八年級數(shù)學(xué)上冊講義（人教版）：全等三角形單元檢測（二）（教師版）

第15課全等三角形單元檢測（二）一、單選題1．如圖，在△ABC與△DEF中，給出以下六個條件：①AB=DE；②BC=EF；③AC=DF；④∠A=∠D；⑤∠B=∠E；⑥∠C=∠F，以其中三個作為已知條件，不能判斷△ABC與△DEF全等的是（）A．①②⑤ B．①②③ C．①④⑥ D．②③④【答案】D【解析】在A選項(xiàng)中，根據(jù)SAS可證明△ABC≌△DEF；在B選項(xiàng)中，根據(jù)SSS可證明△ABC≌△DEF；在C選項(xiàng)中，根據(jù)AAS可證明△ABC≌△DEF；在D選項(xiàng)中，只滿足SSA，而SSA不能判定兩個三角形全等，所以以D選項(xiàng)中的三個已知條件，不能判定△ABC和△DEF全等，故選D．2．兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形ABCD是一個箏形，其中AD=CD，AB=CB，小明在探究箏形的性質(zhì)時，得到如下結(jié)論：①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD，其中正確的結(jié)論有（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】D【解析】試題解析：在△ABD與△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），故③正確；∴∠ADB=∠CDB，在△AOD與△COD中，，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，∴AC⊥DB，故①②正確；故選D．3．如圖，AB∥CD，AC∥BD，AD與BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么圖中全等的三角形有（）A．5對B．6對C．7對D．8對【答案】C.【解析】試題解析：∵AB∥CD，AC∥BD，∴∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC．∵BC=CB，∴△CAB≌△CDB，∴AB=CD，AC=BD．∵AB∥CD，AC∥BD，∴∠BAO=∠CDO，∠OBA=∠OCD，∠OBD=∠OCA，∠OAC=∠ODB．∴△AOB≌△COD，△AOC≌△BOD．∴OA=OD，OC=OB．∵AE⊥BC，DF⊥BC，∠AOE=∠DOF，∴△AOE≌△DOF．∴OE=OF．∴CE=BF．∵AE=DF，AC=BD，∴△AEC≌△BFD．∵AE=DF，AB=CD，BE=CF，∴△AEB≌△DFC．還有△ACD≌△DBA．故選C．考點(diǎn)：1.全等三角形的判定；2.平行線的性質(zhì)．4．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，AB上一點(diǎn)D，且AD＝BC，過點(diǎn)D作DE∥BC且DE＝AB，連接EC，則∠DCE的度數(shù)為（）A．80° B．70° C．60° D．45°【答案】B【解析】【分析】連接AE．根據(jù)ASA可證△ADE≌△CBA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，根據(jù)等邊三角形的判定可得△ACE是等邊三角形，根據(jù)等腰三角形的判定可得△DCE是等腰三角形，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角的和差關(guān)系即可求解．【詳解】如圖所示，連接AE．∵AB=DE，AD=BC∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，可得AE=DE∵AB=AC，∠BAC=20°，∴∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°，在△ADE與△CBA中，，∴△ADE≌△CBA（ASA），∴AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，∵∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°，∴△ACE是等邊三角形，∴CE=AC=AE=DE，∠AEC=∠ACE=60°，∴△DCE是等腰三角形，∴∠CDE=∠DCE，∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°，∴∠DCE=∠CDE=（180-40°）÷2=70°．故選B．【點(diǎn)睛】考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．5．如圖，△ABC≌△FDE，∠C=40°，∠F=110°，則∠B等于（）A．20° B．30° C．40° D．150°【答案】B【詳解】試題分析：根據(jù)△≌△，，，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理即可求得結(jié)果.∵，∴∠EDF=180°-∠E-∠F=30°∵△≌△∴∠=∠EDF=30°故選B.考點(diǎn)：本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和點(diǎn)評：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的對應(yīng)角相等，三角形的內(nèi)角和為180°.6．根據(jù)下列條件，能畫出唯一△ABC的是（）A．AB＝3，∠A＝60°，∠B＝40° B．AB＝3，BC＝4，∠A＝40°C．AB＝3，BC＝4，AC＝8 D．AB＝3，∠C＝90°【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的判定，三角形的三邊關(guān)系一一判斷即可【詳解】A、兩角夾邊三角形唯一確定．本選項(xiàng)符合題意，B、邊邊角三角形不能唯一確定．本選項(xiàng)不符合題意，C、不滿足三邊關(guān)系，本選項(xiàng)不符合題意，D、一邊一角無法確定三角形．本選項(xiàng)不符合題意，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定及三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的判定定理有：SSS、SAS、AAS、ASA和HL，判定三角形全等，必須有邊的參與，有兩邊參與時，角必須是這兩邊的夾角，SSA和AAA不能判定兩個三角形全等；任意三角形的兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.7．如圖，已知AB＝AC，PB＝PC，且點(diǎn)A、P、D、E在同一條直線上.下面的結(jié)論：①EB＝EC；②AD⊥BC；③EA平分∠BEC；④∠PBC＝∠PCB．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】對各個選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證從而得出最終答案，做題時，要結(jié)合已知條件與全等的判定方法對選項(xiàng)逐一驗(yàn)證．【詳解】解：∵AB=AC，PB=PC，AP=AP

