2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題變式題13-17題-(解析版)

2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題變式題13T7題

原題13

1.已知函數(shù)/(x)=x3(a2-2T)是偶函數(shù)，則a=.

變式題1基礎(chǔ)

2.已知m豐0,/(x)=二'+「為偶函數(shù)，則機(jī)=_________.

ex-m

變式題2基礎(chǔ)

3.已知函數(shù)〃x)=d是偶函數(shù)，則〃1)=

變式題3鞏固

4.若函數(shù)/(x)=xln(ax+Jl+9x2)(其中”0)為偶函數(shù)，則。=.

變式題4鞏固

5.若函數(shù)/(x)=log2(4、+a)-x為偶函數(shù)，則a=.

變式題5提升

6.若函數(shù)/(x)=(x-3)-(ax-b)為偶函數(shù)，且在(0,+巧上單調(diào)遞增，則/(2-x)>0地解集

為.

變式題6提升

7.對于函數(shù)/(x)="(X+J+sinx,若/⑸+〃_5)=4，則a=________.

X+1

原題14

8.已知。為坐標(biāo)原點，拋物線C：『=20、(。>0)地焦點為尸，2為。上一點,尸尸與》軸

垂直，。為x軸上一點，且PQ±OP，若戶。|=6，則C地準(zhǔn)線方程為.

變式題1基礎(chǔ)

9.設(shè)拋物線丁=2px(p>0)地焦點為尸，點40,2).若線段FA地中點5在拋物線上，則B

到該拋物線準(zhǔn)線地距離為.

變式題2基礎(chǔ)

10.已知拋物線C-.y=mx\m&R,m^0)過點尸(-1,4)，則拋物線C地準(zhǔn)線方程為.

變式題3鞏固

11.拋物線C：/=2川(夕>0)地焦點為廠,其準(zhǔn)線與》軸地交點為人,假如在直線

x+y+4=0上存在點"，使得ZFMA=90°，則實數(shù)。地取值范圍是.

1

變式題4鞏固

12.直線》-^-2=0與拋物線/=2「,(2>0)交于人，8兩點,若線段”被點"(4,2)平

分，則拋物線地準(zhǔn)線方程為.

變式題5提升

13.已知點力(0,6)，拋物線C：/=2PHp>0)地焦點為F，射線FA與拋物線C相交于

點M，與其準(zhǔn)線相交于點N.若忻-\MN\=\-.l，則P地值等于.

變式題6提升

14.已知拋物線￡■：/=2px(p>0)地焦點為尸，0為坐標(biāo)原點，點A在E上，且

\AF\=2|。四，若=710，則P=.

原題15

15.函數(shù)/(x)=|2x-l|-21nx地最小值為.

變式題1基礎(chǔ)

16.函數(shù)/(x)=gx2+x-21nx地最小值為.

變式題2基礎(chǔ)

17.函數(shù)y=(x+l)e2*地最小值是.

變式題3鞏固

2

18.函數(shù)/(x)=5在xe［0,3］地最大值為.

變式題4鞏固

19.函數(shù)/(x)=?在(0超2］上地最大值是_.

變式題5提升

20.函數(shù)/(X)=-2x-1Inx|+2地最大值為.

變式題6提升

工優(yōu)—x2—2x(X<1)(］-

c，當(dāng)xe(-oo,/n］時-0o,l——，則實數(shù)”7地取

)2x-3(x>1)ke

值范圍是.

原題16

22.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙地某款對稱軸把紙對折，規(guī)

格為20dmx12dm地長方形紙，對折1次共可以得到10dmxl2dm,20dmx6dm兩種規(guī)格地

2

圖形，它們地面積之和E=240dn?,對折2次共可以得到5dmx12dm,1Odmx6dm,

20dmx3dm三種規(guī)格地圖形，它們地面積之和邑=180dm\以此類推,則對折4次共可以

得到不同規(guī)格圖形地種數(shù)為。假如對折〃次，那么=dm2.

A=1

變式題1基礎(chǔ)

23.紙張地規(guī)格是指紙張制成后，經(jīng)過修整切邊，裁成一定地尺寸.現(xiàn)在我國采用國際標(biāo)準(zhǔn),

規(guī)定以/O,Al,A2,BI,82,…等標(biāo)記來表示紙張地幅面規(guī)格.復(fù)印紙幅面規(guī)格

只采用A系列和8系歹山其中4（〃wN,〃W8）系列地幅面規(guī)格為①Al,A2....

N8所有規(guī)格地紙張地幅寬（以x表示）和長度（以N表示）地比例關(guān)系都為

x:y=1:拒。②將/。紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分,便成為A1規(guī)格,A1紙張沿長度方

向?qū)﹂_成兩等分,便成為/2規(guī)格，…，如此對開至48規(guī)格.現(xiàn)有Z。，A\,A2,/8

紙各一張.若44紙地寬度為2dm,則/I紙地長度為dm。A\,A2,48八張

紙地面積之和等于dm2.

