中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)專項(xiàng)突破訓(xùn)練專題04 方程與不等式(教師版)

專題04方程與不等式【中考考向?qū)Ш健磕夸汿OC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一實(shí)際問題與一元一次方程】 1【考向二解二元一方程組】 5【考向三實(shí)際問題與二元一次方程組】 9【考向四解一元二次方程】 16【考向五一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】 19【考向六實(shí)際問題與一元二次方程】 24【考向七解分式方程】 31【考向八實(shí)際問題與分式方程】 36【考向九解不等式(組)】 41【考向十實(shí)際問題與不等式(組)】 49【直擊中考】【考向一實(shí)際問題與一元一次方程】例題：（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，問清、醑酒各幾何？”意思是：現(xiàn)在一斗清酒價(jià)值10斗谷子，一斗醑酒價(jià)值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問清、醑酒各幾斗？如果設(shè)清酒斗，那么可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意直接列方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程是解答的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·貴州六盤水·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)“DF－41型”導(dǎo)彈俗稱“東風(fēng)快遞”，速度可達(dá)到26馬赫（1馬赫＝340米/秒），則“DF－41型”導(dǎo)彈飛行多少分鐘能打擊到12000公里處的目標(biāo)？設(shè)飛行分鐘能打擊到目標(biāo)，可以得到方程（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合單位的換算，根據(jù)路程=速度時(shí)間建立方程即可得．【詳解】解：因?yàn)?分鐘秒，1公里米，所以可列方程為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了列一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．2．（2022·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》一書是中國(guó)較早的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載一道問題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”題意是：快馬每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問快馬幾天可以追上慢馬？若設(shè)快馬x天可以追上慢馬，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)快馬x天可以追上慢馬，根據(jù)路程=速度×?xí)r間，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．【詳解】解：設(shè)快馬x天可以追上慢馬，依題意，得：240x-150x=150×12．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2022·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不盡，又三家共一鹿，適盡，問：城中家?guī)缀?？大意為：今?00頭鹿進(jìn)城，每家取一頭鹿，沒有取完，剩下的鹿每3家共取一頭，恰好取完，問：城中有多少戶人家？在這個(gè)問題中，城中人家的戶數(shù)為（

）A．25 B．75 C．81 D．90【答案】B【分析】設(shè)城中有戶人家，利用鹿的數(shù)量城中人均戶數(shù)城中人均戶數(shù)，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)城中有戶人家，依題意得：，解得：，∴城中有75戶人家．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．4．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．問人數(shù)、羊價(jià)各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，多余3錢。問人數(shù)、羊價(jià)各是多少？若設(shè)人數(shù)為x，則可列方程為___________．【答案】5x+45=7x-3【分析】根據(jù)“若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，多余3錢”，即可得出關(guān)于x的方程，此題得解．【詳解】解：依題意，得：5x+45=7x-3．故答案為：5x+45=7x-3．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．5．（2022·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）近年來，洞庭湖區(qū)環(huán)境保護(hù)效果顯著，南遷的候鳥種群越來越多．為了解南遷到該區(qū)域某濕地的A種候鳥的情況，從中捕捉40只，戴上識(shí)別卡并放回；經(jīng)過一段時(shí)間后觀察發(fā)現(xiàn)，200只A種候鳥中有10只佩有識(shí)別卡，由此估計(jì)該濕地約有_____只A種候鳥．【答案】800【分析】在樣本中“200只A種候鳥中有10只佩有識(shí)別卡”，即可求得有識(shí)別卡的所占比例，而這一比例也適用于整體，據(jù)此即可解答．【詳解】解：設(shè)該濕地約有x只A種候鳥，則200：10＝x：40，解得x＝800．故答案為：800．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是通過樣本去估計(jì)總體，只需將樣本“成比例地放大”為總體即可．6．（2022·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)古代著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)問題：“今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足．”其大意是：“今有人合伙買豬，每人出100錢，則會(huì)多出100錢；每人出90錢，恰好合適．”若設(shè)共有x人，根據(jù)題意，可列方程為____________．【答案】【分析】根據(jù)“每人出100錢，則會(huì)多出100錢”用x表示出買豬需要的錢；根據(jù)“每人出90錢，恰好合適”用x表示出買豬需要的錢；二者相等，即可列方程.【詳解】依題意：.故答案為：100x-100=90x.【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程得實(shí)際應(yīng)用，找到等量關(guān)系是本題解題關(guān)鍵.7．（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中記載：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意為：今有若干人住店，若每間住7人，則余下7人無房可??；若每間住9人，則余下一間無人住，設(shè)店中共有x間房，可求得x的值為________．【答案】8【分析】設(shè)店中共有x間房，根據(jù)“今有若干人住店，若每間住7人，則余下7人無房可??；若每間住9人，則余下一間無人住”可列一元一次方程，求解即可．【詳解】設(shè)店中共有x間房，由題意得，，解得，所以，店中共有8間房，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．（2022·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）某造紙廠為節(jié)約木材，實(shí)現(xiàn)企業(yè)綠色低碳發(fā)展，通過技術(shù)改造升級(jí)，使再生紙項(xiàng)目的生產(chǎn)規(guī)模不斷擴(kuò)大．該廠3，4月份共生產(chǎn)再生紙800噸，其中4月份再生紙產(chǎn)量是3月份的2倍少100噸．(1)求4月份再生紙的產(chǎn)量；(2)若4月份每噸再生紙的利潤(rùn)為1000元，5月份再生紙產(chǎn)量比上月增加．5月份每噸再生紙的利潤(rùn)比上月增加，則5月份再生紙項(xiàng)目月利潤(rùn)達(dá)到66萬(wàn)元．求的值；(3)若4月份每噸再生紙的利潤(rùn)為1200元，4至6月每噸再生紙利潤(rùn)的月平均增長(zhǎng)率與6月份再生紙產(chǎn)量比上月增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)相同，6月份再生紙項(xiàng)目月利潤(rùn)比上月增加了．求6月份每噸再生紙的利潤(rùn)是多少元？【答案】(1)4月份再生紙的產(chǎn)量為500噸(2)的值20(3)6月份每噸再生紙的利潤(rùn)是1500元【分析】（1）設(shè)3月份再生紙產(chǎn)量為噸，則4月份的再生紙產(chǎn)量為噸，然后根據(jù)該廠3，4月份共生產(chǎn)再生紙800噸，列出方程求解即可；（2）根據(jù)總利潤(rùn)=每一噸再生紙的利潤(rùn)×數(shù)量列出方程求解即可；（3）設(shè)4至6月每噸再生紙利潤(rùn)的月平均增長(zhǎng)率為，5月份再生紙的產(chǎn)量為噸，根據(jù)總利潤(rùn)=每一噸再生紙的利潤(rùn)×數(shù)量列出方程求解即可；【詳解】（1）解：設(shè)3月份再生紙產(chǎn)量為噸，則4月份的再生紙產(chǎn)量為噸，由題意得：，解得：，∴，答：4月份再生紙的產(chǎn)量為500噸；（2）解：由題意得：，解得：或（不合題意，舍去）∴，∴的值20；（3）解：設(shè)4至6月每噸再生紙利潤(rùn)的月平均增長(zhǎng)率為，5月份再生紙的產(chǎn)量為噸，∴答：6月份每噸再生紙的利潤(rùn)是1500元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題意，列出方程求解是解題的關(guān)鍵．【考向二解二元一方程組】例題：（2022·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）解方程組：．【答案】【分析】用加減消元法解方程組即可．【詳解】解：①+②得：3x＝9，∴x＝3，將x＝3代入②得：6+y＝7，∴y＝1．∴原方程組的解為：．【點(diǎn)睛】本題考查解方程組，解二元一次方程組的常用方法：代入消元法和加減消元法，選擇合適的方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于，的方程組的解中與的和不小于5，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由兩式相減，得到，再根據(jù)x與y的和不小于5列出不等式即可求解．【詳解】解：把兩個(gè)方程相減，可得，根據(jù)題意得：，解得：．所以的取值范圍是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組、不等式，將兩式相減得到x與y的和是解題的關(guān)鍵．2．（2022·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）二元一次方程組的解是______．【答案】##【分析】利用代入消元法進(jìn)行求解方程組的解即可．【詳解】解：把②代入①得：，解得：，把代入②得：；∴原方程組的解為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的解法，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東濰坊·中考真題）方程組的解為___________．【答案】【分析】用①×2+②×3，可消去未知數(shù)y，求出未知數(shù)x，再把x的值代入②求出y即可．【詳解】解：，①×2+②×3，得13x=26，解得：x=2，把x=2代入②，得6-2y=0，解得y=3，故方程組的解為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解法，解二元一次方程組的基本思路是消元，把二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程是解題的關(guān)鍵．