高一數(shù)學寒假（人教B版 第三冊）第12講 向量的數(shù)量積（教師卷）

第12講向量的數(shù)量積【學習目標】1.了解向量數(shù)量積的物理意義，重點培養(yǎng)數(shù)學抽象核心素養(yǎng)．2．掌握向量數(shù)量積的定義、理解其幾何意義，重點提升直觀想象、數(shù)學運算核心素養(yǎng)．3.掌握平面向量數(shù)量積的運算律，并要注意運算律的適用范圍以及與實數(shù)乘法運算律的區(qū)別，重點培養(yǎng)數(shù)學抽象核心素養(yǎng)．4.會應用向量數(shù)量積的運算律進行相關的計算或證明等問題，重點提升數(shù)學運算核心素養(yǎng)．5.掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示，會用向量的坐標形式求數(shù)量積，重點培養(yǎng)數(shù)學運算核心素養(yǎng)．6．能根據(jù)向量的坐標計算向量的模、夾角及判定兩個向量垂直，進一步提升數(shù)學運算、邏輯推理核心素養(yǎng)．【知識導航】知識點一兩個向量的夾角1．設非零向量a，b，能否把a，b平移到共同起點？提示：能．2．△ABC為正三角形，向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角是多少？向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角又是多少？提示：60°，120°.定義已知兩個非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ稱為向量a與b的夾角.范圍〈a，b〉∈[0，π]，〈a，b〉＝〈b，a〉特例θ＝0a與b同向θ＝πa與b反向θ＝eq\f(π,2)a與b垂直，記作a⊥b，規(guī)定0與任意向量垂直知識點二向量數(shù)量積的定義如圖，在力F的作用下，木塊在水平方向上移動了5m，若F＝3N.(1)則力F做的功是多少？(2)力做功的大小與哪些量有關？提示：(1)3×5×cos30°＝eq\f(15\r(3),2)(J)．(2)與力的大小、位移的大小及它們的夾角有關．1．平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a與b，則把數(shù)量|a||b|cos〈a，b〉稱為a與b的數(shù)量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0．2．向量數(shù)量積的性質(1)|a·b|≤|a||b|(2)a·a＝|a|2，即|a|＝eq\r(a·a)(3)a⊥b?a·b＝0(4)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(5)當a與b同向時a·b＝|a||b|當a與b反向時a·b＝－|a||b|[點撥]1．兩向量的數(shù)量積，其結果是數(shù)量，而不是向量，它的值等于兩向量的模與兩向量夾角余弦值的乘積，其符號由夾角的余弦值來決定．2．兩個向量的數(shù)量積記作a·b，千萬不能寫成a×b的形式．向量的投影與向量數(shù)量積的幾何意義在平面直角坐標系中1．過點A(1，1)，點B(3，2)向x軸引垂線、垂足分別為A1、B1，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))在x軸方向上的投影及投影的數(shù)量分別是什么？提示：eq\o(A1B1,\s\up6(→))；|eq\o(A1B1,\s\up6(→))|＝2.2．過點C(－1，1)向x軸引垂線，垂足為C1，則向量eq\o(OC,\s\up6(→))在x軸上的投影及投影的數(shù)量分別是什么？二者有什么聯(lián)系？提示：向量eq\o(OC1,\s\up6(→))、－|eq\o(OC1,\s\up6(→))|＝－1；投影是一個向量，而投影的數(shù)量與投影的長度和向量eq\o(OC,\s\up6(→))與eq\o(Ox,\s\up6(→))的夾角有關．當〈eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(Ox,\s\up6(→))〉為鈍角時，向量eq\o(OC,\s\up6(→))在x軸上的投影的數(shù)量為－|eq\o(OC1,\s\up6(→))|.1．投影：向量b在a上的投影的數(shù)量|b|cos〈a，b〉；向量a在b上的投影的數(shù)量|a|cos〈a，b〉．2．a(chǎn)·b的幾何意義a·b等于a在向量b上的投影的數(shù)量與b的模的乘積．[拓展]對向量的投影的數(shù)量的幾點說明(1)設非零向量a與b的夾角是θ，則a在b方向上的投影的數(shù)量也可以寫成eq\f(a·b,|b|)，它的符號取決于角θ的余弦值．