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文檔簡介

第1講集合及其運算

——第礎知以整不I

□知識梳理

1.集合與元素

(1)集合中元素的三個特征:畫確定性、回互異性、畫無序性.

(2)元素與集合的關系是畫屬于或畫不屬于兩種,用符號畫∈或畫莊表示.

(3)集合的表示法:畫列舉法、畫描述法、四圖示法.

(4)常見數(shù)集的記法

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號ElNEHr(或N.)SZ回Q回R

2.集合間的基本關系

表示

文字語言符號語言

集合力與集合8中的所有元素El4U8且

相等

園相同囪醫(yī)∕o4=6

集合力中任意一個元素都是

子集EMU8或應力

集合6中的元素

集合4中任意一個元素都是

真子集集合8中的元素,且8中至少畫/B或BA

有一個元素不是/1中的元素

空集是囪任何集合的子集,是0?A

空集

圖任何非空集合的真子集0B{B≠<s)

3.集合的基本運算

圖形符號

并集4U8=∣a{x∣χe/或XG囪

交集?In8=畫{x∣xd/且Xe⑸

補集tzQCM=囹{χ∣Xe〃且超=

知識拓展

1.若有限集1中有〃個元素,則集合/1的子集個數(shù)為2",真子集的個數(shù)為2"—1,非空

真子集的個數(shù)為2"—2.

2.AU0=A,AUA=A,/U(/U面,住(4U面.

3.4Γ)0=0,AΓ?A=A,AΠBQA,AΠBQB.

4.4∩8=4U氏?∕=6?

5.4UZte>∕ΠQ/Io4UQ∕?=>(CM?(]曲=4∏(L而=0.

6.ACi([zJ)=0,([ιA)=U,0i(C∕i4)=A.

7.([M∩(C㈤=>(”而,([MIJ(C㈤=。(∕n初

8.如圖所示,用集合4,6表示圖中I、II、III、IV四個部分所表示的集合分別是/C5,

AΓ?(C(ifi),5∏(CM,C〃au面.

9.card(力U而=card(A)+card(B)—card{AC?β).

□雙基自測

1.(2021?全國甲卷)設集合∕k{x∣0<矛<4},∣≤A-≤5∣,則"CM=()

A.卜(KXW4B.IX^,≤X4j,

C.{x∣4≤X5}D.{x∣0<x≤5}

答案B

解析由已知得材QV=卜:≤M4∣,故選B.

2.已知集合46均為全集—合,2,3,4}的子集,且:(4U囪={4},4∩(C必=⑶,

則B=(.)

A.{1,2}B.{1,2,4}

C.{2,4}D.0

答案A

解析結合Venn圖(如圖)可知8={1,2},故選A.

3.已知集合月={0,a},6={x|-1<求2},且4=6,則a可以是()

A.-1B.OC.1D.2

答案C

解析?.?∕I={O,a?,5={*∣—l<x<2},且/U8,—l〈a〈2且aWO,.?.a可以是1,故

選C.

4.已知集合4={(x,y)∣y=x+l,x∈R},集合4{(x,y)?y^x,XWR},則集合1

C6的子集個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

答案D

解析因為直線y=x+1與拋物線尸V有2個交點,所以集合力C8有2個元素,故ACB

的子集有4個,故選D.

5.已知集合4={>62|(了-2)(.一5)在0},6={3,6},則下列結論成立的是()

A.?JB.AiJS=A

C.ACB=BD.∕∩8=⑶

答案D

解析由題意知1={2,3,4,5},故A錯誤;/UQ{2,3,4,5,6}≠A,故B錯誤;

力∩4{3},故C錯誤,D正確.

6.(2021?福建泉州質量檢測(三))已知集合4={(x,y)?x+y=8>x,y∈N*},B={(x,

7)∣7>^+ι},則∕ns中元素的個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

答案B

[y>x+l,7

GN

解析力∏6中的元素滿足《ι且X,yGN*,由x+y=8>2x+l,可得聯(lián)W且X*,

[x+y=8,Z

故∕fC6中的元素為(1,7),(2,6),(3,5),共3個.故選B.

核心心向突破I

考向一集合的基本概念

例1⑴已知集合4={0,1,2},則集合Q{χ-y∣x∈4共⑷中元素的個數(shù)是()

A.1B.3C.5D.9

答案c

解析當x=0時,若尸zO,則x一尸0;若尸1,則x一尸一1;若尸2,則x一尸

—2.同理可得,當x=l時,x-y=?,0,—1;當x=2時,χ-y=2,1,0.綜上,根據(jù)集合

中元素的互異性,可知8中元素有一2,-1,0,1,2,共5個.