4．（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）二元一次方程組的解為________．【答案】【分析】方程組利用加減消元法求出解即可．【詳解】解：．①+②×2得：7x=14，解得：x=2，把x=2代入②得：2×2-y=1解得：y=3，所以，方程組的解為，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．5．（2022·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）已知二元一次方程組，則的值為______．【答案】1【分析】直接由②-①即可得出答案．【詳解】原方程組為，由②-①得．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的特殊解法，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)觀察，并用整體法求解．6．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）若，則的值是________．【答案】9【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)之和為0，每一項(xiàng)都為0，分別算出x，y的值，即可【詳解】∵∴解得：故答案為：9【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)之和為零，解二元一次方程組；根據(jù)非負(fù)數(shù)之和為零，每一項(xiàng)都為0，算出x，y的值是解題關(guān)鍵7．（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）解方程組：【答案】【分析】整理方程組得，繼而根據(jù)加減消元法解二元一次方程組即可求解．【詳解】解：整理方程組得，

得，y=1，

把y=1代入①得，解得x=5，

∴方程組的解為.【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．8．（2022·廣西桂林·統(tǒng)考中考真題）解二元一次方程組：．【答案】【分析】利用加減消元法可解答．【詳解】解：①+②得：2x＝4，∴x＝2，把x＝2代入①得：2﹣y＝1，∴y＝1，∴原方程組的解為：．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解法，熟練掌握加減消元法解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．9．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算求解：(1)計(jì)算(2)解方程組【答案】(1)5(2)【分析】（1）先去絕對(duì)值，算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，將特殊角三角函數(shù)值代入，再計(jì)算即可；（2）直接解二元一次方程組即可．(1)原式＝2+35；(2)整理方程組得：，由①得：y＝5-4x③，將③代入②得：-5x＝5，解得：x＝-1，將x＝-1代入③得：y＝9，則方程組得解為：．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)運(yùn)算和解二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是掌握各知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)算法則．【考向三實(shí)際問題與二元一次方程組】例題：（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）某商店決定購(gòu)進(jìn)A、B兩種北京冬奧會(huì)紀(jì)念品．若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品10件，B種紀(jì)念品5件，需要1000元；若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品3件，需要550元．(1)求購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品的單價(jià)；(2)若該商店決定拿出1萬(wàn)元全部用來購(gòu)進(jìn)這兩種紀(jì)念品，考慮市場(chǎng)需求，要求購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量不少于B種紀(jì)念品數(shù)量的6倍，且購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品數(shù)量不少于20件，那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案？(3)若銷售每件A種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)20元，每件B種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)30元，在第（2）問的各種進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤(rùn)．【答案】(1)購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品的單價(jià)分別為50元、100元(2)共有6種進(jìn)貨方案(3)當(dāng)購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品160件B種紀(jì)念品20件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是3800元【分析】（1）根據(jù)題意列出二元一次方程組進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題意列出一元一次不等式組進(jìn)行求解即可；（3）設(shè)總利潤(rùn)為W元，求出W和x之間的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）設(shè)A種紀(jì)念品單價(jià)為a元，B種紀(jì)念品單價(jià)為b元根據(jù)題意，得

解得∴購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品的單價(jià)分別為50元、100元.（2）設(shè)該商店購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品x個(gè)，購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品y個(gè)根據(jù)題意，得變形得由題意得：由①得：由②得：∴∵x，y均為正整數(shù)∴x可取的正整數(shù)值是150，152，154，156，158，160與x相對(duì)應(yīng)的y可取的正整數(shù)值是25，24，23，22，21，20∴共有6種進(jìn)貨方案.（3）設(shè)總利潤(rùn)為W元?jiǎng)t∵∴W隨x的增大而增大∴當(dāng)時(shí)，W有最大值：（元）∴當(dāng)購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品160件，B種紀(jì)念品20件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是3800元．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組、一元一次不等式組和一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)題意正確的列出二元一次方程組，一元一次不等式組，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）《孫子算經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長(zhǎng)幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長(zhǎng)，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問木頭長(zhǎng)多少尺？可設(shè)木頭長(zhǎng)為x尺，繩子長(zhǎng)為y尺，則所列方程組正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】設(shè)木頭長(zhǎng)為x尺，繩子長(zhǎng)為y尺，根據(jù)“用一根繩子去量一根木頭的長(zhǎng)，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量木頭，則木頭還剩余1尺”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【詳解】解：設(shè)木頭長(zhǎng)為x尺，繩子長(zhǎng)為y尺，由題意可得．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．2．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）張三經(jīng)營(yíng)了一家草場(chǎng)，草場(chǎng)里面種植上等草和下等草．他賣五捆上等草的根數(shù)減去11根，就等于七捆下等草的根數(shù)；賣七捆上等草的根數(shù)減去25根，就等于五捆下等草的根數(shù)．設(shè)上等草一捆為根，下等草一捆為根，則下列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)上等草一捆為根，下等草一捆為根，根據(jù)“賣五捆上等草的根數(shù)減去11根，就等于七捆下等草的根數(shù)；賣七捆上等草的根數(shù)減去25根，就等于五捆下等草的根數(shù)．”列出方程組，即可求解．【詳解】解：設(shè)上等草一捆為根，下等草一捆為根，根據(jù)題意得：．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2022·遼寧撫順·統(tǒng)考中考真題）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長(zhǎng)幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺，木長(zhǎng)多少尺？若設(shè)繩子長(zhǎng)x尺，木長(zhǎng)y尺，所列方程組正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題的等量關(guān)系是：繩長(zhǎng)-木長(zhǎng)=4.5，木長(zhǎng)-繩長(zhǎng)=1，據(jù)此可以列方程求解；【詳解】設(shè)繩子長(zhǎng)x尺，木長(zhǎng)y尺，依題意可得：，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查二元一次方程組問題，關(guān)鍵是弄清題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列方程求解4．（2022·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）“方程”二字最早見于我國(guó)《九章算術(shù)》這部經(jīng)典著作中，該書的第八章名為“方程”如：從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程中未知數(shù)，的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)，即可表示方程，則表示的方程是_______．【答案】【分析】根據(jù)橫著的算籌為10，豎放的算籌為1，依次表示的系數(shù)與等式后面的數(shù)字，即可求解．【詳解】解：表示的方程是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了列二元一次方程組，理解題意是解題的關(guān)鍵．5．（2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》是人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”，其書中卷八方程[七]中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩．牛二、羊五，直金八兩．牛、羊各直金幾何？”題目大意是：“5頭牛、2只羊共值金10兩．2頭牛、5只羊共值金8兩，每頭牛、每只羊各值金多少兩？”