(2)按照投影的定義，非零向量a在b方向上的投影的數(shù)量為|a|cosθ(θ是a與b的夾角)，我們可以借助下面的圖形對具體情況進行分析：θ的范圍θ＝0°0°＜θ＜90°θ＝90°90°＜θ＜180°θ＝180°圖形知識點三向量數(shù)量積的運算律1．如圖，|a|＝|b|＝6，θ＝120°，比較a·b與b·a；(2a)·b與a·(2b)的大小關系．提示：a·b＝b·a＝18.(2a)·b＝36，a·(2b)＝36.即(2a)·b＝a·(2b)．2．若a，b，c均為非零向量，且a·b＝b·c，則a＝c正確嗎？提示：不正確．因為a·b＝c·b表示向量a，c在b上投影的數(shù)量相等，如圖并不能說明a＝c.1．已知向量a，b，c與實數(shù)λ.交換律a·b＝b·a結合律(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c2.數(shù)量積運算的常用結論．(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.[點撥]向量數(shù)量積與實數(shù)運算的不同(1)實數(shù)運算中，若ab＝0，則a與b中至少有一個為0.而在向量數(shù)量積的運算中，不能從a·b＝0，推出a＝0，或b＝0.實際上由a·b＝0，可推出以下四種可能：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0但a⊥b.(2)在實數(shù)運算中，若a，b∈R，則|ab|＝|a|·|b|，但對于向量a，b，卻有|a·b|≤|a||b|，當且僅當a∥b時等號成立．這是因為|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|，而|cos〈a，b〉|≤1.(3)實數(shù)運算滿足消去律，即若bc＝ca，c≠0，則有b＝a.在向量數(shù)量積的運算中，若a·b＝b·c(b≠0)，則只能得到向量a，c在向量b方向上的投影的數(shù)量相同，不能得到a＝c.如圖，雖然a·b＝b·c，但a≠c.知識點四向量的坐標與向量的數(shù)量積已知兩個向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)若i，j是兩個互相垂直且分別與x軸、y軸的正半軸同向的單位向量，則a，b如何用i，j表示？(2)|a|，|b|分別用坐標怎樣表示？(3)能用a，b的坐標表示a·b嗎？提示：(1)a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.(2)|a|＝eq\r(（x1i＋y1j）2)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))；|b|＝eq\r(（x2i＋y2j）2)＝eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).(3)a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.1．平面向量數(shù)量積的坐標表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2．2．兩個向量垂直的坐標表示設兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0．3．三個重要公式(1)向量模的公式：設a＝(x1，y1)，則|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))．(2)兩點間的距離公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．(3)向量的夾角公式：設兩非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).[點撥]1．公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉與a·b＝x1x2＋y1y2都是用來求兩向量的數(shù)量積的，沒有本質區(qū)別，只是書寫形式上的差異，兩者可以相互推導．2．向量垂直的坐標表示與向量平行的坐標表示不能混淆，可以從平行與垂直的定義來理解．設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．若a∥b，則x2y1－x1y2＝0.垂直則是從數(shù)量積的角度理解，若a⊥b，則a·b＝0，即x1x2＋y1y2＝0.【知識預習】考點一：向量數(shù)量積的概念1．已知向量，在方向上的投影向量為，則（

