概率論與高等數(shù)學的關系

概率論與高等數(shù)學的關系摘要:概率論和高等數(shù)學是數(shù)學領域的兩大分支，高等數(shù)學是基礎，它在概率論的基本定義中起到了非常重要的作用，其積分思想，極限思想在概率論中的概率密度，隨機變量的分布以及大數(shù)定理中得到了充分展現(xiàn)。而概率論是高等數(shù)學進一步的延伸和拓展，運用概率論的解題思路和方法能夠輕松解決高等數(shù)學中的某些難題。關鍵詞：概率論思想積分思想極限思想級數(shù)應用TherelationshipbetweenprobabilitytheoryandhighermathematicsAbstract:theprobabilitytheoryandmathematicsarethetwobranchofmathematics,mathematicsisthefoundation,itisthebasicdefinitionofprobabilitytheorywhichplaysaveryimportantrole,thethoughtofintegral,probabilitydensitylimitthoughtinprobabilitytheory,randomvariablesandlargenumbertheoremhavebeenfullydemonstrated.Whiletheprobabilityofhighermathematicsistoextendandexpandfurther,thethinkingandmethodofprobabilitytheorycaneasilysolvesomeproblemsinhighermathematicsproblems.Keywords:ThethoughtofprobabilitytheoryTheintegralthoughtLimitthoughtSeriesApplication1高等數(shù)學思想在概率論定義中的應用1.1積分思想在概率論定義中的應用下面我們通過積分思想在概率密度中的定義進行說明定義：若對隨機變量X的分布函數(shù)F（x），存在非負函數(shù)f（x），使對于任意實數(shù)x有F（x）=，（1）則稱X為連續(xù)型隨機變量，其中f（x）稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù)(Densityfunction)。由（1）式知道連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)F（x）是連續(xù)函數(shù).即其是通過在函數(shù)上積分得出來的，由分布函數(shù)的性質(zhì)F（∞）=0，F(xiàn)（+∞）=1及F（x）單調(diào)不減，知F（x）是一條位于直線y=0與y=1之間的單調(diào)不減的連續(xù)（但不一定光滑）曲線，且具有以下性質(zhì)：1°f(x)≥0；2°=1；3°P{x1＜X≤x2}=F(x2)F(x1)=(x1≤x2)；4°若f(x)在x點處連續(xù)，則有F′(x)=f(x).由2°知道，介于曲線y=f（x）與y=0之間的面積為1.由3°知道，X落在區(qū)間間（x1，x2］的概率P{x1＜X≤x2}等于區(qū)（x1，x2］上曲線y=f（x）之下的曲邊梯形面積.由4°知道，f（x）的連續(xù)點x處有f(x)=積分思想的應用實例：設隨機變量X具有密度函數(shù)f(x)=（1）確定常數(shù)k；（2）求X的分布函數(shù)F（x）；（3）求P{1<X≤}.解（1）由=1,得=1,解得k=1/6,故X的密度函數(shù)為f(x)=(2)當x<0時，F(xiàn)（x）=P{X≤x}==0;當0≤x<3時，F(xiàn)（x）=P{X≤x}===;當3≤x<4時，F(xiàn)（x）=P{X≤x}===當x≥4時，F(xiàn)（x）=P{X≤x}====1.