根據(jù)題意，可求得1頭牛和1只羊共值金_____兩．【答案】【分析】根據(jù)已知條件，設(shè)每頭牛x兩，每只羊y兩，建立二元一次方程組求解可得．【詳解】解：設(shè)每頭牛x兩，每只羊y兩，根據(jù)題意，可得，，1頭牛和1只羊共值金兩，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用．恰當(dāng)利用已知條件找出等式關(guān)系，列出二元一次方程組是解本題的關(guān)鍵．6．（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問題，其譯文為：有大小兩種盛酒的桶，已知5個(gè)大桶加上1個(gè)小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一種容量單位），1個(gè)大桶加上5個(gè)小桶可以盛酒2斛．1個(gè)大桶、1個(gè)小桶分別可以盛酒多少斛？設(shè)1個(gè)大桶可以盛酒斛、1個(gè)小桶可以盛酒斛．根據(jù)題意，可列方程組為__________．【答案】【分析】根據(jù)題中兩個(gè)等量關(guān)系：5個(gè)大桶加上1個(gè)小桶可以盛酒3斛；1個(gè)大桶加上5個(gè)小桶可以盛酒2斛，列出方程組即可．【詳解】由題意得：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了列二元一次方程組解實(shí)際問題，理解題意、找到等量關(guān)系并列出方程組是解題的關(guān)鍵．7．（2022·遼寧朝陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）某中學(xué)要為體育社團(tuán)購(gòu)買一些籃球和排球，若購(gòu)買3個(gè)籃球和2個(gè)排球，共需560元；若購(gòu)買2個(gè)籃球和4個(gè)排球，共需640元．(1)求每個(gè)籃球和每個(gè)排球的價(jià)格分別是多少元；(2)該中學(xué)決定購(gòu)買籃球和排球共10個(gè)，總費(fèi)用不超過1100元，那么最多可以購(gòu)買多少個(gè)籃球？【答案】(1)每個(gè)籃球的價(jià)格是120元，每個(gè)排球的價(jià)格是100元(2)5【分析】（1）設(shè)每個(gè)籃球的價(jià)格是x元，每個(gè)排球的價(jià)格是y元，根據(jù)“購(gòu)買3個(gè)籃球和2個(gè)排球，共需560元；若購(gòu)買2個(gè)籃球和4個(gè)排球，共需640元．”列出方程組，即可求解；（2）設(shè)購(gòu)買m個(gè)籃球，則購(gòu)買排球（10-m）根據(jù)“總費(fèi)用不超過1100元，”列出不等式，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)每個(gè)籃球的價(jià)格是x元，每個(gè)排球的價(jià)格是y元，根據(jù)題意得：，解得：，答：每個(gè)籃球的價(jià)格是120元，每個(gè)排球的價(jià)格是100元；（2）解：設(shè)購(gòu)買m個(gè)籃球，則購(gòu)買排球（10-m）根據(jù)題意得：120m+100（10-m）≤1100，解得m≤5，答：最多可以購(gòu)買5個(gè)籃球．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀憧題意，列出方程組和不等式．8．（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）某公司引入一條新生產(chǎn)線生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，其中A產(chǎn)品每件成本為元，銷售價(jià)格為元，B產(chǎn)品每件成本為元，銷售價(jià)格為元，A，B兩種產(chǎn)品均能在生產(chǎn)當(dāng)月全部售出．(1)第一個(gè)月該公司生產(chǎn)的A，B兩種產(chǎn)品的總成本為元，銷售總利潤(rùn)為元，求這個(gè)月生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品各多少件？(2)下個(gè)月該公司計(jì)劃生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品共件，且使總利潤(rùn)不低于元，則B產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件？【答案】(1)這個(gè)月生產(chǎn)產(chǎn)品件，產(chǎn)品件(2)140件【分析】（1）設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品件，產(chǎn)品件，根據(jù)題意列出方程組，求出即可；（2）設(shè)產(chǎn)品生產(chǎn)件，則產(chǎn)品生產(chǎn)件，根據(jù)題意列出不等式組，求出即可．【詳解】（1）解：設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品件，產(chǎn)品件，根據(jù)題意，得解得，∴這個(gè)月生產(chǎn)產(chǎn)品件，產(chǎn)品件，答：這個(gè)月生產(chǎn)產(chǎn)品件，產(chǎn)品件；（2）解：設(shè)產(chǎn)品生產(chǎn)件，則產(chǎn)品生產(chǎn)件，根據(jù)題意，得，解這個(gè)不等式，得．∴產(chǎn)品至少生產(chǎn)件，答：產(chǎn)品至少生產(chǎn)件．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，能根據(jù)題意列出方程組和不等式是解此題的關(guān)鍵．9．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗，市場(chǎng)上豬肉粽進(jìn)價(jià)比豆沙粽進(jìn)價(jià)每盒貴10元，一盒豬肉粽加兩盒豆沙粽進(jìn)價(jià)為100元．(1)求每盒豬肉粽和豆沙粽的進(jìn)價(jià)；(2)在銷售中，某商家發(fā)現(xiàn)當(dāng)每盒豬肉粽售價(jià)為50元時(shí)，每天可售出100盒，若每盒售價(jià)提高1元，則每天少售出2盒．設(shè)每盒豬肉粽售價(jià)為元，銷售豬肉粽的利潤(rùn)為元，求該商家每天銷售豬肉粽獲得的最大利潤(rùn)．【答案】(1)每盒豬肉粽的進(jìn)價(jià)為40元，每盒豆沙粽進(jìn)價(jià)為30元(2)1800元【分析】（1）設(shè)每盒豬肉粽的進(jìn)價(jià)為元，每盒豆沙粽的進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)豬肉粽進(jìn)價(jià)比豆沙粽進(jìn)價(jià)每盒貴10元，一盒豬肉粽加兩盒豆沙粽進(jìn)價(jià)為100元列出方程組，解出即可．（2）根據(jù)當(dāng)時(shí)，每天可售出100盒，每盒豬肉粽售價(jià)為a元時(shí)，每天可售出豬肉粽盒，列出二次函數(shù)關(guān)系式，再化成頂點(diǎn)式即可得解．（1）設(shè)每盒豬肉粽的進(jìn)價(jià)為元，每盒豆沙粽的進(jìn)價(jià)為元，由題意得：解得：每盒豬肉粽的進(jìn)價(jià)為40元，每盒豆沙粽進(jìn)價(jià)為30元．（2）．當(dāng)時(shí)，w最大值為1800元．∴該商家每天銷售豬肉粽獲得的最大利潤(rùn)為1800元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用以及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解此題的關(guān)鍵．10．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）為增加校園綠化面積，某校計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種樹苗．已知購(gòu)買20棵甲種樹苗和16棵乙種樹苗共花費(fèi)1280元，購(gòu)買1棵甲種樹苗比1棵乙種樹苗多花費(fèi)10元．(1)求甲、乙兩種樹苗每棵的價(jià)格分別是多少元？(2)若購(gòu)買甲、乙兩種樹苗共100棵，且購(gòu)買乙種樹苗的數(shù)量不超過甲種樹苗的3倍，則購(gòu)買甲、乙兩種樹苗各多少棵時(shí)花費(fèi)最少？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)甲種樹苗每棵40元，乙種樹苗每棵30元(2)當(dāng)購(gòu)買甲種樹苗25棵，乙種樹苗75棵時(shí)，花費(fèi)最少，理由見解析【分析】（1）設(shè)每棵甲種樹苗的價(jià)格為x元，每棵乙種樹苗的價(jià)格y元，由“購(gòu)買20棵甲種樹苗和16棵乙種樹苗共花費(fèi)1280元，購(gòu)買1棵甲種樹苗比1棵乙種樹苗多花費(fèi)10元”列出方程組，求解即可；（2）設(shè)購(gòu)買甲種樹苗棵，則購(gòu)買乙種樹苗棵，購(gòu)買兩種樹苗總費(fèi)用為元得出一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）設(shè)甲種樹苗每棵元，乙種樹苗每棵元．由題意得，，解得，答：甲種樹苗每棵40元，乙種樹苗每棵30元．（2）設(shè)購(gòu)買甲種樹苗棵，則購(gòu)買乙種樹苗棵，購(gòu)買兩種樹苗總費(fèi)用為元，由題意得，，由題意得，解得，因?yàn)殡S的增大而增大，所以當(dāng)時(shí)取得最小值．答：當(dāng)購(gòu)買甲種樹苗25棵，乙種樹苗75棵時(shí)，花費(fèi)最少．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，找到正確的數(shù)量關(guān)系是本題的關(guān)鍵．11．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購(gòu)進(jìn)、兩種品牌的粽子，兩次進(jìn)貨時(shí)，兩種品牌粽子的進(jìn)價(jià)不變．第一次購(gòu)進(jìn)品牌粽子100袋和品牌粽子150袋，總費(fèi)用為7000元；第二次購(gòu)進(jìn)品牌粽子180袋和品牌粽子120袋，總費(fèi)用為8100元．(1)求、兩種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)各是多少元；(2)當(dāng)品牌粽子銷售價(jià)為每袋54元時(shí)，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對(duì)品牌粽子進(jìn)行降價(jià)銷售．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，若每袋的銷售價(jià)每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋．當(dāng)品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低多少元時(shí)，每天售出品牌粽子所獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】(1)種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是25元，種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是30元(2)當(dāng)品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低10元時(shí)，每天售出品牌粽子所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是980元【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)量關(guān)系列二元一次方程組，即可求解；（2）設(shè)品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低元，利潤(rùn)為元，列出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，求出函數(shù)的最值即可．