廣東省湛江市遂溪縣河頭中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

廣東省湛江市遂溪縣河頭中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1C與EF所成角的余弦值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【分析】因?yàn)槭钦襟w，又是求空間角，所以易選用向量法，先建立如圖所示坐標(biāo)系，再求得相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，相關(guān)向量的坐標(biāo)，最后用向量的夾角公式求解．【解答】解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2則A1（2，0，2），C（0，2，0），E（2，1，0），F(xiàn)（0，2，1）∴∴故選B2.若，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略3.在某次考試中，甲、乙通過(guò)的概率分別為0.7，0.4，若兩人考試相互獨(dú)立，則甲未通過(guò)而乙通過(guò)的概率為A.0.28 B.0.12 C.0.42 D.0.16參考答案：B【分析】?jī)扇丝荚囅嗷オ?dú)立，所以是相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，按照公式求即可.【詳解】甲未通過(guò)的概率為0.3，則甲未通過(guò)而乙通過(guò)的概率為．選B.【點(diǎn)睛】本題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，屬于基礎(chǔ)題.4.方程2x2﹣5x+2=0的兩個(gè)根可分別作為（）A．一橢圓和一雙曲線的離心率 B．兩拋物線的離心率C．一橢圓和一拋物線的離心率 D．兩橢圓的離心率參考答案：A【考點(diǎn)】橢圓的定義；雙曲線的定義．【分析】解方程2x2﹣5x+2=0可得，其兩根為2與，由圓錐曲線離心率的范圍，分析選項(xiàng)可得答案．【解答】解：解方程2x2﹣5x+2=0可得，其兩根為2與，而橢圓的離心率為大于0小于1的常數(shù)，雙曲線的離心率大于1，拋物線的離心率等于1，分析選項(xiàng)可得，A符合；故選A5.下列命題中，假命題是（）A．若a，b∈R且a+b=1，則a?b≤B．若a，b∈R，則≥（）2≥ab恒成立C．（x∈R）的最小值是2D．x0，y0∈R，x02+y02+x0y0＜0參考答案：D【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】A，ab=a（1﹣a）=﹣a2+a=﹣（a﹣）2+；B，=≥（）2≥，；C，；D，x0，y0∈R，x02+y02+x0y0符號(hào)不定；【解答】解：對(duì)于A，∵a+b=1，∴ab=a（1﹣a）=﹣a2+a=﹣（a﹣）2+，故正確；對(duì)于B，=≥（）2≥，故正確；對(duì)于C，故正確；對(duì)于D，x0，y0∈R，x02+y02+x0y0＜0，錯(cuò)；故選：D．6.下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．參考答案：D7.過(guò)雙曲線（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)A作傾斜角為45°的直線l，l交y軸于點(diǎn)B，交雙曲線的一條漸近線于點(diǎn)C，若=，則該雙曲線的離心率為（）A．5 B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)三角形的中位線定理求得C點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線的漸近線方程，即可求得a和b的關(guān)系，利用雙曲線的離心率，即可求得答案．【解答】解：由題意可知：設(shè)雙曲線的左頂點(diǎn)D，連接CD，由題意可知：丨OA丨=丨OB丨=a，OB是△ADC的中位線，則丨CD丨=2a，則C（a，2a），將C代入雙曲線的漸近線方程y=x，整理得：b=2a，則該雙曲線的離心率e===，∴雙曲線的離心率，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查三角形的中位線定理，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．8.現(xiàn)有5種不同顏色的染料,要對(duì)如圖中的四個(gè)不同區(qū)域進(jìn)行著色,要求有公共邊的兩塊區(qū)域不能使用同一種顏色,則不同的著色方法的種數(shù)是（

）種A

120

B

140

C

240

D

260參考答案：D略9.如右圖是一算法的程序框圖，若此程序運(yùn)行結(jié)果為s=720，則在判斷框中應(yīng)填入關(guān)于k的判斷條件是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略10.在△ABC中，角A、B、C成等差數(shù)列，則角B為（）

A.30°

B.60°

C.90°

D.120°參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線2cosα·x－y－1=0,α∈[,π]的傾斜角θ的取值范圍是

參考答案：12.已知，則

；參考答案：13.已知，則a與b的大小關(guān)系______．參考答案：a＜b【分析】可先利用作差法比較兩數(shù)平方的大小，然后得出兩數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，而，所以得?【點(diǎn)睛】本題考查了綜合法與分析法比較兩數(shù)的大小關(guān)系，解題時(shí)可先用分析法進(jìn)行分析，再用綜合法進(jìn)行書寫解題過(guò)程.14.在樣本的頻率分布直方圖中，共有5個(gè)小長(zhǎng)方形，若中間一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于其他4個(gè)小長(zhǎng)方形的面積和的，且樣本容量為100，則正中間的一組的頻數(shù)為

.參考答案：2015.從,這七個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)不同數(shù)字作為二次函數(shù)的系數(shù)則可組成不同的函數(shù)_______個(gè),其中以軸作為該函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸的函數(shù)有______個(gè)參考答案：

