中考數(shù)學知識點與經(jīng)典題型練習 全等三角形中的截長補短模型(解析版)

專題06全等三角形中的截長補短模型

【模型展示】

40

?\?.

?,

*.■■

'√

E

如圖，在△48C中，若48=72,AC=8,求BC邊上的中線Ao的取值范圍。

解決此問題可以用如下方法：

延長AD到點E使DE=AD,再連接BE,把AB、AC、2AD集中在△ABE中，

利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線4。的取值

【證明】

特點延長AO至￡,?DE=AD,連接如圖所示，

丫AO是BC邊上的中線，

：.BD=CD

在4BDE和白CDA中，

BD=CD

ZBDE=ZADC

DE=AE

：.ABDE/ACDA(SAS)

：.BE=AC=8

在AA8E中，由三角形的三邊關(guān)系得：A8-BE<AE<AB+BE

.,.12-8<AE<12+8

.,.2<AD<10

截長法和補短法在證明線段的和、差、倍二分等問題中有著廣泛的應用.具體

結(jié)論的做法是在某條線段上截取一條線段等于某特定線段，或?qū)⒛硹l線段延長，使之

與某特定線段相等，再利用全等三角形的性質(zhì)等有關(guān)知識來解決數(shù)學問題.

【模型證明】

Λv//5C

'4，

如圖，在AABC中，。是8C邊上的中點，OEj_。尸于點D,OE交AB于點、EQF

交AC于點尸,連接EF,求證：BE+CF>EF.

【證明】

延長FD至點M使DM=。尸,連接3M,EM,如圖所示，

同上例得AβMD^ΔCFD(SAS)

IBM=CF

?：DELDF,DM=DF

：.EM=EF

在△8ME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM>EM

D

4八

解決方

案

o

如圖，在四邊形48CO中，ZB+ZD=180fCB=CD,/BCD=I40。,以C為頂點

作一個70。角，角的兩邊分別交ABAD于EyF兩點連接EA探索線段BE,DF,EF之

間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【證明】

延長AB至點N,使BN=DF,連摟CN,如圖所示

o

VZABC+ZD=180fNNBC+NABC=180。

"NBC=ND

在^NBC和AFDC中

BN=DF

NNBC=ND

BC=DC

:?4NBCQXFDC(SAS)

ICN=CF,/NCB=NFCD

?：/BCD=I40。,ZECF=70o

：?/BCE+/FCD=70。

：.ZECN=7(f=ZECF

在^NCE和^FCE中

CN=CF

ZECN=ZECF

CE=CE

???△NCE絲△尸CE(SAS)

：.EN=EF

：.BE+DF=EF.

【題型演練】

一、解答題

1.閱讀下面文字并填空：

數(shù)學習題課上李老師出了這樣一道題：”如圖1,在一ABC中，AD平分ZBAC,Zβ=2ZC.求

證：AB+BD=AC.

李老師給出了如下簡要分析：“要證AB+3。=AC就是要證線段的和差問題，所以有兩個方

法，方法一：‘截長法’如圖2,在AC上截取AE=AB,連接DE,只要證即=即

可，這就將證明線段和差問題為證明線段相等問題，只要證出“

,得出NS=NAED及BD=，再證出N=N,

進而得出EO=EC,則結(jié)論成立.此種證法的基礎是'已知AD平分ZfiAC,將AABD沿直

線AD對折，使點B落在AC邊上的點E處，成為可能.

（圖2）

方法二：“補短法”如圖3,延長AB至點F,使BF=BD.只要證AF=AC即可.此時先證

Z=NC,再證出A，則結(jié)論成立.”

“截長補短法”是我們今后證明線段或角的“和差倍分”問題常用的方法.

【答案】方法一：CE；轉(zhuǎn)化；ABD：AED;DE;EDC；C；方法二：F;AFDxACD

【分析】方法一：在AC上截取AE=A8,由SAS可證AABQ二ΔAED可得ZB=NAEr>,BD=DE,

根據(jù)等角對等邊得到CE=DE,即可求證；

方法二：延長AB至點F,使BF=BD,由AAS可證ΔΛFD3ΔΛC。，可得AC=AF,即可證

明.

【詳解】方法一：在AC上截取AE=A5,連接DE,如圖2

TAD平分NBAC,

/.ZBAD=ZDACf

在AABD和ΔAED^力

AE=AB

</BAD=NDAC,

AD=AD

.*.ΛABD=AAED,

?ZB=ZAED,BD=DE,

"."NB=2NC,

.*.ZAED=2ZC

而ZAED=ZC+/EDC=2ZC,

???NEDC=NC,

ΛDE=CE,

ΛAB+BD=AE+CE=AC,

故答案為：CE；轉(zhuǎn)化；ABD：AED;DE；EDC：C；

方法二：如圖3,延長AB至點F,使BF=BD,

JZF=ZBDF

JZABD=ZF+ZBDF=2ZF

JZABD=2ZC

：.NF=NC

在AAfD和ΔACD中

ZFAD=ZCAD

<ZF=ZC,

AD=AD

：.MCD1

ΛAC=AF,

ΛAC=AB+BF=AB+BD,

故答案為：F；AFD；ACD.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于截長補短類輔助線，核心思想為數(shù)學中

的轉(zhuǎn)化思想，此類題的關(guān)鍵是要找到最長邊和最短邊，然后確定截取輔助線的方式.

