2020年人教版八年級(jí)上冊(cè)13.4-課題學(xué)習(xí)-最短路徑問題課時(shí)訓(xùn)練-含答案

13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題課時(shí)訓(xùn)練一．選擇題1．已知A（﹣1，1）、B（2，﹣3），若要在x軸上找一點(diǎn)P，使AP+BP最短，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（0，0） B．（，0） C．（﹣1，0） D．（﹣，0）2．如圖所示，OB是一條河流，OC是一片菜田，張大伯每天從家（A點(diǎn)處）去河處流邊挑水，然后把水挑到菜田處，最后回到家中．請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)一條路線，使張大伯每天行走的路線最短．下列四個(gè)方案中你認(rèn)為符合要求的是（）A． B． C． D．3．如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，2），點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，﹣3），在y軸上有一點(diǎn)P使PA+PB的值最小，則點(diǎn)P坐標(biāo)為（）A．（2，0） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（0，﹣2）4．如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)M、N分別是射線OB、OA上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，且OP＝4，則△PMN的周長(zhǎng)的最小值為（）A．2 B．4 C．6 D．85．如圖，在銳角△ABC中，∠ACB＝50°；邊AB上有一定點(diǎn)P，M、N分別是AC和BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MPN的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°6．如圖．在五邊形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分別找一點(diǎn)M、N，使得△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為（）A．84° B．88° C．90° D．96°二．填空題7．在平面直角坐標(biāo)系中，有A（3，3），B（1，﹣1）兩點(diǎn)，現(xiàn)在y軸上取一點(diǎn)P，當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，AP+BP的值最?。?．如圖，已知點(diǎn)A（0，3），B（3.0），C（1，2）．在y軸上找一點(diǎn)P，使PC+PB的值最?。?qǐng)你估計(jì)點(diǎn)P的坐標(biāo)是．9．如圖，P為∠MON內(nèi)部的已知點(diǎn)，連接OP，A為OM上的點(diǎn)，B為ON上的點(diǎn)，當(dāng)△PAB周長(zhǎng)的最小值與OP的長(zhǎng)度相等，∠MON的度數(shù)為°．10．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，S△ABC＝16，點(diǎn)P為角平分線AD上任意一點(diǎn)，PE⊥AB，連接PB，則PB+PE的最小值為．11．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為5，面積是14，腰AB的垂直平分線EF分別交AB，AC于點(diǎn)E、F，若點(diǎn)D為底邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△BDM的周長(zhǎng)的最小值為．12．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AC＝24，BD平分∠ABC，點(diǎn)E是AB的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是BD上的動(dòng)點(diǎn)，則AF+EF的最小值為．13．如圖，已知∠AOB＝30°，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，OP＝6，若OA上有一動(dòng)點(diǎn)M，OB上有一動(dòng)點(diǎn)N，則△PMN的周長(zhǎng)的最小值是．三．解答題14．如圖，點(diǎn)P、Q為∠MON內(nèi)兩點(diǎn)，分別在OM與ON上找點(diǎn)A、B，使四邊形PABQ的周長(zhǎng)最小．15．河的兩岸成平行線，A，B是位于河兩岸的兩個(gè)車間（如圖），要在河上造一座橋，使橋垂直于河岸，并且使A，B間的路程最短確定橋的位置的方法是：作從A到河岸的垂線，分別交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE＝FG，連接EB，EB交MN于D．在D處作到對(duì)岸的垂線DC，垂足為C，那么DC就是造橋的位置．請(qǐng)說出橋造在CD位置時(shí)路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由．16．如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝100°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，當(dāng)△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，求∠MAN的度數(shù)是多少？17．如圖，要在街道l上修建一個(gè)奶吧D（街道用直線l表示）．（1）若奶吧D向小區(qū)A，B提供牛奶如圖①，則奶吧D應(yīng)建在什么地方，才能使它到小區(qū)A，B的距離之和最短？（2）若奶吧D向小區(qū)A，C提供牛奶如圖②，則奶吧D應(yīng)建在什么地方，才能使它到小區(qū)A，C的距離之和最短？18．如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，連接MB．（1）若∠ABC＝65°，則∠NMA的度數(shù)是度．（2）若AB＝10cm，△MBC的周長(zhǎng)是18cm．①求BC的長(zhǎng)度；②若點(diǎn)P為直線MN上一點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出△PBC周長(zhǎng)的最小值．參考答案一．選擇題1．解：設(shè)直線AB的解析式y(tǒng)＝kx+b（k≠0），將點(diǎn)A（﹣1，1）、B（2，﹣3）的坐標(biāo)代入得：解得：所以直線AB的解析式為：y＝﹣x﹣．令y＝0，解得x＝﹣，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，0），故選：D．2．解：要找一條最短路線，分別過OB，OC作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，則張大伯可沿著AM走一條直線去河邊M點(diǎn)挑水，然后再沿MN走一條直線到菜園去，同理，畫出回家的路線圖如下：故選：D．3．解：如圖所示：作B點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)B′點(diǎn)，連接AB′，交y軸于點(diǎn)P，則此時(shí)AP+PB＝AP+PB′＝AB′的值最小，∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，﹣3），∴B′（﹣1，﹣3），∴B′C＝AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴PD＝B′D＝1，∵OD＝|﹣3|＝3，∴OP＝2，∴P（0，﹣2），故選：D．4．解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M′、N′，連接OC、OD、PM′、PN′．∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為C，∴PM′＝CM′，OP＝OC，∠COB＝∠POB；∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，∴PN′＝DN′，OP＝OD，∠DOA＝∠POA，∴OC＝OD＝OP＝4，∠COD＝∠COB+∠POB+∠POA+∠DOA＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，∴△COD是等邊三角形，∴CD＝OC＝OD＝4．∴當(dāng)M、N分別與M′、N′重合時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)的最小值＝PM′+M′N′+PN′＝DN′+M′N′+CM′＝CD＝4．故選：B．5．解：∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C+∠EPF＝180°，∵∠C＝50°，∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，∴∠D+∠G＝50°，由對(duì)稱可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN+∠DPM＝50°，∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，故選：D．6．解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)P，關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接PQ與BC相交于點(diǎn)M，與DE相交于點(diǎn)N，則AM＝PM，AN＝QN，所以，∠P＝∠PAM，∠Q＝∠QAN，所以，△AMN周長(zhǎng)＝AM+MN+AN＝PM+MN+QN＝PQ，由軸對(duì)稱確定最短路線，PQ的長(zhǎng)度即為△AMN的周長(zhǎng)最小值，∵∠BAE＝136°，∴∠P+∠Q＝180°﹣136°＝44°，∵∠AMN＝∠P+∠PAM＝2∠P，∠ANM＝∠Q+∠QAN＝2∠Q，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠P+∠Q）＝2×44°＝88°，故選：B．二．填空題7．解：如圖所示：作B點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)B′點(diǎn)，連接AB′，交y軸于點(diǎn)P，則此時(shí)AP+PB最小，∵B（1，﹣1），∴B′（﹣1，﹣1），設(shè)直線AB′的解析式為y＝kx+b，∵A（3，3），∴，解得，∴直線AB′的解析式為y＝x，∴直線y＝x與y軸的交點(diǎn)P為（0，0）．故答案為（0，0）．8．解：如圖所示：在x軸上得出B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′點(diǎn)，連接B′C，交y軸于點(diǎn)P，此時(shí)PC+PB的值最小，由題意可得出：B′點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣3，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，2），∴設(shè)B′C的直線解析式為：y＝ax+b，解得：，∴B′C的直線解析式為：y＝x+，∴x＝0時(shí)，y＝，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（0.1.5）．故答案為：（0，1.5）．9．解：如圖，分別作P關(guān)于OM、ON的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2，然后連接兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)即可得到A、B兩點(diǎn)，∴△PAB即為所求的三角形，此時(shí)△PAB周長(zhǎng)＝P1P2，根據(jù)對(duì)稱性知道：∠AOP1＝∠AOP，∠BOP＝∠BOP2，∠P1OP2＝2∠MON，OP1＝OP2＝OP，∵△PAB周長(zhǎng)的最小值與OP的長(zhǎng)度相等，∴P1P2＝OP，∴OP1＝OP2＝P1P2，∴△P1OP2是等邊三角形，∴∠P1OP2＝60°，∴∠MON＝30°，故答案為：30．10．解：∵AB＝AC＝8，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線AD對(duì)稱，過C作CE⊥AB于E，交AD于P，則此時(shí)，PB+PE的值最小，且PB+PE的最小值＝CE，∵S△ABC＝AB?CE＝16，∴CE＝＝4，故答案為：4．11．解：如圖，連接AD．∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝?BC?AD＝×5×AD＝14，∴AD＝，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴AD的長(zhǎng)為BM+MD的最小值，∴△BDM的周長(zhǎng)最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝+＝8.1，故答案為8.1．12．解：在射線BC上取一點(diǎn)E′，使得BE′＝BE．過點(diǎn)A作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝24，∠C＝30°，∴AH＝AC＝12，∵BD平分∠ABC，∴∠FBE＝∠FBE′，∵BE＝BE′，BF＝BF，∴△FBE≌△FBE′（SAS），∴FE＝FE′，∴AF+FE＝AF+FE′，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)A，F(xiàn)，E共線且與AH重合時(shí)，AF+FE的值最小，最小值＝12，故答案為12．13．解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OP、OC、OD、PM、PN．∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，∴OC＝OD＝OP＝6，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，∴△COD是等邊三角形，∴CD＝OC＝OD＝6．∴△PMN的周長(zhǎng)的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝6．故答案為：6．三．解答題14．解：作點(diǎn)P關(guān)于直線OM的對(duì)稱點(diǎn)P′，作Q關(guān)于直線ON的對(duì)稱點(diǎn)Q′，連接P′Q′交OM于A，ON于B，則此時(shí)四邊形PABQ的周長(zhǎng)最小．15．解：利用圖形平移的性質(zhì)及連接兩點(diǎn)的線中，線段最短，可知：AC+CD+DB＝（ED+DB）+CD＝EB+CD．而CD的長(zhǎng)度又是平行線PQ與MN之間的距離，所以AC+CD+DB最短．16．解：作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長(zhǎng)最小值．∵∠DAB＝100°，∴∠AA′M+∠A″＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝80°，∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×80°＝160°，∠MAN＝180°﹣160°＝20°．故當(dāng)△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MAN的度數(shù)是20°．17．解：（1）奶吧D的位置如圖1所示；（2）奶吧D的位置如圖2所示．18．解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C∵∠ABC＝65°，