解析：

，；16.西部五省，有五種顏色供選擇涂色，要求每省涂一色，相鄰省不同色，有__________種涂色方法．參考答案：420【分析】根據(jù)題意，分別分析5個(gè)省的涂色方法的數(shù)目，進(jìn)而由分步、分類計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得答案．【詳解】對(duì)于新疆有5種涂色的方法，對(duì)于青海有4種涂色方法，對(duì)于西藏有3種涂色方法，對(duì)于四川：若與新疆顏色相同，則有1種涂色方法，此時(shí)甘肅有3種涂色方法；若四川與新疆顏色不相同，則四川只有2種涂色方法，此時(shí)甘肅有2種涂色方法；根據(jù)分步、分類計(jì)數(shù)原理，則共有5×4×3×（2×2+1×3）＝420種方法．故答案為：420【點(diǎn)睛】本題考查分類、分步計(jì)數(shù)原理，對(duì)于計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分清要完成的事情分成幾部分及如何分類，注意做到不重不漏．17.已知圓C以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，且與直線相切，則圓C的方程為

▲

；圓C與圓的位置關(guān)系是

▲

．參考答案：，相交圓C的半徑為原點(diǎn)到直線的距離圓C的方程為，圓的圓心為(2,0)，半徑為1，兩圓的圓心距離為2，圓C與圓的位置關(guān)系為相交，故答案為；相交.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.求證：棱柱中過(guò)側(cè)棱的對(duì)角面的個(gè)數(shù)是．參考答案：證明：（1）當(dāng)時(shí)，四棱柱有個(gè)對(duì)角面：，命題成立．（2）假設(shè)（，）時(shí)，命題成立，即符合條件的棱柱的對(duì)角面有個(gè)．現(xiàn)在考慮時(shí)的情形．第條棱與其余和它不相鄰的條棱分別增加了1個(gè)對(duì)角共個(gè)，而面變成了對(duì)角面．因此對(duì)角面的個(gè)數(shù)變?yōu)椋?，即成立．由?）和（2）可知，對(duì)任何，，命題成立．19.（本小題滿分12分）函數(shù)f(x)若在定義域內(nèi)存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，則稱x0為函數(shù)f(x)的局部對(duì)稱點(diǎn)．（Ⅰ）若a，b，c∈R，證明函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx﹣b必有局部對(duì)稱點(diǎn)；（Ⅱ）是否存在常數(shù)m，使得定義在區(qū)間[﹣1，1]上的函數(shù)f（x）=2x+m有局部對(duì)稱點(diǎn)？若存在，求出m的范圍，否則說(shuō)明理由．

參考答案：解：（Ⅰ）證明：由f（x）=ax3+bx2+cx﹣b得f（-x）=-ax3+bx2-cx﹣b，由f（-x）=﹣f（x）得到關(guān)于x的方程2bx2﹣2b=0，……………1分當(dāng)b≠0時(shí)，x=±1；當(dāng)b=0，x∈R等式恒成立，所以函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx﹣b必有局部對(duì)稱點(diǎn)；……………4分（Ⅱ）∵f（x）=2x+m，∴f（-x）=2-x+m由f（-x）=﹣f（x）得到關(guān)于x的方程2x+2﹣x+2m=0，……………6分因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)閇﹣1，1]，所以方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解．……………8分令t=2x∈，則，解得．……………12分

20.如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），直線l交橢圓于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；

（2）求m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）設(shè)出橢圓的方程，利用長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），建立方程，求出a，b，即可求橢圓的方程；

（2）由直線方程代入橢圓方程，利用根的判別式，即可求m的取值范圍．【解答】解：（1）設(shè)橢圓方程為=1（a＞b＞0）則…（2分）

解得a2=8，b2=2…∴橢圓方程為=1；…（6分）（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m又KOM=，∴l(xiāng)的方程為：y=x+m

由直線方程代入橢圓方程x2+2mx+2m2﹣4=0，…（8分）∵直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，∴△=（2m）2﹣4（2m2﹣4）＞0，…（10分）解得﹣2＜m＜2，且m≠0．

…（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足，，其中常數(shù)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程.參考答案：解：（I）因?yàn)?，所?/p>

……..2分令得.

由已知，所以.解得.……….4分又令得.由已知所以解得………..6分所以，.

…………..8分又因?yàn)?/p>

…………….10分故曲線處的切線方程為，即.

………………..12分略22.在兩個(gè)正數(shù)a，b之間插入一個(gè)數(shù)x，可使得a，x，b成等差數(shù)列，若插入兩個(gè)數(shù)y，z，可使得a，y，z，b成等比數(shù)列，求證：x+1≥．參考答案：【考點(diǎn)】8G：等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】y，z為正數(shù)，可得≤，要證明x+1≥．（x＞0）．只要證明：2x≥y+z即可．根據(jù)a，x，b成等差數(shù)列，a，y，z，