電動力學課件

第一章第三節(jié)麥克斯韋方程組靜電場

穩(wěn)恒磁場

穩(wěn)恒電磁場：電場和磁場相互間沒用作用和影響實驗發(fā)現(xiàn):電荷激發(fā)電場,電流激發(fā)磁場,而且變化著的電場和磁場可以互相激發(fā),電場和磁場成為統(tǒng)一的整體:電磁場。變化磁場激發(fā)電場法拉第電磁感應(yīng)定律變化電場激發(fā)磁場麥克斯韋位移電流假設(shè)變化電磁場：自從發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)之后,人們跟著研究相反的效應(yīng),即磁場能否導(dǎo)致電流?開始人們企圖探測處于恒定磁場中的固定線圈上的感應(yīng)電流,這些嘗試都失敗了.最后于1831年法拉第(Faraday)發(fā)現(xiàn)當磁場發(fā)生變化時,附近閉合線圈中有電流通過,并由此總結(jié)出電磁感應(yīng)定律.1、電磁感應(yīng)定律變化磁場激發(fā)電場1831年法拉第發(fā)現(xiàn)：當一個導(dǎo)體回路中電流變化(磁場發(fā)生變化)時，在附近的另一個閉合線圈中有感應(yīng)電流通過。由此他總結(jié)了這一現(xiàn)象服從的規(guī)律：

線圈中的感應(yīng)電動勢與通過該線圈內(nèi)部的磁通量變化率成正比。E為什么要加負號？實驗結(jié)果：當通過S的磁通量增加時，在線圈L上的感應(yīng)電流總是產(chǎn)生出抵消該趨勢的磁場，即感應(yīng)電動勢與我們規(guī)定的L的圍繞方向相反，因此用負號表示。感應(yīng)電動勢的方向：如右圖所示:L為閉合線，S為L所圍的一個曲面，dS為S上的一個面元。L的圍繞方向與dS的法線方向成右手螺旋關(guān)系。線圈上的電荷是直接受到該處電場作用而運動的，線圈上有感應(yīng)電流就表明空間中存在著電場。1861麥克斯韋提出了渦旋電場的假設(shè)。感應(yīng)電動勢的出現(xiàn)表明回路中存在電場：它沿閉合回路的BE積分不為零，其電力線具有渦旋狀結(jié)構(gòu)--與靜電場存在著明顯的差別。導(dǎo)體的存在與否是非本質(zhì)的，即使導(dǎo)體不存在，空間也應(yīng)當存在窩旋狀的感應(yīng)電場。電磁感應(yīng)現(xiàn)象的實質(zhì)是變化磁場在其周圍空間中激發(fā)了電場，這是電場和磁場內(nèi)部相互作用的一個方面。

物理機制動生可以認為電荷受到磁場的洛倫茲力，因此產(chǎn)生電動勢；感生情況回路不動，應(yīng)該是受到電場力的作用。因為無外部電動勢，該電場不是由靜止電荷產(chǎn)生，因此稱為感生電場（對電荷有作用力是電場的本質(zhì)，因此它與靜電場在這一點上無本質(zhì)差別）

磁通變化的三種方式：a)回路相對磁場做機械運動，即磁場與時間無關(guān)，磁通量隨時間變化，一般稱為動生電動勢；b)回路靜止不動，但磁場變化，稱為感生電動勢；c)上面兩種情況同時存在。電磁感應(yīng)現(xiàn)象的實質(zhì)：變化磁場激發(fā)電場總電場的旋度和散度方程

感應(yīng)電動勢是電場強度沿閉合回路的線積分應(yīng)用斯托克斯公式化為感生電場的旋度方程1）感生電場為有旋場,為非保守場，與靜電場本質(zhì)不同。2）它反映變化磁場與它激發(fā)的變化電場間的關(guān)系，是電磁感應(yīng)定律的微分形式。感生電場的散度方程總電場的旋度與散度方程

假定電荷分布激發(fā)的場為滿足：

總電場為：因此得到總電場滿足的方程：變化電場是有旋有源場，它不僅可以由電荷直接激發(fā)，也可以由變化磁場激發(fā)。感生電場是有旋無源場由于感生電場不是由電荷直接激發(fā)，可以認為