∴△ABP≌△ACP（SSS）

∴∠BAP=∠CAP

又∵AB=AC，AE=AE

∴△ABE≌△ACE（SAS）

∴BE=CE（第一個正確）

∴∠BEA=∠CEA，即AE平分∠BEC（第三個正確）

∵∠BAD=∠CAD，AB=AC，AD=AD

∴△ABD≌△ACD（SAS）

∴∠ADB=∠ADC

∵∠ADB+∠ADC=180°

∴AD⊥BC（第二個正確）

∵PB=PC

∴∠PBC=∠PCB（第四個正確）

所以正確的有四個，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．8．如圖，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積是（）A．50B．62C．65D．68【答案】A．【解析】試題解析：∵AE⊥AB且AE=AB，EF⊥FH，BG⊥FH?∠FED=∠EFA=∠BGA=90°，∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°?∠EAF=∠ABG，∴AE=AB，∠EFA=∠AGB，∠EAF=∠ABG?△EFA≌△ABG∴AF=BG，AG=EF．同理證得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG．故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16故S=（6+4）×16-3×4-6×3=50．故選A．考點(diǎn)：1．全等三角形的判定與性質(zhì)，2．勾股定理二、填空題9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在點(diǎn)E，使△ACE和△ACB全等，寫出所有滿足條件的E點(diǎn)的坐標(biāo)_________．【答案】,,【解析】如圖所示：有3個點(diǎn)，當(dāng)E在E、F、N處時，△ACE和△ACB全等，點(diǎn)E的坐標(biāo)是：（1，5），（1，-1），（5，-1），故答案為（1，5）或（1，-1）或（5，-1）．10．如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE的交點(diǎn)，則線段BH的長度為．【答案】4【解析】試題分析：由∠ABC=45°，AD是高，得出BD=AD后，證△ADC≌△BDH后求解．BH=AC=4．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)．11．已知如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E．若AC=10，可求得△DEC的周長為________．【答案】10【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DB=DE，然后根據(jù)HL可證明Rt△ABD≌Rt△AED，進(jìn)而可得AB=AE，再根據(jù)線段的和差關(guān)系即可得出△DEC的周長=AC，從而可得答案．【詳解】解：∵AD平分∠BAC，∠B=90°，DE⊥AC于E，∴DB=DE，在Rt△ABD和Rt△AED中，∵AD=AD，DB=DE，∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），∴AB=AE，∵AB=BC，∴BC=AE，∴△DEC的周長=DE+DC+EC=DB+DC+EC=BC+EC=AE+EC=AC=10．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、直角三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形的周長計(jì)算等知識，屬于?？碱}型，熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵．12．如圖，已知：∠A=∠D，∠1=∠2，下列條件中能使△ABC≌△DEF的有_____．①∠E=∠B；②ED=BC；③AB=EF；④AF=CD．【答案】④【分析】全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,根據(jù)定理和已知條件逐個判斷即可.【詳解】①∠E＝∠B，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，所以①錯誤；②ED＝BC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，所以②錯誤；③AB＝EF，符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，所以③錯誤；④AF＝CD，∵AF＝CD，∴AF＋FC＝CD＋FC,∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，∵，∴△ABC≌△DEF，∴④正確，故答案為④.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS.13．中，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)且到三邊的距離相等，，則_________.【答案】110°【解析】試題解析：如圖，∵O到三角形三邊距離相等，∴O是內(nèi)心，∴AO，BO，CO都是角平分線，∴∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∠OBC+∠OCB=70°，∠BOC=180°-70°=110°．14．如圖，BA⊥AC，CD∥AB．BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝2，CD＝6，則AE＝_______．【答案】4【分析】先根據(jù)BA⊥AC，CD∥AB證明∠DCA=∠BAC=90°，再根據(jù)等角的余角相等證明∠ACB=∠D，然后通過AAS可證明△ABC≌△ECD從而得出AC=CD=6，利用線段的和差可解.【詳解】∵BA⊥AC，CD∥AB∴∠DCA=∠BAC=90°，∠B=∠BCD∴∠B+∠ACB=90°∵BC⊥DE∴∠D+∠BCD=90°，∴∠ACB=∠D.在△ABC和△ECD中∴△ABC≌△ECD∴AC=CD=6.∵AB=2∴AE=AC-AB=4.故填：4.【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)定理，等角的余角相等.在本題中掌握三角形全等的幾種判定定理，并能根據(jù)題意篩選出合適的定理去證明是解決此題的關(guān)鍵.15．如圖，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4），作BA⊥x軸，BC⊥y軸，垂足分別為A，C，點(diǎn)D為線段OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AB、BC上沿A→B→C運(yùn)動，當(dāng)OP=CD時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_________________________．【答案】（2，4）或（4，2）．【詳解】試題分析：①當(dāng)點(diǎn)P在正方形的邊AB上時，在Rt△OCD和Rt△OAP中，∵OC=OA，CD=OP，∴Rt△OCD≌Rt△OAP，∴OD=AP，∵點(diǎn)D是OA中點(diǎn)，∴OD=AD=OA，∴AP=AB=2，∴P（4，2）；②當(dāng)點(diǎn)P在正方形的邊BC上時，同①的方法，得出CP=BC=2，∴P（2，4）．綜上所述：P（2，4）或（4，2）．故答案為（2，4）或（4，2）．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；分類討論．三、解答題16．如圖所示，已知AD是△ABC的角平分線，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=45°，求∠ADB的大小.【答案】∠ADB=105°【解析】試題分析：根據(jù)AD是△ABC的角平分線，∠BAC=60°，得出∠BAD=30°，再利用CE是△ABC的高，∠BCE=45°，得出∠B的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠ADB的度數(shù)．試題解析：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC=60°，∴∠BAD=30°，又∵CE是△ABC的高，∠BCE=45°，∴∠BEC=90°∴∠B=45°∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-45°-30°=105°17．如圖，BN為∠ABC的平分線，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于點(diǎn)D，AB＋BC＝2BD．求證：∠BAP＋∠BCP＝180°【答案】見解析【解析】【分析】過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E.根據(jù)角平分線性質(zhì)得PE＝PD，再證Rt△PBE≌Rt△PBD(HL)，得BE＝BD.由AB＋BC＝2BD，BC＝BD＋CD，AB＝BE－AE，得BE－AE＋BD＋CD＝2BD，故AE＝CD；再證△PEA≌△PDC(SAS)，得∠PAE＝∠BCP，由∠BAP＋∠PAE＝180°，得∠BAP＋BCP＝180°.【詳解】證明：過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E.∵BN平分∠ABC，PD⊥BC，PE⊥AB，∴PE＝PD，∠BEP＝∠BDP＝90°.在Rt△PBE和Rt△PBD中，∵PB＝PB，PE＝PD，∴Rt△PBE≌Rt△PBD(HL)，∴BE＝BD.∵AB＋BC＝2BD，BC＝BD＋CD，AB＝BE－AE，∴BE－AE＋BD＋CD＝2BD，∴AE＝CD.在△PEA和△PDC中，∵PE＝PD，∠PEA＝∠PDC，AE＝CD，∴△PEA≌△PDC(SAS)∴∠PAE＝∠PCD，即∠PAE＝∠BCP.∵∠BAP＋∠PAE＝180°，∴∠BAP＋BCP＝180°.【點(diǎn)睛】本題考核知識點(diǎn)：角平分線性質(zhì)定理，全等三角形判定和性質(zhì).解題關(guān)鍵點(diǎn)：熟記角平分線性質(zhì)定理，全等三角形判定和性質(zhì).18．如圖AD是三角形ABC的中線,E,F分別在AB,AC上,且DF丄DE.

