2024年大學試題(理學)-數(shù)值分析筆試歷年真題薈萃含答案

2024年大學試題(理學)-數(shù)值分析筆試歷年真題薈萃含答案（圖片大小可自由調(diào)整）答案解析附后卷I一.參考題庫(共25題)1.選擇a，使積分取得最小值2.設方程組 證明解此方程的Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法同時收斂或發(fā)散。3.用改進歐拉方法計算初值問題取步長h=0.1計算到y(tǒng)5.4.數(shù)值微分中，已知等距節(jié)點的函數(shù)值（x0，y0）（x1，y1）（x2，y2），則由三點的求導公式，有f′（x1）=（）。5.證明：梯形公式 無條件穩(wěn)定。6.設有方程組Ax=b，其中A為對稱正定陣，迭代公式 試證明當0， 當0<ω<2/β時，有-1<1-ωλi<1，（i=1，2，...，n） 因而ρ（B）<1，迭代法收斂。7.設函數(shù)f（x）由下表給出： 8.證明對于任意選擇的A，序列收斂于零9.插值型求積公式的求積系數(shù)之和（）。10.設x1=1.216，x2=3.654均具有3位有效數(shù)字，則x1+x2的誤差限為（）11.用二次拉格朗日插值多項式的值。插值節(jié)點和相應的函數(shù)值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。12.求解方程組的高斯—塞德爾迭代格式為（），該迭代格式的迭代矩陣的譜半徑ρ（M）=（）。13.已知測量某長方形場地的長a=110米，寬b=80米.若|a-a*|≤0.1（米），|b-b*|≤0.1（米），試求其面積的絕對誤差限和相對誤差限。14.用改進的平方根法解方程組 15.設，則ρ（A）為（）。A、2B、5C、7D、316.用SOR方法解方程組（取ω＝0.9） 要求當時迭代終止。17.用最小二乘法，求一個形如y=a+bx2的經(jīng)驗公式，使它與下列數(shù)據(jù)擬合，并計算均方誤差： 18.設 已知方程組Ax=b的精確解為 （1）計算條件數(shù)cond（A）∞； （2）取近似解 計算殘向量ry=b-Ay； （3）取近似解，計算殘向量rz=b-Az； （4）就近似解y和z，分別計算定理3.11中不等式（3.55）的右端，并與不等式的左端進行比較； （5）本題計算結(jié)果說明什么問題？19.已知方程組AX=B，其中 （1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式； （2）求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑。20.畫圖說明牛頓迭代公式的幾何意義。21.利用公式求下列各近似值的誤差限： 其中22.設Ax=b，其中A對稱正定，問解此方程組的雅可比迭代法是否一定收斂？23.求方程x3-x2-1=0在x0=1.5附近的一個根，將方程改寫成下列等價形式，并建立相應迭代公式。 試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種收斂最快的方法求具有4位有效數(shù)字的近似根。24.設A是對稱正定矩陣，經(jīng)過高斯消去法一步后，A約化為 其中A=（aij）n，A2=（aij（2））n-1 證明： （1）A的對角元素aij>0（i=1，aij）； （6）從（2），（3），（5）推出，如果|aij|25.設xi（i=0，1，2，3，4，5）為互異節(jié)點，li（x）為相應的五次插值基函數(shù)，則=（）。卷II一.參考題庫(共25題)1.用二分法和牛頓法求x-tgx=0的最小正根。2.設x=（11，0，5，1）T，則=（），=（），=（）。3.用改進的Euler法解初值問題取步長h=0.1計算y=（0.5），并與精確解y=-x-1+2ex相比較。（計算結(jié)果保留到小數(shù)點后4位）4.對方程組 （1）試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由； （2）取初值，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求5.