2023年汕尾市普通高一數(shù)學(xué)競賽試題及答案

2023年汕尾市普通高中學(xué)科競賽(高一)

參考答案及詳細(xì)解析數(shù)學(xué)

一、選擇題(共6小題，每小題5分，共30分)

123456

答案DBBACC

1.D【解析】設(shè)z=a+6i(a,6eR),

3

--儲(chǔ)+川=9,"二行，

由z?z=9且z+z+1zl=0,得解得

[2a+3=0,|.3萬

…小攀=3(+*.

而(-1-爭)=4+3x(一劊+3x(一「x(一別一明Z,

(-?>)=-Rx(-L+3x(-1x(爭)+圖

y—2022y—3674

.\2。22=32。22.4土學(xué)與值.1土爭]=3”22

故選D.

2.B【解析】取△/18C的中心*連接PE,貝IJPE_L平面48C,且與棱均相切的球的球心

。在PK上，連接/1E并延長交8c于點(diǎn)。，則。為8c的中點(diǎn),AD1.BC.

連接。。，易證8CJ.0。，過。作。交P/1于點(diǎn)/7

設(shè)球。的半徑為r,貝1］。。=。尸=「，由題意易求得4。=3,AE=2,￡7)=1.

由勾股定理得PE=，四2-4/=/12-4=2泛

在RtaP4E中，sinaAP￡=4^=B=坐.

伊2后3

設(shè)OE=i(0<c<2拒)，貝療。=6"=75r.

因?yàn)閞=OD=VED2+OE1=/P+1,從而t+37

2貨,所以廣=,所以/=(孝)+1=去,r二亨，R

故球0的體積V=-1-7Tr3=y-ir(9)二、后?.

P-1,0—W1

3.B【解析】作出函數(shù)/(”)=1和>=一j-x的圖象如圖.

一，X>1

1X

高一?數(shù)學(xué)參考答案及詳細(xì)解析第1頁(共9頁)

關(guān)于”的方程/(%)=-yx+/nR)恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，等價(jià)于)，=/(%)

與y=+m(m￡R)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，平移y二-十%,考慮直線經(jīng)過點(diǎn)

7

(1,2)和(1,1)時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，可得加或

考慮直線y=-在％>1時(shí)與y=L相切,

3x

可得皿-"￥2=1,即％2_3儂+3=0,

由4=9/-12=0,

得加=手或加=普(舍).

綜上所述，m的取值范圍是［寺，引U｛竽卜故選B.

4.A【解析】由/(%)=1g%+(a—3)加一2a+6>0,得1g%>(3—a)比+2a—6.

由題意可知，滿足不等式lgx>(3-a)%+2a-6的解中有且只有兩個(gè)整數(shù)，

即函數(shù))，=1g%在直線),二(3-a)%+2。-6上方的圖象中有且只有兩個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn).

如下圖所示：

由圖象可知，由于y=(3-a)%+2a-6=(3-a)(%-2),該直線過定點(diǎn)(2,0).

要使得函數(shù)y=lgx在直線y=(3-a)%+2a-6上方的圖象中有且只有兩個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)

3-a>0,<3,

的點(diǎn),則有即解得aW3—lg3.

1g3^3(3-a)+2a-6,[QW3-1g3,

又a>0,所以0<aW3-lg3,因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,3-lg3].故選A.

5.C【解析】根據(jù)題意，不妨設(shè)b=(2,0),a=(2cosa,2sina),aG[0,2F],C=

(3y),貝IJ/c=2%所以求力-c的最大值，即求％的最大值.

由?(c-b)=0,可得c?-a?c-b?c+a-=0,

即/-2sina?y+x2-2x(1+cosa)+4cosa=0,因?yàn)殛P(guān)于y的方程有解，所以A=4sin2a

-4%2+8x(1+cosa)-16cosa20,即A=4(1-cos2a)-4x2+8%(1+cosa)-16cos,

令，=cosa(-貝lj#一2(I+1)%+(/+41-1)w0,

所以([+1)—J2W%W(z+l)+\/2—2z,

高一?數(shù)學(xué)參考答案及詳細(xì)解析第2頁(共9頁)

令/2-2l=/n（0WmW2）,則（c+l）+/2-2l二一『十。,

當(dāng)加=1時(shí)，（Z+1）+笈二五取得最大值所以x這會(huì)，所以萬?CW5,所以的最

大值為5,故選C.

6.C【解析）在△48C中，Z>2sinB-absinA=2S,S=^-acsinB,a'6sin4=a,asinB,

且在△48C中，恒有sinB>0,故題干條件可化為b2-a2=ac.由余弦定理得力=a2+c2-

2aoeosB,故。=2acosB+a,又由正弦定理化簡得

sinC=2sin4cosB+sinA=sinAcosB+cos4sinB,

整理得sin（5-4）=sin4,故4=4或5-4=f-4（舍去），得6=24

0<4<-J,

因?yàn)椤?8C為銳角三角形，故.0<24<?解得點(diǎn)"<學(xué)，故亨<tan4<l,

0<TT-34<

故3tan4+氤/，4）.