已知&若卜,^,,2則為()

(2)?∈R,lj={a,a+bf0},a+b

A.1B.0C.-1D.±1

答案C

解析由已知得aW0,則2=0,所以6=0,于是a?=l,即。=1或a=-1,又根據(jù)集

a

合中元素的互異性可知H=I應舍去,因此日=一1,故a+b=-1.故選C.

觸類旁通.解決集合概念問題的一般思路

(1)研究一個集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制條件.解本例(1)

時要注意,集合8的代表元素是x-y.

(2)本例(2)中參數(shù)的確定,往往要對集合中的元素進行分類討論,構造方程組求解.同

時注意對元素互異性的檢驗.

即時訓練1.(2021?江西九所重點中學高三3月聯(lián)考)已知集合4=

集合力中至少有個元素,則()

{χCNKXlog2A),2

A.A?16B.A->16

C.女》8D.k>8

答案D

解析因為集合/中至少有2個元素,所以logd>3,解得4>8,故選D.

2.若集合A={-l,3},集合B={A-∣∕+a%+6=0),且A=B,P∣∣Ja=,b

答案一2一3

f_a=-1+3=2,

解析YA=B,*.B—{x?x+ax+b=G}={-1,3},∕JΛa=—

[b=(-1)×3=~3,

2,b=-3?

考向二集合間的基本關系

例2(1)已知集合[={x∣—l<x<2},B={?∣-1<Λ<1},貝∣J()

A.ABB.BA

C.A=BD.46的關系無法確定

答案B

解析在數(shù)軸上表示出兩集合,如圖所示,由圖可知,A.

Ii

-10124

(2)(2022?四川綿陽模擬)已知集合A=Ulα+l)(χ-6)≤0},B={x?m-l^x^2m+

1).若代A,則實數(shù)力的取值范圍為.

答案(一8,-2)u[θ,-

解析4={x∣-l<x≤6},若比A,則當Q0時,有m-l>2m+l,即派一2時,,符合

題意.

ZZ7-1≤2∕zz+1,

5

當歷≡0時,有<〃?一12—L解得0≤辰萬?

2∕7Z+1≤6,

綜上,實數(shù)〃/的取值范圍是冰一2或OWZZτ≤].

觸類旁通

1.判斷兩集合關系的兩種常用方法

(1)列舉法:根據(jù)題中限定條件把集合元素表示出來,然后比較集合元素的異同,從而找

出集合之間的關系.

(2)數(shù)軸法:在同一個數(shù)軸上表示出兩個集合,比較端點之間的大小關系,從而確定集合

與集合之間的關系.

2.根據(jù)兩集合的關系求參數(shù)的方法

(1)若集合元素是一一列舉的,依據(jù)集合間的關系,轉化為解方程(組)求解,此時注意集

合中元素的互異性.

(2)若集合表示的是不等式的解集,常依據(jù)數(shù)軸轉化為不等式(組)求解,此時需注意端點

值能否取到.

提醒:題目中若有條件任4則應分Q0和屏0兩種情況進行討論.

.集合

?即時訓練3JTX?=-+1,Λ∈ZpN=?yy=zo+^,ffl∈Z則兩集合M,N

的關系為()

A.J∕∩N=0B.M=N

C.MNI).NM

答案D

解析仁卜x=g?Λ∈zhΛξ=jy尸";L∕Λ∈Zp又〃+2為整數(shù),2zw+l為

奇數(shù),."MM,故選D.

4.設集合∕={x∣x>a},集合6={-1,1,2},若∕l∩8=8,則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(1,+∞)B.(一8,1)

C.(―1,+∞)D.(―∞,—1)

答案D

解析..?∕∩6=8,.?.醫(yī)4利用數(shù)軸可知a<-l,即ae(-8,-1).

精準設計考向,多角度探究突破

考向三集合的基本運算

角度1集合間的交、并、補運算

例3(1)已知全集QZ,占{-2,—1,1,2},g{x∣*-3jr+2=0},則圖中陰影部

分表示的集合為()

A.?—1,12)B.{1,2}

C.{-2,1}D.{-1,2}

答案A

解析易知所求集合為PC([,0,因為g{l,2},所以尸∩(LQ)={-1,-2).故選

A.

