中考數(shù)學(xué)解題技巧 12三角形中的最值問題與分類討論問題

三角形中的最值問題與分類討論問題三角形中的最值問題（將軍飲馬模型、瓜豆模型（動點軌跡問題）、胡不歸模型、費馬點模型等）在考試中，無論是解答題，還是選擇、填空題，都是學(xué)生感覺有困難的地方，也恰是學(xué)生能力區(qū)分度最重要的地方，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。在解決幾何最值問題主要依據(jù)是：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換、旋轉(zhuǎn)變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。特殊三角形中的分類討論則體現(xiàn)了另一種數(shù)學(xué)思想，希望通過本專題的講解讓大家對這兩類問題有比較清晰的認(rèn)識。1、三角形中的最值問題：將軍飲馬模型【解題技巧】將軍飲馬模型圖形原理兩點之間線段最短兩點之間線段最短三角形三邊關(guān)系特征A，B為定點，l為定直線，P為直線l上的一個動點，求AP+BP的最小值A(chǔ)，B為定點，l為定直線，MN為直線l上的一條動線段，求AM+BN的最小值A(chǔ)，B為定點，l為定直線，P為直線l上的一個動點，求|AP-BP|的最大值轉(zhuǎn)化作其中一個定點關(guān)于定直線l的對稱點先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一個定點關(guān)于定直線l的對稱點作其中一個定點關(guān)于定直線l的對稱點例1．（2021·湖北省江夏區(qū)初二月考）在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點A在x軸上，點A的坐標(biāo)為（4，0），∠AOB=30°，點E的坐標(biāo)為（1，0），點P為斜邊OB上的一個動點，則PA+PE的最小值為_____．【答案】【分析】作A關(guān)于OB的對稱點D，連接ED交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，求出AM和AD，再求出DN、EN，根據(jù)勾股定理求出ED，即可得出答案．【解析】作A關(guān)于OB的對稱點D，連接ED交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，∵DP=PA，∴PA+PE=PD+PE=ED，∵點A的坐標(biāo)為（4，0），∠AOB=30°，∴OA=4，∴AM=OA=2，∴AD=2×2=4，∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵∠DNO=∠OAB=90°，∴DN∥AB，∴∠NDA=∠BAM=30°，∴AN=AD=2，由勾股定理得：DN===2，∵E（1，0），∴EN=4﹣1﹣2=1，在Rt△DNE中，由勾股定理得：DE===，即PA+PC的最小值是．故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握最短路徑的確定方法找出點P的位置以及表示PA+PE的最小值的線段是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·甘肅西峰·八年級期末）如圖，在等邊△ABC中，E為AC邊的中點，AD垂直平分BC，P是AD上的動點．若AD=6，則EP+CP的最小值為_______________．【答案】6【分析】要求EP+CP的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化EP，CP的值，從而找出其最小值求解．【詳解】解：作點E關(guān)于AD的對稱點F，連接CF，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中垂線，∴點E關(guān)于AD的對應(yīng)點為點F，∴CF就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等邊三角形，E是AC邊的中點，∴F是AB的中點，∴CF=AD=6，即EP+CP的最小值為6，故答案為6．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和軸對稱等知識，熟練掌握等邊三角形和軸對稱的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．變式2．（2022·廣東新豐·八年級期末）如圖所示，在中，，直線EF是AB的垂直平分線，D是BC的中點，M是EF上一個動點，的面積為12，，則周長的最小值是______．【答案】8【分析】連接AD，AM，由EF是線段AB的垂直平分線，得到AM=BM，則△BDM的周長=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周長最小，即要使AM+DM的值最小，故當(dāng)A、M、D三點共線時，AM+DM最小，即為AD，由此再根據(jù)三線合一定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接AD，AM，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴AM=BM，∴△BDM的周長=BD+BM+DM=AM+DM+BD，∴要想△BDM的周長最小，即要使AM+DM的值最小，∴當(dāng)A、M、D三點共線時，AM+DM最小，即為AD，∵AB=AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC，，∴，∴AD=6，∴△BDM的周長最小值=AD+BD=8，故答案為：8．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三線合一定理，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到當(dāng)A、M、D三點共線時，AM+DM最小，即為AD．變式3．（2021·重慶初二月考）如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點P到直線l1的距離為6，點Q到直線l2的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動點A，直線l2上有一動點B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時PA+BQ=______．【答案】16．【詳解】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，連接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此時PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四邊形ABCP是平行四邊形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案為16．例2．（2021·上虞市初二月考）如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，OP=6cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，若△PMN周長的最小值是6cm，則∠AOB的度數(shù)是（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【分析】分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，由對稱的性質(zhì)得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，證出△OCD是等邊三角形，得出∠COD=60°，即可得出結(jié)果．【解析】分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：∵點P關(guān)于OA的對稱點為D，關(guān)于OB的對稱點為C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵點P關(guān)于OB的對稱點為C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周長的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等邊三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故選：B．【點睛】此題考查軸對稱的性質(zhì)，最短路線問題，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．變式4．（2021·江陰市敔山灣實驗學(xué)校八年級月考）某班級在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數(shù)學(xué)模型：直線同旁有兩個定點、，在直線上存在點，使得的值最?。夥ǎ喝鐖D1，作點關(guān)于直線的對稱點，連接，則與直線的交點即為，且的最小值為．請利用上述模型解決下列問題：（1）幾何應(yīng)用：如圖2，中，，，是的中點，是邊上的一動點，則的最小值為；（2）幾何拓展：如圖3，中，，，若在、上各取一點、使的值最小，畫出圖形，求最小值并簡要說明理由．【答案】（1）；（2），圖和理由見解析【分析】（1）作點A關(guān)于BC的對稱點A′，連接A′E交BC于P，此時PA+PE的值最小．