福建省部分學(xué)校2024屆高三年級上冊12月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

福建省部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合4={冗|兀2一工一6<0},3={-3,-2,0,2,3},則Ac3=()

A.{-3,—2,0,2}B.{-2,0}

C.{-2,0,2,3}D.{0,2}

2.復(fù)數(shù)z=*在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()

4+31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知a=0.9",6=logi.,c=k)g[2,則()

533

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

4.若某等差數(shù)列的前3項和為27,且第3項為5,則該等差數(shù)列的公差為()

A.-3B.-4C.3D.4

5.在AABC中，角AB,C的對邊分別是a,b,c,若3a=46,A=2B,則cos3=()

A.-B.-C.-D.-

3384

6.已知/'(X)是奇函數(shù)，且在[。,+8)上單調(diào)遞減，則下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在(-8,0)

上單調(diào)遞增的是()

A.g(x)=/(%)-/(-%)B.g(x)=〃x)+/(-x)

C.g(^)=/(2-r-2^)D.g(%)=/(-%)-/(%)

7.己知拋物線C:V=6x,過點A(4,2)的直線/與拋物線C交于M,N兩點，若MA=AN，

則直線/的斜率是()

A.-B.-C.-D.-

3432

8.已知函數(shù)〃x)=2(x-l)e-f一般在R上單調(diào)遞增，則。的最大值是()

A.0B.-C.eD.3

e

二、多選題

9.若函數(shù)〃x）=2sin]￡x_?J則（）

B.〃x）的圖象關(guān)于點弓,。]對稱

A.的最小正周期為10

C./（x）在/，工）上有最小值

D.的圖象關(guān)于直線對稱

10.設(shè)a,6eR,若4/+匕2=1,則（）

A.ab>—B.2a+bW應(yīng)

4

11、3

C.4。+廿W2D.-；-----1—；N—

a~+lb2+l2

11.己知直線/：2+（加一2）>+2=0與圓x2+/—4x+6y—23=0,點尸在圓C上,

則（）

A.直線/過定點（1,1）

B.圓C的半徑是6

C.直線/與圓C一定相交

D.點尸到直線/的距離的最大值是6+百

12.已知函數(shù)f(x)=|log2同尤e（-1,0）1（0,4],若關(guān)于X的方程〃力=。有3個實數(shù)

解玉，巧，x3-且玉<%<W,貝!I（

B.%%工3的取值范圍是（-1,

A.%+4xj的最小值為4

」一+」一的最小值是

C.%+%+%的取值范圍是0,4]D.+313

三、填空題

13.若向量〃、b為單位向量，且卜+26卜近，則向量々與。的夾角為.

14.的展開式中，含產(chǎn)項的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）

15.已知5由（0+：）=3$111（0—兀），則tan2a=.

22

16.過雙曲線0.-2=1（〃>0,6>0）的右焦點工作C的一條漸近線的垂線，垂足為A,

八?一?乙au

且c的左頂點為B,\AB\=^――,則c的離心率為

四、解答題

試卷第2頁，共4頁

17.在銳角ASC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,4c,已知缶sinC-c=O.

⑴求A；

(2)求2j5sinB-2sinC的取值范圍.

18.鎮(zhèn)安大板栗又稱中國甘栗、東方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，營養(yǎng)豐

富而著稱于世.現(xiàn)從某板栗園里隨機抽取部分板栗進行稱重(單位：克)，將得到的數(shù)據(jù)

按[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]分成五組,繪制的頻率分布直方

圖如圖所示.

OjO18**???**

0.012

O.OOH

口』」!』力.販卜成./Ji

(1)請估計該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù);

(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在［40,50)和［70,80］內(nèi)的板栗中抽取10顆，再從這10

顆板栗中隨機抽取4顆，記抽取到的特等板栗(質(zhì)量N70克)的個數(shù)為X,求X的分

布列與數(shù)學(xué)期望.

19.如圖，在三棱柱ABC-A用G中，44jJ■平面ABC,ABC是等邊三角形，且Z)為

棱的中點.

