新版高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1習(xí)題第三章空間向量與立體幾何檢測（B）

第三章檢測(B)(時間:90分鐘滿分:120分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1已知空間四邊形ABCD,G是CD的中點,連接AG,則AB+12(BD+A.AG B.CG C.BC D.1解析:在△BCD中,G是CD的中點,∴BG=∴AB+12(BD+BC答案:A2已知A(1,2,1)關(guān)于平面xOy的對稱點為B,而B關(guān)于x軸的對稱點為C,則BC等于()A.(0,4,2) B.(0,4,2) C.(0,4,0) D.(2,0,2)解析:∵B(1,2,1),C(1,2,1),∴BC=(0,4,2).答案:B3以下四組向量中,互相平行的組數(shù)為()①a=(2,2,1),b=(3,2,2)②a=(8,4,6),b=(4,2,3)③a=(0,1,1),b=(0,3,3)④a=(3,2,0),b=(4,3,3)A.1 B.2 C.3 D.4解析:②中,∵a=2b,∴a∥b;③中,∵a=13b,∴a∥b而①④中的向量不平行.答案:B4已知a=(2,1,3),b=(1,4,2),c=(7,5,λ),若a,b,c共面,則實數(shù)λ的值為()A.627 B.637 C.607答案:D5把邊長為a的正三角形ABC沿高線AD折成60°的二面角,則點A到BC的距離是()A.a B.62a C.33a D.解析:取BC中點E,則AE⊥BC,即AE為A到BC的距離,AE=AC2答案:D6已知A(1,0,1),B(0,0,1),C(2,2,2),D(0,0,3),則sin<AB,CD>等于(A.23 B.23 C.53解析:AB=(1,0,0),CD=(2,2,1),所以cos<AB,CD>=AB·CD|所以<AB,CD>∈故sin<AB,CD=1-答案:C7在正方體ABCDA1B1C1D1中,BB1與平面ACD1所成角的余弦值為()A.23 B.33 C.23解析:不妨設(shè)正方體的棱長為1,如圖建立空間直角坐標系,則D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).平面ACD1的法向量為DB1=又BB1=(0,0,1),則cos<DB故BB1與平面ACD1所成角的余弦值為1-答案:D8已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a,點E,F分別是BC,AD的中點,則AE·AF的值為()A.a2 B.12a2 C.14a2 D.3解析:如圖,AE=1=14=14(a2cos60°+a2cos60°)=14a答案:C9如圖所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,點E,F分別是棱AB,BB1的中點,則直線EF和BC1的夾角是()A.45° B.60° C.90° D.120°解析:不妨設(shè)AB=BC=AA1=1,則EF=BC1=BC+BB1,|BC1=12(BB1-BA)∴cos<EF,BC∴<EF,BC1>=60°,即異面直線EF與BC1答案:B10已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形,E,F分別是邊AB,AD的中點,GC垂直于正方形ABCD所在的平面α,且GC=2,則點B到平面EFG的距離為()A.3 B.5 C.1111 D.解析:如圖,建立空間直角坐標系,則B(0,4,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2),GE=(2,4,2),GF=(4,2,2).設(shè)n=(x,y,z)是平面EFG的一個法向量,則n令x=1,則y=1,z=3.則n=(1,1,3),而EB=(2,0,0).設(shè)點B到平面EFG的距離為d,則d=|n答案:D二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在題中的橫線上)11已知a,b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量,若向量c滿足(ac)·(bc)=0,則|c|的最大值是.

解析:由已知得|c|2=(a+b)·c=|c||a+b|cos<a+b,c>,即|c|=2cos<a+b,c>,當(dāng)cos<a+b,c>=1時,|c|取得最大值為2.答案:212如圖,在空間四邊形ABCD中,AC和BD為對角線,G為△ABC的重心,E是BD上一點,BE=3ED,以{AB,AC,AD}為基底,則GE=解析:GE=GA+AD+DE=13答案:113若點A,B的坐標為A(3cosα,3sinα,1),B(2cosθ,2sinθ,1),則|AB|的取值范圍為.