2、位移電流

變化電場激發(fā)磁場猜想

變化磁場變化電場？？類比？穩(wěn)恒電流條件下磁場是怎么產(chǎn)生的?現(xiàn)在我們考察電流激發(fā)的磁場所滿足的方程：兩邊取散度，左邊因此只有當

J=0時等式才能成立。但是，在非恒定電流情形下會有:恒定電流是閉合的。在交變情況下，電流分布由電荷守恒定律式制約，它一般不再是閉合的。帶有電容器的電路實質(zhì)上是非閉合的回路。在電容器兩板之間是絕緣介質(zhì)，自由電子不能通過。電荷運動到板上時，由于不能穿過介質(zhì),就在板上積聚起來。在交流電路中，電容器交替地充電和放電，但在兩板之間的介質(zhì)內(nèi)始終沒有傳導(dǎo)電流通過。所以，電流J在該處實際上是中斷的。一般來說，在非恒定情況下，電流線一般不再是閉合的，電荷分布隨時間變化，由電荷守恒定律有：位移電流的引入為了解決上述矛盾，麥克斯韋提出一個假設(shè)：在非穩(wěn)恒情況下，產(chǎn)生磁場的原因不僅是傳導(dǎo)電流J，應(yīng)該還有新的來源，即存在一個稱為位移電流的物理量JD，它與電流J合起來構(gòu)成閉合的量并假設(shè)位移電流JD與電流J一樣產(chǎn)生磁效應(yīng)，即把

B=0J修改為此式兩邊的散度都等于零，同時滿足電荷守恒定律，因而理論上就不再有矛盾。以及電荷密度與電場散度的關(guān)系式兩式聯(lián)立，得：由電荷守恒定律:位移電流JD的表達式是什么？由上式可知，位移電流實質(zhì)上是電場的變化率，它表明變化的電場能夠激發(fā)磁場。位移電流假設(shè)是麥克斯韋首先引入的。它的正確性由以后關(guān)于電磁波的廣泛實踐所證明。位移電流的最佳定義是:關(guān)于磁場的另一規(guī)律，由于不存在自由磁荷而仍然成立?？偞艌龅男群蜕⒍确匠蹋?）

為總磁感應(yīng)強度（2）若，仍為有旋場（3）可認為磁場的一部分直接由變化電場激發(fā)旋度方程散度方程與變化磁場產(chǎn)生的感生電場比較3、麥克斯韋方程組真空中變化電磁場由兩個矢量E、B描寫，滿足麥克斯韋電磁場論的建立是人類歷史上第一次完整的認識了電與磁的本質(zhì)。自然界中如此復(fù)雜的電磁現(xiàn)象居然被麥克斯韋僅僅概括為四個簡單的方程。這樣一套簡潔的理論，完美的概括了所有電磁現(xiàn)象，完成了電與磁的統(tǒng)一。麥克斯韋方程組的特點和物理意義特點：a.它反映一般情況下電荷電流激發(fā)電磁場以及電磁場內(nèi)部運動的規(guī)律。b.在ρ和J為零的區(qū)域，電場和磁場通過本身的互相激發(fā)而運動傳播。物理意義：麥克斯韋方程通過電磁感應(yīng)定律(渦旋電場假設(shè))加位移電流假設(shè)導(dǎo)出，它們的正確性是由方程與實際情況相比較驗證的。

電場、磁場是統(tǒng)一的，即電磁場，有其特殊的運動規(guī)律電荷、電流是電磁場之源，來源“實體”物質(zhì)電磁場可以獨立于電荷、電流之外而存在，具有“物質(zhì)性”對方程組的分析與討論（2）線性偏微分方程，E,B滿足疊加原理

它們有6個未知變量(Ex,Ey,Ez,Bx,By,Bz)、8個標量方程，因此有兩個不獨立。一般認為后兩個方程為附加條件，它可由前兩個方程導(dǎo)出。具體方程要考慮空間中的介質(zhì)，導(dǎo)體以及各種邊界上的條件。（1）真空中電磁場的基本方程揭示了電磁場內(nèi)部的矛盾和運動，即電荷激發(fā)電場，時變電磁場相互激發(fā)。微分形式反映點與點之間場的聯(lián)系，積分方程反映場的局域特性。（3）麥克斯韋方程組揭示了電磁場的內(nèi)部作用和運動規(guī)律，揭示了電磁場可以獨立于電荷之外而存在。預(yù)測了電磁場互相激發(fā)，以電磁波的形式在空間運動傳播。1888德國科學家赫茲用實驗證明了電磁波的存在，有力地證明了麥克斯韋的理論電磁波麥克斯韋方程組反映了電荷電流激發(fā)場以及場內(nèi)部運動的規(guī)律，而場對電荷體系的作用，則由洛倫茲公式給出。關(guān)于電磁場對電荷、電流的作用力，有電荷Q在靜止電場中受的庫侖力及電流元JdV在穩(wěn)恒磁場中受到的作用力4、洛倫茲力公式

