高一數(shù)學(xué)寒假（人教B版 第三冊(cè)）第09講 同角三角函數(shù)基本式與誘導(dǎo)公式（學(xué)生卷）

第09講同角三角函數(shù)基本式與誘導(dǎo)公式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．2．會(huì)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡和證明．重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理核心素養(yǎng)．3.了解三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的意義和作用，理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程，重點(diǎn)培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．4.能運(yùn)用誘導(dǎo)公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡和證明問題，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng)．【知識(shí)導(dǎo)航】知識(shí)點(diǎn)一同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式已知角α終邊上一點(diǎn)P(－3，－4)．(1)求sinα，cosα，tanα的值；(2)計(jì)算sin2α＋cos2α，eq\f(sinα,cosα)的值；(3)是否對(duì)任意角α都有sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))成立？若成立，試證明．1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式成立的條件：當(dāng)α∈R時(shí)，__________成立；當(dāng)__________時(shí)，eq\f(sinα,cosα)＝__________成立．2．基本關(guān)系式的變形公式sin2α＋cos2α＝1?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin2α＝1－cos2α，,cos2α＝1－sin2α，,sinα＝±\r(1－cos2α)，,（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα.))tanα＝eq\f(sinα,cosα)?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝tanαcosα，,cosα＝\f(sinα,tanα).))知識(shí)點(diǎn)二角α與α＋2kπ(k∈Z)的三角函數(shù)值之間的關(guān)系已知角β＝2kπ＋α，k∈Z.(1)角α與β的終邊有什么關(guān)系？(2)作出β的三角函數(shù)線，通過作圖，你會(huì)發(fā)現(xiàn)α，β的三角函數(shù)值有何關(guān)系？1．誘導(dǎo)公式①sin(α＋k·2π)＝__________，cos(α＋k·2π)＝__________，tan(α＋k·2π)＝__________．2．誘導(dǎo)公式①的作用：可以把絕對(duì)值大于2π的任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為0～2π角的同名三角函數(shù)值問題．知識(shí)點(diǎn)三角的旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱如圖，已知角α的終邊為OA，將射線OA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ到OB，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ到OC；那么①指出角α＋θ的終邊，②指出角α－θ的終邊．③角α＋θ的終邊與角α－θ的終邊有怎樣的對(duì)稱關(guān)系．一般地，角α的終邊和角β的終邊關(guān)于角__________的終邊所在的直線對(duì)稱．知識(shí)點(diǎn)四角α與角－α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系1．角α與角－α的終邊有怎樣的對(duì)稱關(guān)系？2．結(jié)合三角函數(shù)線，角α與角－α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系如何？1．誘導(dǎo)公式②：sin(－α)＝__________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝__________．2．誘導(dǎo)公式②的作用：用正角的三角函數(shù)值表示負(fù)角的三角函數(shù)值．知識(shí)點(diǎn)五角α與π±α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系1．任意角α與π－α的終邊有何位置關(guān)系？它們與單位圓的交點(diǎn)的位置關(guān)系怎樣？試用三角函數(shù)定義驗(yàn)證α與π－α的各三角函數(shù)值的關(guān)系．提示：α與π－α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖所示，設(shè)P1(x，y)是α的終邊與單位圓的交點(diǎn)，則π－α與單位圓的交點(diǎn)為P2(－x，y)，P1，P2關(guān)于y軸對(duì)稱，由三角函數(shù)定義知，sin(π－α)＝y(tǒng)＝sinα，cos(π－α)＝－x＝－cosα，tan(π－α)＝eq\f(y,－x)＝－tanα.2．你能利用誘導(dǎo)公式②③探究角α與π＋α的各三角函數(shù)值的關(guān)系嗎？提示：如cos(π＋α)＝cos[π－(－α)]＝－cos(－α)＝－cosα.1．誘導(dǎo)公式③：sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝__________．2．誘導(dǎo)公式④：sin(π＋α)＝__________，cos(π＋α)＝__________，tan(π＋α)＝__________．知識(shí)點(diǎn)六角α與eq\f(π,2)－α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系如圖所示，設(shè)α是任意角，其終邊與單位圓交于點(diǎn)P1(x，y)，與角α的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P2.(1)P2點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？提示：P2(y，x)．(2)eq\f(π,2)－α的終邊與角α的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱嗎？它們的正弦、余弦值有何關(guān)系？誘導(dǎo)公式⑤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝__________，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝__________．知識(shí)點(diǎn)七角α與eq\f(π,2)＋α，eq\f(3π,2)±α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系1．利用誘導(dǎo)公式②⑤探究α與eq\f(π,2)＋α的三角函數(shù)值的關(guān)系？2．利用前面學(xué)習(xí)的誘導(dǎo)公式，你能發(fā)現(xiàn)eq\f(3π,2)＋α與α、eq\f(3π,2)－α與α間的三角函數(shù)值的關(guān)系嗎？提示：如sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,2)＋α))＝－sin(eq\f(π,2)－α)＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,2)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα.誘導(dǎo)公式⑥⑦⑧⑥sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝__________，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝__________．⑦coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝__________，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝__________．⑧coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝__________，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝__________．[點(diǎn)撥]誘導(dǎo)公式①～⑧可以統(tǒng)一概括為“k·eq\f(π,2)±α，(k∈Z)”的形式記憶口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限．其中“奇、偶”是指k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中k的奇偶性，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變．“符號(hào)”看的應(yīng)該是誘導(dǎo)公式中，把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，而不是α函數(shù)值的符號(hào)．【知識(shí)預(yù)習(xí)】考點(diǎn)一：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式1．若，且為第四象限角，則的值等于（

）A． B． C． D．2．已知α為第二象限角，且，則（

）A． B． C． D．3．若，且是第二象限角，則的值是（

）A． B． C． D．4．已知,是第四象限角，則的值為（

）A． B． C． D．5．已知,則的值為A．2 B． C．-2 D．考點(diǎn)二：誘導(dǎo)公式6．已知，且為第三象限角，則A． B．- C． D．7．已知sin＝，則cos(π＋α)的值為()A． B．－ C． D．－8．已知，則的值為

（）A． B． C． D．9．已知，則（

）A． B． C． D．10．已知，則（

）A． B．3 C． D．0【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】一、單選題1．已知，且為第二象限角，則（

）A． B． C． D．2．已知角終邊上一點(diǎn)，則（

）A．2 B．-2 C．0 D．3．已知，且，則（

）A． B． C． D．4．若，且為第四象限角，則的值為（

）A． B． C． D．5．已知角終邊在第一象限，，那么的值為（

）A． B． C． D．6．已知，則的值為（

）A． B． C． D．7．若且，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角8．已知，，則等于（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知，，那么的可能值為（

）A． B． C． D．10．已知，則（

）A． B． C． D．三、填空題11．已知A為三角形內(nèi)角且，則________.12．已知，則______．四、解答題化簡．13．（1）;14．（2）15．已知，，求的值.16．已知為第三象限角，且．(1)化簡；(2)若，求的值．【提升作業(yè)】一、單選題1．（

）A． B． C． D．2．已知為第四象限角，，則（

）A． B． C． D．3．已知（

）.A．5 B．4