連接BA′，先根據(jù)勾股定理求出BA′的長，再判斷出∠A′BA=90°，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；（2）作點C關(guān)于直線AB的對稱點C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，連接AC′，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解：（1）如圖2所示，作點A關(guān)于BC的對稱點A′，連接A′E交BC于P，此時PA+PE的值最?。B接BA′．由勾股定理得，BA′=BA===2，∵是的中點，∴BE=BA=，∵，，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，∴PA+PE的最小值=A′E===．故答案為：；（2）如圖3，作點C關(guān)于直線AB的對稱點C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，連接AC′，則C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC為等邊三角形，∴∠AC′N=30°，∴AN=C′A=1，∴CM+MN的最小值為C′N==．【點睛】本題考查的是軸對稱--最短路線問題、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短，解這類問題的關(guān)鍵是將所給問題抽象或轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段．變式5．（2022·安徽安慶·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點M、N，使△AMN的周長最小，則∠MAN＝_____°．【答案】80【分析】作點A關(guān)于BC、CD的對稱點A1、A2，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，連接A1、A2分別交BC、DC于點M、N，利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和角的和差關(guān)系即可得∠MAN．【詳解】如圖，作點A關(guān)于BC、CD的對稱點A1、A2，連接A1、A2分別交BC、DC于點M、N，連接AM、AN，則此時△AMN的周長最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵點A關(guān)于BC、CD的對稱點為A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案為：80．【點睛】本題考查了軸對稱的最短路徑問題，利用軸對稱將三角形周長問題轉(zhuǎn)化為兩點間線段最短問題是解決本題的關(guān)鍵．變式6．（2021·湖北洪山·八年級期中）如圖，將△ABC沿AD折疊使得頂點C恰好落在AB邊上的點M處，D在BC上，點P在線段AD上移動，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，則△PMB周長的最小值為___．【答案】18【分析】首先明確要使得△PMB周長最小，即使得PM+PB最小，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可知PM=PC，從而可得滿足PC+PB最小即可，根據(jù)兩點之間線段最短確定BC即為最小值，從而求解即可．【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知，AM=AC，PM=PC，∴M點為AB上一個固定點，則BM長度固定，∵△PMB周長=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周長最小，即使得PM+PB最小，∵PM=PC，∴滿足PC+PB最小即可，顯然，當(dāng)P、B、C三點共線時，滿足PC+PB最小，如圖所示，此時，P點與D點重合，PC+PB=BC，∴△PMB周長最小值即為BC+BM，此時，作DS⊥AB于S點，DT⊥AC延長線于T點，AQ⊥BC延長線于Q點，由題意，AD為∠BAC的角平分線，∴DS=DT，∵，，∴，即：，∴，解得：AB=14，∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴△PMB周長最小值為BC+BM=3+7+8=18，故答案為：18．【點睛】本題考查翻折的性質(zhì)，以及最短路徑問題等，掌握翻折的基本性質(zhì)，利用角平分線的性質(zhì)進(jìn)行推理求解，理解并熟練運用兩點之間線段最短是解題關(guān)鍵．2、三角形中的最值問題：瓜豆原理（動點軌跡問題）【解題技巧】動點軌跡為一條直線時，利用“垂線段最短”求最值。（1）當(dāng)動點軌跡確定時可直接運用垂線段最短求最值（2）當(dāng)動點軌跡不易確定是直線時，可通過以下三種方法進(jìn)行確定=1\*GB3①觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等位置時是否存在動點與定直線的端點連接后的角度不變，若存在該動點的軌跡為直線。=2\*GB3②當(dāng)某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線。=3\*GB3③當(dāng)一個點的坐標(biāo)以某個字母的代數(shù)式表示時，若可化為一次函數(shù)，則點的軌跡為直線。如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當(dāng)點P在BC上運動時，Q點軌跡是？當(dāng)P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線．可以這樣理解：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線．例1．（2021·成都市石室天府中學(xué)八年級月考）如圖，在中，，點分別在上，將沿翻折，點落在處，則線段長度的最小值為_____．【答案】【分析】過作交延長線于，連結(jié)，由題意易得，，進(jìn)而可得BN、，然后根據(jù)三角不等關(guān)系可進(jìn)行求解最小值．【詳解】解：過作交延長線于，連結(jié)，，，，沿翻折得到，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，線段長度取得最小值，的最小值為．故答案為：．【點睛】本題主要考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及折疊的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)折疊的性質(zhì)及三角不等式得到線段的最值，進(jìn)而求解即可．變式1．（2021·廣東·八年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，，點F在邊AC上，并且CF＝2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是?！敬鸢浮咯?．【分析】先依據(jù)勾股定理求得AB的長，然后依據(jù)翻折的性質(zhì)可知PF＝FC，故此點P在以F為圓心，以2為半徑的圓上，依據(jù)垂線段最短可知當(dāng)FP⊥AB時，點P到AB的距離最短，然后依據(jù)題意畫出圖形，最后，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】如圖所示：當(dāng)PE∥AB．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，，∴AB=12，由翻折的性質(zhì)可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．AF=4,∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂線段最短可知此時FD有最小值．FD=∴PD＝DF﹣FP＝﹣2．例2.（2021·重慶八年級月考）在中，，，，點D是直線BC上一動點，連接AD，在直線AD的右惻作等邊，連接CE，當(dāng)線段CE的長度最小時，則線段CD的長度為_______．【答案】3【詳解】解：如圖，以AC為邊向左作等邊三角形ACF，連接DF，∵，，∴，∵，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，當(dāng)時，DF的長是最小的，即CE的長最小，∵，，∴，，∴當(dāng)線段CE的長度最小時，則線段CD的長度為3．故答案是：3．變式2．（2021·東北師大附屬明達(dá)學(xué)校九年級二模）數(shù)學(xué)興趣活動課上，小致將等腰的底邊與直線重合．（1）如圖(1)，在中，，點在邊所在的直線上移動，根據(jù)“直線外一點到直線上所有點的連線中垂線段最短”，小致發(fā)現(xiàn)的最小值是____________．（2）為進(jìn)一步運用該結(jié)論，在（1）的條件下，小致發(fā)現(xiàn)，當(dāng)最短時，如圖(2)，在中，作平分交于點點分別是邊上的動點，連結(jié)小致嘗試探索的最小值，小致在上截取使得連結(jié)易證，從而將轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化到（1）的情況，則的最小值為；（3）解決問題：如圖(3)，在中，，點是邊上的動點，連結(jié)將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段連結(jié)，求線段的最小值．【答案】（1）2；（2）；（3）3．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)小致的思路，把將轉(zhuǎn)化為即P，E，N三點共線且時的值最??；（3）在上取一點，使得，連接，．由，推出，易知時，的值最小，求出的最小值即可解決問題．【詳解】（1）如圖，過點A作，此時AP的值最小．∵，，，故答案為：2．（2）根據(jù)小致的思路作出圖形，可知當(dāng)時的值最小，如圖：∵，，∴，∵，∴，故答案為：．（3）如圖3中，在上取一點，使得，連接，．