）A．4 B．8 C． D．【答案】C【詳解】由得，根據(jù)在方向上的投影向量為，可知在方向上的投影為，故根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，等于與在方向上的投影的乘積，故，故選：C2．已知，，與的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】.故選：A.3．正的邊長為1，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】．故選：B．4．如圖，在菱形ABCD中，若，則（

）A．8 B． C．4 D．【答案】B【詳解】解：，因為四邊形ABCD為菱形，所以，且，所以，所以.故選：B5．已知，，向量在方向上投影是4，則為（

）A．12 B．8 C．-8 D．2【答案】A【詳解】解：設兩個向量的夾角為，由題意已知，，向量在方向上投影是4，則，所以；故選：A.考點二：向量數(shù)量積的運算率6．已知，，，則與的夾角是（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【詳解】，因為，所以，與的夾角是120°.故選：C7．已知向量滿足，則與的夾角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】B【詳解】解：因為，所以，設與的夾角為，則，因為，所以，故選：B.8．若夾角為的非零向量，滿足且，則（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【詳解】因為，所以，即，所以，將代入得.故選：C.9．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由已知可得.故選：A.10．已知，，與的夾角為，那么（

）A．4 B．3 C．2 D．【答案】D【詳解】.故選：D.考點三：向量數(shù)量積的坐標運算11．已知向量，且，則的值是（

）A． B． C．3 D．【答案】C【詳解】由于，所以.故選：C12．已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，則，所以C正確.故選：C.13．已知向量，且，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【詳解】，，由于，所以，解得：故選：B14．已知向量，點，，則向量在上的投影向量的模長為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，故在上的投影向量的模長為.故選：D15．已知，，則（

）A． B．1 C． D．【答案】B【詳解】∵，所以，由，所以.故選：B.【對點訓練】一、單選題1．已知向量，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意，解得，故.故選：A2．已知平面向量滿足，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】由得，由得，即故選：B3．已知向量，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：，因為，所以，故選：C4．已知平面向量的夾角為，且，則（

）A．4 B．4 C．8 D．8【答案】C【詳解】因為平面向量的夾角為，且，所以，故選：C5．設向量，，則在上的投影的數(shù)量為（

）A．1 B．2 C．1 D．2【答案】B【詳解】因為，，所以在上的投影的數(shù)量為，故選：B6．設非零向量，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由題意，，，，故選：B.7．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，，所以，所以，故選：A8．設，向量，且，則等于（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【詳解】由知：且，則，可得，即，由知：，可得，即，所以，故.故選：B二、多選題9．設向量，，則

（

）A． B．C． D．與的夾角為【答案】CD【詳解】由題意，，，則

，

，故A錯誤；易知，由，所以與不平行，故B錯誤；又

，即，故C正確；因為

，又

，所以與的夾角為，故D正確．故選：CD．10．向量是近代數(shù)學中重要和基本的概念之一，它既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁若向量，滿足，，則（

）A． B．與的夾角為C． D．在上的投影向量為【答案】BC【詳解】，,,解得,故A錯誤,，由于，與的夾角為，故B正確,,故C正確在上的投影向量為，故D錯誤,故選：BC三、填空題11．已知向量，，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為___________．【答案】且.【詳解】由得，，.由已知得，，所以，即，且不共線.則，.又不共線，則.所以，的取值范圍為且.故答案為：且.12．已知向量滿足，，與的夾角為，則在上的投影為________．【答案】【詳解】解：由于，，與的夾角為，則則在上的投影為：.故答案為：.四、解答題13．已知與的夾角為．(1)求的值；(2)設，求的夾角．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知，得：，∴，∴；（2）∵，，∴，由（1）得：，∴，∵，∴.14．已知向量.(1)已知，求向量與的夾角；(2)若，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）因為，所以，故，因為，所以向量與的夾角；（2），，由于，所以，解得：或，從而或.15．已知平面向量，，.(1)若，求；(2)若與的夾角為銳角，求x的取值范圍.【答案】(1)2或；(2)【詳解】（1）由題意得：，解得：或，當時，，所以；當時，，所以；（2）因為與的夾角為銳角，所以，且與不同向共線，即，解得：，且，綜上：x的取值范圍是.【提升作業(yè)】一、單選題1．已知，，則（

）A．1 B． C．2