變式題2基礎(chǔ)

24.“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化地瑰寶之一，最早出現(xiàn)在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝于

1261年所著地《詳解九章算法》一書中，歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，

比楊輝要晚近四百年.如圖，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成地“楊輝三角''中，記第2行地第3個數(shù)

字為q,第3行地第3個數(shù)字為的,…，第〃+1行地第3個數(shù)字為見，則

111

q+&+牝+…+~=-----1-------1-…H-----=

第。行1

第1行11

第2行12

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

變式題3鞏固

25.如圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME-7）地會徽.它地主題圖案是由一連串如

圖乙所示地直角三角形演化而成地.設(shè)其中地第一個直角三角形是等腰三角形，且

。4=44=44=44=-“=44=1,它可以形成近似地等角螺線，記。4，，

L,。4地長度組成數(shù)列血｝（””,1。48）,且仇=一1一則%=____________

an+an+\

（〃GN*,l<W<8），數(shù)歹lj也｝地前7項和為.

3

圖甲圖乙

變式題4鞏固

26.等比數(shù)列｛%｝中,囚,出，。3分別是下表一、二、三行中地某一個數(shù)，且中地任何

兩個數(shù)不在下表地同一列.

第一列第二列第三列

第一行3210

第二行6414

第三行9818

則數(shù)列｛為｝地通項公式為o若數(shù)列｛"｝滿足6"=（-l）"lna"，當(dāng)〃為偶數(shù)時，數(shù)

列也“｝前2n項和為.

變式題5提升

27.“垛積術(shù)”（隙積術(shù)）是由北宋科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)學(xué)家楊輝,

圓代數(shù)學(xué)家朱世杰豐富和發(fā)展地一類數(shù)列求和方式，有菱草垛，方垛，芻童垛，三角垛

等等.某倉庫中部分貨物堆放成如圖所示地“菱草垛”：自上而下,第一層1件，以后每一層

比上一層多1件，最后一層是〃件.已知第一層貨物單價1萬圓，從第二層起，貨物地單價是

上一層單價地（，第〃層地貨物地價格為，若這堆貨物總價是64-112^）“萬圓，則

變式題6提升

28.九連環(huán)是中國地一種古老智力游戲，它環(huán)環(huán)相扣，趣味無窮.長期以來,

4

這個益智游戲是數(shù)學(xué)家及現(xiàn)代電子計算機(jī)專家們用于教學(xué)研究地課題和例子.中國地末

代皇帝溥儀(1906-1967)也曾有一個精美地由九個翡翠緞相連地銀制地九連環(huán)(如圖).現(xiàn)

假設(shè)有〃個圓環(huán)，用％表示按某種規(guī)則解下〃個圓環(huán)所需地最小移動次數(shù).已知數(shù)列｛%｝

滿足下面款件：q=1,%=2,勺=限+2"'("23,〃eN*),記｛叫地前項和為,則：⑴

%=°(2)^oo=?

銀和翠玉制九連環(huán)

清(1644-1911)

原題17

+1,〃為奇數(shù),

29.已知數(shù)列｛%｝滿足q

。,,+2,〃為偶數(shù).

(1)記2=%,,寫出4也,并求數(shù)列也｝地通項公式。

(2)求｛4｝地前20項和.

變式題1基礎(chǔ)

30.己知數(shù)列｛%｝滿足《=1嗎用=片-2"一4+2”

(1)求生,％,%地值，猜想數(shù)列｛0”｝地通項公式(不需要證明).

(2)令。=〃?,求數(shù)列也“｝前〃項地和Tn

變式題2基礎(chǔ)

31.在數(shù)列｛““｝中,q=；，點(見，%+i)(〃eN*)在直線y=x+；上

(1)求數(shù)列｛%｝地通項公式。

(2)記I=」一，求數(shù)列也｝地前〃項和7；.

變式題3鞏固

32.已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,。向=一一

(1)求證數(shù)列｛七｝為等差數(shù)列。

5

(2)求數(shù)列｛%｝地通項公式.

變式題4鞏固

33.已知數(shù)列｛a,,｝中

nn

(1)求生,%,4及數(shù)列｛a“｝地通項公式。

22+aa

(2)設(shè)看=a(—a2i~A+---+(T)"'aj,求功及看.

變式題5提升

34.已知數(shù)列｛%｝中,《=1,%=3,且滿足

-----------=--------------+----!---儲eN*)

(1)設(shè)4=/^-("€”),證明：｛々｝是等差數(shù)列。

a

4+1-n

b

(2)若￡,=二("eN*)，求數(shù)列｛c“｝地前〃項和5,,.

變式題6提升

35.已知函數(shù)〃x)=^|F，數(shù)列｛4"｝滿足％=1,4用

(1)求數(shù)列｛&“｝地通項公式。

(2)令I(lǐng)=-a2a3+a3a4-的5+…一”2向，求北.