(1)證明：平面CGD.

(2)若244,=3AB,求平面4(。與平面夾角的余弦值.

20.已知點月(-1,0),月(1,0),動點M滿足用+|“用=4,動點M的軌跡記為￡

⑴求E的方程；

⑵過點尸?的直線/與E交于48兩點，。為坐標原點，求Q4B面積的最大值.

21.設(shè)數(shù)列｛%｝的前兀項和為S“,q=；,且?！?。洶7T=a“_i(”22,"eN+).

⑴求｛4｝的通項公式；

⑵設(shè)b?=(-1嚴(2n+3)a?a?+1,求數(shù)列也｝的前n項和T?.

22.已知函數(shù)/'(無)=sinx+xt

⑴求曲線y=在點(0J(0))處的切線方程，

(2)證明：/(x)>-^.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.c

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求得A={H-24X43},結(jié)合集合交集的運算，即可求

解.

【詳解】由不等式V-x-6=(x+2)(x-3)W0,解得一2WxW3,所以A=3卜2Vx<3},

又由8={-3,-2,0,2,3},所以AB={-2,0,2,3}.

故選：C.

2.A

21

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，求得z=(+gi,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

（l+2i）（4-3i）4-3i+8i_6i2_2J_.

【詳解】由復(fù)數(shù)z=（4+3i）（4-3i）-~16-9i2~-5M

4+31

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為該點位于第一象限.

故選：A.

3.D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷a的范圍，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷

瓦c的范圍，即可得答案.

【詳解】因為V=0.9、為R上的單調(diào)減函數(shù)，》=1。82羽》=1。83%為(0,+勸上的單調(diào)增函數(shù),

故0<0.9門<0.9°=l,log1-=log23>l,log12=-log32<0,

533

所以6>a>c,

故選:D

4.B

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.

【詳解】設(shè)該等差數(shù)列為{4},則4+%+%=3%=27,則出=9,

所以公差4=%-。2=5-9=-4.

故選：B.

5.B

【分析】利用正弦定理、二倍角公式等知識求得正確答案.

答案第1頁，共13頁

【詳解】因為A=26,所以sinA=sin23=2sinBcos及

因為1^7=」^，所以a

----，所以cosB=--

sinAsmB2sinBcosBsinB2b

因為31"所以則a與=|.

故選：B

6.D

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義與性質(zhì)，及單調(diào)性的定義與性質(zhì)判斷即可.

【詳解】由題意得“X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，則y=〃-x)在(-8,0)上單調(diào)遞增,

對于A,因為y=/(x)與y=-/(-x)均在(7,0)上單調(diào)遞減,

所以g(x)=/a)-〃-x)在(-e，。)上單調(diào)遞減，故A錯誤;

對于B,g(-x)=/(-x)+/(x)=g(x),則g(尤)為偶函數(shù)，故B錯誤；

對于C,g(-2)=/(2--22)=/(-1)=/(2-'-2)=f

因為所以4一9〉/[一野,即g(-2)>g(—l),故C錯誤；

對于D,g(-%)=/(%)-f(-%)=~g(%),則g(x)為奇函數(shù)，

y=f(-x)與y=-/(%)均在(-8,0)上單調(diào)遞增，

則g(x)=/(-^)-/(x)在(一雙0)上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：D.

7.D

【分析】設(shè)河(石,乂),雙(馬,%),由題意可得A為腦V的中點，然后利用中點坐標公式和斜

率公式可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)學(xué)(程弘),N(出,%)，則y：=6為，￥=6%,

因為MA=AN，所以A(4,2)為MN的中點，

所以％+%=4,

/「％一%Xf6=3

故直線/的斜率xt-x2y；_￡x+%2.

故選：D

答案第2頁，共13頁

8.A

【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)，將f(x)在R上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為了'(x)=2xe、-2x-恒成立，再參變

分離，轉(zhuǎn)化為“42雙工-2%恒成立，即求出2xe，-2x的最小值即可得.

