高考數(shù)學理北師大版一輪復習測評5-3平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用

核心素養(yǎng)測評二十九平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a·b=1,則x= ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】選D.a·b=1×2+(1)×x=2x=1,所以x=1.2.(2020·十堰模擬)若夾角為θ的向量a與b滿足|b|=|ab|=1,且向量a為非零向量,則|a|= ()A.2cosθ B.2cosθC.cosθ D.cosθ【解析】選B.因為|b|=|ab|=1,所以b2=a22a·b+b2,a2=2a·b,|a|2=2|a||b|cosθ,因為a為非零向量,所以|a|=2|b|cosθ=2cosθ.3.(2020·銅川模擬)已知平面向量a=(2,3),b=(1,2),向量λa+b與b垂直,則實數(shù)λ的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因為a=(2,3),b=(1,2),所以λa+b=(2λ+1,3λ+2).因為λa+b與b垂直,所以(λa+b)·b=0,所以(2λ+1,3λ+2)·(1,2)=0,即2λ+1+6λ+4=0,解得λ=QUOTE.4.(2019·廣州模擬)已知非零向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|a2b|=2,則|b|等于 ()A.4 B.2 C.QUOTE D.1【解析】選D.因為|a2b|=2,所以|a2b|2=4,a24a·b+4b2=4,44·2|b|cos60°+4|b|2=4,解得|b|=1.(|b|=0舍去)5.已知|a|=6,|b|=3,向量a在b方向上的投影是4,則a·b為 ()A.12B.8C.8D.2【解析】選A.因為|a|cos<a,b>=4,|b|=3,所以a·b=|a||b|·cos<a,b>=12.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2020·太原模擬)如圖所示,在等腰直角三角形AOB中,OA=OB=1,=4,則·()=________________.

【解析】由已知得||=QUOTE,||=QUOTE,則·()=(+)·=·+·=QUOTEcosQUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.已知向量m與n滿足|m|=1,|n|=2,且m⊥(m+n),則向量m與n的夾角為________________.

【解析】設m,n的夾角為θ,因為m⊥(m+n),所以m·(m+n)=m2+m·n=1+1×2cosθ=0,所以cosθ=QUOTE,又θ∈QUOTE,所以θ=QUOTE.答案:QUOTE【變式備選】已知向量a,b滿足|a|=|b|=2且(a+2b)·(ab)=2,則向量a與b的夾角為________________.

【解析】設a與b的夾角為θ.由已知a22b2+a·b=2,48+4cosθ=2,cosθ=QUOTE,又θ∈[0,π],所以θ=QUOTE,即a與b的夾角為QUOTE.答案:QUOTE8.已知正方形ABCD的邊長為2,E為CD的中點,則·=________________.

【解析】在邊長為2的正方形ABCD中,·=0,因為·=(+)·(+)=·()=+QUOTE··QUOTE=4+00QUOTE×4=2.答案:2【變式備選】已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點,則·的值為________________;·的最大值為________________.

【解析】以射線AB,AD為x軸,y軸的正方向建立平面直角坐標系,則A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),設E(t,0),t∈[0,1],則=(t,1),=(0,1),所以·=(t,1)·(0,1)=1.因為=(1,0),所以·=(t,1)·(1,0)=t≤1,·的最大值為1.答案:11三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2020·西安模擬)設向量a,b滿足|a|=|b|=1,且|2ab|=QUOTE.(1)求|2a3b|的值;(2)求向量3ab與a2b的夾角θ. 導學號【解析】(1)因為|2ab|2=4a24a·b+b2=44a·b+1=5,所以a·b=0,所以|2a3b|=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(2)cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因為θ∈[0,π],所以θ=QUOTE.10.在平面直角坐標系xOy中,點A(1,2),B(2,3),C(2,1). 導學號(1)求以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長.(2)設實數(shù)t滿足(t)·=0,求t的值.【解析】(1)由已知=(3,5),=(1,1),則+=(2,6),=(4,4).所以|+|=2QUOTE,||=4QUOTE.所以所求的兩條對角線的長分別為4QUOTE,2QUOTE.(2)由已知,=(2,1),t=(3+2t,5+t).由(t)·=0得(3+2t,5+t)·(2,1)=0,所以5t=11,所以t=QUOTE.(15分鐘35分)1.(5分)(2020·潮州模擬)已知向量a、b為單位向量,且a+b在a的方向上的投影為QUOTE+1,則向量a與b的夾角為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.設向量a與b的夾角為θ,因為向量a、b為單位向量,a+b在a的方向上的投影為QUOTE+1,所以(a+b)·a=|a|QUOTE,變形得1+a·b=QUOTE+1,即a·b=1×1×cosθ=cosθ=QUOTE,又由0≤θ≤π,則θ=QUOTE,故選A.2.(5分)(2020·大同模擬)已知i,j為互相垂直的單位向量,a=i2j,b=i+λj,且a與b的夾角為銳角,則實數(shù)λ的取值范圍是 ()A.QUOTE∪QUOTE B.QUOTEC.(∞,2)∪QUOTE D.QUOTE【解析】選C.不妨令i=(1,0),j=(0,1),則a=(1,2),b=(1,λ),因為它們的夾角為銳角,所以a·b=12λ>0且a,b不共線,所以λ<QUOTE且λ≠2,故選C.3.(5分)在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2,AB=1,D為BC的中點,E在斜邊AC上,若=2,則·=____________.