2.【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法.截長就是在長邊

上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等,

從而解決問題.

(1)如圖1,ABC是等邊三角形，點。是邊BC下方一點，ZBDC=?20o,探索線段。A、

DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：延長OC到點E,使CE=BD,連接AE,根據(jù)N84C+NBOC=180。，可證

ZABD=ZΛCE,易證得ABD四一ACE,得出二AQE是等邊三角形，所以AE>=小，從而

探尋線段ZM、DB、OC之間的數(shù)量關(guān)系.

根據(jù)上述解題思路，請寫出D4、DB、OC之間的數(shù)量關(guān)系是,并寫出證明過程；

【拓展延伸】

(2)如圖2,在ABC中，Zβ4C=90o,AB=AC,若點。是邊8C下方一點，ZBDC=90°,

探索線段。4、DB、。。之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【知識應用】

(3)如圖3,兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直

角頂點之間的距離PQ的平方為多少？

【答案】(1)DA=DC+BD,見解析；(2)2")?=(DC+8￡>『；見解析；(3)2+√3

【分析】(1)由等邊三角形知AB=AC,ZBAC=60°,結(jié)合NBDC=I20°知ZABD+ZACD=180°,

由NACE+NAC￡)=180。知NABZ)=∕ACE,iiE?ABD^ΛACE^AD=AE,ZBAD=ZCAE,

再證△ADE是等邊三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB.

(2)延長OC到點E,使CE=BD,連接AE,先證△A8D絲AACE得AD=AE,NBAD=NCAE,

據(jù)此可得/D4E=/A4C=90。，由勾股定理知繼而可得2Af>2=(DC+8。)2；

(3)由直角三角形的性質(zhì)知QV=TMN=1,MQ=QMM-QN2=6，利用(2)中的結(jié)論知

2PQ2=(QN+MQ)2,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：(1)DA=DC+BD,理由如下：

?.'△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC,ZBAC=GOo,

VZBDC=120o,

NABo+/ACD=360。-NBAC-N8。C=I80。，

又???ZACE+ZACD=180o,

，NABD=NACE,

在^ABD和4ΛCEφ,

AB=AC

ZABD=ZACE,

BD=CE

：.ΛABD^?ACE(SAS),

：.AD=AE,NBAD=NCAE,

VZABC=60o,即N8AD+/OAC=60。，

???ZDAC+ZCAE=60o,即NZME=60。，

???△AOE是等邊三角形，

：?DA=DE=DC+CE=DC+DB,即DA=OC+03,

故答案為：DA=DC+BD;

(2)2Af>2=(DC÷BD)2,如圖2,延長OC到點區(qū)使CE=BD,連接AE,

VZβΛC=90o,NBDC=90。,

：.NABo+N4CO=3600-NBACNBr)C=I80。,

?/ZΛCE+ZΛCD=180o,

ZABD=ZACE9

'：AB=ACtCE=BD,

在AABO和ZkACE中，

AB=AC

<ZABD=NACE,

BD=CE

：.ΛABD^∕?ACE(SAS),

.'.AD=AE9ZBAD=ZCAE,

.?ZDAE=ZBAC=90o,

：.DA2+AE2=DE2,

：.2AD2=(DC+BD)2;

圖3

?：MN=2,ZQMN=30°,ZMQN=90°,

；.QN=WMN=I,

2222

MQ=y∣MN-QN=√2-l=√3,

由(2)知2PQ2=(QN+MQ)2.

.?(QN+MQ)：任a=2+技

22

【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)，含30度角

的直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在等邊AABC中，點P是BC邊上一點，ZBAP^a(30o<α<60o),作點B關(guān)

于直線AP的對稱點。，連接Z)C并延長交直線A尸于點E,連接8E.

(1)依題意補全圖形，并直接寫出NAEB的度數(shù)；

(2)用等式表示線段AE,BE,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

分析：①涉及的知識要素：圖形軸對稱的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性

質(zhì)......

②通過截長補短，利用60。角構(gòu)造等邊三角形，進而構(gòu)造出全等三角形，從而達到轉(zhuǎn)移邊的

目的.

請根據(jù)上述分析過程，完成解答過程.

