x2+4x>5否定是（）

A.3.x<1,x2+4%>5B.Vx<1,x2+4x<5

22

C.Vx>l,X+4X<5D.3X>1,X+4X<5

11.函數(shù)/（x）=x+^的極大值點(diǎn)為（）

X

A.lB.-l

C.±lD.不存在

12.已知R是拋物線C：y2=2°x（p>o）的焦點(diǎn)，直線/與拋物線C相交于P,。兩點(diǎn)，滿足NPFQ=號(hào),記線

d

段PQ的中點(diǎn)A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為d,則國(guó)的最大值為（）

A.3B.小

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，在等腰直角△A5c中，AB=AC=2,點(diǎn)P是邊A8上異于A、8的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC、CA

反射后又回到原點(diǎn)P.若光線QR經(jīng)過△A5C的內(nèi)心，則AP=.

14.直線Ar+為+。=0與圓0:/+：/=4相交于兩點(diǎn)N,若滿足C?=々+32,則5"的=

22

15.設(shè)雙曲線C:會(huì)—言=1的焦點(diǎn)為耳，鳥，點(diǎn)尸為C上一點(diǎn)，|/吸=6,則|尸閶為.

16.設(shè)集合AMOdxM4j—B/eArLBnOdxnBi.eN*｝,把集合A8中的元素按從小到大依次排列，構(gòu)成

數(shù)列｛4｝,求數(shù)列｛&｝的前50項(xiàng)和S50=_

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，四棱錐。-458中，△R45是邊長(zhǎng)為4的正三角形，ABC。為正方形，平面平面ABC。,

E、E分別為AC、3P中點(diǎn).

（1）證明：訪//平面PC。；

（2）求直線EP與平面AE尸所成角的正弦值.

18.（12分）在ABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,c,其外接圓半徑為R,已知義"L上空?=￡

sinA-sinCR

（1）求角B；

(2)若邊的長(zhǎng)是該邊上高的百倍，求cosA

19.(12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA，平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).

BC

(1)證明：PB〃平面AEC

(2)設(shè)二面角D-AE-C為60°,AP=1,AD=、/§,求三棱錐E-ACD的體積

20.(12分)如圖，已知四邊形ABC。中，AB=2,BC=CD=4,DA=6,且0=60°,求四邊形ABC。的面

積

21.(12分)已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,an-an+l=anan+1(nGN*).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵記2=[—lg%],其中國(guó)表示不超過X最大整數(shù)，如[0.6]=0,[1g66]=1.

(i)求b、、b[3、bi??;

(ii)求數(shù)列｛2｝的前1000項(xiàng)的和.

22.(10分)ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為名仇c.已知a=3,cosA=Y5,B=A+工.

32

(1)求b的值；

(2)求的面積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】由題意可解出截面圓的半徑，然后利用勾股定理求解球心與截面圓圓心的距離

【詳解】由截面圓的面積為36%緲？可知，截面圓的半徑為6皿，則球心到截面圓心的距離為弓=屈二百=852

故選：C

【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于，球心與截面圓圓心的連線垂直于截面

2、D

【解析】設(shè)Q(a,O),根據(jù)翳^=九和/+y=1求出”的值，由3|A/P|+|M5|=|A/Q|+|M3|,兩

點(diǎn)之間直線最短，可得31Mpi+|M31的最小值為忸Q|,根據(jù)坐標(biāo)求出忸。即可.

【詳解】設(shè)Q(a,O)，所以阿@=而二不丁，由尸\(°

\MQ\,”，

所以1PM=+丁'因?yàn)橛伞鼻?3,所以t+lj+/

2=0

整理可得必+,2+1±且％=匚1,又動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是_?+y2=i,所以<4

48a2-\?

--------=1

解得Q=—3,所以。(—3,0),又|MQ|=3|MP|,

所以31反尸|+|MB1=1|+|>\BQ\,

因?yàn)?(1,1),所以31Mpi+1|的最小值\BQ\=,0+3)2+(1一Op=，萬,

當(dāng)M在位置或舷2時(shí)等號(hào)成立.

故選:D

【解析】?jī)芍本€平行的充要條件3=裳。今

&”2。2

【詳解】由于/]〃，2，則」=一/=，m=-2.