，，，，，，，，，時，的值最小，最小值為3，的最小值為3．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂線段最短，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．變式3.（2021·長沙市望城區(qū)郡維學(xué)校初二月考）如圖，OE是等邊的中線，，點C是直線OE上一動點，以AC為邊在直線AC下方作等邊，連接ED，下列說法正確的是（）A．ED的最小值是2 B．ED的最小值是1C．ED有最大值 D．ED沒有最大值也沒有最小值【答案】B【分析】如圖（見解析），先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而可得點D的運動軌跡，最后根據(jù)垂線段最短、直角三角形的性質(zhì)即可得．【解析】如圖，連接BD，過點E作，交BD延長線于點F，和都是等邊三角形，，，，即，在和中，，，，OE是等邊的中線，，，即直線BD的位置是固定的，當(dāng)點C在直線OE上運動時，點D在直線BD上運動，由垂線段最短得：當(dāng)點D與點F重合時，ED取得最小值，最小值為EF，在中，，即ED的最小值為1，故選：B．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、垂線段最短、直角三角形的性質(zhì)等知識點，確定出點D的運動軌跡是解題關(guān)鍵．例3．（2020·江蘇宿遷市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=﹣x+2上的一個動點，將Q繞點P(1，0)順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到點，連接，則的最小值為()A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等腰直角三角形構(gòu)造全等三角形，求出旋轉(zhuǎn)后Q′的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理并利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：方法一：作QM⊥x軸于點M，Q′N⊥x軸于N，設(shè)Q(，)，則PM=，QM=，∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N，在△PQM和△Q′PN中，，∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，∴PN=QM=，Q′N=PM=，∴ON=1+PN=，∴Q′(，)，∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，當(dāng)m=2時，OQ′2有最小值為5，∴OQ′的最小值為，故選：B．方法二：由方法一知：Q′(，)，故得到點Q′的運動軌跡為直線l：y=2x-5.∴當(dāng)OQ′垂直于直線l時，OQ′取的最小值?！军c睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的變換-旋轉(zhuǎn)，勾股定理，表示出點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．變式4.（2021·重慶八年級月考）如圖，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE的腰長分別為4和2，其中∠BAC＝∠DAE＝90°，點M為邊DE的中點，若等腰Rt△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，則點B到點M的距離最小值為__________．【答案】【詳解】解：連接AM，如下圖所示：點M為邊DE的中點，且Rt△ADE為等腰三角形，，，在Rt△ADE中，，由勾股定理可知：，故有，當(dāng)A、B、M三點不共線時，由三角形的三邊關(guān)系可知：此時一定有，當(dāng)三點共線且M點位于A、B之間時，此時有，．故答案為：．3、三角形中的最值問題：費馬點模型【解題技巧】費馬點”是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點距高之和最短的點。主要分為兩種情況：（1）當(dāng)三角形三個內(nèi)角都小于120°的三角形，通常將某三角形繞點旋轉(zhuǎn)60度，從而將“不等三爪圖”中三條線段轉(zhuǎn)化在同一條直線上，利用兩點之間線段最短解決問題。（2）當(dāng)三角形有一個內(nèi)角大于120°時，費馬點就是此內(nèi)角的頂點.費馬點問題解題的核心技巧：旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形將“不等三爪圖”中三條線段轉(zhuǎn)化至同一直線上利用兩點之間線段最短求解問題問題：在△ABC內(nèi)找一點P，使得PA+PB+PC最?。痉治觥吭谥暗淖钪祮栴}中，我們解決的依據(jù)有：兩點之間線段最短、點到直線的連線中垂線段最短、作對稱化折線段為直線段、確定動點軌跡求最值等．（1）如圖，分別以△ABC中的AB、AC為邊，作等邊△ABD、等邊△ACE．（2）連接CD、BE，即有一組手拉手全等：△ADC≌△ABE．（3）記CD、BE交點為P，點P即為費馬點．（到這一步其實就可以了）（4）以BC為邊作等邊△BCF，連接AF，必過點P，有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．在圖三的模型里有結(jié)論：（1）∠BPD=60°；（2）連接AP，AP平分∠DPE．有這兩個結(jié)論便足以說明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．原來在“手拉手全等”就已經(jīng)見過了呀，只是相逢何必曾相識！例1．（2021·湖北鄂州市·九年級期末）中，，，，為內(nèi)一個動點，則的最小值為_____．【答案】【分析】將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′C′，當(dāng)點B、P、P′、C′在同一直線上時，最小，求此時的BC′即可．【詳解】解：將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′C′，由旋轉(zhuǎn)可知，P′C′=PC，AP=AP′，∠PAP′=60°，∠CAC′=60°，∴△PAP′是等邊三角形，PP′=AP，，當(dāng)點B、P、P′、C′在同一直線上時，最小，最小值為BC′長，過點C′作C′M⊥AB，交BA延長線于點M，∵∠CAC′=60°，，∴∠C′AM=45°，AC′=，∴AM=MC′=4，∵，∴BM=10，BC′=，故答案為：．【點睛】本題考查費馬點問題，通過旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，把求三條線段和最小問題轉(zhuǎn)化為兩點之間，線段最短問題是解題關(guān)鍵．變式1．（2021·山東濱州·中考真題）如圖，在中，，，．若點P是內(nèi)一點，則的最小值為____________．【答案】【分析】根據(jù)題意，首先以點A為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)△APB到△AP′B′，旋轉(zhuǎn)角是60°，作出圖形，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根據(jù)兩點之間線段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根據(jù)勾股定理可以求得CB′的值，從而可以解答本題．【詳解】以點A為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)△APB到△AP′B′，旋轉(zhuǎn)角是60°，連接BB′、PP′，，如圖所示，則∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′，∴△APP′是等邊三角形，∴AP=PP′，∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，∵PP′+P′B′+PC≥CB′，∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2，∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB?cos∠BAC=2×cos30°=，∴CB′=，故答案為：．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、最短路徑問題、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合的思想．變式2．（2021·湖北青山·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點D為AB中點，連接CD，點P、Q分別為CE、CD上的動點．（1）求證：△ADC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）4．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊三角形的判定即可得證；（2）連接，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得垂直平分，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，同樣的方法可得，從而可得，最后根據(jù)兩點之間線段最短即可得出答案．【詳解】證明：（1）在中，，，點是斜邊的中點，，是等邊三角形；（2）如圖，連接，和都是等邊三角形，，，，垂直平分，，同理可得：垂直平分，，，由兩點之間線段最短可知，當(dāng)點共線時，取得最小值，故的最小值為4．