B

【答案】(1)圖見解析，ZAEB=60o;(2)AE=BE+CE,證明見解析

【分析】(1)依題意補全圖形，如圖所示：然后連接A。，先求出NC4P=60。-。，然后根

據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到ZPAD=ZBAP=a,AD=AB=AC,/AEC=/AEB,求出ZC4D=2a-60o,

即可求出NAa)=/41)C=L(180。-/CAZ))=I2(r-α,再由

ZEAC+NAEC=ZACD=↑20。一口進行求解即可；

(2)如圖，在AE上截取EG=B￡,連接8G.先證明△BGE是等邊三角形，得到BG=BE

=EG,ZGBE=60°.再證明NABG=NcBE,即可證明△A8G0Z?C3E得到AG=CE,則

AE=EG+AG=BE+CE.

【詳解】解：(1)依題意補全圖形，如圖所示：連接AQ,

「△ABC是等邊三角形，

.,.ZBAC=60o,AB=AC,

?/NBAP=a,

.?.ZC4P=60o-α,

Vβ,。關(guān)于AP對稱，

：./PAD=NBAP=a,AD=AB=AC,NAEC=NAEB,

：.ZCAD=ZPAD-ZCAP=a-(60°-α)=2α-60°,

.?.ZACD=ZΛDC=^(180o-ZC4D)=l20o-a

ZEAC+ZAEC=ZACD=]20°-a,

ZAEC=60°

ZΛEB=60o.

D

?p?/

E?

(2)AE=BE+CE.

證明：如圖，在AE上截取EG=BE,連接BG.

?/NAE8=60。，

GE是等邊三角形，

IBG=BE=EG,NGBE=60。.

?.,△ABC是等邊三角形，

：.AB=BC,ZABC=60°,

/.ZABG+ZGBC=AGBC+NCBE=60。，

???ZABG=ZCBE.

在^ABGf∏?CBE中，

AB=CB,

NABG=NCBE

BG=BE,

：.ΛABG^^?CBE(SAS),

：.AG=CEf

AE=EG+AG=BE+CE.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，軸對稱的性質(zhì)，等

腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等等，熟知相關(guān)知識是解題

的關(guān)鍵

4.閱讀材料:

“截長補短法”是幾何證明題中十分重要的方法，通常用來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系.截長,

即在長線段上截取一條線段等于其中一條短線段，再證明剩下的部分等于另一條短線段：補

短，即延長其中一條短線段,使延長部分等于另一條線段,再證明延長后的線段等于長線段.

依據(jù)上述材料，解答下列問題:

如圖，在等邊,ΛBC中，點E是邊AC上一定點，點。是直線BC上一動點，以OE為邊作

等邊一DEF,連接CF.

(1)如圖，若點。在邊BC上，試說明CE+b=CE>;(提示：在線段上截取CG=CE,

連接EG.)

(2)如圖，若點。在邊BC的延長線上，請?zhí)骄烤€段CE,C尸與C力之間的數(shù)量關(guān)系并說明理

由.

(T)FC=CD^CE

【分析】(1)在CO上截取CG=CE易證△CEG是等邊三角形，得出EG=EC=CG,證

明△DEG絲Z?FEC(SAS),得出OG=CF,即可得出結(jié)論；

(2)過。作DGAB,交AC的延長線于點G,由平行線的性質(zhì)易證NGoC=/OGC=60。，

得出△GCO為等邊三角形，則DG=CD=CG,證明△EGDgAFCD(SAS),得出EG=FC,

即可得出FC=CD+CE.

(1)

證明：在C￡>上截取CG=CE,如圖1所示：

A

:△ABC是等邊三角形，

ΛZECG=60o,

???ACEG是等邊三角形，

：.EG=EC=CG,NCEG=60。，

???△拉E尸是等邊三角形，

IDE=FE,NDEF=60。,

.β.NDEG+NGEF=NFEC+NGEF=60°,

：.NDEG=NFEC,

在△DEG和△FEC中，

DE=FE

<ZDEG=ZFEC,

EG=EC

：?4DEGQAFEC(SAS),

LDG=CF,

：.CD=CG^DG=CE+CF,

.?CE+CF=CD;

(2)

解：線段CE,b與CO之間的等量關(guān)系是FC=CD+CE;理由如下:

???ZVlBC是等邊三角形，

，NA=NB=60。，

過。作。GM用交AC的延長線于點G,如圖2所示：

VGDAB,

.?.NGOC=/B=60。，NOGC=/A=60。，

：.ZGDC=ZDGC=60o,

...△GCO為等邊三角形，

ΛDG=CD=CG,ZGDC=60o,

?；AEDF為等邊三角形,

IED=DF,/EOF=NGoC=60。，

：.ZEDG^ZFDC,

在4EGD?ΔFCDΦ,

ED=DF

-ZEDG=NFDC,

DG=CD

.".?EGD^Δ,FCD(SAS),

LEG=FC,

：.FC=EG=CG+CE=CD+CE.

【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等及其性質(zhì)，三角形全等的判定，等邊三角形

的性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)建等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

5.在“教、學、練、評一體化”學習活動手冊中，全等三角形專題復習課，學習過七種作輔

助線的方法，其中有“截長補短''作輔助線的方法.