【詳解】由題意可得/'(力=2屁，-2龍-。，

因為在R上單調(diào)遞增，所以/''(X)=2xe“-2x-a2。恒成立，

即。42W工-2元恒成立，

設(shè)g⑺=,貝?。輌'(x)-(2x+2)ex-2,

當(dāng)尤＜0時，g'(x)＜0,當(dāng)尤＞0時，g'(x)＞0,

則g⑺在(一雙0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增,

故g(XU=g(O)=O,即aW0?

故選：A.

9.AD

【分析】由正弦型函數(shù)的周期公式可求A,通過代入求值的方法可判斷BD選項，利用正弦

函數(shù)的圖象與性質(zhì)可判斷C.

T=—=10

【詳解】二，A正確.

5

因為/13=25由1-器)片0,所以/CO的圖象不關(guān)于點1,0＞寸稱，B錯誤.

因為/件］=2sing=2,所以的圖象關(guān)于直線x=?對稱，D正確.

UJ24

若則由y=sinx的圖象可知，

答案第3頁，共13頁

/(x)在[0,彳)上有最大值，沒有最小值，C錯誤.

故選：AD.

10.BCD

【分析】利用基本不等式即可判斷AB；利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷C；利用1的妙用結(jié)合基

本不等式可判斷D.

71

【詳解】,.,4。2+方2=1,/.l=(2a)"+Z?2>2x2axb=4ab,§P<—,

當(dāng)且僅當(dāng)2a=6=變時，等號成立，故A錯誤；

2

(2a+Z?)=4a2+b2+4ab<l+4x—=2,當(dāng)且僅當(dāng)2a=6=時，等號成立，

?*--y/2<2a+b<y/2，故B正確；

,/4a2+b2=1,/.4。+/=4。+1-4/=-4(。-1)2+2<2,

當(dāng)且僅當(dāng)a=g,b=。時，等號成立，故C正確；

V4a2+b2=l,：.(4(Z2+4)+(&2+1)=6,4a2+4>0,ZJ2+1>0,

.??1—+，一=:+，—」「(4/+4)+(/+1)][+，一]

a2+lb2+l4a2+4b2+16L」(4/J+4b2+l)

1<4(/+1)4a2+41、-/4(」+i)4/+4)3

6(4/+4b2+l)6(V4a2+4b2+\J2

當(dāng)且僅當(dāng)。=。力=±1時，等號成立，故D正確.

故選：BCD.

11.BC

【分析】求解直線經(jīng)過的定點，圓心與半徑，兩點間的距離判斷選項的正誤即可.

【詳角軍】直線/：mx+(m-2)y+2=0,即〃?(x+y)-2y+2=0

\x+y=0\x=-l/、

由-2,2=0'解得=1，則直線/過定點（T/），故A錯誤;

圓C：Y+y2—4%+6y—23=0,即(％—2>+(y+3)2=36,

則圓c的圓心坐標為C（2,-3）,半徑為6,故B正確；

因為點（-1,1）與C（2,-3）的距離為d=7（2+1）2+（-3-1）2=5<6,

答案第4頁，共13頁

則點（T,l）在圓C的內(nèi)部，所以直線/與圓C一定相交，故C正確；

點尸到直線/的距離的最大值是1+5=6+5=11,故D錯誤.

故選：BC.

12.BCD

【分析】作出函數(shù)的圖象，即可根據(jù)對數(shù)的運算可得七七=1，X2+%=0,結(jié)合函數(shù)圖象以

及基本不等式即可求解ABC,利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可求解D.

【詳解】作出人力的大致圖象，如圖所示.

a=-log,(-Xj)=-log2x2=log2x3,其中馬?(1,4],所以。e(0,2],

貝!J%￡1一1一：,x2e；/)，.X3=1.所以.+4%；N2,&NW=4,

4

當(dāng)且僅當(dāng)％=4七=一,即1=2時，等號成立，但2任A錯誤.

%2

當(dāng)了￡(-1,0)(0,1)時,/(尤)=隨2同是偶函數(shù),則3+%2=°，

x

所以玉％2退=再《一1，一；，\+x2+x3=x3e(l,4],B,C均正確.

