全國(guó)高校自主招生數(shù)學(xué)模擬試卷-3

2013年全國(guó)高校自主招生數(shù)學(xué)模擬試卷十三一、選擇題(本題滿分36分，每題6分)1．把圓x2+(y－1)2=1與橢圓9x2+(y+1)2=9的公共點(diǎn)，用線段連接起來所得到的圖形為()(A)線段(B)不等邊三角形(C)等邊三角形(D)四邊形2．等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1536,公比q=－eq\f(1,2),用πn表示它的前n項(xiàng)之積。則πn(n∈N*)最大的是()(A)π9(B)π11(C)π12(D)π133．存在整數(shù)n,使eq\r(p+n)+eq\r(n)是整數(shù)的質(zhì)數(shù)p()(A)不存在(B)只有一個(gè)(C)多于一個(gè),但為有限個(gè)(D)有無窮多個(gè)4．設(shè)x∈(－eq\f(1,2)，0),以下三個(gè)數(shù)α1=cos(sinxπ),α2=sin(cosxπ),α3=cos(x+1)π的大小關(guān)系是()(A)α3<α2<α1(B)α1<α3<α2(C)α3<α1<α2(D)α2<α3<α15．如果在區(qū)間[1,2]上函數(shù)f(x)=x2+px+q與g(x)=x+eq\f(1,x2)在同一點(diǎn)取相同的最小值，那么f(x)在該區(qū)間上的最大值是()(A)4+eq\f(11,2)eq\r(3,2)+eq\r(3,4)(B)4－eq\f(5,2)eq\r(3,2)+eq\r(3,4)(C)1－eq\f(1,2)eq\r(3,2)+eq\r(3,4)(D)以上答案都不對(duì)6．高為8的圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)半徑為2的球O1，球心O1在圓臺(tái)的軸上，球O1與圓臺(tái)的上底面、側(cè)面都相切，圓臺(tái)內(nèi)可再放入一個(gè)半徑為3的球O2，使得球O2與球O1、圓臺(tái)的下底面及側(cè)面都只有一個(gè)公共點(diǎn)，除球O2，圓臺(tái)內(nèi)最多還能放入半徑為3的球的個(gè)數(shù)是()(A)1(B)2(C)3(D)4二、填空題(本題滿分54分，每小題9分)1．集合{x|－1≤logeq\s\do6(\f(1,x))10<－eq\f(1,2)，x∈N*}的真子集的個(gè)數(shù)是．2．復(fù)平面上，非零復(fù)數(shù)z1，z2在以i為圓心，1為半徑的圓上，eq\o(\s\up10(_),z1)·z2的實(shí)部為零，z1的輻角主值為eq\f(π,6)，則z2=_______．3．曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=1+cosθ，點(diǎn)A的極坐標(biāo)是(2,0)，曲線C在它所在的平面內(nèi)繞A旋轉(zhuǎn)一周，則它掃過的圖形的面積是_______．已知將給定的兩個(gè)全等的正三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個(gè)所有二面角都相等的六面體，并且該六面體的最短棱的長(zhǎng)為2，則最遠(yuǎn)的兩頂點(diǎn)間的距離是________．從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個(gè)正方體的六個(gè)面染色，每面恰染一種顏色，每?jī)蓚€(gè)具有公共棱的面染成不同的顏色。則不同的染色方法共有_______種．(注：如果我們對(duì)兩個(gè)相同的正方體染色后，可以通過適當(dāng)?shù)姆D(zhuǎn)，使得兩個(gè)正方體的上、下、左、右、前、后六個(gè)對(duì)應(yīng)面的染色都相同，那么，我們就說這兩個(gè)正方體的染色方案相同．)6．在直角坐標(biāo)平面，以(199,0)為圓心，199為半徑的圓周上整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)皆為整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)為________．