截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；

補短法：延長較短線段和較長線段相等.

這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法.

請用這兩種方法分別解決下列問題：

已知，如圖，在AABC中，AB>AC,NI=N2,P為Ao上任一點，求證：AB-AOPB

-PC

【分析】截長法：在A8上截取AN=AC,連結(jié)PM可證得△APNgZ?APC,可得至IJPC=PM

△BPN中,利用三角形的三邊關(guān)系，即可求證；補短法：延長AC至例，使AM=A8,連結(jié)

PM,證明△A8PgZV1MP,可得PB=PM,在APCM中，利用三角形的三邊關(guān)系，即可求

證.

【詳解】解：截長法：在AB上截取AN=AC,連結(jié)PM

?"AN=AC,∕1=N2,AP=AP,

：.ZXAPN絲—

PC=PN,

「△BPN中有PB-PN<BN,

即PB-PC<AB-AC;

補短法：延長AC至例，使AM=A8,連結(jié)PM,

M

在AABP和AAMP中，

'：AB^AM,Nl=N2,AP=AP,

Λ?ABP^?AMP.

：.PB=PM,

又,.?在4PCM中有CM>PM~PC,

即AB-AOPB-PC.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，理解截長補短法是

解題的關(guān)鍵.

6.例：截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一

種策略.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式

使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題.

(1)如圖1,ZiABC是等邊三角形，點。是邊BC下方一點，ZBDC=120°,探索線段D4、

DB、OC之間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：將AAB。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△4CE,可得AE=AO,CE=BD,

ZABD=ZACE,ZDAE=60O,根據(jù)∕BAC+NBoC=I80。，可知NAB。+NACo=I80。，貝∣J

ZACE+ZACD=?SO°,易知△A。E是等邊三角形，所以AZJ=OE,從而解決問題.

根據(jù)上述解題思路，三條線段D4、DB、OC之間的等量關(guān)系是；

(2)如圖2,KdABC中，NBAC=90。，AB=AC.點。是邊BC下方一點，NBDC=90。,探

索三條線段。A、DB、OC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

FH1晶2

【答案】⑴DA=DB+DC;⑵五DA=DB+DC,證明見解析.

【分析】⑴由旋轉(zhuǎn)60呵得AE=A。，CE=BD,ZABD=ZACE,NDAE=60。，根據(jù)

/BAC+NBnC=I80°,可知/A8λ>+/Ae￡)=180°,貝UZACE+ZACD=ISOo,易知AADE是

等邊三角形，所以AO=OE,從而解決問題.

⑵延長DC到點E.使CE=BD,連接AE,由己知可得NABD+NACD=I80°,根據(jù)

ZACE+ZACO=180",可得ZABo=ZACE,可證二ABD=ACE,進而可得AD=AE,

ZBAD=ZCAE,可得ZDAE=NBAC=90°.由勾股定理可得：DA2+AE2=DE2,進行等量代

換可得結(jié)論.

【詳解】⑴結(jié)論：DA=DB+DC.

理由：V?ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△ACE,

ΛAE=AD,CE=BD,ZABD=ZACE,ZDAE=60O,

VZBAC+ZBDC=180°,

ABD+/ACD=I80。，

.,.NACE+NACD=180。，

.?.DC,E三點共線，

VAE=AD,NDAE=60°,

aADE是等邊三角形，

AD=DE,

.,.AD=DC+CE=DB+DC;

⑵結(jié)論：√2DA=DB+DC.

證明如下：

如圖所示，延長DC至IJ點E,使CE=BD,連接AE,

ZBAC=90",NBDC=90°,

/.ZABD+ZACD=180\

ZACE+ZACO=180°,

.?.ZABD=ZACE,

?.?AB=AC,CE=BD,

：.AABD=λACE(SAS),

AD=AE,ZBAD=ZCAE.

NDAE=NBAC=90",

?,-+AE2DE2,

：.IDfiC=(Z)B+DC)2,

.".√2DA=DB+DC.

【點睛】本題主要考查了截長補短的方法，通過全等三角形得到線段間的等量關(guān)系，正確作

出輔助線找到全等三角形是解題的關(guān)鍵.

7.閱讀材料并完成習題：

在數(shù)學中，我們會用“截長補短'’的方法來構(gòu)造全等三角形解決問題.請看這個例題：如圖?,

在四邊形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90o,AB=AD,若AC=2cm,求四邊形ABCD的面積.

解：延長線段CB到E,使得BE=CD,連接AE,我們可以證明△BAE絲ADAC,根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)得AE=AC=2,ZEAB=ZCAD,貝IJ

o

ZEAC=ZEAB+ZBAC=ZDAC+ZBAC=ZBAD=90,得Sa≡

ABCD=SAABC+SAADC=SAABC+SAABE=SAAEO這樣，四邊形ABCD的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角三

角形EAC面積.