即F（x）=P{1<X≤7/2}=F（7/2）F(1)=41/48.1.2極限思想在概率論定義中的應用大數(shù)定律中的極限思想：伯努利大數(shù)定律：設是n重伯努利實驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，且A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p（0<p<1）,則，有（5）此定理表明：當n很大時，n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的頻率幾乎等于事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，這個定律以嚴格的數(shù)學形式刻畫了頻率的穩(wěn)定性，因此，在實際應用中，當試驗次數(shù)很大時，便可以用事件發(fā)生的頻率來代替事件的概率。有些隨機事件無規(guī)律可循，但不少卻是有規(guī)律的，這些“有規(guī)律的隨機事件”中在大量重復出現(xiàn)的條件下，往往呈現(xiàn)幾乎必然的統(tǒng)計特性，這個規(guī)律就是大數(shù)定律。也就是說，當N趨于無限大的時候，隨機事件的頻率近似于它的概率。很顯然，這正是極限的思想。2概率論思想在解決高等數(shù)學問題中的應用極限、積分、級數(shù)是高等數(shù)學中的重要內(nèi)容，而這些內(nèi)容也是后續(xù)課程復變函數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等學習的基礎。高等數(shù)學中經(jīng)常會遇到求極限求積分，判斷級數(shù)的斂散性及級數(shù)求和的問題，這些問題同樣可以運用概率論中的知識求解。2.1概率思想在極限中的應用極限是研究高等數(shù)學的基礎，所以也是學習微分、積分的基礎，有關極限的計算尤為重要。在高等數(shù)學中曾探討過許多有關極限的求法，比如定義法，等價無窮小量代換法，泰勒公式法等等用于解決一些比較簡單的極限問題。對于某些特殊的極限問題，可以尋找特殊的解法，用一種全新的思想審視極限問題-把概率方法應用到極限的求法中會有意想不到的效果。在學習過的概率論中，隨機變量是貫穿始終的知識點。隨機變量分為兩種，一種是離散型的隨機變量，它們的分布列有代表的是0-1分布、二項分布、泊松分布、幾何分布，此種分布列具有正則性，即，可以利用它的這種性質(zhì)來解決一些極限問題。例如我們可以利用離散型隨機變量的正則性求極限詳細例子如：設，求解這是一個求數(shù)列極限較復雜的問題，首先把寫成兩個數(shù)列的積。令=，，而現(xiàn)在構造概率模型，設隨機變量X服從=1的泊松分布由離散型隨機變量的概率分布列的正則性即，那么，所以=，==1所以，我們所舉得例子中用到了泊松分布，泊松分布是離散型隨機變量分布中的一個重要分布，利用它的一些性質(zhì)以及中心極限定理來處理一些非常復雜的極限計算問題，可使計算的難度大大減小，提高解題效率。2.2概率思想在級數(shù)中的應用級數(shù)也是高等數(shù)學中的一個難點，數(shù)項級數(shù)的問題一般包含兩個：判斷級數(shù)的斂散性；求收斂級數(shù)的和。如果把概率的思想運用到級數(shù)中，級數(shù)是無窮多項序列的和，那么要用到離散型的隨機變量的特殊分布及一些性質(zhì)。2.2.1利用概率論知識去判斷級數(shù)的斂散性例如：判斷級數(shù)的斂散性.解對于級數(shù)，當時有,故由極限審斂法知，收斂.對于級數(shù),若用純高等數(shù)學中的方法,也很容易判斷它是收斂的，由正項級數(shù)的達朗貝爾判別法知：現(xiàn)在用概率的方法判斷級數(shù)的斂散性，不僅能判斷出它是收斂的，還能計算出它的值。因為級數(shù)是泊松分布和，故可知，因此，，所以顯然級數(shù)是收斂的，故原級數(shù)是收斂的.級數(shù)的求和問題是高等數(shù)學中的一大難點，因為有些級數(shù)序列即使發(fā)現(xiàn)了它的規(guī)律，但是仍找不到正確的方法求和，這使很多學生在做這一類題目中陷入困境。有一種方法即構造概率模型法可以輕松應付這類題。2.2.2構造古典概率模型求級數(shù)的和例如：求無窮級數(shù)的和解創(chuàng)造概率背景：現(xiàn)有一個黑暗的箱子，箱子里放有大小型號完全相同的黑、白、紅三個顏色的小球。有放回地讓一個學生取球兩次。如果兩次取的都是紅球，那么他將獲獎，活動結(jié)束，否則他將受到懲罰。