6

參考結(jié)果:

1.1

【思路】利用偶函數(shù)地定義可求參數(shù)“地值.

【詳解】因為〃x)=L(a?2*-2-')，故/(-x)=-X3(a-2T-2)

因為/(x)為偶函數(shù)，故/(-x)=/(x),

時/(a?2、-27)=*(a?2"2、)，整理得到(a-1)(2，+2T)=0,

故a=l,

故結(jié)果為：1

2.±1

【思路】依據(jù)偶函數(shù)地定義得：/(-x)=/(x),即可求出，〃地值.

【詳解】解：因為/(X)是偶函數(shù),所以是(r)=f(x),

即x(e*+m)x(—+m)

ex-me~x-m

WWm2=1,即加=±1.

故結(jié)果為：±1.

【思路】首先利用奇偶性求得。，然后求得/(I).

【詳解】依題意/(X)是偶函數(shù)，所以/(-x)=/(x),

所以-5.匚衛(wèi)=/.2士@,整理得/史業(yè)上。=o,

3T+13X+13、+1

所以?(1+〃)=0=>〃=一1,

所以.小)=《1^),

3-11

所以〃l)=lx171v.

故結(jié)果為：I

4.-3

7

【思路】依據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，利用/(-x)=/(x)恒成立，化簡式子進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】因為函數(shù)〃X)=幻11(亦+川+9/)為偶函數(shù),

又/(-x)=-xIn［加+Jl+9x?),

則”r)=/(x)恒成立，

所以xIn(辦+Vl+9x2j=-xIn+\J\+9x2j恒成立，

即ax+Vl+9x2=/一L----恒成立，

Vl+9.r2-ax

即X2(9-*+I=I恒成立，所以9_/=o,又a<o,所以。=_3.

故結(jié)果為：-3.

5.1

【思路】利用偶函數(shù)地性質(zhì)列方程求。

【詳解】???函數(shù)/(x)=log,(4'+。)-x為偶函數(shù)，

v

f(-x)=/(x),B|Jlog2(4+a)-x=唾2(4"+a)+X

xx

log2(4+a)-log2(4~+a)=2x

x

???log2(4、+。)=log2(l+6f4)

x

??.4、+a=1+a4

:.a=1,

故結(jié)果為：1.

6.l)U(5,+oo)

【思路】先依據(jù)偶函數(shù)得到/(X)=-9)，依據(jù)在(0,+8)上單調(diào)遞增判斷出a>0,把2-x代

入后解不等式即可.

【詳解】???/(x)=(x-3>(ax-b)=ax2-(34+b)x+36為偶函數(shù)，

/(-x)=ar2+(3。+6)工+36=涼-(3。+/?)%+36,

二3Q+b=0,即b=-3a,

/(x)=ax2-9a=a^x2-9),

8

???/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,j>0,

/(2-x)=a(-x-1)(5-x)>0,

.?.(x+l)(x-5)>0,解得x<-l或x>5,

??.不等式地解集為(7,-1)U(5,M).

故結(jié)果為：(-?>,-1)U(5,+00).

7.2

【思路】由題設(shè)得〃對卷+竺半，易知y=〃x)-a為奇函數(shù)，即可得/(5)+/(-5)有關(guān)。

X+1

地表達(dá)式,進(jìn)而由己知求。值.

2

Y、*A”、,、a(x+l)+sinxlax+sinx_2ax+sinx

【詳解】?-,/r(x)=———-------=a+——--------，又y=——^―;—為奇函數(shù)，

x+1x+\x+1

.?./(5)+〃-5)=24=4,即0=2.

故結(jié)果為：2

c3

8.x=——

2

【思路】先用坐標(biāo)表示P，。，再依據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示列方程，解得乙即得結(jié)果.

【詳解】拋物線C：y2=2px(P>0)地焦點喑,0),

■■P為C上一點,P尸與x軸垂直，

所以尸地橫坐標(biāo)為代入拋物線方程求得P地縱坐標(biāo)為土P,

不妨設(shè)P(g,P),

因為。為x軸上一點，且尸。，OP,所以。在尸地右側(cè)，

又尸。1=6,

LUD

.-.0(6+1,0),.-.P0=(6,-p)

因為尸0_LOP,所以而?麗=5x6-p2=0,

Qp>0,1.p=3,

3

所以。地準(zhǔn)線方程為x=

3

故結(jié)果為：x=-j.

【點睛】利用向量數(shù)量積處理垂直關(guān)系是本題關(guān)鍵.

9

9.3拉

4

【詳解】試題思路：依據(jù)拋物線方程可表示出焦點F地坐標(biāo)，進(jìn)而求得B點地坐標(biāo)代入拋物

線方程求得P，則B點坐標(biāo)和拋物線準(zhǔn)線方程可求，進(jìn)而求得B到該拋物線準(zhǔn)線地距離.

P

解：依題意可知F坐標(biāo)為（20）

PP?