(I)根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為cm2.

(2)請你用上面學到的方法完成下面的習題.

H

如圖2,已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm,NG=NN=90。，求五邊形FGHMN的面積.

【答案】(1)2：(2)4

【分析】(1)根據(jù)題意可直接求等腰直角三角形EAC的面積即可；

(2)延長MN到K,使NK=GH,連接FK、FH、FM,由(1)易證FGHMFNK,則有

FK=FH,因為HM=GH+MN易證.QWK四一IRWH,故可求解.

1?

【洋解】(I)由題意知S四邊形AecO=SA8C+SADC=SABC+SA8E=SAEe=5AC=2,

故答案為2；

(2)延長MN到K,使NK=GH,連接FK、FH、FM,如圖所示：

FG=FN=HM=GH+MN=2cm,NG=NN=90°,

ZFNK=ZFGH=90o,&FGHg.FNK,

/.FH=FK,

乂】FM=FM,HM=KM=MN+GH=MN+NK,

：,&FMKRFMH,

.?.MK=FN=2cm,

=

??S母Ii彩FGHMNSFGH+SHFM+SMFN=25FMK~2×~MK?FN—4.

【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是根據(jù)截長補短法及割補法求面積的

運用.

8.【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法.截長就是在長邊

上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一長邊相等,

從而解決問題.

(1)如圖①，△ABC是等邊三角形，點。是邊BC下方一點，連結(jié)￡M、DB、DC,且

ZeZ)C=I20。，探索線段94、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：延長DC到點E,使CE=Br>,連接AE,根據(jù)/B4C+&)C=180。，貝IJ

ZABD+ZACDISOo,因為NAa)+NACE=180。可證NAβf>=NACE,易證得△ABD

ACE,得出△AE>E是等邊三角形，所以AD=OE,從而探尋線段D4、DB.OC之間的數(shù)

量關(guān)系.根據(jù)上述解題思路，請直接寫出八4、DB.DC之間的數(shù)量關(guān)系是；

【拓展延伸】

(2)如圖②，在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC.若點。是邊BC下方一點，

NBDC=90°,探索線段D4、DB.DC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【知識應用】

(3)如圖③，兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，己知300所對直角

邊等于斜邊一半，則PQ的長為cm.(結(jié)果無需化簡)

【答案】(I)DA=DB+DC-.(2)M：^2AD=DC+DB證明見解析；(3)匕￡.

v2

【分析】(1)由等邊三角形知A8=AC,∕8AC=60°,結(jié)合N8DC=I2O°知∕A8O+NACO=l80°,

由∕ACE+NAeQ=I80。知NABC=∕4CE,iiE?ABD^ΛACEWAD=AE,ZBAD=ZCAE,

再證△ADE是等邊三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB.

(2)延長OC至U點E,使CE=B。,連接AE,先證△AB。絲ZXACE得4O=A￡,ZBAD=ZCAE,

據(jù)此可得NDAE=/a4C=90。，由勾股定理知。黯+4爐=。^,繼而可得切爐=(。∕”：)2；

(3)由直角三角形的性質(zhì)知QV=TMN=1,MQ=IMN2-QN2=g,利用(2)中的結(jié)論知

也PQ=QN+QM=?+C，據(jù)此可得答案.

【詳解】解：(1)DA=DC+DB,理由：

YZiABC是等邊三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60o,

,：ZBDC=?2Qo,

：.ZABD+ZACD=ISOo,

又；ZACE+ZACD=ISOo,

：.ZABD=ZACE,

在AABD?ΔACE中，

AB=AC

<ZABD=^ACEf

BD=CE

：?XABD9XACE(SAS),

：.AD=AE,ZBAD=ZCAEf

VZAβC=60o,即N8AZMNOAC=60°,

ZDAC+ZCAE=60o,即ZDAE=60o,

???△ADE是等邊三角形，

：?DA=DE=DC+CE=DC+DB,BPDA=DC+DBf

故答案為：DA=DC+DB;

(2)A=D8+QC如圖2,延長。C到點￡使CE=BD,連接4E,

E

圖2

βoo

?.ZBAC=90,NBDC=90。；.ZABD+ZACD=ISOf

t:ZΛCE+ZΛCD=I80o,

???ZABD=ZACE1

λ

:AB=ACfCE=BD,

在△A3。和^ACE中，

AB=AC

<ΛABD=ZACE,

BD=CE

：.ΛABD^∕?ACE(SAS),

：.AD=AE,ZBAD=^CAEf

,NOAE=NBAO90。，

222

：.DA+AE=DEt

：.2DA2=CDB+DC)2,

/.√2DA=DB+DC;

(3)如圖3,連接P。，

?：MN=2,NQMN=30。，

：.QN=WMN=?,

,2222

??MQ=y∣MN-QN=√2-l=√3，

由(2)知亞PQ=QN+QM=l+6,

.n-l+√3

?.pθρ=H

故答案為：］

*√g2

【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌

握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

9.【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法.截長就是在長邊

上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等,

從而解決問題.