故選C.

二、填空題（共8小題，每小題5分，共40分）

題號(hào)78910

32而-亨

答案{-2^5,2⑸0}/VS-^2T

題號(hào)11121314

8_33

答案21

13一了

7.{-26,275,0}

【解析】由于（a*-1）（久2+ax+5）=0,等價(jià)于a*-1=0①或支2+ax+5=0②，

又4={1},4*5=1,可知8要么是空集，要么是二元素集合.

（1）若8是空集，則方程①無實(shí)根，方程②無實(shí)根，此時(shí)。=0;

（2）若8是二元素集合，則方程①有一個(gè)實(shí)根，方程②有兩個(gè)相等的實(shí)根，

ra^O,

此時(shí)，,

=『-20=0,

解得。=±2后，所以實(shí)數(shù)a的所有可能取值構(gòu)成的集合5={-26,2萬，0}.

故答案為{-2行,2⑸0}.

8.y/13-72

【解析】復(fù)數(shù)z滿足1W|z+l+i|wE,即1W|z-（-1-i）W整,

高一?數(shù)學(xué)參考答案及詳細(xì)解析第3頁（共9頁）

即復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z到點(diǎn)C(-1,-1)的距離d滿足1wdw忘

設(shè)P(2,1),|2-2-4表示復(fù)數(shù)？在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)2到點(diǎn)2(2,1)的距離,

數(shù)形結(jié)合可知|z-2-i|的最小值為：

\AP\=|PC|-72=+2?-衣=國-汽.

故答案為/叵-反

[解析】當(dāng)。片1時(shí)，/(￡)=(a-l)x+l+=(?-1)(x-1)+—+(a-1)+1注

X-1X-1

2/a-1+(a-1)+1=(y/a-1+1)?，

當(dāng)且僅當(dāng)x=Jm+1>1時(shí)，取“=”，

??/(%)min=(-1+1),

于是/(%)〉6恒成立就轉(zhuǎn)化為(FT+1)2>6成立；

當(dāng)a=1時(shí),/(%)=1+-^~r>1.

x—1

設(shè)事件4:“/(%)>%恒成立”，

則基本事件總數(shù)為15,即

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

(2,5),(3,1),(3,2)(3,3),(3,4),(3,5)；

事件4包含基本事件:(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),

(3,4),(3,5),共9個(gè).

所以P(4)=尚=]C

10.2而-亨

陰一六C

鏟

【解析】以4,B,C,D為頂點(diǎn)構(gòu)造棱長為2的正方體ABCD-4'B'C'D',A

瓦/'

連接P9,DtQ.|由對稱性得PB'=PB,,PB,+PQ=PB'+PQ,因?yàn)?/p>

/\I

E是DDt上的動(dòng)，點(diǎn)小是下底面上的動(dòng)點(diǎn)，

高一?數(shù)學(xué)參考答案及詳細(xì)解析第4頁(共9頁)

則△，后尸是直角三角形，Q是E尸的中點(diǎn)，且芯/=萬，故?Q=^,

所以P8'+PQ取最小值時(shí)，D,,Q,P,方四點(diǎn)共線，

222

則DtB'=/l+2+2=2西，此時(shí)PB、+PQ=2^-g.

故答案為2而-，

11.2

【解析］/(*)=-:cos2x+/>sinx+-=^-sin—+bsinx,

令"sinxe[-1,1],問題等價(jià)于g(D=f2+犯

對任意。，?2e[-1,1],都有注氏)-g&)「4,即g(t)m”-g(t)m"W4.

欲使?jié)M足題意的人最大，所以考慮6>0,

g(t)=y+機(jī)圖象的對稱軸為y-b,

=6+

當(dāng)0<6<1時(shí),g(t)max=g(l)y>g(，)min=g(⑷=g,

12ii

g(0max-g(t)min=5+6+5=下(6+]尸<2這4,.,.0<6<1成立；

當(dāng)值1時(shí)，g(t)a-g(t)111M=g(l)-g(-l)=2h4,則收2,即10)W2,

綜上，0<4w2.

所以/，的最大值為2.

8/TI

12

【解析】?.T,D,P三點(diǎn)共線，.?.可設(shè)」=人而(4>0).

百二機(jī)港+(5■一機(jī))瓦,

4

...人而二加而+即麗二夕崩+七一無.

???8,D,C三點(diǎn)共線，

4

:"=8,AD=2.

,.?48=3,4c=2,乙朋C=90。，,8C=A

設(shè)C7)=x,ACDA=0,則80=/IT-工，乙BDA=r-e.

