八年級數(shù)學下冊講義（人教版）：二次根式的乘除（學生版）

第02課二次根式的乘除目標導航目標導航課程標準掌握二次根式的乘除法則和化簡二次根式的常用方法，熟練進行二次根式的乘除運算.了解最簡二次根式的概念，能運用二次根式的有關性質(zhì)進行化簡.知識精講知識精講知識點01二次根式的乘法法則（1）計算法則：（）即：二次根式相乘，把相乘，根指數(shù)；（2）進行二次根式的乘法運算時，一定不能忽略其被開方數(shù)a，b均為這一條件。（3）推廣=1\*GB3①（a≥0，b≥0，c≥0）；=2\*GB3②；=3\*GB3③和在二次根式的乘法中任然可應用。(3)若二次根式相乘的結(jié)果能寫成的形式，則應化簡，如.知識點02二次根式乘法法則的逆用（1）計算法則：（a≥0，b≥0）即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的利用這個性質(zhì)可以把二次根式，在進行二次根式的化簡運算時，先將被開方數(shù)進行因式分解或，然后再將能的因式或因數(shù)開方后移到根號外。注：（1）公式中的a，b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，但必須滿足a≥0，b≥0，實際上，公式中的a，b是限制公式右邊的，對公式的左邊，只要ab≥0即可，如EQ\r(,（-4）×（-9）)≠EQ\r(,-4)．EQ\r(,-9)。（2）在本章中如果沒有特別說明，所有的字母都表示正數(shù)。推廣：EQ\r(,abcd)=（a≥0，b≥0，c≥0，d≥0）知識點03二次根式的除法法則計算公式：（a≥0，b＞0）即：二次根式相除，把相除，根指數(shù)不變。注：（1）a必須是非負數(shù)，b必須是正數(shù)，式子才成立。若a，b都是負數(shù)，雖然eq\f(a,b)＞0，EQ\r(,eq\f(a,b))有意義，但EQ\r(,a)，EQ\r(,b)在實數(shù)范圍內(nèi)無意義；若b=0，則eq\f(a,b)無意義。（2）如果被開方數(shù)是帶分數(shù)，應先將其化成假分數(shù)，如EQ\r(,4eq\f(1,4))必須先化成EQ\r(,eq\f(17,4))，以免出現(xiàn)EQ\r(,4eq\f(1,4))=EQ\r(,4)×EQ\r(,eq\f(1,4))這樣的錯誤。（3）在二次根式的計算中，最后結(jié)果應不含的因數(shù)或因式，同時分母中不含。知識點04二次根式除法法則的逆用（1）（a≥0，b＞0）即商的算術(shù)平方根等于被除式的除以除式的。注：公式中的a，b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，但必須滿足a≥0，b＞0。公式中的a，b是限制公式右邊的，對公式的左邊，只要eq\f(a,b)≥0即可。例如計算，不能寫為，而應寫為。利用這個公式，同樣可以達到化簡二次根式的目的，在化簡被開方數(shù)是分數(shù)（或分式）的二次根式時，先將其化為eq\f(EQ\r(,a),EQ\r(,b))（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性質(zhì)，分子和分母同乘上一個適當?shù)囊蚴?，化去分母中的根號即可。當被開方數(shù)是帶分數(shù)時，應先把它化成。常見的二次根式化簡：①；②③知識點05最簡二次根式的概念概念：滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式。（1）被開方數(shù)不含；（2）被開方數(shù)中不含的因數(shù)或因式。注意，對于最簡二次根式的概念我們可作如下解釋：（1）被開方數(shù)中不含分母，因此被開方數(shù)或；（2）被開方數(shù)中每一個因數(shù)或因式的指數(shù)都是?；喍胃降囊话惴椒ǚ椒ㄅe例將被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)或因式進行開方EQ\r(,8)=，EQ\r(,x3y4)=化去根號下的分母若被開方數(shù)中含有帶分數(shù)，應先將帶分數(shù)化成EQ\r(,1eq\f(1,3))=或EQ\r(,1eq\f(1,3))=若被開方數(shù)中含有小數(shù)，應先將小數(shù)化成EQ\r(,0.9)=或EQ\r(,0.9)=被開方數(shù)是多項式的要先進行因式分解EQ\r(,X5+2x3y2+xy4)=拓展：分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根號的方法來進行，這種化去分母中根號的變形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的有理化因式（兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式），化去分母中的根號。分母有理化因式不唯一，但以運算最簡便為宜。常用的有理化因式有：EQ\r(,a)與EQ\r(,a)；EQ\r(,a+b)與EQ\r(,a+b)；EQ\r(,a-b)與EQ\r(,a-b)；EQ\r(,a)+EQ\r(,b)與；aEQ\r(,b)+cEQ\r(,d)與等。能力拓展能力拓展考法01二次根式乘除法法則成立的條件【典例1】等式＝成立的條件是()A．x＞0 B．x＜1 C．0≤x＜1 D．x≥0且x≠1【即學即練】等式成立的條件是_____．【即學即練】如果代數(shù)式，那么m的取值范圍是_____________【典例2】下列計算正確的是()A． B．C． D．【即學即練】下列結(jié)論中，對于實數(shù)、，成立的個數(shù)有（）①；