為了使計算的乘除法次數(shù)盡量地少，應將該表達式改寫為（），為了減少舍入誤差，應將表達式改寫為（）。6.設且P∈Rn×n非奇異，又設║x║為Rn上一向量范數(shù)，定義║x║p=║Px║。試證明║x║p是Rn上的一種向量范數(shù)。7.試用Gauss消去法解下列方程組，計算過程按5位小數(shù)進行：8.方程x3-x-1=0在x=1.5附近有根，把方程寫成三種不同的等價形式（1）對應迭代格式；（2）對應迭代格式；（3）x=x3-1對應迭代格式xn+1=xn3-1。判斷迭代格式在x0=1.5的收斂性，選一種收斂格式計算x=1.5附近的根，精確到小數(shù)點后第三位。9.證明對任意參數(shù)t，下列龍格－庫塔公式是二階的。 10.證明兩點三次埃爾米特插值余項是 并由此求出分段三次埃爾米特插值的誤差限。11.用冪法計算下列矩陣的主特征值及對應的特征向量： 當特征值有3位小數(shù)穩(wěn)定時迭代終止。12.用二分法求方程x2-x-1=0的正根，使誤差小于0.05。13.推導下列三種矩形求積公式： 14.研究求的牛頓公式 證明對一切k=1.2，...，xk≥且序列x1，x2，...是遞減的。15.試分別求出用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解方程組 的第k次迭代誤差的一般表達式。方程組的精確解為x*=[1,1]T。16.求f（x）=x4在[0，5]上的分段3次Hermite插值，并估計誤差（h=1）。17.是第二類切比雪夫多項式，證明它有遞推關系18.試用列主元Gauss消去法解下列方程組： 19.利用積分計算ln4時，若采用復化梯形公式，問應取多少節(jié)點才能使其誤差絕對值不超過20.設x∈Rn，x=（x1，x2，...，xn）T求證 21.x=（3，0，-4，12）T，則=（），=（），=（）。22.若f（x）∈C2[a，b]，S（x）是三次樣條函數(shù)，證明 i） ii）若f（xi）=S（xi）（i=0，1，...，n），式中xi為插值節(jié)點，且a=x023.對方程可建立差分公式 試用這一公式求解初值問題 驗證計算解恒等于準確解 24.導出具有下列形式的三階方法： 25.證明下列兩種龍格－庫塔方法是三階的： 卷III一.參考題庫(共25題)1.求f（x）=x4在[a，b]的分段埃爾米特插值，并估計誤差。2.設，則A的奇異值為（）3.導出中點公式（或稱Euler兩步公式），并給出局部截斷誤差。 4.已知x=φ（x）在區(qū)間[a，b]內(nèi)只有一根，而當a試問如何將x=φ（x）化為適于迭代的形式？ 將x=tgx化為適于迭代的形式，并求x=4.5（弧度）附近的根。5.設已知一組實驗數(shù)據(jù) 6.根據(jù)下列f（x）=tanx的數(shù)值表： 7.對于f（x）=0的牛頓公式， 證明收斂到，這里x*為f（x）=0的根。8.已知a=1.2031，b=0.978是經(jīng)過四舍五入后得到的近似值，問a+b，a×b有幾位有效數(shù)字？（有效數(shù)字的計算）9.應用牛頓法于方程x2-a=0，導出求立方根的迭代公式，并討論其收斂性。10.欲使線性插值具有4位有效數(shù)字。在區(qū)間[0，2]上列出函數(shù)esinx的具有五位有效數(shù)字的等距節(jié)點的函數(shù)值表，問步長最多可取多大？11.令Tn（x）=Tn（2x-1），x∈[0，1]，求T*0（x），T*1（x），T*2（x），T*3（x）。12.令║·║是Rn（或Cn）上的任意一種范數(shù)，而P是任意非奇異實（或復）矩陣，定義范數(shù)，證明。13.設A為非奇異矩陣，求證 14.給定下列函數(shù)值表： 15.改變函數(shù)的形式，使計算結(jié)果較精確（）。16.設A為非奇異矩陣，且，求證（A+δA）-1存在且有估計 17.考慮方程組： （a）用高斯消去法解此方程組（用四位小數(shù)計算）； （b）用列主元消去法解上述方程組并且與（a）比較結(jié)果。