解析:|AB|=(=13-12cos(α-θ).∵1∴1≤1312cos(αθ)≤25.∴1≤|AB|≤5.答案:[1,5]14在正方體ABCDA1B1C1D1中,給出下列四個命題:①(A1A+A1D②A1C·(A1③向量AD1與向量A1B④正方體ABCDA1B1C1D1的體積為|AB·A其中正確的命題是.(填序號)

解析:①中,設(shè)正方體的棱長為1,則(A1A+A1D1+A1B1)2=A1C由AB1⊥A1C,故②正確;③中,A1B與AD1兩異面直線所成角為60°,但AD1與A1B的夾角為120°,故③不正確答案:①②15如圖所示,已知二面角αlβ的平面角為θθ∈0,π2,AB⊥BC,BC⊥CD,AB在平面β內(nèi),BC在l上,CD在平面α內(nèi),若AB=BC=CD=1,則AD解析:因為AD=所以AD2=AB2+BC2+CD2+2AB·CD+2AB·BC+2BC·CD=1+所以|AD|=3-2cosθ,即AD答案:3三、解答題(本大題共5小題,共45分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16(8分)已知A(3,2,1),B(1,1,1),O為坐標原點.(1)寫出一個非零向量c,使得c⊥平面AOB;(2)求線段AB中點M及△AOB的重心G的坐標;(3)求△AOB的面積.解:(1)設(shè)非零向量c=(x,y,z),要使c⊥平面AOB,則c·OA=0,且c·OB=即3x-2y+z=0,即非零向量c=(3,2,5).(2)線段AB中點M為1+32即2,-12,1,△AOB的重心G坐標為1+3+0(3)|OA|=32+(-2∴cos∠AOB=OA·∴sin∠AOB=39921∴S△AOB=1217(8分)如圖,在四棱錐MABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,側(cè)棱AM的長為3,且AM和AB,AD的夾角都是60°,N是CM的中點,設(shè)a=AB,b=AD,c=AM,試以a,b,c為基向量表示出向量BN,并求BN的長.解:∵BN=AD+12(AM-AC)=∴BN=12a+12b+1∵|BN|2=BN=14(a2+b2+c22a·b2a·c+2b·c)=17∴|BN|=172,即BN的長為1718(9分)如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,E是DD1的中點.(1)求證:AC⊥B1D;(2)若B1D⊥平面ACE,求AA1(3)在(2)的條件下,求二面角DAEC的大小.(1)證明∵ABCDA1B1C1D1是長方體,底面ABCD是正方形,∴DA,DC,DD1兩兩垂直.如圖,以D為原點,直線DA,DC,DD1分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系.設(shè)AA1=a,AB=b,則D(0,0,0),A(b,0,0),B(b,b,0),C(0,b,0),B1(b,b,a).∵AC=(b,b,0),DB1=(b,b,∴AC·DB1=0.∴AC⊥(2)解:∵B1D⊥平面ACE,∴B1D⊥AE.∵E0,0,a∵DB1·AE=b2+12a2(3)解:DC是平面DAE的一個法向量,DC=(0,b,0).設(shè)n=(x,y,z)是平面AEC的一個法向量,則n·AC=0,n·AE=0.即-bx+by則y=1,z=2,即n=(1,1,2).設(shè)二面角DAEC的平面角的大小是θ,則cosθ=DC·∴二面角DAEC的大小是60°.19(10分)如圖所示,在三棱錐PABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分別是AQ,BQ,AP,BP的中點,AQ=2BD,PD與EQ交于點G,PC與FQ交于點H,連接GH.(1)求證:AB∥GH;(2)求二面角DGHE的余弦值.(1)證明因為D,C,E,F分別是AQ,BQ,AP,BP的中點,所以EF∥AB,DC∥AB.所以EF∥DC.