??.B地坐標(biāo)為（41）代入拋物線方程得2=1,解得

J2

二拋物線準(zhǔn)線方程為x=-2_

返返％

所以點B到拋物線準(zhǔn)線地距離為4+2=不'，

故結(jié)果為42‘

考點：拋物線地定義。拋物線地簡單性質(zhì).

【思路】代入P（T4）求解拋物線C:y="滔（機(jī)e凡機(jī)滬0），再化簡成標(biāo)準(zhǔn)形式求解準(zhǔn)線方程

即可.

【詳解】由題，4=%（-1）2=>機(jī)=4,故。:了=41=尤2=與故拋物線（：地準(zhǔn)線方程為

1

蚱一百

故結(jié)果為：

16

【點睛】本題主要考查了依據(jù)拋物線上地點拋物線方程以及準(zhǔn)線地問題.屬于基礎(chǔ)題.

11.14立+oo）

【思路】依據(jù)題意求出點尸，A地坐標(biāo)，設(shè)出點M坐標(biāo)，由垂直關(guān)系得屈.麗=0,再利用

A>0建立有關(guān)P地不等式即可求解.

【詳解】解：由題意，尸停o）,/卜多o）,

,??忖在直線工+歹+4=0上,設(shè)點材（工,-％-4）,

:.AM=[x+—,-x-4|,FM=|x--,-x-4|,

又NFM4=90。,

10

???AM?FM=卜+5）［一事］+（—上一勺?=0,即2x2+8x+16--^-=0,

J.A=8~-4x2x16-勺=2p"-6420,解得pW-4及或pN4及，

又夕>0,

??.〃地取值范圍是卜力,+oo）.

故結(jié)果為：［4>/2,+8）,

12.x=—1

【思路】設(shè)4（士,乂）,8（吃，必），由點差法建立關(guān)系式,可求出P=2,即可求解

【詳解】設(shè)4（石,乂）,5（/,%）,由線段Z8被點“（4,2）平分,可知必+%=4,

又必2=2pjq,y；=20匕,所以（乂+%）（乂-%）=22（士-々），

由題意可知，直線/地斜率存在，且為1,

所以占所以4x互二A=2。，

X］~X2

即4xl=2p,所以p=2.

故拋物線地準(zhǔn)線方程為x=-1.

13.2

【思路】過點M作MK垂直于準(zhǔn)線于點K，依據(jù)已知款件可得|〃K|：|W|=1：2，可得

ZMNK=30。,設(shè)準(zhǔn)線與x軸相交于點E，依據(jù)|尸司=P,|。旬=若即可求得P地值.

【詳解】拋物線C：V=2px（p>0）地焦點為E坐標(biāo)為［go］,準(zhǔn)線為x=/

過點M作MK垂直于準(zhǔn)線于點K,

由拋物線地定義知|必1=|"國，

因為怛M：|A/N|=1:2,所以|A/K|:|MV|=1:2,

\MK\1

所以sinNMVK=同同=于可得NA/NK=30°,

設(shè)準(zhǔn)線與x軸相交于點E,則|所|=P,|NE|=2|Od=26,

11

\EF\=2百x,=2,

在尸中，禍=tan30",所以0=怛同=怪叫tan30,

所以P地值等于2.

故結(jié)果為：2.

14.20

【思路】設(shè)4(x°J。),進(jìn)而結(jié)合拋物線地定義與己知款件得N［曰，土°),進(jìn)而由|。4|=M解得

結(jié)果.

【詳解】解：設(shè)“(">),由題知尸尸

因為M周=2|OF|,所以M尸|=2|OF|=p

因為點A在E上，

所以W日=Xo+5=p,解得/=5,

所以45,土p),

所以儂=而=厚］=條解得P=2?,

故結(jié)果為：2五

15.1

【思路】由思路式知/(x)定義域為(。,田),討論0<x4；,x>l,并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究

地單調(diào)性,即可求/(x)最小值.

【詳解】由題設(shè)知:/(x)=|2x-l|-21nx定義域為(0,+8),

12

.?.當(dāng)0<x4；時,/(x)=1-2x-2Inx,此時f(x)單調(diào)遞減。

12

當(dāng)；<x〈l時J(x)=2x-l-21nx,有八x)=2--40,此時/(x)單調(diào)遞減。

2x

2

當(dāng)x>l時J(x)=2x-l-21nx,有Ax)=2—>0,此時/(幻單調(diào)遞增。

x

又/(x)在各分段地界點處連續(xù)，

???綜上有：0<x41時,/(x)單調(diào)遞減,x>I時,/(x)單調(diào)遞增。

,-./(x)>/(l)=l

故結(jié)果為：1.

⑹|

【思路】(1)求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)/(x)在區(qū)間上地單調(diào)性，即可求出函數(shù)/(X)在區(qū)

間g,e上地最小值.