因為----1=1+三=1+4,所以

xrx3XxX2玉工2%3%2

11

-------------1---------+----%+后+蛆

XX

再入3\2x3x3

設(shè)函數(shù)g(無)=1+尤2+3(1<Xw4),貝ljg'(x)=2X-4=2X：16

當(dāng)l<x<2時，g'(x)<0,當(dāng)2<x44時，g'Q)>0,所以gOU。=g(2)=1+4+8=13,D

正確.

故選：BCD

⑶7

答案第5頁，共13頁

【分析】由平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得cosa,6的值，結(jié)合向量夾角的取值范圍可求

得結(jié)果.

【詳解】因為向量a、6為單位向量，且卜+2*療，

I|2.2.-.2--)

貝“a+2Z?=a+4a-b+4b=5+4a2=7,可得。?力=—,

所以，儂卜給=矗1

2*

因為無，故(4,?=三，即向量￡與6的夾角為

故答案為：y.

14.-12

【分析】利用二項展開式的通項公式，求出V系數(shù).

【詳解】,-3展開式的通項"=(-2y.

令6—4廠=2,得r=1,

貝/=_2XC"2=_12%2.

故答案為：-12

3

15.—/—0.75

4

【分析】利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系求得tana,再由二倍角的正切公式求解.

5元7T71

[詳解]*?*sin(a+-)=sin(2兀+—+<7)=sin(—+a)=cosa,

sin(6Z-7i)=sin[-(7i-a)]=-sin(兀-a)=-sina,

/.cosa=-3sina,tana=—,

2tana3

tanla=

1-tan2a4

3

故答案為：：

16.2

【分析】利用數(shù)形結(jié)合的方法，找出凡瓦。之間的等量關(guān)系式，利用解方程的方法即可求出

雙曲線的離心率.

【詳解】設(shè)。為坐標原點，C的焦距為2c.過點A作A"垂直于無軸，垂足為

答案第6頁，共13頁

易得M4=關(guān)/="]。4卜亞『二證『=后丁=?，

所以|AH||O6|=|AOM4二|AH卜?，

2

由OAH,0%4可得|。4|2=|0同.|6閭,即|0叫=幺，

所以怛*=°+幺=JABF-1AW『="曲,得c+a=61>,

所以（c+a）2=3〃=3（c2—1），故e=：=2.

故答案為：2.

17.嗚

⑵（。，應(yīng)）

【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理邊化角分析求解；

（2）利用三角恒等變換整理得20sinB-2sinC=2sin18-：j結(jié)合正弦函數(shù)的值域求解.

【詳解】（1）因為亞asinC-c=0，由正弦定理可得0sinAsinC-sinC=0，

因為一MC為銳角三角形，可知Ce[o,]],

則sinC>0,所以sinA=立,

2

且Ae]o,],所以A=:.

（2）因為A=J,可知8+C=^,即。=塞一2,

444

答案第7頁，共13頁

71

0<B<-

7兀兀

且,ABC為銳角三角形，貝。交，解得:〈8〈不

0<?<四42

I42

又因為2血sinB-2sinC=2y/2sinB-2sin（A+B）

=2^2sinB-2sinB+cosB=s/lsinB-叵cosB=2sin（B-—

I22JI4

由殳<B（殳，可知0<8-工〈巴，則sin（3-：]e[o，￥,

4244k4>I2J

所以2?sinB-2sinCe（0,?）.

18.（1）57.5

Q

（2）分布列見解析，|

【分析】（1）先通過分析確定中位數(shù)在［50,60）內(nèi)；再設(shè)中位數(shù)為機，列出方程求解即可.

（2）先根據(jù)分層抽樣確定從質(zhì)量在［40,50）內(nèi)的板栗中抽取6顆，從質(zhì)量在［70,80］內(nèi)的板栗

中抽取4顆；再寫出X的所有可能取值并計算相應(yīng)的概率，列出分布列并根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式

可得出答案.