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例2．（2021·廣東·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點．若AP+BP+CP的最小值為2，則BC＝_____．【答案】【分析】如圖將△ABP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMG．連接PG，CM．首先證明當(dāng)M，G，P，C共線時，PA+PB+PC的值最小，最小值為線段CM的長，想辦法求出AC的長即可解決問題.【詳解】如圖將△ABP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMG．連接PG，CM．∵AB=AC，AH⊥BC，∴∠BAP=∠CAP，∵PA=PA，∴△BAP≌△CAP（SAS），∴PC=PB，∵M(jìn)G=PB，AG=AP，∠GAP=60°，∴△GAP是等邊三角形，∴PA=PG，∴PA+PB+PC=CP+PG+GM，∴當(dāng)M，G，P，C共線時，PA+PB+PC的值最小，最小值為線段CM的長，∵AP+BP+CP的最小值為2，∴CM=2，∵∠BAM=60°，∠BAC=30°，∴∠MAC=90°，∴AM=AC=2，作BN⊥AC于N．則BN=AB=1，AN=，CN=2-，∴BC=．故答案為．【點睛】本題考查軸對稱-最短問題，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會利用兩點之間線段最短解決問題變式3．（2021·綿陽市·八年級期中）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對角線BD（不含B點）上任意一點，將△ABG繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，當(dāng)AG+BG+CG取最小值時EF的長（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖，∵將△ABG繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴△BFG是等邊三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根據(jù)“兩點之間線段最短”，∴當(dāng)G點位于BD與CE的交點處時，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長，過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=，故選：D．變式4．（2021·江蘇·蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校八年級期中）背景資料：在已知所在平面上求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最小.這個問題是法國數(shù)學(xué)家費馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”．如圖1，當(dāng)三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點P在內(nèi)部，當(dāng)時，則取得最小值．(1)如圖2，等邊內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將繞頂點A旋轉(zhuǎn)到處，此時這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段、、轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出_______；知識生成：怎樣找三個內(nèi)角均小于120°的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點與的另一頂點，則連線通過三角形內(nèi)部的費馬點．請同學(xué)們探索以下問題．(2)如圖3，三個內(nèi)角均小于120°，在外側(cè)作等邊三角形，連接，求證：過的費馬點．(3)如圖4，在中，，，，點P為的費馬點，連接、、，求的值．(4)如圖5，在正方形中，點E為內(nèi)部任意一點，連接、、，且邊長；求的最小值．【答案】(1)150°；(2)見詳解；(3)；(4)．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根據(jù)△ABC為等邊三角形，得出∠BAC=60°，可證△APP′為等邊三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根據(jù)勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可；（2）將△APB逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AB′P′，連結(jié)PP′，根據(jù)△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根據(jù)∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均為等邊三角形，得出PP′=AP，根據(jù)，根據(jù)兩點之間線段最短得出點C，點P，點P′，點B′四點共線時，最小=CB′，點P在CB′上即可；（3）將△APB逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B′，連結(jié)BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可證△APP′和△ABB′均為等邊三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根據(jù)，可得點C，點P，點P′，點B′四點共線時，最小=CB′，利用30°直角三角形性質(zhì)得出AB=2AC=2，根據(jù)勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根據(jù)∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可；（4）將△BCE逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CE′B′，連結(jié)EE′，BB′，過點B′作B′F⊥AB，交AB延長線于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可證△ECE′與△BCB′均為等邊三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出點C，點E，點E′，點B′四點共線時，最小=AB′，根據(jù)四邊形ABCD為正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根據(jù)30°直角三角形性質(zhì)得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根據(jù)勾股定理AB′=即可．(1)解：連結(jié)PP′，∵≌，∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，∴△APP′為等邊三角形，∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，在△P′PC中，PC=5，，∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，∴∠APB=∠AP′C=150°，故答案為150°；(2)證明：將△APB逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AB′P′，連結(jié)PP′，∵△APB≌△AB′P′，∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均為等邊三角形，∴PP′=AP，∵，∴點C，點P，點P′，點B′四點共線時，最小=CB′，∴點P在CB′上，∴過的費馬點．(3)解：將△APB逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B′，連結(jié)BB′，PP′，∴△APB≌△AP′B′，∴AP′=AP，AB′=AB，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均為等邊三角形，∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，∵∴點C，點P，點P′，點B′四點共線時，最小=CB′，∵，，，∴AB=2AC=2，根據(jù)勾股定理BC=∴BB′=AB=2，∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，∴在Rt△CBB′中，B′C=∴最小=CB′=；(4)解：將△BCE逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CE′B′，連結(jié)EE′，BB′，過點B′作B′F⊥AB，交AB延長線于F，∴△BCE≌△CE′B′，∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，∵∠ECE′=∠BCB′=60°，∴△ECE′與△BCB′均為等邊三角形，∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，∵，∴點C，點E，點E′，點B′四點共線時，最小=AB′，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，∵B′F⊥AF，∴BF=，BF=，∴AF=AB+BF=2+，∴AB′=，∴最小=AB′=．【點睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，正三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形判定與性質(zhì)，兩點之間線段最短，四點共線，正方形性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)，掌握圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，正三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形判定與性質(zhì)，兩點之間線段最短，四點共線，正方形性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例3．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點，求最小值.（加權(quán)費馬點）【答案】【分析】將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A，將△A擴(kuò)大倍，得到△，當(dāng)B、P、、在同一直線上時，=最短，用勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A，將△A擴(kuò)大，相似比為倍，得到△，則，，，過點P作PE⊥A于E，∴AE=，∴E=A-AE=，∴P=，當(dāng)點B、P、、在同一直線上時，=最短，此時=B，∵∠BA=∠BAC+∠CA=90°，AB=6，，∴．【點睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確理解費馬點問題的造圖方法：利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)構(gòu)建等量的線段，利用三角形的三邊關(guān)系及點共線的知識求解，有時根據(jù)系數(shù)將圖形擴(kuò)大或縮小構(gòu)建圖形．變式5．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，在內(nèi)部有一點P，連接、、．（加權(quán)費馬點）求：（1）的最小值；（2）的最小值；（3）的最小值；（4）的最小值；（5）的最小值；（6）的最小值（7）的最小值；（8）的最小值【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）26；（7）；（8）【分析】（1）將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，則，，，可以推出為等邊三角形，得到，則，即可得到A、P、、四點共線時，最小，最小值為，然后證明，由此利用勾股定理求解即可；（2）將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則可證明，從而得到，則當(dāng)A、P、、四點共線時最小，最小值為，過點A再作的垂線，垂足為E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；（3）將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則可證明，則，故當(dāng)A、P、、四點共線時最小，最小值為，過點A再作的垂線，垂足為E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；（4）將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點C為位似中心放大2倍，得到，連接，先證明，則可以得到，故當(dāng)，，，共線時最小，最小為，然后證明，即可利用勾股定理求解；（5）將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點C為位似中心縮小2倍，得到，同（4）原理可證得當(dāng)，，，共線時最小，最小為，然后證明，由此求解即可；（6）由可由（5）得：的最小值為26；（7）由可由（4）得的最小值為；（8）將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點C為位似中心縮小倍，得到，同理可以證得當(dāng)A、P、、，共線時的值最?。谥?，，，過點作交BC延長線于E，然后求出，的長，由此即可求解．【詳解】解：（1）如圖3-2，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴為等邊三角形，∴，∴，∴A、P、、四點共線時，最小，最小值為同理可證為等邊三角形，∴，，∴，∴；∴的最小值為；（2）如圖3-4，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，，，∴，∴，∴當(dāng)A、P、、四點共線時，最小，最小值為∵∠ACB=30°，∴∴，過點A再作的垂線，垂足為E，∴∠AEC=90°，∠ACE=60°，∴∠CAE=30°，∴∴，，∴，∴的最小值為；（3）如圖3-6，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，，，∴，過點C作于E，∴，，∴，∴，∴，∴當(dāng)A、P、、四點共線時，最小，最小值為∵∠ACB=30°，∴∴，過點A再作的垂線，垂足為E，∴∠AEC=90°，∠ACE=3°，∴∴，∴∴，∴的最小值為；（4）如圖3-8，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點C為位似中心放大2倍，得到，連接由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，∴，，，是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)，，，共線時最小，最小為，∵，∴，∴的最小值為；（5）如圖3-10，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點C為位似中心縮小2倍，得到，同（4）原理可證得當(dāng)，，，共線時最小，最小為，∵，在中，，，最小為；（6）∵∴由（5）得：的最小值為26；（7）∵∴由（4）得的最小值為；（8）如圖3-12，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點C為位似中心縮小倍，得到，同理可以證得當(dāng)A、P、、，共線時的值最?。谥?，，，過點作交BC延長線于E，∴，∴，∴，∴，，∴，的最小值為．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，位似，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)鍵在于能夠作出輔助線，找到P點在什么位置時，線段的和最?。?、三角形中的最值問題：胡不歸模型【解題技巧】從前有個少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家。由于著急只考慮到了"兩點之間線段最短"，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著"胡不歸？胡不歸？"看到這里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.將這個問題數(shù)學(xué)化，我們不妨設(shè)總時間為，則，由可得，提取一個得，若想總的時間最少，就要使得最小，例1．（2021·廣西·九年級專題練習(xí)）∠AOB＝30°，OM＝2，D為OB上動點，求MDOD的最小值．【答案】思路引領(lǐng)：(胡不歸經(jīng)典)作∠BON＝∠AOB＝30°，過點M作MC⊥ON于點C，交OB于點D′，當(dāng)MC⊥ON時，（此時點D′即為點D）MDOD＝MD+CD的值最小，最小值是CM的長，答案詳解：如圖，作∠BON＝∠AOB＝30°，過點M作MC⊥ON于點C，交OB于點D′，∴CD′OD′所以當(dāng)MC⊥ON時，（此時點D′即為點D）MDOD＝MD+CD的值最小，最小值是CM的長，∴在Rt△OCM中，∠OMC＝30°，OM＝2∴OC＝1，∴CM．答：MDOD的最小值為．變式1．（2021·成都市·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，，若是邊上的動點，則的最小值（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作點A關(guān)于BC的對稱點A'，連接AA',A'D,過D作DE⊥AC于E，易得2DE=CD，AD=A'D，從而得出AD+DE=A'D+DE，當(dāng)A'，D,E在同一直線上時，AD+DE的最小值等于A'E的長是3，進(jìn)而求出2AD十CD的最小值．【詳解】如圖所示，作點A關(guān)于BC的對稱點A',連接AA',A'D,過D作DE⊥AC于E∵∠BAC=90o，∠B=60o，AB=2∴BH=1,AH=,AA'=2，∠C=30o∴DE=CD,即2DE=CD∵A與A'關(guān)于BC對稱∴AD=A'D∴AD+DE=A'D+DE∴當(dāng)A'，D,E在同一直線上時AD+DE的最小值等于A'E的長,在Rt△AA'E中：A'E=×2=3∴AD十DE的最小值為3∴2AD十CD的最小值為6故選B【點睛】本題主要考察了三角形的動點最值問題，做完輔助線后先求出AD+DE的最小值是解題關(guān)鍵．變式2．（2022·廣東高州·九年級期末）如圖，中，，，于點，是線段上的一個動點，則的最小值是__________．【答案】【分析】過點D作于，過點C作于，首先通過勾股定理及求出AE,BE的長度，然后根據(jù)等腰三角形兩腰上的高相等得出，然后通過銳角三角函數(shù)得出，進(jìn)而可得出，最后利用即可求值．【詳解】解：如圖，過點D作于，過點C作于．∵，∴，∵，設(shè)，，∴，∴，∴或（舍棄），∴，∵，，，∴（等腰三角形兩腰上的高相等）∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為,故答案為：．【點睛】本題主要考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短等，學(xué)會添加輔助線并利用轉(zhuǎn)化的思想是解題的關(guān)鍵．例2．（2021·四川省成都市七中育才學(xué)校八年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l分別交x、y軸于B、C兩點，點A、C的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，點P是直線l上一動點，連接AP，則的最小值是______．【答案】【分析】作∠OCE=120°，過點P作PG⊥CE于點G，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得PG=PC；當(dāng)A、P、G在同一直線時，AP+PC=AP+PG=AG的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解．【詳解】解：∵點A、C的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，﹣3)，∴OA=3，OC=3，作∠OCE=120°，∵∠OCB=60°，則∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°，過點P作PG⊥CE于點G，如圖：在Rt△PCG中，∠PCG=60°，則∠CPG=30°，∴CG=PC，由勾股定理得PG=PC，∴AP+PC=AP+PG，當(dāng)A、P、G在同一直線時，AP+PG=AG的值最小，延長AG交y軸于點F，∵∠FCG=60°，∠CGF=90°，∴∠CFG=30°，∴CF=2CG，GF=CF，在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°，∴AF=2OA=6，OF=，∴CF=OF-OC=，∴GF=()=，∴AG=AF-FG=，即AP+PC的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，作出合適的輔助線，得到當(dāng)A、P、G在同一直線時，AP+PC=AP+PG=AG的值最小是解題的關(guān)鍵．變式3．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，?ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動點，則2PB+PD的最小值等于______.【答案】【分析】過點P作PE⊥AD交AD的延長線于點E，根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得到AB∥CD，推出PE=PD，由此得到當(dāng)PB+PE最小時2PB+PD有最小值，此時P、B、E三點在同一條直線上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+PD的最小值等于6.【詳解】過點P作PE⊥AD交AD的延長線于點E，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=PD，∵2PB+PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)，∴當(dāng)PB+PE最小時2PB+PD有最小值，此時P、B、E三點在同一條直線上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=AB=3，∴2PB+PD的最小值等于6，故答案為：6.【點睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形含30°角的問題，動點問題，將線段2PB+PD轉(zhuǎn)化為三點共線的形式是解題的關(guān)鍵.變式4．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝x＋和直線l2：y＝﹣x＋b相交于y軸上的點B，且分別交x軸于點A和點C．（1）求△ABC的面積；（2）點E坐標(biāo)為（5，0），點F為直線l1上一個動點，點P為y軸上一個動點，求當(dāng)EF＋CF最小時，點F的坐標(biāo)，并求出此時PF＋OP的最小值．【答案】（1）S△ABC=；（2）點F坐標(biāo)為（1，）；PF＋OP的最小值為．【分析】（1）根據(jù)l1的解析式可得A、B坐標(biāo)，把點B坐標(biāo)代入y＝﹣x＋b可求出b值，進(jìn)而可得出點C坐標(biāo)，即可求出AC、OB的長，利用三角形面積公式即可得答案；（2）如圖，作點C關(guān)于直線l1的對稱點C′，連接C′E，交l1于F，根據(jù)A、B、C坐標(biāo)可得△ABC是直角三角形，可得點C′在直線l2上，根據(jù)兩點間距離公式可得出C′坐標(biāo)，可得C′E為EF＋CF的最小值，利用待定系數(shù)法可得出直線C′E的解析式，聯(lián)立直線C′E與l1解析式即可得出得F的坐標(biāo)；作二、四象限對角線l3，過點F作FG⊥l3于G，交y軸于P，可得∠GOP=45°，可得PG=，可得FG為PF＋OP的最小值，過點F作FQ⊥x軸，交l3于Q，可得△FGQ為等腰直角三角形，可得FG=FQ，由l3的解析式為y=-x及點F的坐標(biāo)可得點Q坐標(biāo)，進(jìn)而可得FQ的長，即可得FG的長，可得答案．【詳解】（1）∵l1：y＝x＋，∴當(dāng)x=0時，y=，當(dāng)y=0時，x=-3，∴A（-3，0），B（0，），∵點B直線l2：y＝﹣x＋b上，∴b=，∴直線l2的解析式為y＝﹣x＋，∴當(dāng)y=0時，x=1，∴C（1，0），∴AC=4，OB=，∴S△ABC===．（2）如圖，作點C關(guān)于直線l1的對稱點C′，連接C′E，交l1于F，∵A（-3，0），B（0，），C（1，0），∴AB2=（-3）2+（）2=12，BC2=12+（）2=4，AC2=42=16，∵AC2=AB2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∴點C′在直線l2上，∵點C與點C′關(guān)于直線l1的對稱，∴CC′=2BC=4，設(shè)點C′（m，﹣m＋，）∴（m-1）2+（﹣m＋）2=42，解得：m1=-1，m2=3，∵點C′在第二象限，∴m=-1，∴﹣m＋=，∵FC=FC′，∴EF＋CF=EF+FC′，∴當(dāng)C′、F、E三點共線時EF＋CF的值最小，設(shè)直線C′E的解析式為y=kx+b，∴，解得：，∴直線C′E的解析式為，聯(lián)立直線C′E與l1解析式得，解得：，∴F（1，）．如圖，作二、四象限對角線l3，過點F作FG⊥l3于G，交y軸于P，過點F作FQ⊥x軸，交l3于Q，∴直線l3的解析式為y=-x，∠GOP=45°，∴△GOP是等腰直角三角形，∴PG=OP，∴G、P、F三點共線時，PF＋OP的值最小，最小值為FG的長，∵∠GOP=45°，∠POE=90°，∴∠EOQ=45°，∴∠FQO=45°，∴△FGQ是等腰直角三角形，∴FG=FQ，∵F（1，），直線l3的解析式為y=-x，∴Q（1，-1），∴FQ=-（-1）=+1，∴FG=FQ=×（+1）=，∴PF＋OP的最小值為．【點睛】本題考查一次函數(shù)的綜合、軸對稱的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及軸對稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5、三角形中的最值問題：其他最值問題例1．（2021·廣東深圳市·八年級期末）如圖，△ABC中，BC=10，AC?AB=4，AD是∠BAC的角平分線，CD⊥AD，則S△BDC的最大值為______.【答案】10【分析】延長AB，CD交點于E，可證△ADE≌△ADC（ASA），得出AC＝AE，DE＝CD，則S△BDC＝S△BCE，當(dāng)BE⊥BC時，S△BEC最大面積為20，即S△BDC最大面積為10．【詳解】如圖：延長AB，CD交點于E，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°，在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（ASA），∴AC＝AE，DE＝CD；∵AC﹣AB＝4，∴AE﹣AB＝4，即BE＝4；∵DE＝DC，∴S△BDC＝S△BEC，∴當(dāng)BE⊥BC時，S△BDC面積最大，即S△BDC最大面積＝××10×4＝10．故答案為：10．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、角平分線定義、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；利用三角形中線的性質(zhì)得到S△BDC＝S△BEC是解題的關(guān)鍵．變式1.（2021·廣西·八年級期末）如圖，AD為等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F(xiàn)分別為線段AD，AC上的動點，且AE=CF，當(dāng)BF＋CE取最小值時，∠AFB的度數(shù)為（）A．75° B．90° C．95° D．105°【答案】C【詳解】如圖，作CH⊥BC，且CH=BC，連接HB，交AC于F，此時△BCH是等腰直角三角形且FH+BF最小，∵AC=BC，∴CH=AC，∵∠HCB=90°，AD⊥BC，∴AD//CH，∵∠ACB=50°，∴∠ACH=∠CAE=40°，∴△CFH≌△AEC，∴FH=CE，∴FH+BF=CE+BF最小，此時∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°．故選：C．變式2.（2021·綿陽市·八年級期中）如圖，C是線段上一動點，，都是等邊三角形，M，N分別是，的中點，若，則線段的最小值為______．【答案】【解析】連接，∵和為等邊三角形，∴，，∴，∵是的中點，∴，，∴，設(shè)，∴∵，∴，∴∴，∴當(dāng)時，的值最小為．答案：．變式3．（2021·武漢六中上智中學(xué)月考）如圖，AB∥DP，E為DP上一動點，AB=CB=CD，過A作AN⊥EC交直線EC于N，過D作DM⊥EC交直線EC于點M，若∠B=，當(dāng)AN-DM的值最大時，則∠ACE=_________【答案】123°【分析】當(dāng)DM與DE重合，AN與AB重合時，AN-DM的值最大，此時AN-DM=AB，畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)條件，利用三角形的內(nèi)角和、鄰補角關(guān)系，求出結(jié)果．【解析】如圖所示，當(dāng)DM與DE重合，AN與AB共線時，AN-DM的值最大，∵∠ABC=114°，∴∠CBN=180°-114°=66°，∴∠BCN=90°-66°=24°，又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°，∴∠ACE=180°-∠ACB-∠BCN=180°-33°-24°=123°．故答案為：123°．【點睛】考查平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意畫出相應(yīng)圖是解決問題的關(guān)鍵．變式4．（2020·湖北中考真題）如圖，D是等邊三角形外一點．若，連接，則的最大值與最小值的差為_____．【答案】12【分析】以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，可證得△ECB≌△DCA從而得到BE=AD，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖1，以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE=AD，∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6<BE<8+6，∴2<BE<14，∴2<AD<14．∴則的最大值與最小值的差為12．故答案為：12【點睛】本題考查三角形全等與三角形的三邊關(guān)系，解題關(guān)鍵在于添加輔助線構(gòu)建全等三角形把AD轉(zhuǎn)化為BE從而求解，是一道較好的中考題．1、等腰三角形中的分類討論：【解題技巧】凡是涉及等腰三角形邊、角、周長、面積等問題，優(yōu)先考慮分類討論，再利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系解題即可。1.無圖需分類討論①已知邊長度無法確定是底邊還是腰時要分類討論；②已知角度數(shù)無法確定是頂角還是底角時要分類討論；③遇高線需分高在△內(nèi)和△外兩類討論；④中線把等腰△周長分成兩部分需分類討論。2.“兩定一動”等腰三角形存在性問題：（常見于與坐標(biāo)系綜合出題，后續(xù)會專題進(jìn)行講解）即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構(gòu)成等腰方法：兩圓一線具體圖解：①當(dāng)時，以點為圓心，長為半徑作⊙，點在⊙上（，除外）②當(dāng)時，以點為圓心，長為半徑作⊙，點在⊙上（，除外）③當(dāng)時，作的中垂線，點在該中垂線上（除外）例1．（2021·上虞市實驗中學(xué)初二月考）在如圖所示的三角形中，∠A＝30°，點P和點Q分別是邊AC和BC上的兩個動點，分別連接BP和PQ，把△ABC分割成三個三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的這三個三角形都是等腰三角形，則∠C有可能的值有________個．【答案】7【分析】①當(dāng)AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ時；②當(dāng)AB=AP，BP=BQ，PQ=QC時；③當(dāng)APB，PB=BQ，PQ=CQ時；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC時；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解析】解：如圖所示，共有9種情況，∠C的度數(shù)有7個，分別為80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．①當(dāng)AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ時；②當(dāng)AB=AP，BP=BQ，PQ=QC時，③當(dāng)AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ時．④當(dāng)AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ時，⑤當(dāng)AP=BP，CP=CQ，QB=PQ時，⑥當(dāng)AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ時；⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC時．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC時．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC時．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2021·保定市第三中學(xué)分校初二期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，在軸上確定點，使為等腰三角形，則符合條件的點有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】先計算OA的長，再以O(shè)A為腰或底分別討論，進(jìn)而得出答案．【解析】解：如圖，，當(dāng)AO＝OP1，AO＝OP3時，P1（﹣，0），P3（，0），當(dāng)AP2＝OP2時，P2（1，0），當(dāng)AO＝AP4時，P4（2，0），故符合條件的點有4個．故選：C．【點睛】本題以平面直角坐標(biāo)系為載體，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定義，屬于?？碱}型，全面分類、掌握解答的方法是關(guān)鍵．例2．（2022·福建·廈門一中八年級期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點A（10，0）、B（0，3），以AB為邊在第一象限作等腰直角△ABC，則點C的坐標(biāo)為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意作出圖形，分類討論，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)與判定即可求得點的坐標(biāo)【詳解】解：如圖，當(dāng)為直角頂點時，則,作軸，又,同理可得根據(jù)三線合一可得是的中點，則，綜上所述，點C的坐標(biāo)為故答案為：【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，坐標(biāo)與圖形，全等三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·黑龍江密山·八年級期末）如圖，直線MN與x軸、y軸分別相交于B、A兩點，．(1)求A，B兩點的坐標(biāo)；(2)若點O到AB的距離為，求線段AB的長；(3)在（2）的條件下，x軸上是否存在點P，使△ABP是以AB為腰的等腰三角形，若存在請直接寫出滿足條件的點P的坐標(biāo)．【答案】(1)A（0，6），B（8，0）；(2)AB=10；(3)存在，（-8，0）、（-2，0）、（18，0）．【分析】（1）由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)知OA=6，OB=8，據(jù)此可得點A和點B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)求解可得；（3）先設(shè)點P（a，0），根據(jù)A（0，6），B（8，0）得，再分PA=AB和AB=PB兩種情況分別求解可得．(1)∴OA?6=0OB?8=0則A點的坐標(biāo)為A（0，6），B點的坐標(biāo)為（8，0）(2)，(3)存在點P，使△ABP是以AB為腰的等腰三角形設(shè)點P（a，0），根據(jù)A（0，6），B（8，0）得①若PA=AB，則，即，解得a=8(舍)或a=?8，此時點P(?8，0)；②若AB=PB，即，即解得a=18或a=?2，此時點P(18，0)或(?2，0)；綜上，存在點P，使△ABP使以AB為腰的等腰三角形，其坐標(biāo)為(?8，0)或(18，0)或(?2，0)．【點睛】本題考察了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、直角三角形的面積求法、勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)，分類討論思想的運用是解決第3問的關(guān)鍵例3．（2021·北京·北方工業(yè)大學(xué)附屬學(xué)校八年級期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC為一邊．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長為____．