力密度電荷連續(xù)分布，其密度為

，作用力由電荷系統(tǒng)單位體積所受的力密度f

描述。上式為洛倫茲力密度公式運動點電荷把電磁作用力公式應(yīng)用到一個粒子上，可得到一個帶電粒子受電磁場的作用力這公式稱為洛倫茲力公式。洛倫茲將其進一步推廣到變化電磁場的情形，假設(shè)這公式適用于任意運動的帶電粒子。近代物理實踐證實了該式的對任意運動速度的帶電粒子都是適用的，為普遍情況下場對電荷系統(tǒng)正確的作用力。第一章第四節(jié)介質(zhì)的電磁性質(zhì)1、關(guān)于介質(zhì)的概念介質(zhì)由大量的原子、分子組成。原子分子都是中性粒子，內(nèi)部有帶正電的原子核及核外同樣多的繞核運動的帶負電的電子。從電磁學觀點看來，介質(zhì)是一個帶電粒子系統(tǒng)，其內(nèi)部存在著不規(guī)則而又迅速變化的微觀電磁場。它們產(chǎn)生的宏觀電磁場是其內(nèi)部所有帶電粒子激發(fā)的微觀電磁場疊加的結(jié)果。從宏觀上看，電介質(zhì)是不帶電的。在沒有外場時，介質(zhì)內(nèi)不出現(xiàn)宏觀的電荷、電流分布，其內(nèi)部的宏觀電磁場為零。當外來電磁場作用于介質(zhì)時，場與介質(zhì)內(nèi)的微觀帶電粒子必定存在相互作用相互制約的過程。各類介質(zhì)顯示出來的宏觀電磁性質(zhì)，決定于：介質(zhì)內(nèi)部的分子結(jié)構(gòu)；環(huán)境溫度；作用于它的外來電磁場的強度和頻率。經(jīng)典電磁理論對介質(zhì)極化和磁化的描述，并未涉及其中的微觀動力學機制，僅以兩個唯象模型為基礎(chǔ)分子電偶極矩(electricdipolemoment)

p=ql

(矢量)分子磁偶極矩(magneticdipolemoment)m=ia(矢量)存在兩類電介質(zhì)(dielectric)——無極分子(non-polarmolecule)電介質(zhì)和有極分子(polarmolecule)電介質(zhì)。不論是由哪一種分子組成的電介質(zhì)，在無外場時都保持電中性。在外加電磁場的作用下，電介質(zhì)分子電偶極矩p呈有規(guī)排列，在一個宏觀體積元內(nèi)或面積元上出現(xiàn)一定的體電荷或面電荷分布，從而導(dǎo)致介質(zhì)出現(xiàn)宏觀極化(束縛)電荷分布，并激發(fā)宏觀電磁場，這種現(xiàn)象稱電介質(zhì)的極化。2、介質(zhì)的極化無外場時，無極分子的正負電荷中心重合，例如基態(tài)氫原子(H)，故電偶極矩p=0，也無宏觀電矩，見下圖a。在外電場E作用下，無極分子的正負電中心不再重合因而出現(xiàn)電偶極矩并呈現(xiàn)有規(guī)取向，見下圖b。介質(zhì)的極化：介質(zhì)中分子和原子的正負電荷在外加電場力的作用下發(fā)生相對位移，形成定向排列的電偶極矩；或原子、分子固有電偶極矩不規(guī)則的分布，在外場作用下形成規(guī)則取向排列。從宏觀上來看這兩種行為都相當于產(chǎn)生了一個電偶極矩。極化使介質(zhì)內(nèi)部或表面上出現(xiàn)的電荷稱為束縛電荷。為描述電介質(zhì)的極化現(xiàn)象，我們引入一個矢量，叫電極化強度矢量，用P表示，它定義為

