高考數(shù)學(xué)人教B版一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練9-6雙曲線

核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程

1.已知定點(diǎn)F1(2,0),F2(2,0),N是圓O:x2+y2=1上任意一點(diǎn),點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M,線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)PA.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓2.已知圓C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x3)2+y2=9,動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1和圓C2相外切,則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為 ()A.x2QUOTE=1 B.QUOTEy2=1C.x2QUOTE=1(x≤1) D.x2QUOTE=1(x≥1)3.(2019·長(zhǎng)春模擬)雙曲線C的漸近線方程為y=±QUOTEx,一個(gè)焦點(diǎn)為F(0,QUOTE),點(diǎn)A(QUOTE,0),點(diǎn)P為雙曲線第一象限內(nèi)的點(diǎn),則當(dāng)點(diǎn)P的位置變化時(shí),△PAF周長(zhǎng)的最小值為 ()A.8 B.10 C.4+3QUOTE D.3+3QUOTE4.(2020·唐山模擬)P是雙曲線QUOTEQUOTE=1(a>0,b>0)右支上一點(diǎn),F1,F2分別為左、右焦點(diǎn),且焦距為2c,則△PF1F2的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)是________. 導(dǎo)學(xué)號(hào)

5.若雙曲線的漸近線方程為y=±QUOTEx,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,QUOTE),則雙曲線的方程為_(kāi)_______. 導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】1.選B.如圖,連接ON,由題意可得|ON|=1,且N為MF1的中點(diǎn),又O為F1F2的中點(diǎn),所以|MF2|=2.因?yàn)辄c(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M,線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P,由垂直平分線的性質(zhì)可得所以||PF2||PF1||=||PF2||PM||=|MF2|=2<|F1F2|,所以由雙曲線的定義可得,點(diǎn)P的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的雙曲線2.選C.設(shè)圓M的半徑為r,由動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1和圓C2相外切,得|MC1|=1+r,|MC2|=3+r,|MC2||MC1|=2<6,所以點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)C1(3,0)和C2(3,0)為焦點(diǎn)的雙曲線的左支,且2a=2,a=1,又c=3,則b2=c2a2=8,所以點(diǎn)M的軌跡方程為x2QUOTE=1(x≤1).3.選B.由已知得雙曲線方程為QUOTEQUOTE=1,設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為F′,則|PF|=|PF′|+4,△PAF的周長(zhǎng)為|PF|+|PA|+|AF|=|PF′|+4+|PA|+3,當(dāng)F′,P,A三點(diǎn)共線時(shí),|PF′|+|PA|有最小值,為|AF′|=3,故△PAF的周長(zhǎng)的最小值為10.4.(利用定義解三角形)如圖所示,內(nèi)切圓圓心M到各邊的距離分別為|MA|,|MB|,|MC|,切點(diǎn)分別為A,B,C,由三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)有|CF1|=|AF1|,|AF2|=|BF2|,|PC|=|PB|,所以|PF1||PF2|=|CF1||BF2|=|AF1||AF2|=2a,又|AF1|+|AF2|=2c,所以|AF1|=a+c,|OA|=|AF1||OF1|=a.因?yàn)镸的橫坐標(biāo)和A的橫坐標(biāo)相同,所以M的橫坐標(biāo)為a.答案:a5.方法一:因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=±QUOTEx,所以可設(shè)雙曲線的方程為x24y2=λ(λ≠0).因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)(4,QUOTE),所以λ=164×(QUOTE)2=4,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為QUOTEy2=1.方法二:因?yàn)闈u近線y=QUOTEx過(guò)點(diǎn)(4,2),而QUOTE<2,所以點(diǎn)(4,QUOTE)在漸近線y=QUOTEx的下方,在y=QUOTEx的上方(如圖).所以雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,故可設(shè)雙曲線方程為QUOTEQUOTE=1(a>0,b>0).由已知條件可得QUOTE解得QUOTE所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為QUOTEy2=1.答案:QUOTEy2=11.雙曲線定義的應(yīng)用(1)判定滿足某條件的平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線,進(jìn)而根據(jù)要求可求出曲線方程.在應(yīng)用雙曲線定義時(shí),要注意定義中的條件,搞清所求軌跡是雙曲線還是雙曲線的一支,若是雙曲線的一支,則需確定是哪一支.(2)在“焦點(diǎn)三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,經(jīng)常結(jié)合||PF1||PF2||=2a,運(yùn)用平方的方法,建立|PF1|與|PF2|的關(guān)系.2.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法根據(jù)雙曲線的定義確定a2,b2的值,再結(jié)合焦點(diǎn)位置,求出雙曲線方程,常用的關(guān)系有:①c2=a2+b2;②雙曲線上任意一點(diǎn)到雙曲線兩焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于2a.(2)待定系數(shù)法①一般步驟②常用設(shè)法(ⅰ)與雙曲線QUOTEQUOTE=1共漸近線的方程可設(shè)為QUOTEQUOTE=λ(λ≠0);(ⅱ)若雙曲線的漸近線方程為y=±QUOTEx,則雙曲線的方程可設(shè)為QUOTEQUOTE=λ(λ≠0);(ⅲ)若雙曲線過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn),則雙曲線的方程可設(shè)為QUOTE+QUOTE=1(mn<0)或mx2+ny2=1(mn<0).秒殺絕招求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),若已知漸近線方程為y=±QUOTEx,但不知道焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸,可直接設(shè)QUOTEQUOTE=λ(λ≠0).例如第5題.考點(diǎn)二直線與雙曲線的位置關(guān)系

【典例】1.已知雙曲線QUOTEQUOTE=1(a>0,b>0)的離心率為QUOTE,其漸近線與圓(xa)2+y2=QUOTEa2的位置關(guān)系是________.