【詳解】（1）解：設(shè)種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是元，種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是元，根據(jù)題意得，，解得，故種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是25元，種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是30元；（2）解：設(shè)品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低元，利潤(rùn)為元，根據(jù)題意得，，∵，∴當(dāng)品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低10元時(shí)，每天售出品牌粽子所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是980元．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)和二元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)已知數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)解析式和二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【考向四解一元二次方程】例題：（2022·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）解方程：x2－2x－3＝0【答案】【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．【詳解】解：，，或，或，故方程的解為．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、換元法等）是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）一元二次方程的解是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用配方法解方程即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，解得，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．2．（2022·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）方程的根是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】先把方程的左邊分解因式化為從而可得答案．【詳解】解：，或解得：故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本題的關(guān)鍵．3．（2022·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一個(gè)根，則此方程的另一個(gè)根是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．【詳解】設(shè)x2+x+m＝0另一個(gè)根是α，∴﹣1+α＝﹣1，∴α＝0，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型．4．（2022·云南·中考真題）方程2x2+1=3x的解為________．【答案】【分析】先移項(xiàng)，再利用因式分解法解答，即可求解．【詳解】解：移項(xiàng)得：，∴，∴或，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法，并靈活選用合適的方法解答是解題的關(guān)鍵．5．（2022·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）一元二次方程的根是_________．【答案】，【分析】由兩式相乘等于0，則這兩個(gè)式子均有可能為0即可求解．【詳解】解：由題意可知：或，∴或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法，屬于基礎(chǔ)題，計(jì)算細(xì)心即可．6．（2022·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）一元二次方程配方為，則k的值是______．【答案】１【分析】將原方程變形成與相同的形式，即可求解．【詳解】解：∴故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解題步驟是解本題的關(guān)鍵．7．（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）解方程：【答案】，【分析】直接開方可得或，然后計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵∴或解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程．解題的關(guān)鍵在于靈活選取適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋究枷蛭逡辉畏匠谈c系數(shù)的關(guān)系】例題：（2022·四川眉山·中考真題）設(shè)，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為________．【答案】10【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系，得到，，然后根據(jù)完全平方公式變形求值，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，∵，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∴；故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式變形求值，解題的關(guān)鍵是掌握得到，．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，則的值可以是（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】根據(jù)根的判別式列出不等式求出k的范圍即可求出答案．【詳解】解：∵一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，∴，∴，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．2．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根，列不等式求解即可．【詳解】解析：關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，，解得，故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的個(gè)數(shù)與判別式之間的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．3．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）對(duì)于實(shí)數(shù)，定義新運(yùn)算：，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍（

）A． B． C．且 D．且【答案】A【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算法則列方程，然后根據(jù)一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判別式列不等式組求解．【詳解】解：∵，∴，即，∵關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題屬于新定義題目，考查一元二次方程的根的判別式，熟練掌握根的判別式當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0方程沒有實(shí)數(shù)根．4．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值是（

）A．4045 B．4044 C．2022 D．1【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的解，以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】解：解：∵，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，故選A【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的定義，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程的兩根分別記為，，若，則的值為（

）A．7 B． C．6 D．【答案】B【分析】根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求出=3，a=3，再求代數(shù)式的值即．【詳解】解：∵一元二次方程的兩根分別記為，，∴+=2，∵，∴=3，∴·=-a=-3，∴a=3，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，代數(shù)式的值，掌握一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，代數(shù)式的值是解題關(guān)鍵．6．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）若一元二次方程x2＋x－c＝0沒有實(shí)數(shù)根，則c的取值范圍是________．【答案】##【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行判斷即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程x2＋x－c＝0沒有實(shí)數(shù)根，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對(duì)應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．7．（2022·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+m＝0沒有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是______．【答案】【分析】由一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根可得再解不等式即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+m＝0沒有實(shí)數(shù)根，∴解得：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，掌握“一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，則”是解本題的關(guān)鍵．8．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）已知一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為________________．【答案】9【分析】根據(jù)根的判別式的意義得到△，然后解關(guān)于的方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得△，解得．故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的根與△有如下關(guān)系：當(dāng)△時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．9．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）、是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則的值為________．【答案】【分析】，然后根據(jù)方程的解的定義以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到關(guān)于k的一元一次方程，即可解得答案．【詳解】解：∵是方程的根∴，∴∴k=-4故答案是-4．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解以及根與系數(shù)的關(guān)系，掌握相關(guān)知識(shí)并熟練使用，同時(shí)注意解題中需注意的問題是本題的解題關(guān)鍵．10．（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，且，則m=__________．