18.設li（x）是以xk=k（k=0，1，...，9）為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則=（）A、xB、kC、iD、119.設A∈Rn*n，證明當ρ（A）<1時，矩陣序列Sk=I+A+L+Ak（k=0，1，2，L）收斂，并求其極限。20.由下列數(shù)據(jù)： 確定的唯一插值多項式的次數(shù)為（）A、4B、2C、1D、321.用改進的尤拉方法解 取步長h=0.1計算y（0.5），并與準確解y=-e-x+x2-x+1相比較。22.分別用二階顯式亞當姆斯方法和二階隱式亞當姆斯方法解下列初值問題：y′=1-y，y（0）=0，取h=0.2，y0=0，y1=0.181，計算y（1.0）并與準確解y=1-e-x相比較。23.精確值π*=3.14159265..，則近似值π1*=3.141和π2*=3.1415分別有（）位和（）位有效數(shù)字。24.求函數(shù)y=在區(qū)間[0，1]上的二次插值多項式p2（x），并估計誤差。25.，則=（），A的譜半徑ρ（A）=（）。卷I參考答案一.參考題庫1.參考答案: 如下： 2.參考答案: Jacobi迭代為 其迭代矩陣 3.參考答案: 如下： 4.參考答案: 5.參考答案: 7.參考答案:8.參考答案: 9.參考答案:b-a10.參考答案:0.0111.參考答案: 12.參考答案: ；13.參考答案: 設長方形的面積為s=ab 當a=110，b=80時，有s=110*80=8800（米2） 此時，該近似值的絕對誤差可估計為 絕對誤差限為19.0； 相對誤差限為0.002159。14.參考答案: x=（10/9，7/9，23/9）T。15.參考答案:C16.參考答案: 17.參考答案:18.參考答案:19.參考答案: （1）分量形式 J法為： GS法為： （2） 20.參考答案: 牛頓迭代公式就是切線與?x?軸交點的橫坐標，所以牛頓法是用切線與?x?軸的交點的橫坐標來近?似代替曲線與x?軸交點的橫坐標。 21.參考答案: 如下： 22.參考答案:A對稱正定，Jacobi迭代法不一定收斂。23.參考答案: 如下： 25.參考答案:x5+2x4+x3+1卷II參考答案一.參考題庫1.參考答案:求得最小正根為4.4934。2.參考答案: 17；11；3.參考答案: 改進的尤拉公式為： 4.參考答案: 調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu) 5.參考答案: ；6.參考答案: 7.參考答案:8.參考答案: 如下： 9.參考答案: 如下： 10.參考答案: 如下： 11.參考答案: 12.參考答案: 使用二分法先要確定有根區(qū)間[a，b]。本題f（x）=x2-x-1=0，因f（1）=-1，f（2）=1，故區(qū)間[1，2]為有根區(qū)間。另一根在[-1，0]內(nèi)，故正根在[1，2]內(nèi)。用二分法計算各次迭代值如表。 13.參考答案: 1）此差值型求積公式的余項為 14.參考答案: 如下： 15.參考答案:16.參考答案:17.參考答案: 和差化積得證。18.參考答案:19.參考答案:20.參考答案: 21.參考答案:19；13；1223.參考答案: h=1，xn=n，初值條件等于準確解，由數(shù)學歸納法代入差分公式中可得 即差分法求出的解恒等于準確解。24.參考答案: 如下： 25.參考答案: 如下： 卷III參考答案一.參考題庫1.參考答案: f′（x）=4x3，則Ih（x）在每個小區(qū)間[xk，xk+1]上表示為 2.參考答案:33.參考答案:4.參考答案: 如下： 5.參考答案:6.參考答案:7.參考答案: 迭代函數(shù)為，且有 8.參考答案: 9.參考答案: 如下： 10.參考答案:11.參考答案: T*0（x）=T0（2x-1）=1， T*1（x）=T1（2x-1）=2z-1， T*2（x）=T2（2x-1）=8x2-8x+1， T*3（x）=T3（2x-1）=32x3-48x2+18x-1， 其中x∈[0，1]。12.參考答案: