陜西省漢中市漢臺區(qū)2023-2024學年高二上學期期末校際聯(lián)考數(shù)學試題（含答案解析）

2023~2024學年度第一學期期末校際聯(lián)考試題高二數(shù)學注意事項：1．本試題共4頁，滿分150分，時間120分鐘．2．答卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上．3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)并集定義即可求解．【詳解】因為,所以.故選：B．2.在空間直角坐標系中，若，則點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的坐標表示計算即可.【詳解】由題意可知的坐標為.故選：A3.下列函數(shù)在上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式逐項判斷可得答案.【詳解】對于A，因為函數(shù)的定義域為，故A錯誤；對于B，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯誤；對于C，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D正確.故選：D.4.圓的圓心和半徑分別為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將圓的一般方程化為標準方程求圓心與半徑即可.【詳解】由，所以圓心和半徑分別為.故選：D5.若橢圓的焦距為2，則實數(shù)的值為（）A.3 B.3或5 C.5或8 D.8【答案】B【解析】【分析】結合橢圓性質(zhì)，分焦點在軸、軸上計算即可得.【詳解】當橢圓的焦點在軸上時，有，故，當橢圓的焦點在軸上時，有，故.故選：B.6.展開式中的系數(shù)為（）A.45 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】借助二項式定理展開式的通項公式計算即可得.【詳解】對，有，令，解得，有.故選：C.7.袋中有除顏色外完全相同的6個小球，其中4個白球和2個紅球，現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個．在第一次取得白球前提下，則第二次取得紅球的概率為（）A.0.25 B.0.4 C.0.5 D.0.6【答案】B【解析】【分析】分別設事件“第一次取得白球”和“第二次取得紅球”，由條件概率計算公式求解即可求解.【詳解】設第一次取得白球為事件，第二次取得紅球為事件，所以在第一次取得紅球前提下，則第二次取得白球的概率為：.故選：B.8.我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，將底面為矩形且一側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，平面，且，若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量線性運算，以為基底表示出，從而確定的取值.詳解】，，

，，，，.故選：A.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.下列有關排列數(shù)、組合數(shù)的等式中，正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)與組合數(shù)性質(zhì)與計算公式一一判定即可.【詳解】根據(jù)組合數(shù)公式可知，顯然兩式相等，故A正確；根據(jù)排列數(shù)公式可知，故B正確；易知，顯然兩式不等，故C錯誤；，顯然兩式相等，故D正確.故選：ABD10.同時拋擲兩枚均勻的骰子，記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)之差為，則表示的隨機事件不可能是（）A.第一枚擲出5點，第二枚擲出2點 B.第一枚擲出3點，第二枚擲出3點C.第一枚擲出1點，第二枚擲出2點 D.第一枚擲出6點，第二枚擲出2點【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)隨機事件的相關概念逐一判斷各個選項即可.【詳解】因為記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)之差為，所以第一枚擲出5點，第二枚擲出2點時，，第一枚擲出3點，第二枚擲出3點時，，第一枚擲出1點，第二枚擲出2點時，，第一枚擲出6點，第二枚擲出2點時，，所以表示的隨機事件不可能是A,B,C，可能是D.故選：ABC11.設兩條不同直線的方向向量分別是，平面的法向量是，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】利用空間向量研究空間位置關系一一判定選項即可.【詳解】對于A項，由，為不同的直線，可知，且，則，故A錯誤；對于B項，若，則且，又為不同的直線，所以，故B正確；對于C項，若，則且，又，所以，故C正確；對于D項，若，則，所以，故D正確.故選：BCD12.已知雙曲線的左，右焦點分別為是雙曲線上的一個動點，下列結論正確的有（）A.若的面積為20，則 B.雙曲線的離心率為C.的最小值為1 D.若為直角三角形，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)、兩點距離公式及三角形面積公式計算一一判定選項即可.【詳解】由題意可知，即，若面積為20，則，故A錯誤；根據(jù)雙曲線方程可知的離心率，故B正確；易知，則，又或，所以時有，或時，故，時取得等號，故C正確；若為直角三角形，易知當時，此時，則，故D錯誤.故選：BC第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.一個三層書架，分別放置語文類讀物7本，政治類讀物9本，英語類讀物8本，每本圖書各不相同，從中取出1本，則不同的取法共有________種．【答案】24【解析】【分析】由分類加法計數(shù)原理即可得.【詳解】由分類加法計數(shù)原理可得.故答案為：.14.已知正方體的棱長為與相交于點，則的值為________．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標系，用空間向量坐標公式求解.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則，，因為易知O為中點，所以，所以，，所以故答案為：15.某電子設備廠所用的元件由甲、乙兩家元件廠提供，根據(jù)以往的記錄，這兩個廠家的次品率分別為0.01，0.03，提供元件的份額分別為0.90，0.10．設這兩個廠家的產(chǎn)品在倉庫里是均勻混合的，且無任何區(qū)分的標志，現(xiàn)從倉庫中隨機取出一個元件，取到的元件是次品的概率為________．【答案】0.012【解析】【分析】利用全概率公式計算即可.【詳解】設事件“取得一件次品”事件：“取得次品是甲廠生產(chǎn)”，：“取得次品是乙廠生產(chǎn)”，由題意可知,所以由全概率公式知取得次品的概率為.故答案為：16.已知“漸升數(shù)”是指每一位數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的正整數(shù)（如236），那么三位漸升數(shù)有________個，其中比516大的三位漸升數(shù)有________個．【答案】①.84②.10【解析】【分析】根據(jù)定義結合加法原理計算即可.【詳解】完成這件事需選出3個數(shù)，要滿足“漸升數(shù)”需分類來解.當百位上的數(shù)字為1，十位上的數(shù)字為2時，個位上的數(shù)字有7種選法；當百位上的數(shù)字為1，十位上的數(shù)字為3時，個位上的數(shù)字有6種選法；…；當百位上的數(shù)字為1，十位上的數(shù)字為8時，個位上的數(shù)字有1種選法.由加法原理得百位上的數(shù)字為1的三位“漸升數(shù)”有（個）.同理，百位上的數(shù)字為2的三位“漸升數(shù)”有（個），百位上的數(shù)字為3的三位“漸升數(shù)”有（個），百位上的數(shù)字為4的“漸升數(shù)”有（個），百位上的數(shù)字為5的三位“漸升數(shù)”有（個），百位上的數(shù)字為6的三位“漸升數(shù)”有（個），百位上的數(shù)字為7的三位“漸升數(shù)”有1個.根據(jù)加法原理得共有（個）“漸升數(shù)”.百位上的數(shù)字為5，6，7的三位“漸升數(shù)”均比516大，故比516大的三位“漸升數(shù)”有（個）.故答案為：84；10四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知兩點．（1）求直線的斜率和傾斜角；（2）求直線在軸上的截距．【答案】（1），（2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由直線的斜率公式計算可得的值，進而分析可得答案；（2）根據(jù)題意，由（1）結論求出直線的方程，據(jù)此分析可得答案．【小問1詳解】根據(jù)題意，直線的斜率為，傾斜角為，由兩點，得斜率，則，即．小問2詳解】由（1）知，直線的斜率，則其方程為，即，令，則直線在軸上的截距為1．18.已知空間向量．（1）若，求實數(shù)與的值；（2）若，且，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由共線向量定理得：，代入坐標求解即可；（2）由于，則，求出的值即可得出.【小問1詳解】根據(jù)題意，故可設，則，解得．【小問2詳解】因為，且，所以，解得．得，所以．19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和對稱中心；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）當時，求函數(shù)的最值．【答案】19.最小正周期為，對稱中心為20.單調(diào)遞減區(qū)間為21.最小值為，最大值為【解析】【分析】（1）由正弦型函數(shù)的周期性及對稱性計算即可得；（2）由正弦型函數(shù)的單調(diào)性計算即可得；（3）由正弦型函數(shù)的值域計算即可得.【小問1詳解】，函數(shù)的最小正周期為．令，則，函數(shù)的對稱中心為．【小問2詳解】令，則，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．【小問3詳解】，．．的最小值為，最大值為.20.某校舉行圍棋友誼賽，甲、乙兩名同學進行冠亞軍決賽，每局比賽甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率是，規(guī)定：每一局比賽中勝方記1分，負方記0分，先得3分者獲勝，比賽結束．（1）求進行3局比賽決出冠亞軍的概率；（2）若甲以領先乙時，記表示比賽結束時還需要進行的局數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，數(shù)學期望為【解析】【分析】（1）分甲乙全勝兩種情況相加得結果；（2）利用分布列步驟求解并求得期望.【小問1詳解】甲3局全勝的概率為,乙3局全勝的概率為，進行3局比賽決出冠亞軍的概率為【小問2詳解】的可能取值為1，2，，，故的分布列為：12故．21.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，平面ABCD，，.（1）求點B到平面PCD的距離；（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，用點到面的距離公式即可算出答案；（2）先求出兩個面的法向量，然后用二面角公式即可.【小問1詳解】∵平面平面∴PB⊥AB,PB⊥BC,又兩兩互相垂直,所以，以點為坐標原點，分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，D(3,6,0),A(0,6,0)設平面的一個法向量所以，即令，可得記點到平面的距離為，則【小問2詳解】由(1)可知平面的一個法向量為平面的一個法向量為設二面角的平面角為由圖可知，.22.已知拋物線過點，直線與拋物線交于兩點，為坐標原點，．（1）求拋物線的方程；（2）求證：直線過定點；（3）在軸上是否存在點，使得直線與直線的斜率之和為0？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）證明見解析（3）存在，點【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線過點，代入運算得解；（2）設直線，與拋物線聯(lián)立方程組，得到根與系數(shù)關系，結合，坐標運算得解；（3）假設存在滿足條件的點，使得，