【答案】##-0.125【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=變形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得x1+x2=-2m，x1x2=，∵x12+x22=，∴（x1+x2）2-2x1x2=，∴4m2-m=，∴m1=-，m2=，∵Δ=16m2-8m＞0，∴m＞或m＜0時(shí)，∴m=不合題意，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，，．11．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，且＝x12+2x2﹣1，則k的值為_____．【答案】2【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及解的定義得到x1+x2＝2，x1?x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根據(jù)＝x12+2x2﹣1，推出＝4﹣k，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，∴x1+x2＝2，x1?x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，∴x12＝2x1﹣k+1，∵＝x12+2x2﹣1，∴＝2（x1+x2）﹣k，∴＝4﹣k，解得k＝2或k＝5，當(dāng)k＝2時(shí)，關(guān)于x的方程為x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合題意；當(dāng)k＝5時(shí)，關(guān)于x的方程為x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程無實(shí)數(shù)解，不符合題意；∴k＝2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程解的定義，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【考向六實(shí)際問題與一元二次方程】例題：（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在長(zhǎng)為50m，寬為38m的矩形地面內(nèi)的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應(yīng)為多少？【答案】4m【分析】根據(jù)題意設(shè)道路的寬應(yīng)為x米，則種草坪部分的長(zhǎng)為(50?2x)m，寬為(38?2x)m，再根據(jù)題目中的等量關(guān)系建立方程即可得解．【詳解】解：設(shè)道路的寬應(yīng)為x米，由題意得(50-2x)×(38-2x)=1260解得：x1=4，x2=40(不符合題意，舍去)答：道路的寬應(yīng)為4m．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題目中的等量關(guān)系建立方程．【變式訓(xùn)練】1．（2022·寧夏·中考真題）受國(guó)際油價(jià)影響，今年我國(guó)汽油價(jià)格總體呈上升趨勢(shì)．某地號(hào)汽油價(jià)格三月底是元/升，五月底是元/升．設(shè)該地號(hào)汽油價(jià)格這兩個(gè)月平均每月的增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意列出方程，正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)該地號(hào)汽油價(jià)格這兩個(gè)月平均每月的增長(zhǎng)率為，根據(jù)三月底和五月底92號(hào)汽油價(jià)格，得出關(guān)于x的一元二次方程即可．【詳解】解：依題意，得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程解決實(shí)際問題的知識(shí)，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，正確列出一元二次方程式解題關(guān)鍵．2．（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）2022年北京冬奧會(huì)女子冰壺比賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場(chǎng)，共有多少支隊(duì)伍參加比賽？（

）A．8 B．10 C．7 D．9【答案】B【分析】設(shè)有x支隊(duì)伍，根據(jù)題意，得，解方程即可．【詳解】設(shè)有x支隊(duì)伍，根據(jù)題意，得，解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．3．（2022·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，用一根長(zhǎng)60厘米的鐵絲制作一個(gè)“日”字型框架ABCD，鐵絲恰好全部用完．(1)若所圍成矩形框架ABCD的面積為144平方厘米，則AB的長(zhǎng)為多少厘米？(2)矩形框架ABCD面積最大值為______平方厘米．【答案】(1)AB的長(zhǎng)為8厘米或12厘米．(2)150【分析】（1）設(shè)AB的長(zhǎng)為x厘米，則有厘米，然后根據(jù)題意可得方程，進(jìn)而求解即可；（2）由（1）可設(shè)矩形框架ABCD的面積為S，則有，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：設(shè)AB的長(zhǎng)為x厘米，則有厘米，由題意得：，整理得：，解得：，∵，∴，∴都符合題意，答：AB的長(zhǎng)為8厘米或12厘米．（2）解：由（1）可設(shè)矩形框架ABCD的面積為S平方厘米，則有：，∵，且，∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，即為；故答案為：150．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)題干中的等量關(guān)系．4．（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻（墻的長(zhǎng)度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長(zhǎng)度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．(1)若矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36，求此時(shí)x的值；(2)當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大？最大值為多少？【答案】(1)x的值為2m；(2)當(dāng)時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大，最大值為m2【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36，列一元二次方程，解方程即可求解；（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為S，列出矩形的面積公式可得S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面積是矩形BCFA面積的2倍，∴CD=2x，∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，依題意得：3x(8-x)=36，解得：x1=2，x2=6(不合題意，舍去)，此時(shí)x的值為2m；；（2）解：設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為S，由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，∵墻的長(zhǎng)度為10，∴0＜3x＜10，∴0＜x＜，∵-3<0，∴x＜4時(shí)，S隨著x的增大而增大，∴當(dāng)x=時(shí)，S有最大值，最大值為，即當(dāng)時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大，最大值為m2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)在幾何圖形問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·遼寧朝陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）某商店購(gòu)進(jìn)了一種消毒用品，進(jìn)價(jià)為每件8元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（件）與每件售價(jià)x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系（其中8≤x≤15，且x為整數(shù)）．當(dāng)每件消毒用品售價(jià)為9元時(shí)，每天的銷售量為105件；當(dāng)每件消毒用品售價(jià)為11元時(shí)，每天的銷售量為95件．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．(2)若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤(rùn)，則每件消毒用品的售價(jià)為多少元？(3)設(shè)該商店銷售這種消毒用品每天獲利w（元），當(dāng)每件消毒用品的售價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】(1)(2)13(3)每件消毒用品的售價(jià)為15元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是525元．【分析】（1）根據(jù)給定的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法即可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)每件的銷售利潤(rùn)×每天的銷售量=425，解一元二次方程即可；（3）利用銷售該消毒用品每天的銷售利潤(rùn)=每件的銷售利潤(rùn)×每天的銷售量，即可得出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．【詳解】（1）解：設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)題意得：，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：（-5x+150）（x-8）=425，整理得：，解得：，∵8≤x≤15，∴若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤(rùn)，則每件消毒用品的售價(jià)為13元；（3）解：根據(jù)題意得：∵8≤x≤15，且x為整數(shù)，當(dāng)x<19時(shí)，w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=15時(shí)，w有最大值，最大值為525．答：每件消毒用品的售價(jià)為15元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是525元．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)題目的等量關(guān)系，6．（2022·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）丹東是我國(guó)的邊境城市，擁有豐富的旅游資源．某景區(qū)研發(fā)一款紀(jì)念品，每件成本為30元，投放景區(qū)內(nèi)進(jìn)行銷售，規(guī)定銷售單價(jià)不低于成本且不高于54元，銷售一段時(shí)間調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：銷售單價(jià)x（元/件）…354045…每天銷售數(shù)量y（件）…908070…(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)若每天銷售所得利潤(rùn)為1200元，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？