2013年全國(guó)高校自主招生數(shù)學(xué)模擬試卷十三參考答案一、選擇題(本題滿分36分，每題6分)1．把圓x2+(y－1)2=1與橢圓9x2+(y+1)2=9的公共點(diǎn)，用線段連接起來所得到的圖形為()(A)線段(B)不等邊三角形(C)等邊三角形(D)四邊形解：9－9(y－1)2=9－(y+1)2，8y2－20y+8=0，y=2或eq\f(1,2)，相應(yīng)的，x=0，或x=±eq\r(3)．此三點(diǎn)連成一個(gè)正三角形．選C．2．等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1536,公比q=－eq\f(1,2)，用πn表示它的前n項(xiàng)之積。則πn(n∈N*)最大的是()(A)π9(B)π11(C)π12(D)π13解：πn=1536n×(－eq\f(1,2))eq\s\up8(\f(n(n－1),2))，故π11<0，π9，π12，π13>0．作商比較：又，eq\f(π12,π9)=15363(eq\f(1,2))66－36>1，eq\f(π13,π12)=1536(eq\f(1,2))78－66<1．故選C．3．存在整數(shù)n,使eq\r(p+n)+eq\r(n)是整數(shù)的質(zhì)數(shù)()(A)不存在(B)只有一個(gè)(C)多于一個(gè),但為有限個(gè)(D)有無窮多個(gè)解：如果p為奇質(zhì)數(shù)，p=2k+1，則存在n=k2(k∈N+)，使eq\r(p+n)+eq\r(n)=2k+1．故選D．4．設(shè)x∈(－eq\f(1,2),0)，以下三個(gè)數(shù)α1=cos(sinxπ),α2=sin(cosxπ),α3=cos(x+1)π的大小關(guān)系是()(A)α3<α2<α1(B)α1<α3<α2(C)α3<α1<α2(D)α2<α3<α1解：α1=cos(sin|x|π)>0，α2=sin(cos|x|π)>0，α3=cos(1－|x|)π<0，排除B、D．∵sin|x|π+cos|x|π=eq\r(2)sin(|x|π+eq\f(π,4))<eq\f(π,2)，于是cos|x|π<eq\f(π,2)－sin|x|π，∴sin(cos|x|π)<cos(sin|x|π)，故α2<α1，選A．又解：取x=－eq\f(1,4)，則α1=coseq\f(\r(2),2)，α2=sineq\f(\r(2),2)，α3=coseq\f(3,4)π<0．由于eq\f(π,6)<eq\f(\r(2),2)<eq\f(π,4)，故α1>α2．5．如果在區(qū)間[1,2]上函數(shù)f(x)=x2+px+q與g(x)=x+eq\f(1,x2)在同一點(diǎn)取相同的最小值，那么f(x)在該區(qū)間上的最大值是()(A)4+eq\f(11,2)eq\r(3,2)+eq\r(3,4)(B)4－eq\f(5,2)eq\r(3,2)+eq\r(3,4)(C)1－eq\f(1,2)eq\r(3,2)+eq\r(3,4)(D)以上答案都不對(duì)解：g(x)=x+eq\f(1,x2)=eq\f(1,2)x+eq\f(1,2)x+eq\f(1,x2)≥3eq\r(3,\f(1,4))=eq\f(3,2)eq\r(3,2)．當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,2)x=eq\f(1,x2)即x=eq\r(3,2)時(shí)g(x)取得最小值．∴－eq\f(p,2)=eq\r(3,2)，eq\f(4q－p2,4)=eq\f(3,2)eq\r(3,2)，p=－2eq\r(3,2)，q=eq\f(3,2)eq\r(3,2)+eq\r(3,4)．由于eq\r(3,2)－1<2－eq\r(3,2)．故在[1．2]上f(x)的最大值為f(2)=4－eq\f(5,2)eq\r(3,2)+eq\r(3,4)．故選B．6．高為8的圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)半徑為2的球O1，球心O1在圓臺(tái)的軸上，球O1與圓臺(tái)的上底面、側(cè)面都相切，圓臺(tái)內(nèi)可再放入一個(gè)半徑為3的球O2，使得球O2與球O1、圓臺(tái)的下底面及側(cè)面都只有一個(gè)公共點(diǎn)，除球O2，圓臺(tái)內(nèi)最多還能放入半徑為3的球的個(gè)數(shù)是()(A)1(B)2(C)3(D)4解：O2與下底距離=3，與O1距離=2+3=5，與軸距離=4，問題轉(zhuǎn)化為在以4為半徑的圓周上，能放幾個(gè)距離為6的點(diǎn)？右圖中，由sin∠O2HC=3/4>0．707，即∠O2HO3>90°，即此圓上還可再放下2個(gè)滿足要求的點(diǎn)．故選B．二、填空題(本題滿分54分，每小題9分)1．集合{x|－1≤logeq\s\do6(\f(1,x))10<－eq\f(1,2)，x∈N*}的真子集的個(gè)數(shù)是．