2.已知橢圓C1的方程為QUOTE+y2=1,雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別是C1的左、右頂點(diǎn),而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn).(1)求雙曲線C2的方程.(2)若直線l:y=kx+QUOTE與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且QUOTE·QUOTE>2(其中O為原點(diǎn)),求k的取值范圍. 導(dǎo)學(xué)號(hào)【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1一看到①直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題,即聯(lián)想到利用弦心距與半徑的大小關(guān)系判別;②出現(xiàn)雙曲線離心率為QUOTE時(shí),一定為等軸雙曲線,漸近線方程為y=±x2當(dāng)題目中出現(xiàn)數(shù)量積時(shí),首選方法是聯(lián)立方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系表示數(shù)量積,進(jìn)而可求出參數(shù)范圍【解析】1.因?yàn)橐粭l漸近線方程為aybx=0,又離心率為QUOTE=QUOTE,所以a=b,所以一條漸近線方程為yx=0,由(xa)2+y2=QUOTEa2知圓心為(a,0),半徑為QUOTEa,圓心到直線的距離d=QUOTE=QUOTEa>QUOTEa,所以直線與圓相離.答案:相離2.(1)設(shè)雙曲線C2的方程為QUOTEQUOTE=1(a>0,b>0),則a2=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1.故C2的方程為QUOTEy2=1.(2)將y=kx+QUOTE代入QUOTEy2=1,得(13k2)x26QUOTEkx9=0.由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點(diǎn),得QUOTE所以k2≠Q(mào)UOTE且k2<1.①設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=QUOTE,x1x2=QUOTE.所以x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+QUOTE)(kx2+QUOTE)=(k2+1)x1x2+QUOTEk(x1+x2)+2=QUOTE.又由·>2,得x1x2+y1y2>2,所以QUOTE>2,即QUOTE>0,解得QUOTE<k2<3.②由①②得QUOTE<k2<1,故k的取值范圍為QUOTE∪QUOTE.直線與雙曲線位置關(guān)系的解決策略(1)研究直線與雙曲線位置關(guān)系問(wèn)題的通法:將直線方程代入雙曲線方程,消元,得關(guān)于x或y的一元二次方程.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)等于0時(shí),直線與雙曲線相交于某支上一點(diǎn),這時(shí)直線平行于一條漸近線;當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí),用判別式Δ來(lái)判定.(2)用“點(diǎn)差法”可以解決弦中點(diǎn)和弦斜率的關(guān)系問(wèn)題,但需要檢驗(yàn).(3)弦長(zhǎng)公式:設(shè)直線與雙曲線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),直線的斜率為k,則|AB|=QUOTE|x1x2|.1.過(guò)雙曲線x2QUOTE=1的右焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于A,B兩點(diǎn),則滿足|AB|=6的直線l共有________條.

【解析】當(dāng)直線l的傾斜角為90°時(shí),|AB|=6;當(dāng)直線l的傾斜角為0°時(shí),|AB|=2<6.故當(dāng)|AB|=6時(shí)有三條直線符合題意.答案:32.設(shè)A,B分別為雙曲線QUOTEQUOTE=1(a>0,b>0)的左、右頂點(diǎn),雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4QUOTE,焦點(diǎn)到漸近線的距離為QUOTE.(1)求雙曲線的方程.(2)已知直線y=QUOTEx2與雙曲線的右支交于M,N兩點(diǎn),且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D,使QUOTE+QUOTE=tQUOTE(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo).【解析】(1)由題意知a=2QUOTE,因?yàn)橐粭l漸近線為y=QUOTEx,即bxay=0,所以由焦點(diǎn)到漸近線的距離為QUOTE,得QUOTE=QUOTE.又因?yàn)閏2=a2+b2,所以b2=3,所以雙曲線的方程為QUOTEQUOTE=1.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0)(x0>0),則x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.將直線方程y=QUOTEx2代入雙曲線方程QUOTEQUOTE=1得x216QUOTEx+84=0,則x1+x2=16QUOTE,y1+y2=QUOTE(x1+x2)4=12.所以QUOTE解得QUOTE所以t=4,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4QUOTE,3).考點(diǎn)三雙曲線的幾何性質(zhì)