(2)(2021?吉林白山4月第三次聯(lián)考)已知集合∕?={x∣lnx20},^U∣√T+1≤2},

則PU0=()

A.{x∣x>O}B.{x?x^--?]

C.RD.{x∣l≤x≤3}

答案B

解析?.?P={x∣H},Q={x?—l≤x≤3},PUQ={ΛT∣T≥—1}.故選B.

觸類旁通]

1.集合基本運算的求解策略

(1)當集合是用列舉法表示的數(shù)集時,可以通過列舉集合的元素進行運算,也可借助Venn

圖運算.

(2)當集合是用不等式表示時,可運用數(shù)軸求解.對于端點處的取舍,可以單獨檢驗.

2.集合的交、并、補運算口訣

交集元素仔細找,屬于4且屬于8;并集元素勿遺漏,切記重復僅取一;全集〃是大范

圍,去掉〃中4元素,剩余元素成補集.

即時訓練5.(2021?天津高考)設集合[={-1,0,1},Q{l,3,5},C={0,2,

4},則(4C⑸IJe=()

A.{0}B.{0,1,3,5)

C.{0,1,2,4}D.{0,2,3,4}

答案C

解析":A={-\,0,1},B={?,3,5},gθ,2,4},:.A^B={\},ΛU∩^U<7

={0,1,2,4}.故選C.

6.已知全集〃=R,集合4={x∣f-3A-4>0},6={x∣-2WxW2},則如圖所示陰影部分

所表示的集合為()

A.{Λ∣-2≤X4}B.{x∣xW2或x24}

C.{^∣—2≤jf≤-1}D.{x∣-l≤*≤2}

答案D

解析依題意得1={x∣x<-l或x>4},因此[M=3-1WE4},題中的陰影部分所表

示的集合為([MnQ{x∣TW%≤2},故選D.

角度2利用集合運算求參數(shù)

例4(1)設集合4={0,l},集合6={x∣x>a},若4CQ。,則實數(shù)a的取值范圍是()

A.a≤lB.a2lC.a20D.a≤0

答案B

解析由/CIS=。,可得(M8,且108,:.a^l,故選B.

(2)(2022?云南昆明高三摸底)集合∕l={0,2,a},8={1,a2},若{UQ{0,1,2,4,

16},則a的值為()

A.OB.1C.2D.4

答案D

解析根據(jù)并集的概念,可知{a,a2]={4,16},故a=4.故選D.

觸類旁通利用集合的運算求參數(shù)的方法

(1)與不等式有關的集合,一般利用數(shù)軸解決,要注意端點值的取舍.

(2)若集合中的元素能一一列舉,則一般先用觀察法得到集合中元素之間的關系,再列方

程(組)求解.

在求出參數(shù)后,注意結果的驗證(滿足集合中元素的互異性).

即時訓練7.設集合∕={x∣-1WK2},6={x∣x<a},若/C歷÷0,則a的取值范圍

是()

A.—IxaW2B.a>2

C.a≥-1D.a>一1

答案I)

解析因為力G5≠0,所以集合力,夕有公共元素,作出數(shù)軸,如圖所示,易知分一1.

故選D.

-1O(I12

8.已知集合占{y∣∕—y-2>0},¢={x∣∕+ax+6≤0},若RJgR,∕j∩g(2,3],

則a+6=.

答案一5

解析—{了,一/一2>0}=3/>2或八一1},?.?PUgR,一∩g(2,3],.?.g{x∣

—1WXW3},—1,3是方程V+aχ+6=0的兩根,由根與系數(shù)的關系,得一@=-1+3=

2,6=—3,Λa+6=-5.

自主培優(yōu)(一)集合的新定義問題

1.已知集合4={x∈N∣f-2χ-3W0},B=3),定義集合46之間的運算“*”:

A*β-{x∣x-xl+x2,*∣∈4x?i≡β?,則/*8中的所有元素之和為()

A.15B.16C.20D.21

答案D

解析由/-2Λ~3≤0,得(X+1)(X-3)W0,即一1≤X<3,故集合4={0,1,2,3}.V

A*B^{Λ∣X-X?+X2,XI∈J,*后琰,.'./*6中的元素有0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3

=4,2+1=3(舍去),2+3=5,3+1=4(舍去),3+3=6.?.3*5={1,2,3,4,5,6},.,.

4*6中的所有元素之和為21.