(3)當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】(1)y＝﹣2x+160(2)銷售單價(jià)應(yīng)定為50元(3)當(dāng)銷售單價(jià)為54元時(shí)，每天獲利最大，最大利潤(rùn)1248元【分析】（1）設(shè)每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）之間的關(guān)系式為y＝kx+b，用待定系數(shù)法可得y＝﹣2x+160；（2）根據(jù)題意得（x﹣30）?（﹣2x+160）＝1200，解方程并由銷售單價(jià)不低于成本且不高于54元，可得銷售單價(jià)應(yīng)定為50元；（3）設(shè)每天獲利w元，w＝（x﹣30）?（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)銷售單價(jià)為54元時(shí)，每天獲利最大，最大利潤(rùn)，1248元．【詳解】（1）解：設(shè)每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）之間的關(guān)系式為y＝kx+b，把（35，90），（40，80）代入得：，解得，∴y＝﹣2x+160；（2）根據(jù)題意得：（x﹣30）?（﹣2x+160）＝1200，解得x1＝50，x2＝60，∵規(guī)定銷售單價(jià)不低于成本且不高于54元，∴x＝50，答：銷售單價(jià)應(yīng)定為50元；（3）設(shè)每天獲利w元，w＝（x﹣30）?（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，對(duì)稱軸是直線x＝55，而x≤54，∴x＝54時(shí)，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），答：當(dāng)銷售單價(jià)為54元時(shí)，每天獲利最大，最大利潤(rùn)，1248元．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)，一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式和一元二次方程．7．（2022·遼寧錦州·中考真題）某商場(chǎng)新進(jìn)一批拼裝玩具，進(jìn)價(jià)為每個(gè)10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)．，日銷售量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；(2)若該玩具某天的銷售利潤(rùn)是600元，則當(dāng)天玩具的銷售單價(jià)是多少元？(3)設(shè)該玩具日銷售利潤(rùn)為w元，當(dāng)玩具的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】(1)；(2)40元或20元；(3)當(dāng)玩具的銷售單價(jià)定為30元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大；最大利潤(rùn)是800元；【分析】（1）直接由待定系數(shù)法，即可求出一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)題意，設(shè)當(dāng)天玩具的銷售單價(jià)是元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；（3）根據(jù)題意，列出w與的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出答案．【詳解】（1）解：由圖可知，設(shè)一次函數(shù)的解析式為，把點(diǎn)（25，50）和點(diǎn)（35，30）代入，得，解得，∴一次函數(shù)的解析式為；（2）解：根據(jù)題意，設(shè)當(dāng)天玩具的銷售單價(jià)是元，則，解得：，，∴當(dāng)天玩具的銷售單價(jià)是40元或20元；（3）解：根據(jù)題意，則，整理得：；∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為800；∴當(dāng)玩具的銷售單價(jià)定為30元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大；最大利潤(rùn)是800元．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，一次函數(shù)的應(yīng)用，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確的找出題目的關(guān)系，從而進(jìn)行解題．【考向七解分式方程】例題：（2022·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）解方程：．【答案】【分析】?jī)蛇呁瑫r(shí)乘以公分母，先去分母化為整式方程，計(jì)算出x，然后檢驗(yàn)分母不為0，即可求解．【詳解】，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，故原方程的解為：【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，注意分式方程要檢驗(yàn)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）分式方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得出答案，最后檢驗(yàn)即可．【詳解】解：，去分母，得，去括號(hào)，得，移項(xiàng)，得，所以．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．2．（2022·海南·統(tǒng)考中考真題）分式方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】按照解分式方程的步驟解答即可．【詳解】解：2-（x-1）=02-x+1=0-x=-3x=3檢驗(yàn)，當(dāng)x=3時(shí)，x-1≠0，故x=3是原分式方程的解．故答案選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，解分式方程的基本步驟為去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1,以及檢驗(yàn)，特別是檢驗(yàn)是解分式方程的關(guān)鍵．3．（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）方程的解為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【詳解】解：去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：，解得：x=9，經(jīng)檢驗(yàn)：x=9是原分式方程的解，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解題的關(guān)鍵是解分式方程注意要檢驗(yàn)，避免出現(xiàn)增根．4．（2022·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）方程的解是_______．【答案】【分析】先去分母，化成一元一次方程，求解，檢驗(yàn)分母不為0，即可.【詳解】去分母得：，解得：，檢驗(yàn)：，∴原方程的解為x=5.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，注意結(jié)果要代入分母，檢驗(yàn)分母是否為0.5．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）分式方程的解為__________．【答案】【分析】方程兩邊同時(shí)乘以2x-1，然后求出方程的解，最后驗(yàn)根．【詳解】解：方程兩邊同乘得解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的根，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的步驟，注意要驗(yàn)根．6．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）分式方程的解是________【答案】【分析】先去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程求解，再檢驗(yàn)即可求解；【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以2x(x+1)，得3(x+1)=4x3x+3=4xx=3，檢驗(yàn)：把x=3代入2x(x+1)=2×3(3+1)=24≠0，∴原分式方程的解為：x=3．故答案為：x=3．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，解分式方程的基本思想是將分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程求解，注意：解分式方程一定要驗(yàn)根．7．（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）方程的解為___________．【答案】x=5【分析】觀察可得最簡(jiǎn)公分母是x(x+5)，方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可得解．【詳解】解：方程的兩邊同乘x(x+5),得：2x=x+5,解得：x=5,經(jīng)檢驗(yàn)：把x=5代入x(x+5)=50≠0.故答案為：x=5.【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的求解方法，注意掌握轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，注意解分式方程一定要驗(yàn)根.8．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）代數(shù)式與代數(shù)式的值相等，則x＝______．【答案】7【分析】根據(jù)題意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可．【詳解】解：∵代數(shù)式與代數(shù)式的值相等，∴，去分母，去括號(hào)號(hào)，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴分式方程的解為．故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．9．（2022·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）如圖的解題過程中，第①步出現(xiàn)錯(cuò)誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的的值是____．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中解：原式【答案】5【分析】根據(jù)題意得到方程，解方程即可求解．【詳解】解：依題意得：，即，去分母得：3-x+2(x-4)=0，去括號(hào)得：3-x+2x-8=0，解得：x=5，經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是方程的解，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗(yàn)．10．（2022·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）解方程：．【答案】【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【詳解】解：方程兩邊同乘，得，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，所以，原分式方程的解為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解題的關(guān)鍵，注意解分式方程一定要驗(yàn)根．11．（2022·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）解方程：【答案】【分析】先方程兩邊同時(shí)乘以，化成整式方程求解，然后再檢驗(yàn)分母是否為0即可．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以得到：，解出：，當(dāng)時(shí)分式方程的分母不為0，∴分式方程的解為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，屬于基礎(chǔ)題，計(jì)算過程中細(xì)心即可．