又EF?平面PCD,DC?平面PCD,所以EF∥平面PCD.又EF?平面EFQ,平面EFQ∩平面PCD=GH,所以EF∥GH.又EF∥AB,所以AB∥GH.(2)解:法一在△ABQ中,AQ=2BD,AD=DQ,所以∠ABQ=90°,即AB⊥BQ.因為PB⊥平面ABQ,所以AB⊥PB.又BP∩BQ=B,所以AB⊥平面PBQ.由(1)知AB∥GH,所以GH⊥平面PBQ.又FH?平面PBQ,所以GH⊥FH.同理可得GH⊥HC,所以∠FHC為二面角DGHE的平面角.設(shè)BA=BQ=BP=2,連接FC,在Rt△FBC中,由勾股定理得FC=2,在Rt△PBC中,由勾股定理得PC=5.又H為△PBQ的重心,所以HC=13PC=53.同理FH=在△FHC中,由余弦定理得cos∠FHC=59+5故二面角DGHE的余弦值為45解:法二在△ABQ中,AQ=2BD,AD=DQ,所以∠ABQ=90°.又PB⊥平面ABQ,所以BA,BQ,BP兩兩垂直.以B為坐標原點,分別以BA,BQ,BP所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)BA=BQ=BP=2,則E(1,0,1),F(0,0,1),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2).所以EQ=(1,2,1),FQ=(0,2,1),DP=(1,1,2),CP=(0,1,2).設(shè)平面EFQ的一個法向量為m=(x1,y1,z1),由m·EQ=0,m·FQ=0,得-x1+2y1-z1=0,設(shè)平面PDC的一個法向量為n=(x2,y2,z2),由n·DP=0,n·CP=0,得-x2-y2+2z2=0,所以cos<m,n>=m·因為二面角DGHE為鈍角,所以二面角DGHE的余弦值為4520(10分)如圖,AB是圓O的直徑,點C是圓O上異于點A,B的點,直線PC⊥平面ABC,E,F分別是PA,PC的中點.(1)記平面BEF與平面ABC的交線為l,試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系,并加以證明;(2)設(shè)(1)中的直線l與圓O的另一個交點為D,且點Q滿足DQ=12CP,記直線PQ與平面ABC所成的角為θ,異面直線PQ與EF所成的角為α,二面角ElC的大小為β,求證:sinθ=sin(1)解:直線l∥平面PAC,證明如下:連接EF,因為E,F分別是PA,PC的中點,所以EF∥AC.又EF?平面ABC,且AC?平面ABC,所以EF∥平面ABC.而EF?平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,所以EF∥l.因為l?平面PAC,EF?平面PAC,所以直線l∥平面PAC.(2)證明方法一:如圖①,連接BD,由(1)可知交線l即為直線BD,且l∥AC.圖①因為AB是☉O的直徑,所以AC⊥BC,于是l⊥BC.已知PC⊥平面ABC,而l?平面ABC,所以PC⊥l.而PC∩BC=C,所以l⊥平面PBC.連接BE,BF,因為BF?平面PBC,所以l⊥BF.故∠CBF就是二面角ElC的平面角,即∠CBF=β.由DQ=12CP,作DQ∥CP,且連接PQ,DF,因為F是CP的中點,CP=2PF,所以DQ=PF.從而四邊形DQPF是平行四邊形,PQ∥FD.連接CD,因為PC⊥平面ABC,所以CD是FD在平面ABC內(nèi)的射影,故∠CDF就是直線PQ與平面ABC所成的角,即∠CDF=θ.又BD⊥平面PBC,有BD⊥BF,知∠BDF為銳角,故∠BDF為異面直線PQ與EF所成的角,即∠BDF=α.于是在Rt△DCF,Rt△FBD,Rt△BCF中,分別可得sinθ=CFDF,sinα=BFDF,sinβ=從而sinαsinβ=CFBF·BFDF=即sinθ=sinαsinβ.圖②方法二:如圖②,由DQ=12CP,作DQ∥CP,且連接PQ,EF,BE,BF,BD,由(1)可知交線l即為直線BD.以點C為原點,向量CA,CB,CP所在直線分別為x軸