P

DB、OC之間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：延長。C到點E,{?!CE=BD,連接AE,根據(jù)∕BAC+NBOC=180。，可證NABO

=∕ACE易證得△ABO絲Z?ACE,得出△AOE是等邊三角形，所以AO=OE,從而探尋線段

DA.DB、OC之間的數(shù)量關(guān)系.根據(jù)上述解題思路，請直接寫出D4、DB、OC之間的數(shù)量

關(guān)系是,

【拓展延伸】

(2)如圖2,在放AABC中，ZBAC=90o,AB=AC.若點。是邊BC下方一點，NBDC=90。,

探索線段D4、DB、OC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

【知識應用】

(3)如圖3,兩塊斜邊長都為4cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角

頂點之間的距離PQ的長為cm.

【答案】(I)ZM=D8+OC

⑵√2D4=OB+DC;理由見解析

⑶PQ=(也+瓜)cm

【分析】(1)延長。C到點E,使CE=8Z),連接4E,由等邊三角形知A8=4C,NBAC=60°,

結(jié)合N83C=120°,知/4B。+NACD=I80°,則乙48。=乙4CE,證得△AfiD≤?ACE≈?AD=AE,

ZBAD=ZCAE,再證明AAOE是等邊三角形，等量代換可得結(jié)論；

(2)同理可證4ABD三4ACE↑^AD=AE,ZBAD=ZCAE,由勾股定理得DA2+AE2=DE2，

等量代換即得結(jié)論；

(3)由直角三角形的性質(zhì)可得。N的長，由勾股定理可得MQ的長，由(2)知

垃PQ=QN+QM,由此可求得尸。長.

(1)

(1)延長OC到點E,使CE=8D,連接AE,

「△ABC是等邊三角形，

.?.A8=AC,∕8AC=60°,

?,ZBDC=UOo,

：.ZBAC+ZBDC=?S0o,

：.ZABD+ZACD=?S0o,

又；ZACE+ZACD=?S0o,

：.ZABD=ZACE,

：.?ABD≤ΔACE(SAS),

：.AD=AE,ZBAD^ZCAE,

'：ZBAC=60o,

ZBAD+ZDAC^60o,

：.ZDAE=ZDAC+ZCAE=60o,

.?.ZXAOE是等邊三角形，

，DA=DE=DC+CE=DC+DB,

(2)

√2DA=DB+DC,

理由如下：延長￡>C到點E,使CE=BD,連接AE,

VZfiAC=90o,∕8OC=90°,

，ZΛβD+ZACD≈180o

XVZACE+ZACD=?S0o,

：.ZABD^ZACE,

'CAB=AC,CE=BD,

：.∕?ABD^?ACE(SAS),

：.AD=AE,ZBAD=ZCAE,

ΛZDAF=ZBAC=90o,

?-?+AE2DE2>

：.2DA2=(DB+DC)2,

?*.母DA=DB+DC,

(3)

如圖所示：連接PQ,

-----÷---

?；MN=4cm,ZQMN=30°,

.*.QN=^MN=2cm,

2222

根據(jù)勾股定理得QM=y∣MN-QN?√4-2=2√3cw，

由(2)知6PQ=QN+QM,

：.PQ=QY=喑=g㈣an,

【點睛】此題是三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形和等邊

三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)犍.

10.現(xiàn)閱讀下面的材料?，然后解答問題：

截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種常見輔助線的做法.在證明線段的和、差、倍、分等

問題中有著廣泛的應用.截長法：在較長的線段上截一條線段等于較短線段，而后再證明剩

余的線段與另一段線段相等.補短法：就是延長較短線段與較長線段相等，而后證延長的部

分等于另一條線段.

請用截長法解決問題（I）

（1）已知：如圖1等腰直角三角形ABC中，NB=90。，AD是角平分線，交BC邊于點。.求

圖1

請用補短法解決問題（2）

（2）如圖2,已知，如圖2,在ΔA3C中，∠β=2ZC,A。是ΔA8C的角平分線.求證:

AC^AB+BD.

圖2

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)截長法，在AC上截取4E=",連接OE,通過題目條件可證

MDBMDE（SAS）,進而證得ADEC是等腰直角三角形，等量代換即可得；

（2）根據(jù)補短法，延長A8到尸，使AF=AC,連接。尸，根據(jù)已知條件可證

^FADACAD（SAS）,進而可證M=成，等量代換即可得證.

【詳解】（1）證明：如圖1,在AC上截取AE=AB,連接OE,

：AD是角平分線，

.?.NBAD=ΛEAD

在MDB和ΔADE中

AB=AE

<ZBAD=ZEAD

AD=AD

.?ΛADB=MDE(SAS)

???ZAEO=NB=90,DE=DB

又??.A48C是等腰直角三角形，

???NC=45,JAOEC是等腰直角三角形,

DE=EC,

：,AC=AE+EC=AB+BD.