2—1—3

故選：B

4、C

【解析】利用幾何概型的長(zhǎng)度比值，即可計(jì)算.

【詳解】設(shè)直角邊長(zhǎng)AC=a,斜邊AB=0a，

則線段AM的長(zhǎng)度大于AC的長(zhǎng)度的概率P==1-—.

42a2

故選：C

5、C

OBaa

【解析】由題設(shè)，根據(jù)圓與橢圓的對(duì)稱性，假設(shè)A,B在第一象限可得f結(jié)合已知有7=2,進(jìn)而求橢圓

OAbb

C2的離心率.

又上eH時(shí)，在的取值范圍是(L2],結(jié)合圓與橢圓的對(duì)稱性，不妨假設(shè)A,3在第一象限,

\OB\aa

...后從。逐漸增大至無窮大時(shí)，e(l,-],故7=2,

\OA\bb

.cy]a2-b2A/3

??e=-=-----------=—

aa2

故選：C.

6、B

【解析】直接利用乘法分步原理分三步計(jì)算即得解.

【詳解】從2,4中選一個(gè)數(shù)字，有以=2種方法；

從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，有C；=3種方法；

組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，有《仁河=36個(gè).

故選：B

7、B

【解析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題形式，可判斷正確答案.

【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，

所以命題“對(duì)任意xeR,都有f―7%+640”的否定是“存在xeR，使得d—7%+6>0”

故選:B.

8、B

【解析】直接求導(dǎo)，令％=e求出尸(e),再將％=6帶入原函數(shù)即可求解.

【詳解】由/(無)=2礦(e)+ln尤得((x)=2/'(e)+L當(dāng)％=e時(shí)，r(e)=2/'(e)+L解得/'(e)=—L所以

xee

f(x)=-^-+lnx,/(e)=+Ine=-1.

ee

故選：B

9、C

【解析】先根據(jù)直線平行的充要條件求出?,然后可得.

【詳解】若。=,，貝!K：2x+y—4=0,/,:2x+y—2=0,顯然平行；

4

若直線4〃4，則2a(2a-1)=-a且-(-?)#2a,即a=

4

故"。=；”是直線/］：（2a-l）x—沖+1=0與直線，2：x+2今-1=0平行的充要條件.

故選：C

10、D

【解析】根據(jù)給定條件利用全稱量詞命題的否定是存在量詞命題直接寫出作答.

【詳解】命題：VxNl,X?+4x25是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，

所以命題：V%>1,%2+4%25的否定是：3x>l,x2+4x<5.

故選：D

11、B

【解析】求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0,然后判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)可得，或者根據(jù)對(duì)勾函數(shù)圖象可解.

【詳解】令/''（x）=i—二=y二萼±D=o,得》=±1,

XX

因?yàn)閄<_1時(shí)，r（x）>0,-l<x<0時(shí),f'（x）<0,所以X=—1時(shí)有極大值；

當(dāng)0<%<1時(shí)，/'（x）<0,尤>1時(shí)，r（x）>0,所以X=1時(shí)〃尤）有極小值.

故選：B

12、C

【解析】設(shè)1「歹1=機(jī),1。/1=",過點(diǎn)P,Q分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為P,Q',進(jìn)而得

d=I。。出⑷=%*,再結(jié)合余弦定理得IPQ『=m2+n2+mn,進(jìn)而根據(jù)基本不等式求解得

22

儲(chǔ)11

--------------------

1尸。尸4義（1二）3.

4

【詳解】解：設(shè)|%|=肛|。/|=〃，

過點(diǎn)P,。分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為

則PP=m,QQ'=〃，

因?yàn)辄c(diǎn)A為線段PQ中點(diǎn)，

所以根據(jù)梯形中位線定理得點(diǎn)A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為d=L+M=也支，

22

因?yàn)镹PBQ=V，

222

所以在△尸尸。中，由余弦定理得Im+〃2-2mncos—=m+n+mn,

d1_(m+ri)2_(m+n)2_1

所以I尸4(m2+n2+mn)4^(m+n)2-mn^4】mn,

(rn+ri)2

mn1

又因?yàn)?〃z+〃)224m〃，所以7-------當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)="時(shí)等號(hào)成立，

(m+n)4

「1」dV3

所以4x"j3,故國(guó)4至.