用wA廿…工m~T‘口/IAD2+CD2-AC2X...AD2+BD2-AB2

.?.根據(jù)余弦7E理可得cosB=—yjy.一而一=7，cos(TT-0)=」而)—ur)一

ZAU?CU4ZAU?DL)

高一?數(shù)學(xué)參考答案及詳細(xì)解析第5頁(共9頁)

(取-j-5.

4(yiT-x)

*.*cos0+cos(IT-9)=0,

.X(/\3-XY-5=0,解得工二梏1,

I4(713-X)

CD的長度為宜君.

13.1

【解析】由/(x+l)-2為奇函數(shù)，可得f(x+l)-2=-/(-彳+1)+2,函數(shù)/(x)的圖象

關(guān)于點(diǎn)(1,2)對稱，又定義域?yàn)镽,則有/(1)=2；又/(工+2)為偶函數(shù)，可得/設(shè)+2)=

/(-x+2),函數(shù)/⑺的圖象關(guān)于直線x=2對稱，則/(*)=4-/(2-%)=4-/(2+彳)，

又/(2+x)=4-/(-彳)，則/(》)=/(-工)，則/(工+2)=/(-工+2)=/(一2),函數(shù)/⑺

的周期為4,

M^F)M1012+T)MT)=4MI)；

由上可得/(-1)=/(1)=a+b/(0)=4-/(2)=4—4QT,貝

9[a+6+4-4a-6=1,

/0二1,

解得

U=i,

貝廿信)=4%'+i=3,則/(竽)=4_彳方)=i.故答案為1.

14--

4

【解析】因?yàn)?%+y+2xy+2=0,則63+y+2町+3=1,即(2%+l)(y+3)=1,

令2%+1=/〃，y+3=〃，所以nm-1,

所以%2+y2+x+6y=fm1)+(n-3)2+m+6(n-3)=-^-/n2+〃2一圣

又+n2Nmn=1,當(dāng)且僅當(dāng)^■機(jī)=n=李時(shí)取等號(hào),所以％?+y2+%+6y的最小值為

?3733

44

故答案為吟

三、解答題（共4小題，每小題20分，共80分）

15.解：當(dāng)a=o時(shí)，不等式|2%|+13比|NO對％sR恒成立，滿足題意；.......3分

當(dāng)a.。時(shí)，不等式\2x-a\+\3x-2a\^a2<^>2?--1+3---2>|a|,

aa

...............5分

令”王eR,則有⑵-1|+|3t-2|才|a|,依題意,不等式⑵-1|+⑶-2|注|a|對

a

高一?數(shù)學(xué)參考答案及詳細(xì)解析第6頁（共9頁）

"R恒成立,7分

-5V/+3Q,Y一51,

令f(z)=⑵-1|+⑶-2|，-/+1,.......12分

5/-3,9/，

顯然/⑴在(-8,上單調(diào)遞減，在玲，+8)上單調(diào)遞增，

.......15分

故/⑴而“=>住）=9,則0<|a|wJ,

解得--^Wa<0或。<aW-^~.綜上-}waw上,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是-gaw/.......20分

16.解：因?yàn)椤?,[洋]+[洋]+[洋]=2,

11+%」L1+xJL1+xJ

故可設(shè)產(chǎn)方=止[0,J],即有[24+[3t]+[5t]=2,........2分

1+%L2J

當(dāng)“[（）,時(shí)，⑵]+[3f]+[5〃=0+0+0=0,不符合題意，舍去；

當(dāng)“[/，時(shí)，⑶+[3t]+[5。=0+0+1=1,不符合題意，舍去;

當(dāng)Tt，7）n-t,[2/]+[3?]+[5/]=0+1+1=2,符合題意，

.......11分

此時(shí)1工2=1-e[V，。）0，+工€（2,3],

1+x1,L32IX

.......17分

當(dāng)”/時(shí)，⑵]+[3訂+[5〃=1+1+2=4,不符合題意，舍去.

綜上，xe[汨5，1)U(1,色野.

.......20分

17.解：(1)已知."+sin嘰在sin4=si"C,由正弦定理得盧”=，

ca-b圖-ca+

即a2+c2-b~=y/3ac........2分

由余弦定理得COSB==磐=與，

2ac2ac2

因?yàn)?e(0,TT),

高一?數(shù)學(xué)參考答案及詳細(xì)解析第7頁(共9頁)

所以B=F...............5分

o

(2)在銳角三角形45c中，a=2A,B=%

6

由正弦定理得醇=一^=一彳，

...............7分

sinATTsin(>

sin--

273sin(4+*

土&人G2萬sinC3sin/!+Bcos4

sinAsinA

右+卓

3sin4+4cosA+萬ccosA~"+B?+lan2/l

則6+c=3+-------：—=3+

sinALanAtanA

=3+=+舁i+T，12分

tanA

因?yàn)殇J角三角形48c中，B=%

則4￡(0,屈，C=TT-AG^0,y-j,

解得4w(年,屈,........15分

故tan"e(",+8),熹