圖1

(2)如圖2,延長A8到尸，使AF=AC,連接。尸,

?/AD是ΔABC的角平分線，

/.ZFAD=ZCAD

在M4￡>和Ae4。中

AF=AC

<ZFAD=ZCAD

AD=AD

/.AFAD=^CAD(SAS)f

：.NC=N產(chǎn)

?：ZABC=2ZC,ZABC=ZF+ZBDF,

.β.NF=NBDF,

：?BD=BF,

???AC=AF=AB+BD.

【點睛】本題考查了戴長法和補短法兩種方法證明線段和的問題，三角形全等的判定和性質(zhì)

的應用，角平分線的性質(zhì)應用，等量代換的應用，掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

11.數(shù)學課上，小白遇到這樣一個問題：

如圖1,在等腰∕?ΔABC中，ZfiAC=90o,AB^AC,AD=AE,求證NABE=ZAC￡＞；

在此問題的基礎上，老師補充：

過點A作AFLBE于點G交BC于點F,過F作尸PJ_CO交BE于點P,交CD于點、H,試探

究線段BP,FP,從"之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

小白通過研究發(fā)現(xiàn)，/4FB與N”尸C有某種數(shù)量關(guān)系；

小明通過研究發(fā)現(xiàn)，將三條線段中的兩條放到同一條直線上，即“截長補短”，再通過進一步

推理，可以得出結(jié)論.

閱讀上面材料，請回答下面問題：

(I)求證NABE=NACD;

(2)猜想N/將B與NHFC的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)探究線段3尸，F(xiàn)P,AF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】(1)見解析；(2)2HFC=ZBFA,證明見解析；(3)BP=AF+PF,證明見解析

【分析】(1)利用SAS證明AcO可得結(jié)論；

(2)設ZABE=ZACD=x,推出NBFA=45°+X,NHFC=45。+x,即可證明ZHFC=NBFA；

(3)過點C作GW，AC交心延長線于點M,延長EP交AC于點N,證明△ABEgACAM,

得出BE=AM和NM=NBEA,從而證明^NFC??MFC,得到FM=FN^ZM=ZFNC,

可得PN=PE,從而得出BP=AF+PE

【詳解】解：(1)：在△ABE和△ACD中，

AB=AC

<ZA=ZA,

AE=AD

.?.?ABE=?ACD(SAS),

.-.ZABE=ZACD-.

(2)T&ZABE=ZACD=x,

AF±BE,

.?.ZBAF=90o-x,

.-.ZBE4=90o-(45o-X)=45。+X,

.ZACD=χf

：.NHCF=45?！獂,

FPiCD,

:"HFC=90o-(45o-x)=45。+x,

:.AHFC=ABFA↑

(3)過點C作CMLAC交AF延長線于點"，延長尸尸交AC于點N,

.Zβ4F+ZMC=90o,ZBAF+ZABG=900,

ZFAC=ZABG,

在^ABE和小CAM中，

ZBAE=ZACM

<AB=AC,

ZABE=ZCAM

:.MBEACAM(ASA),

BE=AM,ZM=ZBEA,

Z-BFA=ZMFC=ZNFC,FC=FC,ZACB=NBCM=45。,

,?ANFC=AMFC(ASA),

FM=FN,NM=/FNC,

."FNC=ZBEA,

:.PN=PE,

.,.BP=BE—PE=AM-PE=AF+FM-PE=AF+FN-PN=AF+PF.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及等角對等邊等知

識點，解題的關(guān)鍵是根據(jù)截長補短法添加適當?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形證明結(jié)論，有一定

難度.

12.【初步探索】

截長補短法,是初中幾何題中一種添加輔助線的方法,也是把幾何題化難為易的一種策略.截

長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊

拼合到一起，從而解決問題.

(1)如圖1,4ABC是等邊三角形，點。是邊BC下方一點，ZBDC=120°,探索線段D4、

DB、。。之間的數(shù)量關(guān)系；

【靈活運用】

(2)如圖2,AABC為等邊三角形，直線D為BC邊上一點、,NAOE交直線a于

點E,且NAZ)E=60。.求證：CD+CE=CA；

圖2

【延伸拓展】

(3)如圖3,在四邊形ABCz)中，ZABC+ZADC=180o,AB=AD.若點E在CB的延長

線上，點F在CO的延長線上，滿足EF=BE十尸￡),請直接寫出/E4F與NDAB的數(shù)量關(guān)

系.

【答案】(1)DA=DC+DB,證明見詳解；(2)見詳解；(3)ZEAF=I80o-?ZDAB,證明

見詳解.