【解析】如圖,以B為原點,AB所在直線為x軸,BC所在直線為y軸,建立平面直角坐標系,則B(0,0),A(1,0),C(0,2),=(1,2).因為D為BC的中點,所以D(0,1),因為=2,所以EQUOTE,=QUOTE,所以·=QUOTE·(1,2)=QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE4.(10分)(2020·鄭州模擬)已知向量m=(2sinωx,cos2ωxsin2ωx),n=(QUOTEcosωx,1),其中ω>0,x∈R.若函數(shù)f(x)=m·n的最小正周期為π. 導學號(1)求ω的值.(2)在△ABC中,若f(B)=2,BC=QUOTE,sinB=QUOTEsinA,求·的值.【解析】(1)f(x)=m·n=2QUOTEsinωxcosωx+cos2ωxsin2ωx=QUOTEsin2ωx+cos2ωx=2sinQUOTE.因為f(x)的最小正周期為π,所以T=QUOTE=π,又ω>0,所以ω=1.(2)由(1)知f(x)=2sinQUOTE.設△ABC中角A,B,C所對邊分別是a,b,c.因為f(B)=2,所以2sinQUOTE=2,即sinQUOTE=1,又0<B<π,解得B=QUOTE.因為BC=QUOTE,即a=QUOTE,又sinB=QUOTEsinA,所以b=QUOTEa,b=3.由正弦定理得,QUOTE=QUOTE,解得sinA=QUOTE.又0<A<QUOTE,解得A=QUOTE,所以C=QUOTE,c=a=QUOTE,所以·=cacosB=QUOTE×QUOTE×cosQUOTE=QUOTE.5.(10分)在如圖所示的平面直角坐標系中,已知點A(1,0)和點B(1,0),||=1,且∠AOC=x,其中O為坐標原點.導學號(1)若x=QUOTE,設點D為線段OA上的動點,求|+|的最小值.(2)若x∈QUOTE,向量m=,n=(1cosx,sinx2cosx),求m·n的最小值及對應的x值.【解析】(1)設D(t,0)(0≤t≤1),當x=QUOTE時,可得CQUOTE,所以+=QUOTE,所以|+|2=QUOTE+QUOTE(0≤t≤1),所以當t=QUOTE時,|+|2取得最小值為QUOTE,故|+|的最小值為QUOTE.(2)由題意得C(cosx,sinx),m==(cosx+1,sinx),則m·n=1cos2x+sin2x2sinxcosx=1cos2xsin2x=1QUOTEsinQUOTE.因為x∈QUOTE,所以QUOTE≤2x+QUOTE≤QUOTE.所以當2x+QUOTE=QUOTE,即x=QUOTE時,m·n=1QUOTEsinQUOTE取得最小值1QUOTE,所以m·n的最小值為1QUOTE,此時x=QUOTE.1.已知向量與的夾角為θ,||=2,||=1,=t,=(1t),||在t0時取最小值,當0<t0<QUOTE時,cosθ的取值范圍為 導學號()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.建立如圖所示的平面直角坐標系,則由題意有:A(2,0),B(cosθ,sinθ),由向量關系可得:=t=(2t,0),=(1t)=((1t)cosθ,(1t)sinθ),則:||=||=QUOTE,整理可得:||=QUOTE,滿足題意時:t0=QUOTE=QUOTEQUOTE,據(jù)此可得三角不等式:0<QUOTEQUOTE<QUOTE,解得:QUOTE<cosθ<QUOTE,即cosθ的取值范圍是QUOTE.2.已知圓O的半徑為1,A,B是圓上的兩點,且∠AOB=QUOTE,MN是圓O的任意一條直