.,2x2+x-2(x+2)(x-l)

【詳解】/'(x)=x+l-一=--------=-----——

XXX

當(dāng)時/'(x)<0,

當(dāng)X€(l,e)時/'(x)>0,

所以/(x)在上遞減，在(舊遞增，

所以函數(shù)y=/(x)在X=1處得到最小值，即/⑴而產(chǎn)/⑴=：.

【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識地運用，考查函數(shù)地單調(diào)性與最值，考查學(xué)生地計算能力，屬于

中檔題.

17.--

2d

【思路】對^=(x+\)e2x求導(dǎo)，討論函數(shù)地單調(diào)性，求函數(shù)地極小值即為最小值.

［詳解］y=62，+2。+1)/，=(2》+3)小\令/=0,則工=_j時，

y<o,>0,；.y=(x+l)e2"在上單調(diào)遞減，在(一,收)上單調(diào)遞增?

3是函數(shù)地唯一極小值點，即為最小值點,，x=-；3,=-51.

故結(jié)果為：-

2e'

【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)地單調(diào)性和最值，屬于基礎(chǔ)題.

13

【思路】利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，即可求解.

【詳解】解：/(司=生二=烏立，

ee

當(dāng)0<x<2時J'(x)>0,原函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)2Vx<3時J'(x)<0,原函數(shù)單調(diào)遞減，

4

所以/(X)3=〃2)=”,

4

故結(jié)果為：4-

e

19.-

e

【思路】求出導(dǎo)函數(shù)，求解極值點，然后判斷函數(shù)地單調(diào)性求解函數(shù)地最大值即可.

【詳解】函數(shù)/(x)=3J'(x)=T^,令/(x)=0,解得x=e.

因為0<e<e2,函數(shù)〃x)在xe(O,e］上單調(diào)遞增，在xe［e,e2］單調(diào)遞減。

x=e時J(x)得到最大值,/,)=：.

故結(jié)果為

e

【點睛】本題考查函數(shù)地導(dǎo)數(shù)地應(yīng)用，熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)地單調(diào)性，極值與最值是

解題地關(guān)鍵.

20.l-ln2

【思路】由題去絕對值分情況討論，分別求導(dǎo)求最值，即可求得最大值.

【詳解】由題知當(dāng)時J(x)=-2x—lnx+2,

...r(x)=_2-l<0

X

??./(x)在［1,+8)為減函數(shù)，

二/(X)max=/(1)=0。

當(dāng)0<xv1時J(x)=-2x+InX+2,

.,r(x)=_2+l=Z?￡±l)

XX

.?.當(dāng)X€(0,1)時J'(x)>o,當(dāng)X€(；,1)時J'(x)<0,

14

???/?max=./■(!)=1-In2,

綜上可知J(x)11m=In2.

故結(jié)果為：l-ln2.

【思路】先分類討論，求解在不同區(qū)間地最值,利用最值得到地款件對參數(shù)陽進(jìn)行討論.

【詳解】當(dāng)％,1時，當(dāng)（力=（*+1。、-2）,

令/'（x）>0,則1112Vx<1或x<-l。/1x）<04!|-l<x<ln2,

；?函數(shù)lx）在（T,ln2）上單調(diào)遞減，在（-co,T）,（ln2,l）單調(diào)遞增，

二函數(shù)曲）在x=-l處得到極大值為4-1）=1-},

在x=ln2出地極小值為/（ln2）=-（ln2）2,/（l）=e-3.

當(dāng)x>1時,/（x）=2x—3”1—x?2——,

綜上所述產(chǎn)地取值范圍為卜1,2-5

故結(jié)果為：1-1,2-；］

2e

22.5720」"37）

2”T

【思路】（1）按對折列舉即可。（2）依據(jù)規(guī)律可得S,,,再依據(jù)錯位相減法得結(jié)果.

【詳解】（1）由對折2次共可以得到5dmxl2dm』0dmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格地圖形，所

以對著三次地結(jié)果有：gxl2,5x6,10x3：20x（共4種不同規(guī)格（單位dm）。

5533

故對折4次可得到如下規(guī)格：V12,5x6,5x3,10x5,20x*共5種不同規(guī)格。

（2）由于每次對著后地圖形地面積都減小為原來地一半,故各次對著后地圖形，不論規(guī)格怎樣,

其面積成公比為:地等比數(shù)列,首項為120（dm）第〃次對折后地圖形面積為120x（；］'，對

于第n此對折后地圖形地規(guī)格形狀種數(shù)，依據(jù)（1）地過程和結(jié)論，猜想為〃+1種（證明從

略），故得猜想S“J2：2+1）,

設(shè)、?.5c=S卒c=1〒20x2+丁120x3+丁120x4+1,+1204（n+^l），

15

nl1120x2120x3120/7120（/7+1）

則；S=F—+y+…+

22'22r

兩式作差得:

-S=240+120（-+-4-+---+-^T|120（?+l）

2{2222'-'J

=24O+60（T）」2O（〃+1）

,12"

1-

2

/八120120（?+1）“八120（M+3）

=360一一y----——^=360-----——L,

2"一］2”2〃

mu「八240（H+3）八15（〃+3）

因此,S=720------L=720——7r.