命題精解讀考什么:(1)考查雙曲線的離心率、最值問(wèn)題、范圍問(wèn)題、漸近線問(wèn)題.(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)及數(shù)形結(jié)合、分類討論及化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法.怎么考:結(jié)合雙曲線定義及焦點(diǎn)三角形等考查離心率及漸近線方程.新趨勢(shì):雙曲線的離心率及漸近線仍是考查的重點(diǎn).學(xué)霸好方法1.離心率的求解借助條件建立a,b,c之間的關(guān)系或利用特殊值法求解.2.漸近線的求解將標(biāo)準(zhǔn)形式中右側(cè)常數(shù)變?yōu)?,整理即得.(牢記焦點(diǎn)到漸近線的距離)3.交匯問(wèn)題與函數(shù)、不等式結(jié)合考查范圍最值,要注意定義域.雙曲線的離心率【典例】(2019·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)F為雙曲線C:QUOTEQUOTE=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點(diǎn).若|PQ|=|OF|,則C的離心率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】選A.以O(shè)F為直徑的圓的方程為QUOTE+y2=QUOTE,則弦PQ所在的直線方程為x=QUOTE,|PQ|=QUOTE,根據(jù)|PQ|=|OF|可得QUOTE=QUOTE,即(ab)2=0,得a=b,故c=QUOTEa,所以e=QUOTE.如何求雙曲線離心率值或范圍?提示:(1)求a,b,c的值,由e2=QUOTE=QUOTE=1+QUOTE直接求e.(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式),借助于b2=c2a2消去b,然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解.(3)通過(guò)特殊位置,求出離心率.雙曲線的漸近線【典例】(2020·德州模擬)已知橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)與雙曲線QUOTEQUOTE=QUOTE(a>0,b>0)的焦點(diǎn)相同,則雙曲線漸近線方程為 ()A.y=±QUOTEx B.y=±QUOTExC.y=±QUOTEx D.y=±QUOTEx【解析】選A.依題意橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)與雙曲線QUOTEQUOTE=QUOTE(a>0,b>0)即QUOTEQUOTE=1(a>0,b>0)的焦點(diǎn)相同,可得:a2b2=QUOTEa2+QUOTEb2,即a2=3b2,所以QUOTE=QUOTE,可得QUOTE=QUOTE,所以雙曲線的漸近線方程為y=±QUOTEx=±QUOTEx.如何求雙曲線的漸近線方程?提示:(1)求雙曲線中的a,b的值,進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程.(2)求a與b的比值,進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程.(3)令雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程右側(cè)為0,將所得代數(shù)式化為一次式即為漸近線方程.與雙曲線有關(guān)的范圍問(wèn)題【典例】1.已知點(diǎn)F1,F2分別是橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn).若△ABF2是銳角三角形,則該橢圓的離心率e的取值范圍是 ()A.(0,QUOTE1) B.(QUOTE1,1)C.(0,QUOTE1) D.(QUOTE1,1)2.已知直線y=kx1和雙曲線x2y2=1的右支交于不同兩點(diǎn),則k的取值范圍是________. 導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】1.選B.由題意得F1(c,0),F2(c,0),AQUOTE,BQUOTE.因?yàn)椤鰽BF2是銳角三角形,所以∠AF2F1<45°,所以tan∠AF2F1<1,即QUOTE<1.整理,得b2<2ac,所以a2c2<2ac.兩邊同時(shí)除以a2并整理,得e2+2e1>0,解得e>QUOTE1或e<QUOTE1(舍去).又因?yàn)?<e<1,所以橢圓的離心率e的取值范圍為(QUOTE1,1).2.由直線y=kx1和雙曲線x2y2=1聯(lián)立方程組,消去y得(1k2)x2+2kx2=0,因?yàn)樵摲匠逃袃蓚€(gè)不相等且都大于1的根,所以QUOTE解得1<k<QUOTE,即k的取值范圍為(1,QUOTE).答案:(1,QUOTE)雙曲線中的范圍問(wèn)題如何求解?提示:(1)若條件中存在不等關(guān)系,則借助此關(guān)系直接求解.(2)若條件中沒(méi)有不等關(guān)系,要善于發(fā)現(xiàn)隱含的不等關(guān)系,如借助雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)范圍,方程中Δ≥0等來(lái)解決.例如典例2.1.已知雙曲線QUOTEQUOTE=1(a>0,b>0)的離心率為QUOTE,右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為QUOTE,則此雙曲線的焦距等于 ()A.QUOTE B.2QUOTE C.3 D.6【解析】選B.由題意得,焦點(diǎn)F(c,0)到漸近線bx+ay=0的距離d=QUOTE=b=QUOTE,又QUOTE=QUOTE,c2=a2+b2,所以c=QUOTE,所以該雙曲線的焦距為2QUOTE.2.(2020·成都模擬)若實(shí)數(shù)k滿足0<k<9,則曲線QUOTEQUOTE=1與曲線QUOTEQUOTE=1的 ()A.焦距相同 B.實(shí)半軸長(zhǎng)相等C.虛半軸長(zhǎng)相等 D.離心率相等【解析】選A.由于0<k<9,所以9k>0,即曲線QUOTEQUOTE=1為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線,焦點(diǎn)坐