2.(2020?浙江高考)設集合S,T,任N,勺N',S,7中至少有兩個元素,且S,7滿

足:

①對于任意必yeS,若x≠y,都有Xye7;

②對于任意X,y∈T,若Ky,則1eS.

下列命題正確的是()

A.若S有4個元素,則SUT有7個元素

B.若S有4個元素,則SUT有6個元素

C.若S有3個元素,則SU7有4個元素

D.若S有3個元素,則SU7有5個元素

答案A

解析利用排除法:若取S={l,2,4),則7={2,4,8},此時SIJT={1,2,4,8),

包含4個元素,排除D;若取S={2,4,8},則T={4,8,16,32}或{8,16,32},此時SlJ7

={2,4,8,16,32),包含5個元素,排除C;若取S={2,4,8,16},則7={8,16,32,

64,128},止匕時SU7={2,4,8,16,32,64,128),包含7個元素,排除B.

,答題啟示

解決以集合為背景的新定義問題,要抓住兩點:(1)緊扣新定義.首先分析新定義的特點,

把新定義所敘述的問題的本質弄清楚,并能夠應用到具體的解題過程之中,這是破解新定義

型集合問題難點的關鍵所在;(2)用好集合的性質.解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合

性質的一些因素,在關鍵之處用好集合的運算與性質.

,對點訓練

1.定義集合的商集運算為?=[xX=*?∞C4,Z2∈?j-,已知集合4={2,4,6},B=

Jx=3—1,AC/},則集合彳U8中的元素個數(shù)為()

67C89

Λ.D.

答B(yǎng).

由-

案B

析8

意知

題8O2Z/U£

1111

----2

O,共有個元素,故選

2,4,6,3,7?B.

2.用Ca)表示非空集合A中元素的個數(shù),定義A*β=

C(A)-C(B),C(A),

若A={1,2},B={x∣(/+ax)(W+ax+2)=0},且A*B

C(B)-C(A),C(J)<C(B).

=1,設實數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S,則C(S=.

答案3

解析因為Ca)=2,A*B=l,所以C⑶=1或。(⑸=3.由f+ax=0,得Xl=O,xi=

-a.關于X的方程χ2+aχ+2=0,當4=0,即a=±2啦時,,易知。(面=3,符合題意;當

Δ>0,即水一2班或a>24^時,易知0,—a均不是方程x?+ax+2=0的根,故以面=4,

不符合題意;當/<0,即-2/<尿2/時,方程/+ax+2=0無實數(shù)解,當a=0時,B=

{0},c(β)=l,符合題意;當一2√^<a<0或0〈水2m時,C(B)=2,不符合題意.綜上,S=

{0,-2√2,2√2},故C(S=3.

課時作業(yè)I

1.下列各組集合中表示同一集合的是()

A.,Q{(3,2)},Λ?={(2,3)}

B./IA={2,3},Λ≡{3,2}

C.M={(x,y)∣x+y=l},N={y?x+y=l}

D.JA={2,3},{(2,3)}

答案B

解析由集合中元素的無序性易知{2,3}={3,2}.故選B.

2.(2021?北京高考)己知集合4={*∣-l<x<l},Q{x∣0Wx≤2},貝!∣4U4()

A.(-1,2)B.(-1,2]

C.[0,1)D.[0,1]

答案B

解析由題意可得,力UQ以|一1〈啟2},即4U4(-l,2].故選B.

3.(2021?全國乙卷)己知集合S={s∣s=2〃+l,Λ∈Z},T={f∣t=4∕j÷l,∕7∈Z!,則

S∩7=()

A.0B.SC.TD.Z

答案C

解析因為s=2o+l,∕7∈Z,當n=2k,A∈Z時,s=44+l,A∈Z;當"=24+l,A∈

Z時,s=4*+3,A∈Z,所以TS,S∩T=T;故選C.

4.若集合4={x∈R∣af+ax+l=0}中只有一個元素,則a=()

A.4B.2C.0D.0或4

答案A

解析集合4={χCR∣af+ax+l=0}中只有一個元素,當a=0時,4=0,不符合題

i

意,a≠0,由Δ-a-4a-0,得a=0(舍去)或a=4.

5.已知集合∕={(x,y)?x+y=l},B={(x,y)y=χ},則4∩8中元素的個數(shù)為()

A.3B.2C.1D.0

答案B

解析集合1表示單位圓上的所有的點,集合6表示直線y=x上的所有的點.4∩6表

示直線與圓的公共點,顯然,直線y=x經過圓V+∕=1的圓心(0,0),故共有兩個公共點,

即/G8中元素的個數(shù)為2,故選B.