所以商的最大值為g.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，余弦定理，基本不等式，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

m4-w

本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，設(shè)|PF|=m,|Qb|=〃，進(jìn)而結(jié)合拋物線的定于與余弦定理得〃=——，

2

|PQ|2=nr+rr+mn，再求最值.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、20-2

【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，求得△ABC的內(nèi)心坐標(biāo)，根據(jù)△ABC內(nèi)心以及P

關(guān)于CA,3C的對(duì)稱點(diǎn)三點(diǎn)共線，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，則問題得解.

【詳解】根據(jù)題意，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)點(diǎn)尸關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為N,關(guān)于)，軸的對(duì)稱點(diǎn)為“，如下所示：

則A(0,0),B(2,0),C(0,2),不妨設(shè)尸(辦0),則直線的方程為y=—x+2,

設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為(國(guó)丁)，則上二2義(-1)=—1,且2=—土2+2,整理得y=x—7篦，y^-x-m+4

解得x=2,y=2—m，即點(diǎn)N（2,2—m），又/（—75O）；

設(shè)△ABC的內(nèi)切圓圓心為廣，則由等面積法可得;（2+2+2后）=gx2x2,解得廠=2—夜；

故其內(nèi)心坐標(biāo)為（2-夜,2-&）,

由MN及△ABC的內(nèi)心三點(diǎn)共線，即^!=2y,整理得病一2“應(yīng)—1）=0,

解得加=0（舍）或2夜-2，故AP=20-2.

故答案為：2&-2.

14、73

【解析】由點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合已知可得圓心到直線的距離，再由圓的弦長(zhǎng)公式可得|肱V|,然后可解.

【詳解】因?yàn)椤?=42+32,所以3I=1,所以，圓心（0,0）到直線的距離d=^^==1

VA2+B2y/^+B2

因?yàn)閺S=2,所以|腦V|=2/2一囚=2^/3>

所以5加'=3加口=6

故答案為：』

15、14

【解析】利用雙曲線的定義求解即可

22

【詳解】由匕—土=1,得/=16,則。=4,

1664

因?yàn)辄c(diǎn)P為C上一點(diǎn)，

所以仍用-歸司=2“=8,

因?yàn)閨尸￡|=6,所以16Tp聞=2a=8,

解得|尸周=14或/用=-2（舍去）,

故答案為：14

16、4590

【解析】由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得生，由3,27不在集合A中，1,9,81在集合A中，也在集合3中，

推得243不在數(shù)列｛4｝的前50項(xiàng)內(nèi)，則數(shù)列｛an｝的前50項(xiàng)中包括｛4/1-3｝的前48項(xiàng)和數(shù)列日恒｝中的3和27,結(jié)

合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.

【詳解】由題意，集合A構(gòu)成數(shù)列｛4〃-3｝是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列，

集合B構(gòu)成數(shù)列｛3'1｝是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列，

可得4=1,%=3,

又由3,27不在集合A中，1,9,81在集合A中，也在集合B中，

因?yàn)?〃—3=243,解得“=工，此時(shí)〃>50,所以243不在數(shù)列｛4｝的前50項(xiàng)內(nèi)，

則數(shù)列｛%｝的前50項(xiàng)的和為（1+5+9++4x48-3）+3+27

=1x48x（1+4x48-3）+30=4560+30=4590.

故答案為：4590.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）見解析（2）好

5

【解析】（1）連接6D,證明跖即可證明所//平面PCD；

（2）取A3的中點(diǎn)。，連接OE,OP,由平面上鉆，平面ABC。，得OP,平面ABCD,建立如圖所示空間直角坐

標(biāo)系。-孫z,利用向量法即可求得答案.