這時，再向箱中加一個白球，再次讓此生有放回地摸球兩次，若都是紅球，則活動結(jié)束，否則受到懲罰，并向箱中再加一白球，如此循環(huán)至無窮，求此生獲獎的概率。這時就把級數(shù)求和題轉(zhuǎn)換成了求概率的應用題。如果該生第一次就獲獎，那么獲獎的概率如果該生第一次沒獲獎，第二次獲了獎，那么他獲獎的概率若該生前兩次連續(xù)受到懲罰，第三次獲獎的概率那么該生獲獎的概率為這恰好是要求的級數(shù)的和。在每次不同的試驗中，該生沒獲獎的概率分別為：，，，，則沒有一次獲獎的概率為：=====因為沒有一次獲獎的概率為，所以獲獎的概率為.所以無窮級數(shù)的和為隨機變量的另一種形式是連續(xù)型的，代表性分布有正態(tài)分布、指數(shù)分布、均勻分布。連續(xù)型隨機變量密度函數(shù)的正則性，期望公式，及方差公式。觀察上式三個公式都含有積分號，這就把概率的知識與積分巧妙聯(lián)系在一起。2.3概率思想在積分中的應用由概率論中的連續(xù)性隨機變量的密度函數(shù)的正則性即，隨機變量的數(shù)字特征，期望和方差都與積分有著密切的聯(lián)系，二者相互補充，相互滲透。因此可以借助于隨機變量的這些特點求某些積分的計算。我們將通過討論如何利用連續(xù)型隨機變量的正則性求積分來說明例如：求積分的值解從此積分形式上看出,接近指數(shù)函數(shù)，可以把它的形式轉(zhuǎn)化成,再利用正則性去處理.設X是隨機變量，且服從參數(shù)為2的指數(shù)分布。那么由正則性知=，所以=.此題中的定積分也可以用簡單的換元法得出結(jié)果,所以顯示不出利用概率方法的優(yōu)越性。但還有一些定積分形式非常復雜,用純高等數(shù)學的方法就不能得心應手,這時可以考慮用某個分布的期望與方差來解決，經(jīng)常用到的是正態(tài)分布。3總結(jié)概率論和高等數(shù)學是數(shù)學的兩個分支，它們之間有本質(zhì)的區(qū)別也有密切的聯(lián)系。在學習概率論時，高等數(shù)學是基礎。概率論學完后又反過來補充高等數(shù)學。本文給出了概率思想在解決極限、積分和級數(shù)中的應用,可以看出概率論的知識點與高等數(shù)學的知識點融合在一起,的確能為計算帶來簡潔。概率思想在解決極限、積分、級數(shù)問題時，總是利用這些問題構造概率模型，使問題落在某一個分布或某一事件上，再利用這些分布的性質(zhì)或事件的屬性完成對問題的解決。在學習中應多挖掘它們內(nèi)在的聯(lián)系，體會數(shù)學的博大精深。4[參考文獻][1]峁詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京:高等教育出版社,2004年7月.1-459.[1]Maopoemsong,ChengMing,PuXiaoLong.Probabilitytheoryandmathematicalstatistics[M].Beijing:HigherEducationPress,2004July.1-459.[2]同濟大學應用數(shù)學系.高等數(shù)學[M].北京:高等教育出版社,2001年10月.1-354.[2]oftheTongjiUniversityDepartmentofAppliedMathematics.Mathematics[M].Beijing:HigherEducationPress,2001October.1-354.[3]熊丹.例談概率論在積分計算中的其巧妙應用[J].科技信息,2007年第9期:142-142.[3]XiongDanonprobabilitytheoryinthecalculationoftheingeniousapplicationof[J].scienceandtechnologyinformation,2007ninthperiod:142-142.[4]卓澤強，魏文玲，李小龍。概率思想在高等數(shù)學計算中的應用研究[J].科技資[4]ZhuoZeqiang,WeiWenling,BruceLee.TheideaofprobabilitycalculationofHigherMathematicsintheapplicationresearchof[J].technology.訊,2010年第20期:196-197.News,201