解由已知，得eq\f(1,2)<logx10≤11≤lgx<210≤x<100．故該集合有90個(gè)元素．其真子集有290-1個(gè)．2．復(fù)平面上，非零復(fù)數(shù)z1，z2在以i為圓心，1為半徑的圓上，eq\o(\s\up10(_),z1)·z2的實(shí)部為零，z1的輻角主值為eq\f(π,6)，則z2=_______．解：z1滿足|z－i|=1；argz1=eq\f(π,6)，得z1=eq\f(\r(3),2)+eq\f(1,2)i，eq\o(\s\up10(_),z1)=cos(－eq\f(π,6))+isin(－eq\f(π,6))．設(shè)z2的輻角為θ(0<θ<π)，則z2=2sinθ(cosθ+isinθ)．eq\o(\s\up10(_),z1)·z2=2sinθ[cos(θ－eq\f(π,6))+isin(θ－eq\f(π,6))]，若其實(shí)部為0，則θ－eq\f(π,6)=eq\f(π,2)，于是θ=eq\f(2π,3)．z2=－eq\f(\r(3),2)+eq\f(3,2)i．3．曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=1+cosθ，點(diǎn)A的極坐標(biāo)是(2,0)，曲線C在它所在的平面內(nèi)繞A旋轉(zhuǎn)一周，則它掃過的圖形的面積是_______。解：只要考慮|AP|最長(zhǎng)與最短時(shí)所在線段掃過的面積即可．設(shè)P(1+cosθ，θ)，則|AP|2=22+(1+cosθ)2－2·2(1+cosθ)cosθ=－3cos2θ－2cosθ+5=－3(cosθ+eq\f(1,3))2+eq\f(16,3)≤eq\f(16,3)．且顯然|AP|2能取遍[0，eq\f(16,3)]內(nèi)的一切值，故所求面積=eq\f(16,3)π．4．已知將給定的兩個(gè)全等的正三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個(gè)所有二面角都相等的六面體，并且該六面體的最短棱的長(zhǎng)為2，則最遠(yuǎn)的兩頂點(diǎn)間的距離是________。解：該六面體的棱只有兩種，設(shè)原正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a，側(cè)棱為b取CD中點(diǎn)G，則AG⊥CD，EG⊥CD，故∠AGE是二面角A—CD—E的平面角．由BD⊥AC，作平面BDF⊥棱AC交AC于F，則∠BFD為二面角B—AC—D的平面角．AG=EG=eq\r(b2－a2)，BF=DF=eq\f(2a\r(b2－a2),b)，AE=2eq\r(b2－(\f(2,3)eq\r(3)a)2)=2eq\r(b2－\f(4,3)a2)．由cos∠AGE=cos∠BFD，得eq\f(2AG2－AE2,2AG2)=eq\f(2BF2－BD2,2BF2)．∴eq\f(4(b2－\f(4,3)2a2),b2－a2)=eq\f(4a2b2,4a2(b2－a2))9b2=16a2，b=eq\f(4,3)a，從而b=2，2a=3．AE=2．即最遠(yuǎn)的兩個(gè)頂點(diǎn)距離為3．5．從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個(gè)正方體的六個(gè)面染色，每面恰染一種顏色，每?jī)蓚€(gè)具有公共棱的面染成不同的顏色。則不同的染色方法共有_______種。(注：如果我們對(duì)兩個(gè)相同的正方體染色后，可以通過適當(dāng)?shù)姆D(zhuǎn)，使得兩個(gè)正方體的上、下、左、右、前、后六個(gè)對(duì)應(yīng)面的染色都相同，那么，我們就說這兩個(gè)正方體的染色方案相同。)解：至少3種顏色：6種顏色全用：上面固定用某色，下面可有5種選擇，其余4面有(4－1)!=6種方法，共計(jì)30種方法；用5種顏色：上下用同色：6種方法，選4色：Ceq\a(4,5)(4－1)!=30；6×30÷2=90種方法；．用4種顏色：Ceq\a(2,6)Ceq\a(2,4)=90種方法．用3種顏色：Ceq\a(3,6)=20種方法．∴共有230種方法．6．在直角坐標(biāo)平面，以(199,0)為圓心，199為半徑的圓周上整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)皆為整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)為________．解：把圓心平移至原點(diǎn)，