12．（2022·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）解方程：．【答案】原方程無解【分析】方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母，先去分母，化為整式方程，再去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、化系數(shù)為1，最后驗(yàn)根即可．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母，得解方程，得檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，不是原方程的根，原方程無解．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，涉及分式有意義的條件，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【考向八實(shí)際問題與分式方程】例題：（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）科學(xué)規(guī)范戴口罩是阻斷新冠病毒傳播的有效措施之一，某口罩生產(chǎn)廠家接到一公司的訂單，生產(chǎn)一段時(shí)間后，還剩280萬(wàn)個(gè)口罩未生產(chǎn)，廠家因更換設(shè)備，生產(chǎn)效率比更換設(shè)備前提高了40%．結(jié)果剛好提前2天完成訂單任務(wù)．求該廠家更換設(shè)備前和更換設(shè)備后每天各生產(chǎn)多少萬(wàn)個(gè)口罩？【答案】該廠家更換設(shè)備前每天生產(chǎn)口罩40萬(wàn)只，更換設(shè)備后每天生產(chǎn)口罩56萬(wàn)只．【分析】設(shè)該廠家更換設(shè)備前每天生產(chǎn)口罩x萬(wàn)只，則該廠家更換設(shè)備后每天生產(chǎn)口罩（1+40%）x萬(wàn)只，利用工作時(shí)間=工作總量÷工作效率，結(jié)合提前2天完成訂單任務(wù)，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)該廠家更換設(shè)備前每天生產(chǎn)口罩x萬(wàn)只，則該廠家更換設(shè)備后每天生產(chǎn)口罩（1+40%）x萬(wàn)只，依題意得：，解得：x=40，經(jīng)檢驗(yàn)，x=40是原方程的解，且符合題意．答：該廠家更換設(shè)備前每天生產(chǎn)口罩40萬(wàn)只，更換設(shè)備后每天生產(chǎn)口罩56萬(wàn)只．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）我市某區(qū)為萬(wàn)人接種新冠疫苗，由于市民積極配合這項(xiàng)工作，實(shí)際每天接種人數(shù)是原計(jì)劃的倍，結(jié)果提前天完成了這項(xiàng)工作．設(shè)原計(jì)劃每天接種萬(wàn)人，根據(jù)題意，所列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由實(shí)際接種人數(shù)與原計(jì)劃接種人數(shù)間的關(guān)系，可得出實(shí)際每天接種萬(wàn)人，再結(jié)合結(jié)果提前天完成了這項(xiàng)工作，即可得出關(guān)于的分式方程，此題得解．【詳解】解：實(shí)際每天接種人數(shù)是原計(jì)劃的倍，且原計(jì)劃每天接種萬(wàn)人，實(shí)際每天接種萬(wàn)人，又結(jié)果提前天完成了這項(xiàng)工作，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．2．（2022·遼寧朝陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）八年一班學(xué)生周末乘車去紅色教育基地參觀學(xué)習(xí)，基地距學(xué)校60km，一部分學(xué)生乘慢車先行，出發(fā)30min后，另一部分學(xué)生乘快車前往，結(jié)果同時(shí)到達(dá)．已知快車的速度是慢車速度的1.5倍，求慢車的速度．設(shè)慢車每小時(shí)行駛xkm，根據(jù)題意，所列方程正確的是（）A．﹣＝ B．﹣＝C．﹣＝30 D．﹣＝30【答案】A【分析】設(shè)慢車每小時(shí)行駛xkm，則快車每小時(shí)行駛1.5xkm，根據(jù)基地距學(xué)校60km，一部分學(xué)生乘慢車先行，出發(fā)30min后，另一部分學(xué)生乘快車前往，結(jié)果同時(shí)到達(dá)，列方程即可．【詳解】解：設(shè)慢車每小時(shí)行駛xkm，則快車每小時(shí)行駛1.5xkm，根據(jù)題意可得：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，詳解本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出合適的等量關(guān)系，列方程．3．（2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）某農(nóng)戶承包的36畝水田和30畝旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的畝數(shù)比耕作水田的畝數(shù)多4畝．該農(nóng)戶耕作完旱地所用的時(shí)間是耕作完水田所用時(shí)間的一半，求平均每天耕作水田的畝數(shù)．設(shè)平均每天耕作水田x畝，則可以得到的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出平均每天耕作旱地的畝數(shù)為畝，再根據(jù)該農(nóng)戶耕作完旱地所用的時(shí)間是耕作完水田所用時(shí)間的一半建立方程即可．【詳解】解：由題意可知，平均每天耕作旱地的畝數(shù)為畝，則可列方程為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了列分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．4．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）某加工廠接到一筆訂單，甲、乙車間同時(shí)加工，已知乙車間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量是甲車間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量的1.5倍，甲車間加工4000件比乙車間加工4200件多用3天．設(shè)甲車間每天加工件產(chǎn)品，根據(jù)題意可列方程為_________．【答案】【分析】根據(jù)題意可得出乙車間每天加工1.5x件產(chǎn)品，再根據(jù)甲車間加工4000件比乙車間加工4200件多用3天，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．【詳解】解：∵甲車間每天加工x件產(chǎn)品，乙車間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量是甲車間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量的1.5倍，∴乙車間每天加工1.5x件產(chǎn)品，又∵甲車間加工4000件比乙車間加工4200件多用3天，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．5．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）為落實(shí)青島市中小學(xué)生“十個(gè)一”行動(dòng)計(jì)劃，學(xué)校舉辦以“強(qiáng)體質(zhì)，煉意志”為主題的體育節(jié)，小亮報(bào)名參加3000米比賽項(xiàng)目，經(jīng)過一段時(shí)間訓(xùn)練后，比賽時(shí)小亮的平均速度比訓(xùn)練前提高了25%，少用3分鐘跑完全程．設(shè)小亮訓(xùn)練前的平均速度為x米/分，那么x滿足的分式方程為__________．【答案】【分析】根據(jù)比賽時(shí)小亮的平均速度比訓(xùn)練前提高了25%，可得比賽時(shí)小亮平均速度為(1+25%)x米/分，根據(jù)比賽時(shí)所用時(shí)間比訓(xùn)練前少用3分鐘列出方程．【詳解】解：∵比賽時(shí)小亮的平均速度比訓(xùn)練前提高了25%，小亮訓(xùn)練前的平均速度為x米/分，∴比賽時(shí)小亮平均速度為(1+25%)x米/分，根據(jù)題意可得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．6．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）某玩具廠生產(chǎn)一種玩具，甲車間計(jì)劃生產(chǎn)500個(gè)，乙車間計(jì)劃生產(chǎn)400個(gè)，甲車間每天比乙車間多生產(chǎn)10個(gè)，兩車間同時(shí)開始生產(chǎn)且同時(shí)完成任務(wù)．設(shè)乙車間每天生產(chǎn)個(gè)，可列方程為___________．【答案】【分析】設(shè)乙車間每天生產(chǎn)x個(gè)，根據(jù)甲車間計(jì)劃生產(chǎn)500個(gè)，乙車間計(jì)劃生產(chǎn)400個(gè)，甲車間每天比乙車間多生產(chǎn)10個(gè)，兩車間同時(shí)開始生產(chǎn)且同時(shí)完成任務(wù)可列出方程．【詳解】解：設(shè)乙車間每天生產(chǎn)x個(gè)，則．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵設(shè)出生產(chǎn)個(gè)數(shù)，以時(shí)間作為等量關(guān)系列分式方程．7．（2022·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）為推動(dòng)家鄉(xiāng)學(xué)?；@球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某公司計(jì)劃出資12000元購(gòu)買一批籃球贈(zèng)送給家鄉(xiāng)的學(xué)校．實(shí)際購(gòu)買時(shí)，每個(gè)籃球的價(jià)格比原價(jià)降低了20元，結(jié)果該公司出資10000元就購(gòu)買了和原計(jì)劃一樣多的籃球，每個(gè)籃球的原價(jià)是多少元？【答案】每個(gè)籃球的原價(jià)是120元．【分析】設(shè)每個(gè)籃球的原價(jià)是x元，則每個(gè)籃球的實(shí)際價(jià)格是（x﹣20）元，根據(jù)“該公司出資10000元就購(gòu)買了和原計(jì)劃一樣多的籃球”列出方程并解答．【詳解】解：設(shè)每個(gè)籃球的原價(jià)是x元，則每個(gè)籃球的實(shí)際價(jià)格是（x﹣20）元，根據(jù)題意，得＝．解得x＝120．經(jīng)檢驗(yàn)x＝120是原方程的解．答：每個(gè)籃球的原價(jià)是120元．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．8．（2022·寧夏·中考真題）某校購(gòu)進(jìn)一批籃球和排球，籃球的單價(jià)比排球的單價(jià)多元．已知元購(gòu)進(jìn)的籃球數(shù)量和元購(gòu)進(jìn)的排球數(shù)量相等．(1)籃球和排球的單價(jià)各是多少元？(2)現(xiàn)要購(gòu)買籃球和排球共個(gè)，總費(fèi)用不超過元．籃球最多購(gòu)買多少個(gè)？【答案】(1)籃球的單價(jià)為元，排球的單價(jià)為元(2)最多購(gòu)買個(gè)籃球【分析】（1）設(shè)排球的單價(jià)為x元，則籃球的單價(jià)為（x+30）元，由題意：330元購(gòu)進(jìn)的籃球數(shù)量和240元購(gòu)進(jìn)的排球數(shù)量相等．列出分式方程，解方程即可；（2）設(shè)購(gòu)買排球y個(gè)，則購(gòu)買籃球（20-y）個(gè)，由題意：購(gòu)買籃球和排球的總費(fèi)用不超過1800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【詳解】（1）設(shè)排球的單價(jià)為元，則籃球的單價(jià)為元，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，且符合題意，．