【詳解】（1）因為（。。08+0.018）*10=0.26<0.5,

0.26+0.032x10=0,58>0.5

所以該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)在［50,60）內(nèi).

設(shè)該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)為加，

貝U（根一50）x0.032+0.26=0.5,解得m=57.5,

所以該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)約為57.5.

（2）由題意可知采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在［40,50）內(nèi)的板栗中抽取10x001f2=6

顆，從質(zhì)量在［70,80］內(nèi)的板栗中抽取10x而署京=4顆.

X的所有可能取值為0,1,2,3,4.

P—。）=苣q,p（x=i）=臂吟

jo14jo

答案第8頁，共13頁

12C*Ci4

P(X=2)=-^=*P(X=3)=鏟

Jo/jo35

P（X=4）咯1

Jo2W,

從而X的分布列為

X01234

18341

P

14217352W

iQaJiQ

故石(X)=0x—+lx——+2x—+3x——+4x——=-

v714217352105

19.(1)證明見解析

⑵等

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理可證；

（2）以。為坐標原點，以。氏。仁。2所在直線分別為*,%2軸，建立空間直角坐標系，利

用兩平面夾角的向量法求解.

【詳解】（I）由三棱柱的性質(zhì)可CC]

*/AA,_L平面ABC,；.CC[-L平面ABC,

ABu平面ABC,CC]-LAB,

?。為AB的中點，且.ABC是等邊三角形，；.CDLAB,

?/CD,CC】u平面CC/,CGCD=C,

：.鉆1平面。。]。.

（2）取A由的中點2,連接。R,由題意可得。民。C,。，兩兩垂直，

以。為坐標原點，以。氏。。,￡）2所在直線分別為％y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標

系.

答案第9頁，共13頁

設(shè)48=2,44,=3,

則A(-1,0,0),B(l,0,0),C(0,6,0),D(0,0,0),A(-1,0,3),Q(0,瘋3),

故AB=(2,0,0),ACX=(1,y/3,3),D4,=(-1,0,3),DC=(0,后0),

設(shè)平面A。。的法向量為〃=(%,%,zj,

n?DA=-x,+3z1=0

則r，令%=3,得”=(3,0,1),

n?DC=\j3yl=0

設(shè)平面ABG的法向量根=（%2，%*2），

m-AB=2x=0「_l

則?廠，令%=J3,得"=(0,坦,一1),

m-AC}=x2+V3y2+3z2=0-

設(shè)平面A.CD與平面ABC,夾角為e,

n-m1A/10

則cos^=cos(

V10x220

即平面ACD與平面ABC1夾角的余弦值為強.

20

(2)i-

【分析】（1）根據(jù)橢圓定義可確定橢圓的長軸長以及焦距，進而求得從，即得答案.

（2）首先設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，由此求得弦長，結(jié)合原點到

直線的距離，即可求得面積表達式，然后換元，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案.

【詳解】⑴因為|嗎|+|5|=4＞陽同=2,所以E是以小工為焦點，且長軸長為4的橢

答案第10頁，共13頁

圓.

22

設(shè)E的方程為鼻+斗=1（。＞匕〉0）,貝！J2a=4,可得a=2.

ab

又橢圓焦距為2c=l,/.c=l,所以/=/—02=3,

r23v2

所以E的方程為土+匕=1；

43

（2）由題意可知直線/的斜率不為0,設(shè)直線/:%=紗+1,4（%,乂）,3（心％），

x=my+1

聯(lián)立爐產(chǎn)整理得（3病+4）9+6陽一9=0,

——+—=1

143

則A=(6m)2-4(3m2+4)x(-9)=144(m2+l)>0,

6m9

M+%=一，%必=一

3m2+43m2+4

由弦長公式可得|=J療+1E-%|=.

12(m2+l

3m2+4

點。到直線/的距離d=-/=L，貝/Q4B的面積S=3A2"=蟲衛(wèi),

2113m2+4

6t_6/_6

設(shè)力=，療+1,也1，貝11-3,2一1）+4-3/+1-3.+1，

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因為此1,y=3，+l在工+◎上單調(diào)遞增，