②；

③；

④．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個考法02最簡二次根式【典例3】下列式子中，屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【即學即練】下列二次根式中，是最簡二次根式的是A． B． C． D．【即學即練】下列各式屬于最簡二次根式的有（）A． B． C． D．【即學即練】根式中，最簡二次根式有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【典例4】若最簡二次根式與的被開方數(shù)相同,則a的值為()A．- B． C．1 D．-1【典例5】若，則的值用、可以表示為（）A． B． C． D．考法03二次根式的化簡【典例6】把下列各式化成最簡二次根式：(1)______；(2)______；(3)______；(4)______；(5)______；(6)______；(7)______；(8)______．【即學即練】把下列各式化成最簡二次根式：=__；=__；=__．【即學即練】化簡二次根式的結(jié)果為()A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a【即學即練】若a、b、c均為實數(shù),且a、b、c均不為0化簡___________【即學即練】已知實數(shù)，則a的倒數(shù)為________．【典例7】已知：是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)為()A．2 B．3 C．4 D．5【即學即練】已知n是一個正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值是_______．【即學即練】已知是正整數(shù)，則正整數(shù)的最小值是_______________________．考法03二次根式的乘法混合運算【典例8】計算的結(jié)果正確的是（）．A．1 B． C．5 D．9【即學即練】計算2×÷3的結(jié)果是（）A． B． C． D．【即學即練】計算：÷【即學即練】計算所得的結(jié)果是______________．【典例9】計算：(－)2(5＋2)＝____．【即學即練】計算：=__________【典例9】計算:【即學即練】計算：【即學即練】計算：考法04利用二次根式的性質(zhì)把根號外的非負因數(shù)（式）移到根號內(nèi)【典例10】把根號外面的因式移到根號內(nèi)得(

)A． B． C． D．-1【即學即練】將式子﹣（m﹣n）化為最簡二次根式_____．【即學即練】把根號外的因式移入根號內(nèi)，其結(jié)果是（）A． B．﹣ C． D．﹣【即學即練】已知：a=，b=，則a與b的關系是（）A．相等 B．互為相反數(shù) C．互為倒數(shù) D．平方相等考法05二次根式的大小比較【典例11】二次根式的大小比較：________．【即學即練】比較二次根式的大?。篲_________(填“<”、“=”、“>”).【即學即練】比較大?。篲_____3（填“＞”、“＜”或“＝”）．【即學即練】估算比較大?。篲______；______．【即學即練】若[]表示實數(shù)的整數(shù)部分，例如：[]=3，則[]=___．分層提分分層提分題組A基礎過關練1．下列計算正確的是（）A． B．C． D．2．有下列各式①；②；③；④；⑤；⑥．其中最簡二次根式有（）A．1 B．2 C．3 D．43．下列各式計算正確的是（）A． B． C． D．4．已知是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)為（）.A．2 B．3 C．4 D．55．計算，結(jié)果為（）A． B． C． D．6．計算的結(jié)果是（）A． B． C． D．7．如果，則x（）A． B． C． D．x取任意數(shù)8．·等于()A．a(chǎn) B．12a2b C．a(chǎn)2 D．2a題組B能力提升練1．在二次根式，，，中，是最簡二次根式的是_____．2．計算下列各式，使得結(jié)果的分母中不含有二次根式：(1)_______(2)_________(3)__________(4)__________3．計算