求證：BE+CF>EF【答案】證明見解析.【分析】延長FD至G，使得GD=DF，連接BG，EG,先證△DFC和△DGB全等，得到BG=CF，進(jìn)而證明△EDF≌△EDG，得到EF=EG，最后再運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行證明即可.【詳解】證明：延長FD至G，使得GD=DF，連接BG，EG∵在△DFC和△DGB中，∴△DFC≌△DGB（SAS），∴BG=CF，∵在△EDF和△EDG中∴△EDF≌△EDG（SAS），∴EF=EG在△BEG中，兩邊之和大于第三邊，∴BG+BE＞EG又∵EF=EG，BG=CF，∴BE+CF＞EF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系，靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定是解答本題的關(guān)鍵.19．如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時（與點(diǎn)B不重合），如圖2，線段BD、CF的數(shù)量關(guān)系為________，線段BD、CF所在直線的位置關(guān)系為_____________；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，如圖3，①中的結(jié)論是否仍然成立?并說明理由;（2）如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)∠ACB＝____°時，CF⊥BC（點(diǎn)C、F不重合）．【答案】（1）①BD=CF；BD⊥CF；②成立，理由見解析；（2）45°．【分析】（1）①證明△DAB≌△FAC，可得：BD=CF，∠B=∠ACF=45°，則∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，所以BD與CF相等且垂直；②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時①的結(jié)論仍成立．由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．結(jié)合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．