故結(jié)果為：5。720」5（〃：3）

2，i

【點睛】方式點睛：數(shù)列求和地常用方式:

（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解。

（2）對于｛a?b?｝結(jié)構(gòu)，其中｛%｝是等差數(shù)列,｛或｝是等比數(shù)列，用錯位相減法求和。

（3）對于｛%+”,｝結(jié)構(gòu)，利用分組求和法。

（4）對于1—I結(jié)構(gòu)，其中｛??｝是等差數(shù)列,公差為“dw0），則—=」一］，利用

aa

〔"MmJ?n+l??+.）

裂項相消法求和.

23.8空也

4

【思路】可設(shè)40=01，2,3,…,8）地紙張地長度為口，則數(shù)列｛叫成以當(dāng)為公比地等比數(shù)歹！

設(shè)4地紙張地面積S*,則數(shù)列｛SJ成以3為公比地等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列地通項公式

求出數(shù)列｛S,｝地首項，并利用等比數(shù)列地求和公式求出結(jié)果.

【詳解】可設(shè)=0,1,2,3,…,8）地紙張地長度為的，面積為黑”

兒地長度為的=等明，所以數(shù)歹電“｝是以日為公比地等比數(shù)歹山

16

44紙地寬度為2加，則,N4紙地長度為％=2&dm

_/_2^2

所以⑷紙地長度為2(a)(a)

所以,4紙地面積為邑二冬"爭8~2岳此

所以，數(shù)列｛S“｝是以32a為首項，以g為公比地等比數(shù)歹(

32拉x|1-于

2550

因此，這8張紙地面積之和等于------dm2.

1」4

2

故結(jié)果為：8。誓

【點睛】本題考查數(shù)列應(yīng)用題地解法，考查等比數(shù)列通項公式與求和公式地應(yīng)用，考查運算求

解能力，屬于中等題.

24.220工

〃+1

【思路】首先依據(jù)楊輝三角得到%=Ct,，然后計算q+2+%+…+卬。=220。接著利用裂

111

項相消對一+—+…+—進(jìn)行求和.

%a2an

【詳解】解法一

由題意知見=C：+1,

a1+?2+a3+---+?l0=C^+C^+C^+---+C^=1+3+6+10+15+21+28+36+45+55=220.

11122

——H-+…H；-=----1-------1-…+

c；C'l1x22x3

解法二由題意知%=C；+［，所以6+W+。3+…+%0=C；+C；+

c；+…+C；］=C；+C；+C；+…+C：尸c；+c2??+c：尸c；+

17

C；+…+c：=…=c：°+c；。+c：=g+c：=c：2=

11111122

--1---1---1=-dH---1--;—=----1------F…+

aaa

\2nJC3C〃+]1x22x3

；^1)=2[0-{|+(泊＞-+9-馬卜2(1一去卜念.

故結(jié)果為：220,—

【點睛】本題主要考查組合數(shù)地運算性質(zhì)及數(shù)列裂項求和，屬于中檔題目.

25.G272-1

【思路】依據(jù)勾股定理可得出+1,可得出｛,｝為等差數(shù)列，求出｛%｝地通項公式，可求

得“=-〃+而i,利用裂項相消法可求得數(shù)列｛"｝地前7項和.

【詳解】AO/“4向是以/。44用為直角地直角三角形，由勾股定理可得=。：+1,

所以，數(shù)列｛%｝（〃€N*,14〃48）為等差數(shù)列，且首項為a；=1,公差為d=l,

:.a^=\+（n-\）d=n;:an>0,所以,a“=冊.

貝也=^=帥印=（6+內(nèi)）（6-內(nèi)廠”+冊包

因此，數(shù)歹lj｛d｝地前7項和為凡=（-1+后）+（—血+后）+…+（—近+a）=2立一1.

故結(jié)果為：6。2行-L

【點睛】方式點睛：數(shù)列求和地常用方式：

（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和。

（2）對于｛“/“｝型數(shù)歹I」,其中｛〃“｝是等差數(shù)列,也“｝是等比數(shù)歹山利用錯位相減法求和。

（3）對于｛a?+b,｝型數(shù)列，利用分組求和法。

（4）對于］」一型數(shù)列，其中｛““｝是公差為4（4豐0）地等差數(shù)列，利用裂項相消法求和.

26.n\n3

【思路】依據(jù)等比數(shù)列地定義和表格中數(shù)據(jù)地特點得到卬=2,4=6,%=18。由

0=（-1）%4=（一1）"（卜2-如3）+（-1）"?〃1113,利用分組求和可得結(jié)果.

18

【詳解】當(dāng)q=3時，貝*2=4,或%=14,顯然不合題意。

當(dāng)4=2時，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?6,%=18時，符合題意。

當(dāng)時q=10,。2=4,或%=6,顯然不合題意.