【答案】或或．【分析】根據(jù)題意分類討論，①，②，③，分別作出圖形，再結(jié)合已知條件勾股定理求解即可．【詳解】解：①如圖，當(dāng)時，是等腰直角三角形，,，；②如圖，當(dāng)時，過點作，交的延長線于點，，，是等腰直角三角形，，，又，是等腰直角三角形，，在中，，，在中，，在中，；③如圖，當(dāng)時，，是等腰直角三角形，，在中，，在中，．綜上所述，的長為：或或．故答案為：或或．【點睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．變式3．（2021·浙江余杭·八年級期中）如圖，已知在中，，，，若動點P從點B開始，按的路徑運動，且速度為每秒2個單位長度，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．(1)出發(fā)2秒后，求CP的長．(2)出發(fā)幾秒鐘后，CP恰好平分的周長．(3)當(dāng)t為何值時，為等腰三角形？【答案】(1)PC=(2)出發(fā)3秒鐘后，CP恰好平分△ABC的周長(3)t＝3或5.4或6或6.5時，△BCP為等腰三角形【分析】（1）勾股定理求得的長，進(jìn)而根據(jù)速度求得出發(fā)2秒后的長，中勾股定理求解即可；（2）由于CP恰好平分的周長，則P點不可能位于線段BC和AC上，即對P點在線段AB上進(jìn)行探究，根據(jù)題意列出一元一次方程，解方程求解即可；（3）①當(dāng)P在AB上時，若BP＝BC時，②當(dāng)P在AC上時，若BP＝BC時，③當(dāng)P在AC上時，若CB＝CP時，④當(dāng)P在AB上時，若PC＝PB時，根據(jù)題意列出一元一次方程解方程求解即可(1)由∠B＝90°，AC＝10，BC＝6，∴AB＝8，∵P從點B開始，按B→A→C→B，且速度為2，∴出發(fā)2秒后，則BP＝4，AP＝6，∵∠B＝90°，∴在中，由勾股定理得PC＝；(2)P點不可能位于線段BC和AC上，即對P點在線段AB上進(jìn)行探究，根據(jù)題意可得，6＋2t＝10＋8－2t；解得t＝3出發(fā)3秒鐘后，CP恰好平分△ABC的周長(3)①當(dāng)P在AB上時，若BP＝BC時，得到2t＝6；則t＝3，②當(dāng)P在AC上時，若BP＝BC時，過點作，則在中，在中，即解得③當(dāng)P在AC上時，若CB＝CP時，即解得④當(dāng)P在AC上時，若PC＝PB時，得到2t＝6；則t＝6.5．綜上可得t＝3或5.4或6或6.5時，△BCP為等腰三角形．【點睛】本題考查了勾股定理，一元一次方程的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．例4．（2022·江西宜春·八年級期末）規(guī)定：在直角三角形中，如果直角邊是斜邊的一半，那么它所對的銳角為30°．等腰三角形ABC中，于點D，若，則底角的度數(shù)為______．【答案】或或【分析】分兩種情況：①BC為腰，②BC為底，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半判斷出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC內(nèi)部和外部兩種情況求解即可．【詳解】①BC為腰，∵AD⊥BC于點D，，∴∠ACD=30°，如圖1，AD在△ABC內(nèi)部時，底角∠B=75°；如圖2，延長BC，過A作AD⊥BC于D，AD在△ABC外部時，底角∠B==15°；②BC為底，如圖3，∵AD⊥BC于點D，，∴AD=BD=CD，∴△ABC是等腰直角三角形，∴底角∠B=45°，綜上所述，等腰三角形ABC的頂角度數(shù)為或或．故答案為：或或．【點睛】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．變式4．（2021·重慶市榮昌初級中學(xué)八年級期中）如圖1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，點B、D、C、F在同一直線上，點A在DE上．如圖2，△ABC固定不動，將△EDF繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，當(dāng)直線E′F′與直線AC、BC所圍成的三角形為等腰三角形時，α的大小為___．【答案】7.5°或75°或97.5°或120°【分析】設(shè)直線E′F′與直線AC、BC分別交于點P、Q，根據(jù)△CPQ為等腰三角形，分三種情況：①當(dāng)∠PCQ為頂角時，∠CPQ=∠CQP，如圖1，可求得α=7.5°；如圖2，△CPQ為等腰三角形中，∠PCQ為頂角，可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②當(dāng)∠CPQ為頂角時，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ=90°，如圖3，進(jìn)而求得α=90°-15°=75°；③如圖4，當(dāng)∠CQP為頂角時，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得∠CQP=90°，進(jìn)而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°．【詳解】解：設(shè)直線E′F′與直線AC、BC分別交于點P、Q，∵△CPQ為等腰三角形，∴∠PCQ為頂角或∠CPQ為頂角或∠CQP為頂角，①當(dāng)∠PCQ為頂角時，∠CPQ=∠CQP，如圖1，∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，∴∠E′DF′=90°，∠ACB=45°，∠E′F′D=30°，∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，∴∠CQP=22.5°，∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ，∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，∴α=7.5°；如圖2，∵△CPQ為等腰三角形中，∠PCQ為頂角，∴∠CPQ=∠CQP=67.5°，∵∠E′DF′=90°，∠F′=30°，∴∠E′=60°，∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°，∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②當(dāng)∠CPQ為頂角時，∠CQP=∠PCQ=45°，∴∠CPQ=90°，如圖3，∵∠DE′F′=∠CQP+∠QDE′，∴∠QDE′=∠DE′F′-∠CQP=60°-45°=15°，∴α=90°-15°=75°；③如圖4，當(dāng)∠CQP為頂角時，∠CPQ=∠PCQ=45°，∴∠CQP=90°，∴∠QDF′=90°-∠DF′E′=60°，∴∠QDE′=∠E′DF′-∠QDF′=30°，∴α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°；綜上所述，α的大小為7.5°或75°或97.5°或120°．故答案為：7.5°或75°或97.5°或120°．【點睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，解題關(guān)鍵是運用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想思考解決問題．2、直角三角形中的分類討論：【解題技巧】1.無圖需分類討論——經(jīng)典運用：已知邊長度無法確定是直角邊還是斜邊時要分類討論。2.“兩定一動”直角三角形存在性問題：（常見于與坐標(biāo)系綜合出題，后續(xù)會專題進(jìn)行講解）即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構(gòu)成方法：兩線一圓具體圖解：①當(dāng)時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）②當(dāng)時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）③當(dāng)時，以為直徑作圓，點在該圓上（，除外）例1．（2022·江西九江·八年級期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．點P在x軸上運動，當(dāng)點P與點A、B、C三點中任意兩點構(gòu)成直角三角形時，點P的坐標(biāo)為________．【答案】（0，0），（，0），（﹣2，0）【分析】因為點P、A、B在x軸上，所以P、A、B三點不能構(gòu)成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC兩種情況進(jìn)行分析即可．【詳解】解：∵點P、A、B在x軸上，∴P、A、B三點不能構(gòu)成三角形．設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，0）．當(dāng)△PAC為直角三角形時，①∠APC＝90°，易知點P在原點處坐標(biāo)為（0，0）；②∠ACP＝90°時，如圖，∵∠ACP＝90°∴AC2＋PC2＝AP2，，解得，m＝，∴點P的坐標(biāo)為（，0）；當(dāng)△PBC為直角三角形時，①∠BPC＝90°，易知點P在原點處坐標(biāo)為（0，0）；②∠BCP＝90°時，∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，∴PO＝BO＝2，∴點P的坐標(biāo)為（﹣2，0）．綜上所述點P的坐標(biāo)為（0，0），（，0），（﹣2，0）．【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了數(shù)形結(jié)合和分類討論思想．解題的關(guān)鍵是不重