【小問1詳解】

證明：連接BD，

ABCD是正方形，E是AC的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，

F是BP的中/，；.EF//PD,

所《平面PCD,?！辏┴纹矫?8￡>,二跖//平面。?！辏?/p>

【小問2詳解】

取A3的中點(diǎn)。，連接OE,OP,則OELAB,

因?yàn)椤鱌AB是邊長(zhǎng)為4的正三角形，所以

因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC。，且平面BIBc平面=

所以O(shè)P_1_平面ABCZ）,

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則P（2A/3,0,0）,E（0,0,2）,A（0,-2,0）,F（V3,l,0）,

設(shè)平面AEF的法向量n=(x,y,z),

n-AE=2y+2z=0

則有《可取〃

n-AF=+3y=0

n-EP_6+0-2_75

貝I]cos(n,EP\=

卜|網(wǎng)75x45，

所以直線EP與平面AEF所成角的正弦值為亞

5

18、(1)B=--(2)立

314

【解析】(1)利用正弦定理將角化邊，再利用余弦定理計(jì)算可得；

(2)記邊上的高為AD,不妨設(shè)BD=1,即可求出BC,再利用余弦定理求出b,在RtzXACD中，記ACAD=6,

根據(jù)銳角三角函數(shù)求出cos。，sin。，最后根據(jù)cosA=cos1g+，；利用兩角和的余弦公式計(jì)算可得；

【詳解】解：(1)由已知條件2km~A—‘in-8)=g,所以siir"—siir3=￡=sinc,所以

sinA-sinCRsinA-sinC2R

sin2A-sin2B=(sinA-sinC)sinC

所以a1—b1—C(Q—c),b1=a2+c2-ac

由余弦定理可得cos5=，,

2

JT

而0<5<兀，于是5

(2)記邊上的高為A。，不妨設(shè)應(yīng)>=1,則N54D=g,AB=2,AD=?,所以BC=3,

6

由余弦定理得6=1片+<?—2accos3=+2?-2x3x2xg=J7,

2

在中，記〃，貝!73sin。=

RtzXACDNC4D=Icos6=萬萬’

所以cosA=cos]￡+8

=cos—cos^-sin—sin^=~L4

66

19、B

8

【解析】(I)連接BD交AC于O點(diǎn)，連接EO,只要證明EO〃PB,即可證明PB〃平面AEC；(II)延長(zhǎng)AE至M

連結(jié)DM,使得AMLDM,說明NCMD=60。，是二面角的平面角，求出CD,即可三棱錐E-ACD的體積

試題解析：(1)證明：連接BD交AC于點(diǎn)O,連接EO.

因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為BD中點(diǎn)

又E為PD的中點(diǎn)，所以EO〃PB.

因?yàn)镋Ou平面AEC,PBC平面AEC,

所以PB〃平面AEC.

(2)因?yàn)镻A_L平面ABCD,ABCD為矩形，

所以AB,AD,AP兩兩垂直

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD,AP的方向?yàn)閤軸y軸z軸的正方向，IAPI為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

、

[22

7

設(shè)B(m,0,0)(m>0),貝!IC(m,6，0),衣=(m,6，。)

設(shè)ni=(x,y,z)為平面ACE的法向量,

“mx+小y=0

n-AC=0

則｛即｛/1

n-AE=0yH——z=0

22

可取m=

又H2=(L0,0)為平面DAE的法向量,

由題設(shè)易知|cos<m,in〉|=g,即

13

=7T'解得m=—.

22

因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以三棱錐E-ACD的高為』.三棱錐E-ACD的體積丫=工、!、6、3'!=且

232v228

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定

20、873.

【解析】在"8中由余弦定理可得人。2=28,在ABC中，由余弦定理可得5=120。，再利用四邊形ABC。的

面積=SACO+§ABC，結(jié)合三角形面積公式可得答案?

【詳解】在"⑺中，由AO=6,CD=4,0=60。，可得

AC2=AD2+DC2-2AD-DCcosD

=62+42-2X4X6COS60°

=28

在ABC中，由AB=2,BC=4,AC2=28，

A^2+BC2-AC222+42-28_1

可得cosB=

2AB-BC2x2x42

又0。<5<180。，故5=120。,所以四邊形ABC。的面積

=^/\ACD+^AABC

=-ADCDsinD+-ABBCsmB

22

=—x4x6sin60°+—x2x4sinl20°

22

86.

B

A匕--------------

【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形，考查了三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

21、(1)cin=—；

n

(2)(i)4=0,3=1,,3=2；(ii)