因此q=2,%=6,。3=18。公比g=3,故a“=23i

則”=(-l)，，lna?=(-l)"ln(2-3,,-1)=(-l)n(ln2-ln3)+(-l)"-nln3

則bt+b2+h3+L+b2n

=[-l+l-l+L+(-l)J-(ln2-ln3)+[-l+2-3+L+(-1)叫In3=〃ln3.

故結(jié)果為：a?=2-y-\?ln3.

”◎6

【思路】由題意可得第〃層地貨物地價格為=〃(('

依據(jù)錯位相減法求和即可求出.

【詳解】解：由題意可得第n層地貨物地價格為

設(shè)這堆貨物總價是S“=lD+21(J+3((j+-T

則1+2.Q+30+…+〃]￡|，②,

由①-②可得1=1+({|+圖+(￡|+.?.+({!

=『7iQ)=8-(8+〃)(j，

8

S“=64-8(8+〃)[￡],

?.?這堆貨物總價是64-1聯(lián))‘萬圓，

19

8(8+〃)=112,.，.〃=6,

故結(jié)果為：。6.

【點睛】本題考查了錯位相減法求和，考查了運算能力，以及思路問題和解決問題地能力，屬于

中檔題.

2102-154

28.341-———.

3

【思路】分〃為偶數(shù)和"為奇數(shù)兩種情況，由題中款件，利用疊加法，由等比數(shù)列地求和公式，求

出數(shù)列地通項，即可求出a”再由分組求和地方式，即可求出5100.

【詳解】（1）當(dāng)"為偶數(shù)時，

3-1n3-5353

a?=a?2+2"-'=a?,+2"一+2'"=a?6+2"+2-+2"=.?.=%+2'"'+2'"+2"-+---+2

=2"-'+2"7+2*5+…+23+2=2°一：)=-(一2)。

1-223V7

當(dāng)"為奇數(shù)時,

31-5352

a?=a,+2"-'=an4+2'"'+=an6+2'"'+2"-+2'at+2'-'+2"-+2"-+---+2

1_1

=2"~'+2'-3+2"-5+…+2?+1==-(2"+,-l)

1-223、)

9+l

.-.a9=1(2-1)=341

(2)So。=(%+%+…+%))+(%+4+…+%oo)

=|［（22-1）+（24-1）+-+（2100-1）］+|［（23-2）+（25-2）+-+（210,-2）］

=1（22+23+24+25+---+2l00+2101）+1（-150）=2：；54

,102_iCA

故結(jié)果為：341。Z3

3

【點睛】關(guān)鍵點點睛：

求解本題地關(guān)鍵在于依據(jù)題中款件，討論〃為奇數(shù)和〃為偶數(shù)兩種情況，利用疊加法（累加法）

求出數(shù)列地通項即可。在求數(shù)列地和時，可利用分組求和地方式求解.

29.(1)仿=2,%=5也=3〃-1。(2)300.

【思路】（1）方式一：由題意結(jié)合遞推關(guān)系式確定數(shù)列｛"｝地特征，然后求和其通項公式即可。

20

(2)方式二：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列前〃項和公式即可求得數(shù)列地前20項和.

【詳解】解：(1)|方式一］【最優(yōu)解】：

顯然2M為偶數(shù)，則a2?+l=a2?+2,出,+2=+1,

所以%+2=%,+3,即％=2+3,且4=%=%+1=2,

所以｛2｝是以2為首項,3為公差地等差數(shù)列，

于是4=2也=5,6“=3”-1.

［方式二］:奇偶分類討論

由題意知％=1,。2=2,%=4,所以4=。2=2也=4=。3+1=5.

由。用-%=1(〃為奇數(shù))及4皿-?！?2(〃為偶數(shù))可知，

數(shù)列從第一項起，

若"為奇數(shù),則其后一項減去該項地差為1,

若〃為偶數(shù),則其后一項減去該項地差為2.

所以=3("wN"),則a=4+(〃-l)x3=3〃-l.

［方式三］:累加法

由題意知數(shù)列｛叫滿足q=l,a向=a“+3+5(〃wN*).

所以4=a,=a.+—-+-~—=1+1=2,

'2122

3(-1)33(-1)2一

b2=4=%—2-=〃3+1=。2+5~1—~—F1=6F2+24-1=2+3=5,

aa+

則b“=Ct2n=(2n~~2n-\)(。2“-1一々2〃-2)+…+(02-％%=1+2+1+24--12+1+4

=〃X1+2(〃-1)+1=3/7-1.

所以々=2也=5，數(shù)列也,｝地通項公式4=3〃-1.

(2)［方式一］:奇偶分類討論

S20=a］+a2+a3+---+a20=(a］+ay+a54----^z19)+(a2+a44-a6+---+tz2())

=(by-14-Z>2-1+4-］+…+b、o-1)+4+b2+by+…+a。

=2x(Z)1+Z?l0)xl0-10=300.