籃球的單價(jià)為元，排球的單價(jià)為元．（2）設(shè)購(gòu)買籃球個(gè)，則購(gòu)買排球個(gè)，依題意得：，解得，即的最大值為，最多購(gòu)買個(gè)籃球．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．9．（2022·西藏·統(tǒng)考中考真題）某班在慶祝中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年活動(dòng)中，給學(xué)生發(fā)放筆記本和鋼筆作為紀(jì)念品．已知每本筆記本比每支鋼筆多2元，用240元購(gòu)買的筆記本數(shù)量與用200元購(gòu)買的鋼筆數(shù)量相同．(1)筆記本和鋼筆的單價(jià)各多少元？(2)若給全班50名學(xué)生每人發(fā)放一本筆記本或一支鋼筆作為本次活動(dòng)的紀(jì)念品，要使購(gòu)買紀(jì)念品的總費(fèi)用不超過540元，最多可以購(gòu)買多少本筆記本？【答案】(1)筆記本每本12元，鋼筆每支10元(2)最多購(gòu)買筆記本20本【分析】（1）設(shè)鋼筆的價(jià)格為x元，則筆記本的價(jià)格為x+2元，根據(jù)題目中的等量關(guān)系列方程并求解即可；（2）設(shè)筆記本的數(shù)量為y本，則鋼筆的數(shù)量為50-ｙ支，根據(jù)題意列關(guān)于y的不等式，解不等式并找到最大整數(shù)解即為答案．【詳解】（1）設(shè)每支鋼筆x元，依題意得：解得：x＝10，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝10是原方程的解，故筆記本的單價(jià)為：10+2＝12（元），答：筆記本每本12元，鋼筆每支10元．（2）設(shè)購(gòu)買y本筆記本，則購(gòu)買鋼筆（50﹣y）支，依題意得：12y+10（50﹣y）≤540，解得：y≤20，故最多購(gòu)買筆記本20本．【點(diǎn)睛】本題考查了用分式方程和一元一次不等式解決問題，找到題目中的等量關(guān)系并列出關(guān)于未知數(shù)的方程或不等式，仔細(xì)計(jì)算是本題的解題關(guān)鍵．10．（2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）為滿足顧客的購(gòu)物需求，某水果店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果進(jìn)行銷售.經(jīng)了解，甲水果的進(jìn)價(jià)比乙水果的進(jìn)價(jià)低20%，水果店用1000元購(gòu)進(jìn)甲種水果比用1200元購(gòu)進(jìn)乙種水果的重量多10千克，已知甲，乙兩種水果的售價(jià)分別為6元/千克和8元/千克.(1)求甲、乙兩種水果的進(jìn)價(jià)分別是多少？(2)若水果店購(gòu)進(jìn)這兩種水果共150千克，其中甲種水果的重量不低于乙種水果重量的2倍，則水果店應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)甲種水果的進(jìn)價(jià)是4元/千克，乙種水果的進(jìn)價(jià)是5元/千克；(2)水果店購(gòu)進(jìn)甲種水果100千克，乙種水果50千克時(shí)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是350元．【分析】（1）設(shè)乙種水果的進(jìn)價(jià)是x元/千克，根據(jù)“甲水果的進(jìn)價(jià)比乙水果的進(jìn)價(jià)低20%，水果店用1000元購(gòu)進(jìn)甲種水果比用1200元購(gòu)進(jìn)乙種水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程檢驗(yàn)后可得出答案；（2）設(shè)水果店購(gòu)進(jìn)甲種水果a千克，獲得的利潤(rùn)為y元，則購(gòu)進(jìn)乙種水果（150－a）千克，根據(jù)利潤(rùn)＝（售價(jià)－進(jìn)價(jià)）×數(shù)量列出y關(guān)于a的一次函數(shù)解析式，求出a的取值范圍，然后利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答．【詳解】（1）解：設(shè)乙種水果的進(jìn)價(jià)是x元/千克，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解且符合題意，則，答：甲種水果的進(jìn)價(jià)是4元/千克，乙種水果的進(jìn)價(jià)是5元/千克；（2）解：設(shè)水果店購(gòu)進(jìn)甲種水果a千克，獲得的利潤(rùn)為y元，則購(gòu)進(jìn)乙種水果（150－a）千克，由題意得：，∵－1＜0，∴y隨a的增大而減小，∵甲種水果的重量不低于乙種水果重量的2倍，∴，解得：，∴當(dāng)時(shí)，y取最大值，此時(shí)，，答：水果店購(gòu)進(jìn)甲種水果100千克，乙種水果50千克時(shí)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是350元．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一次函數(shù)與一元一次不等式的應(yīng)用，正確理解題意，找出合適的等量關(guān)系列出方程和解析式是解題的關(guān)鍵．【考向九解不等式(組)】例題：（2022·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】，數(shù)軸見解析【分析】根據(jù)解一元一次不等式組的方法步驟求解，然后在數(shù)軸上把解集表示出來即可．【詳解】解：由①得，由②得，該不等式組的解集為，在數(shù)軸上表示該不等式組的解集為：【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式組的解法步驟及用數(shù)軸表示不等式組的解集，熟練掌握相關(guān)解法步驟是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】移項(xiàng)再合并同類項(xiàng)即可把未知數(shù)的系數(shù)化“1”，從而可得答案．【詳解】解：，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次不等式的解法，掌握“解一元一次不等式的步驟”是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·遼寧錦州·中考真題）不等式的解集在數(shù)軸上表示為（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】先求得不等式的解集為x≤4，根據(jù)等號(hào)判定圓圈為實(shí)心，選擇即可．【詳解】∵不等式的解集為x≤4，∴數(shù)軸表示為：，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解法和數(shù)軸表示，熟練掌握解不等式是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的不等式組僅有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（

）A．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2【答案】D【分析】先求出每個(gè)不等式的解集，再求出不等式組的解集，即可解答．【詳解】解：由①得，由②得，因不等式組有3個(gè)整數(shù)解故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式組、一元一次不等式組的整數(shù)解，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．4．（2022·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于的不等式組有且只有三個(gè)整數(shù)解，則的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】分別對(duì)兩個(gè)不等式進(jìn)行求解，得到不等式組的解集為，根據(jù)不等式組有且只有三個(gè)整數(shù)解的條件計(jì)算出的最大值．【詳解】解不等式，，∴，∴，解不等式，得，∴，∴的解集為，∵不等式組有且只有三個(gè)整數(shù)解，∴不等式組的整數(shù)解應(yīng)為：2，3，4，∴,∴的最大值應(yīng)為5故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查不等式組的整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握不等式組的相關(guān)知識(shí)．5．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）不等式的解集為________．【答案】【分析】根據(jù)解一元一次不等式的步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1可得答案．【詳解】解：去分母，得x-3≥2，移項(xiàng)，得x≥2+3，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1，得，x≥5，故答案為：x≥5．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵掌握解一元一次不等式的方法步驟．6．（2022·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）不等式組的解集是_____．【答案】x＞2【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到，確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x＞2，∴不等式組的解集為x＞2，故答案為：x＞2．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，掌握求不等式公共解集的方法是解題的關(guān)鍵．7．（2022·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）滿足不等式組的整數(shù)解是____________．【答案】2【分析】分別求出不等式組中各不等式的解集，再求出其公共解集，找出符合條件的x的整數(shù)解即可．【詳解】解：，解不等式①得，；解不等式②得，∴不等式組的解集為：∴不等式組的整數(shù)解為2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一元一次不等式組的整數(shù)解，解答此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握求不等式組解集的方法．8．（2022·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的不等式組無解，則的取值范圍是_________．【答案】【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：大大小小找不到并結(jié)合不等式組的解集可得答案．【詳解】解∶，解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式組無解，∴，解得：，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．9．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）解不等式：．【答案】【分析】按照去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1的步驟解答即可．【詳解】解：去分母，得，去括號(hào)，得，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得．化系數(shù)為1，得．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式，熟練掌握一元一次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．10．（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）求不等式組的解集，并把它的解集表示在數(shù)軸上．【答案】1≤x＜4，數(shù)軸見解析【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，再求出其公共部分即可．【詳解】解：，由①得：，由②得：，不等式組的解集為：，將不等式組的解集表示在