6.(2021?鄭州質檢)已知集合A={x?x>2},B=Ul水2R,m∈R}且AQ卜8那么m的值

可以是()

A.1B.2C.3D.4

答案A

解析由8={x∣x<2∕%/〃∈R},得[R6={X∣X22∕ZZ,∕Z7∈R}.因為力G[R6,所以2m≤2,m

≤L故選A.

7.(2022?沈陽模擬)已知集合力=<X(JQ?,集合,={x∣lgx>0},則NU5=()

A.{x∣x>0}

B.{x?x>l}

C.{x?xyl}U{x?X0}

D.0

答案A

解析由A中的不等式得(耳〈1=e),所以Λ>0,即/=3x>0},由6中的不等式得

Igx>O=lg1,所以x>l,即8={x∣x>l},則{U4{x∣x>0},故選A.

8.已知集合4=*∈RX-I=θ1,貝IJ滿足∕1U8={-1,0,1}的集合8的個數(shù)是()

A.2B.3C.4D.9

答案C

解析解方程“一,=0,得X=I或X=-1,所以∕={1,—1},又∕11J5={-1,0,1),

X

所以6={0}或{0,1}或{0,—1}或{0,1,-1),共有4個,故選C.

9.(2021?湖北四校聯(lián)考)已知集合∕={xGN∣1<16},8=3*—5矛+4<0},則40(1面

的真子集的個數(shù)為()

A.1B.3C.4D.7

答案B

解析?.1={0,1,2},—{x∣lθ<4},.?.4∩(C㈤={0,1},故真子集有0,{0},{1},

共3個,故選B.

10.已知集合4=X6={x∣x>a},則下列結論不可能成立的是()

A.AQBB.?J

C.∕U([㈤=RD.AQCRZ?

答案D

x+120,

解析由彳得4=[-1,2)U(2,+∞),B=(a,+∞),[R5=(-∞,a],A,

U-2≠0,

B,C都有可能成立,對于I),不可能有∕=[R6.

11.(2022?廣西南寧模擬)設常數(shù)aCR,集合/={*∣(x—I)(X-a)20},B=[x?x^a

-1},若1UQR,則a的取值范圍為()

A.(―8,2)B.(-8,2]

C.(2,+∞)D.[2,+∞)

答案B

解析集合4討論后利用數(shù)軸可知一

la-IWl

[a<l,

或>解得lWa≤2或a<l,即aW2.故選B.

[a-IWa,

12.如圖所示的Venn圖中,46是兩個非空集合,定義集合的6為陰影部分表示的集合.若

A-,y∈R,A={x?y=y∣2x-x},Q{y∣尸3",x>0},則的6為()

A.{^∣0<X2}

B.{Λ∣1<Λ≤2}

C.{x∣0≤x≤1或*22}

D.{X∣0W?Y≤1或x>2}

答案D

解析?.?J={^∣0≤jr≤2},B={y?y>l},ΛJU5=U∣^0},{%∣1<Λ≤2},:.^B

—{,ΛUB{A∩B)—{χ∣OWXW1或x>2}.

13.已知集合滬={0,1,2,3,4},∕h{l,3,5),集合戶是由集合也/V中公共元素

組成的集合,則集合。的子集共有個.

答案4

解析集合M,N的公共元素為1,3,即集合—{1,3},所以集合F的子集為0,{1},

{3},{1,3},共有4個.

14.(2022?山西長治模擬)已知集合M=Uix-a=0},N={x?aχ-l=0},若植CN=N,

則實數(shù)a的值是.

答案0或1或一1

解析易得,仁{a}.".,M∩Λ-N,.,..?CM,0或N=M,a=0或a=±1.

15.已知全集〃={—2,—1,O,1,2},集合/=卜X=廣^pX,貝式/=.

答案⑻

解析4=卜X=JX,Λ∈Z∣,Λ≠1,當〃=O時,r=-2;當〃=2時,%=2;當〃

=3時,*=1;當時,KZ;當〃=-1時,X=—1;當〃W—2時,通Z.故/={—2,

-1,2,1}.又〃={-2,-1,0,1,2),所以C"={0}.

16.某網店統(tǒng)計了連續(xù)三天售出商品的種類情況:第一天

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