2

［方式二卜分組求和

21

a

由題意知數(shù)列｛4｝滿足％=1，a2?=的,1+1，“2”+1=2?+2,

所以。2用=出，+2=出1+3?

所以數(shù)列｛4｝地奇數(shù)項是以1為首項,3為公差地等差數(shù)列。

同理，由々“+2=々向+1=，“+3知數(shù)列｛%｝地偶數(shù)項是以2為首項,3為公差地等差數(shù)列.

從而數(shù)列｛4｝地前20項和為：

$20=(ai+a3+a5H-----H￡ri9)+(fl2+a4+a6'1-----hfl20)

=10x1+^^x3+10x2+^^x3=300.

22

【整體點評】(1)方式一：由題意討論｛",｝地性質(zhì)為最一般地思路和最優(yōu)地解法。

方式二：利用遞推關(guān)系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關(guān)系式確定數(shù)列地性質(zhì)。

方式三：寫出數(shù)列｛對｝地通項公式，然后累加求數(shù)列｛2｝地通項公式，是一種更加靈活地思路.

(2)方式一：由通項公式分奇偶地情況求解前〃項和是一種常規(guī)地方式。

方式二：分組求和是常見地數(shù)列求和地一種方式，結(jié)合等差數(shù)列前〃項和公式和分組地方式

進(jìn)行求和是一種不錯地選擇.

30.(1)。2=2,%=4,%=8,猜想%=2"-'(2)T?=(n-1)2"+1.

【思路】(1)依據(jù)遞推關(guān)系代入即可得解，依據(jù)特征猜想公式。

(2)利用錯位相減法求和.

【詳解】(1)解％=1-1+2=2,%=4-4+4=4嗎=16-16+8=8,

猜想4=2"'

]

(2)由(1)bn=n-2"-

7；,=lx2°+2x2l+3x22+---+rtx2n-1.........①

27；=1x21+2x22+3x2、…+"x2"........②，由①-②得

-7；=l+2l+22+---+2,,-,-nx2n=(1-?)2"-1,

所以7；=(“-1)2"+1

22

【思路】由款件結(jié)合等差數(shù)列定義，證明｛%｝為等差數(shù)歹山依據(jù)等差數(shù)列通項公式求數(shù)列｛??｝

地通項，⑴由⑴可得“=4（1-一1）,利用裂項相消法求其前"項和人

nn+1

【詳解】⑴???點七,%）在直線y=x+g上，

1

1p1

aa

n+l-?=］，又％=于

數(shù)列也J為首項為公差為3地等差數(shù)列,

n

,14“11、

(2)由(1)hn=-—------=4(-------)

anan+\n(n+1)n〃+1

?*-Tn=4（1一＜）+4（:一］）+…+4（工^―）

223n71+1

“I11111、

=4（1H------F…H--------）

223n〃+1

4n

n+1

3-2/?

32.（1）證明見思路。（2）a=----.

n2/7-1

【思路】（1）證明二77一―T7=1（常數(shù)），即得證。

4+1+14+1

（2）由題得」7+化簡即得解.

。"+12

【詳解】解：⑴數(shù)列｛,%1｝滿足4=1,例=一一1-r.

+z

整理得」77一一T7=ST7――T7=1（常數(shù)），

。向+1%+1%+1%+1

所以數(shù)列｛不匕｝是以g為首項,1為公差地等差數(shù)列.

（2）由于數(shù)列｛二不是以;為首項,1為公差地等差數(shù)列.

%十1/

所以即

3-2〃

所以

2〃一1

33.(1)g=5,4=7,4=9。勺=2〃+1。(2)(0=-240,

23

2n2+4〃+3,〃=2左-1（左￡N*）

n

-2n~-4n,n=2k（kGN"）

【思路】（1）分別令〃=2,3,4利用遞推公式以及q=3可得的,生,%,將遞推公式整理可得

鬻=巴『，可得｛備）是常數(shù)列,結(jié)合其首項即可求得｛??｝地通項公式。

（2）利用并項求和結(jié)合等差數(shù)列前〃項和公式可得時一當(dāng)〃為偶數(shù)時，采用并項求和求當(dāng)

〃23且〃為奇數(shù)時,Tn=T,i+%?，再檢驗九寫成分段地形式即可.

【詳解】（1）當(dāng)”=2時,g=^q+；=|x3+g=5,

”，…3+114r1

當(dāng)〃=3時,。3+T=-X5+-=7,

3~333

..4+115rle

當(dāng)〃=4時=——?。3+了=:乂7+：=9,

4444

"c〃+11—rm,〃+1〃+1〃+1/八

當(dāng)"N2時，由=---%_|+—可得知+1=----%T+--------=--------（%T+1）,

nnnnn

所以3=31,所以［J］是常數(shù)列，

〃+1nI〃+1J