式中pi=p為第i個分子的電偶極矩，求和符號表示對物理小體積△V內(nèi)所有分子求和，n為單位體積分子數(shù)。因此電極化強度矢量P就是每單位體積內(nèi)分子電偶極矩的矢量和。電極化強度矢量

介質(zhì)1pi=pP=n

p束縛電荷密度

p和電極化強度矢量P之間的關(guān)系由于極化，分子或原子的正負電荷間發(fā)生了相對位移，每處的正負電荷可能不完全抵消，這樣就呈現(xiàn)宏觀電荷。設(shè)每個分子由相距為l的一對正負電荷

q構(gòu)成。分子電偶極矩為p=ql。右圖所示為介質(zhì)內(nèi)某曲面S上的一個面元dS。介質(zhì)極化后，體積元內(nèi)有一些電荷跨過dS遷移到外部，同時外部也有電荷遷移到體積元內(nèi)部。因此體積元內(nèi)部有可能出現(xiàn)凈余的電荷（又稱為束縛電荷）。由圖可見，當偶極子的負電荷處于體積dV=l

S內(nèi)時，同一偶極子的正電荷就穿出界面dS外邊，則穿出dS外面的正電荷為：對包圍區(qū)域V的閉合界面S積分，則由V內(nèi)通過界面S穿出去的總正電荷為：由于介質(zhì)是電中性的，它也等于V內(nèi)凈余的負電荷，即有

p表示V內(nèi)束縛電荷密度。利用高斯公式把面積分化為體積分，得上式的微分形式即束縛電荷體密度等于極化強度的負散度。對于不同介質(zhì)分界面，由于極化，分界面上存在束縛電荷。下圖表示介質(zhì)1和介質(zhì)2分界面上的一個面元dS。介質(zhì)1和介質(zhì)2的電極化強度分別為P1、P2。在分界面兩側(cè)取一定厚度的薄層，使分界面包含在薄層內(nèi)。通過薄層右側(cè)面進入介質(zhì)2的正電荷為P2

dS，由介質(zhì)1通過薄層左側(cè)進入薄層的正電荷為P1

dS，因此，薄層內(nèi)出現(xiàn)的凈余電荷為(P1?P2)

dS，以σP表示束縛電荷面密度，有

式中n12為分界面上由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的法線。因此P2P1n12P1P2兩介質(zhì)分界面上的束縛電荷的概念（3）在兩種不同均勻介質(zhì)交界面上的一個很薄的層內(nèi)，由于兩種物質(zhì)的極化強度不同，存在極化面電荷分布.（1）線性均勻介質(zhì)中，極化遷出的電荷與遷入的電荷相等，內(nèi)部不出現(xiàn)極化電荷分布,束縛電荷只出現(xiàn)在自由電荷附近以及介質(zhì)界面處。（2）非均勻介質(zhì)或由多種不同結(jié)構(gòu)物質(zhì)混合而成的介質(zhì)，極化后一般在整個介質(zhì)內(nèi)部都出現(xiàn)束縛電荷.介質(zhì)1介質(zhì)2束縛電荷與自由電荷的來源不同。自由電荷是由外界運來的，它是產(chǎn)生外加電場的原因，束縛電荷是在外電場作用下電極化過程中產(chǎn)生的。從激發(fā)電場這一特性上講，束縛電荷和自由電荷是完全沒有區(qū)別的。介質(zhì)與場的作用是相互的。一方面電場引起束縛電荷分布，另一方面束縛電荷激發(fā)電場，二者相互制約。在麥氏方程中的電荷密度包括自由電荷密度和束縛電荷密度。把介質(zhì)極化產(chǎn)生的束縛電荷貢獻考慮進去，真空中電場的結(jié)果可以推廣到介質(zhì)中去。電位移矢量的引入存在束縛電荷的情況下，總電場包含了束縛電荷產(chǎn)生的場。一般情況自由電荷密度可知，但束縛電荷難以得到(即使實驗得到極化強度,其散度也不易求得)。為計算方便，要想辦法在場方程中消掉束縛電荷密度分布。E是介質(zhì)中總宏觀電場強度，P代表介質(zhì)中的電極化強度，都具有明確的物理意義，而電位移矢量D則是為了從理論上考察問題方便而引入的一個輔助量，它并不代表介質(zhì)中的場強，本身無明確的物理含義。E的源是總電荷，P的源是束縛電荷，D的源是自由電荷。D在具體應(yīng)用中與電場強度的關(guān)系可由實驗或計算來確定。D和E之間的實驗關(guān)系對于一般各向同性線性介質(zhì)，極化強度和電場之間有簡單的線性關(guān)系

e稱為電介質(zhì)的極化率，它是一個物質(zhì)常數(shù)，一般它與E無關(guān)。于是有:

稱為介質(zhì)的介電常數(shù)，

r為相對介電常數(shù)。對于給定的物質(zhì)，在一定的物理條件(如溫度、密度)下，這些物質(zhì)常數(shù)

r、

e是定值3.mi=mM=nmB②宏觀磁化電流密度JM在沒有外場時，分子電流取向無序，介質(zhì)不出現(xiàn)宏觀電流分布；在外磁場作用下，磁偶極矩定向排列，形成宏觀上的磁偶極矩。由于磁化，分子電流出現(xiàn)有規(guī)則分布，在介質(zhì)內(nèi)部及表面出現(xiàn)宏觀的電流分布，形成了宏觀磁化電流JM。宏觀電流反過來又激發(fā)起附加的宏觀電磁場，從而疊加外場而得到介質(zhì)內(nèi)的總電磁場。①磁化強度M介質(zhì)磁化后，出現(xiàn)宏觀磁偶極矩分布，用磁化強度M，其定義為：dl磁化電流密度與磁化強度的關(guān)系設(shè)S為介質(zhì)內(nèi)部的一個曲面，其邊界線為L。由圖可見，若分子電流被邊界線L鏈環(huán)著，這分子電流就對S的總磁化電流IM有貢獻。在其他情形下，或者分子電流根本不通過S，或者從S背面流出來后再從前面流進，所以對IM沒貢獻。因此，通過S的總磁化電流IM等于邊界線L所鏈環(huán)著的分子數(shù)目乘上每個分子的電流i。圖示為邊界線上的一個線元dl。若分子中心位于體積為a

dl的柱體內(nèi)，則該分子電流就被dl所穿過。若單位體積分子數(shù)為n，則被邊界線L鏈環(huán)著的分子電流數(shù)目為總磁化電流為而，故根據(jù)斯托克斯公式把線積分變?yōu)?/p>

M的面積分，由S的任意性可得微分形式磁化電流的散度除了磁化電流之外，當電場變化時，介質(zhì)的極化強度P

發(fā)生變化，這種變化產(chǎn)生另一種電流，稱為極化電流。

vi是

V內(nèi)每個帶電粒子的速度，其電荷為ei。磁化電流JM和極化電流Jp之和是介質(zhì)內(nèi)的總誘導(dǎo)電流密度。介質(zhì)與磁場是相互作用、相互制約的。介質(zhì)對磁場的作用是通過誘導(dǎo)電流(JM+Jp)和傳導(dǎo)電流Jf一起激發(fā)磁場，因此麥克斯韋方程式中的J應(yīng)該由三部分組成，當介質(zhì)被磁化后，宏觀電流密度只分布于分子電流不均勻的地方。非均勻磁化介質(zhì)內(nèi)部

M

0，存在體磁化電流JM分布。對于均勻磁化介質(zhì)，在宏觀效果上內(nèi)部分子電流有可能會互相抵消。但其表面若干層分子的厚度h內(nèi)，分子電流的宏觀效應(yīng)仍存在，可視之為“面磁化電流”，即均勻磁化介質(zhì)的磁化電流只出現(xiàn)在介質(zhì)表面。在介質(zhì)交界面上的一個薄的層內(nèi)，存在磁化面電流分布磁場強度

實質(zhì)是電場變化率介質(zhì)中的磁場由共同決定

磁場強度

磁場的旋度方程磁場強度定義為實驗指出，對于各向同性非鐵磁物質(zhì)，磁化強度M和H之間有簡單的線性關(guān)系：M=

MH，

M稱為磁化率。由此可得磁感應(yīng)強度式中及

r=1+

M是相對磁導(dǎo)率，

=

0

r稱為磁導(dǎo)率。它們都是物質(zhì)常數(shù)，由實驗確定。從物理本質(zhì)上看，E和B是場的基本物理量，而D和H是輔助物理量。B和H之間的實驗關(guān)系4、介質(zhì)中的麥克斯韋方程

介質(zhì)中普適的電磁場基本方程，可用于