【分析】(1)由等邊三角形知AB=AC,∕BAC=6()o,結(jié)合∕BDC=120。知/ABD+/ACD=I80。,

由NACE+NACD=180。知NABD=NACE,iiE?ABD^?ACE得AD=AE,ZBAD=ZCAE,

再證△ADE是等邊三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB;

(2)首先在AC上截取CM=CD,由△ABC為等邊三角形，易得△CDM是等邊三角形，繼

而可證得AADMgZ?EDC,即可得AM=EC,則可證得CD+CE=CA;

(3)在DC延長線上取一點G,使得DG=BE,連接AG,先判定△ADGgZXABE,再判定

△AEF絲ZSAGF,得出∕FAE=∕FAG,最后根據(jù)NFAE+∕FAG+NGAE=36(Γ,進而推導得

至U2NFAE+NDAB=360。，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)如圖1，延長DC到點E,使CE=BD,連接AE,

V?ABC是等邊三角形，

AB=AC,ZBAC=60o,

,/ZBDC=120o,

NABD+/ACD=I80。，

又YNACE+NACD=180°,

ΛZABD=ZACE,

Λ?ABD^?ACE(SAS),

AD=AE,ZBAD=ZCAE,

VZBAC=60o,UPZBAD+ZDAC=60o,

ΛZDAC+ZCAE=60o,即ZDAE=60o,

Λ?ADE是等邊三角形，

，DA=DE=DC+CE=DC+DB，

即DA=DC+DB;

(2)證明：在AC上截取CM=CD,

圖2

:?△ABC是等邊三角形，

ΛZACB=60o,

Λ?CDM是等邊三角形,

/.MD=CD=CM,ZCMD=ZCDM=60o,

ΛZAMD=120o,

?/ZADE=60o,

ΛZADE=ZMDC,

ΛZADM=ZEDC,

??,直線a〃AB,

.?.ZACE=ZBAC=60o,

.?.ZDCE=120o=ZAMD,

在^ADM和^EDC中，

NADM=NEDC

MD=CD

ZAMD=ZECD

Λ?ADM^ΔEDC(ASA),

ΛAM=EC,

：?CA=CM+AM=CD+CE；

即CD+CE=CA.

(3)NEAF=I80」NOA8；

2

證明：如圖3,在DC延長線上取一點G,使得DG=BE,連接AG,

G

圖3

??ZABC+ZADC=180o,ZABC+ZABE=180o,

ΛZADC=ZABE,

XVAB=AD,

ΛΔADG^ΔABE(SAS),

ΛAG=AE,ZDAG=ZBAE,

:EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

ΛΔAEF^ΔAGF(SSS),

ΛZFAE=ZFAG,

?.?ZFAE+ZFAG+ZGAE=360o,

.".2ZFAE+(ZGAB+ZBAE)=360o,

Λ2ZFAE+(ZGAB+ZDAG)=360°,

即2NFAE+NDAB=360°,

ΛZEAF=180°—!-ZDAB.

2

【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及等邊三角形的

性質(zhì)的綜合應用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應角相

等進行推導變形.

13.截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策

略.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩

條短邊拼合到一起，從而解決問題.

(1)如圖1,AABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，/BDC=120。，探索線段DA、

DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：延長DC到點E,使CE=BD,根據(jù)NBAC+NBDC=180。,可證NABD=ZACE,

易證AABDG?ΔACE,得出△ADE是等邊三角形，所以AD=DE,從而解決問題.

根據(jù)上述解題思路，三條線段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系是；(直接寫出結(jié)果)

(2)如圖2,Rl?ABC中，ZBAC=90o,AB=AC.點D是邊BC下方一點，ZBDC=90o,

探索三條線段DA、DB、De之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】(I)D4=O8+OC;(2)&DA=DB+DC(或?qū)懬?DA2=(DB+DCY),證明詳

見解析.

【分析】(I)由等邊三角形知AB=AC,NBAC=60。，結(jié)合∕BDC=120。知/ABD+NACD=I8O。,

由/ACE+/ACD=I80。知/ABD=NACE,證AABD絲AACE得AD=AE,ZBAD=ZCAE,

再證△ADE是等邊三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB.

(2)延長DC至IJ點E,使CE=BD,連接AE,先證△ABD^?ACE得AD=AE,ZBAD=ZCAE,

據(jù)此可得NDAE=NBAC=90。，由勾股定理知DA2+AE2=DE?,繼而可得2DA?=(DB+DC)

【詳解】解：(1)如圖1,延長DC到點E,使CE=BD,連接AE,

BC

D

圖1

V?ABC是等邊三角形，

二AB=AC,ZBAC=60o,

VZBDC=120°,

NABD+/ACD=I80。，

又,/ZACE+ZACD=180°,

ΛZABD=ZACE,

Λ?ABD^?ACE(SAS),

，AD=AE,NBAD=NCAE,

VZABC=60o,即NBAD+∕DAC=60°,

.?.ZDAC+ZCAE=60o,即Z