2023年高考數(shù)學考前30天迅速提分復習方案（上海專用）1

2023年高考數(shù)學考前30天迅速提分復習方案（上海地區(qū)專用））

專題平面向量三大考點與真題訓練

考點一：平面向量的概念及線性運算

一、單選題

1.（2022?上海?上海中學?？寄M預(yù)測）如圖，B、。是以AC為直徑的圓上的兩點，其

中AB=^/m,AD=sj7+2,則AC-BD=（）

A.1B.2C.tD.It

【答案】A

【分析】連結(jié)BC、8，則有罰.髭=AB?=f+l,M）AC=AD2=t+2,根據(jù)

ILUULUULULUUULM

ACBD=AC（AD-AB）求解即可.

【詳解】解：連結(jié)BC、CD.

則Ar>_LC。，AB1BC.

ULUuuu

所以=ABxACxcosNBAC=ABx（ACxcosNBAC）=AB?=f+l.

UUUuuu

AD-AC=ADxACxcosZGAD=ADx（ACxcosZ.CAD）=AD2=r+2.

因為8。=4。-AB，

ULULUUULUULUULIIUUUULULJLULUU

所以AC-BD=AC-（AD-AB）=ACA￡>-AC-A8=f+2-Q+l）=l.

故選：A.

2.（2022?上海閔行?統(tǒng)考二模）已知4B、C是平面內(nèi)不共線的三點，點。滿足

QA+2OB+2OC=0M為實常數(shù)，現(xiàn)有下述兩個命題：（1）當Xw-3時，滿足條件的點。存

在且是唯一的；（2）當幾=-3時，滿足條件的點。不存在.則說法正確的一項是（）

A.命題（1）和（2）均為真命題

B.命題（1）為真命題，命題（2）為假命題

C.命題（1）和（2）均為假命題

D.命題（1）為假命題，命題（2）為真命題

【答案】A

【分析】m-3時，題干條件變形得到AOM/AB+AAC,由向量基本定理得到滿足條

2+32+3

件的點。存在且是唯一；當2=-3時，條件變形得到AC=2CB，得到&B、C三點共線，與

已知矛盾，故（2）為真命題.

【詳解】當；1H一3時，OA+2OB+WC=0,

所以-A。+2AB-2A。+2AC-2AO=0，

22

所以4。=48+,

/t+3zt+3

因為AB,AC不共線，由向量的基本定理得：滿足條件的點。存在且是唯一，①正確;

當；1=_3時，℃_。4=2（08_℃）,EPAC=2CB>所以4C〃C8，

因為AC,CB有公共點C,所以A、B、C三點共線，

這與題干條件4艮C是平面內(nèi)不共線的三點相矛盾，故滿足條件的點。不存在，

（2）為真命題.

故選：A

3.（2022?上海?統(tǒng)考二模）在_"C中，AC=3AD,BE=ED>設(shè)

AE=1AB+/ze/?）,則4+〃=（）

1124

A.—B.-C.；D.-

3333

【答案】c

【分析】根據(jù)題意，利用平面向量的線性運算法則，化簡得到4E=;AB+：4C,結(jié)合題設(shè)條

2o

件，得到2=:,〃=!,即可求解.

2O

【詳解】在三角形ABC中，AC=3AD，BE=ED，

a^^AE=-{AB+AD）=-AB+-x-AC=-AB+-AC,

222326

117

因為AE=XAB+￡R）,所以幾=q,〃=:，所以義+〃=彳.

263

故選：C.

4.（2022?上海閔行?上海市中學校考模擬預(yù)測）已知F為拋物線）3=4x的焦點，

A、B、C為拋物線上三點，當E4+FB+FC=0時，則存在橫坐標x>2的點A、B、C有

（）

A.0個B.2個C.有限個，但多于2個D.無限多個

【答案】A

（分析］首先判斷出F為ABC的重心，根據(jù)重心坐標公式可得項+W=3-可,丫2+%=-%，

結(jié)合基本不等式可得出犬42（犬+犬），結(jié)合拋物線的定義化簡得出占42,同理得出

X2<2,X3<2,進而得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)4（4）［），8（孫必），。（尼，％），先證占42,

由E4+F8+FC=0知，F(xiàn)為一ABC的重心，

又尸（1,0）,*'+；+/=1,/+g+=o,二三+毛=3-占,丫2+丫3=-X,

???（X+丫3『=$+￡+2%%V2（￡+X）,y：<2（￡+K）,

/.4+5V2(超+毛)，&V2(3—xj42,

同理馬42,鼻42,

故選：A.

【點睛】本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是判斷出F

點為三角形的重心，屬于中檔題.

二、填空題

5.(2022?上海徐匯?統(tǒng)考一模)在ABC中，AC=4,且AC在鉆方向上的數(shù)量投影是-2,

貝川BC_2網(wǎng)(2eR)的最小值為.

【答案】2拒

【分析】根據(jù)AC在4B方向上的數(shù)量投影先求出4AC=12O,取4a4=8。，則

|BC-幾總卜,4,即求,4的最小值，過點c作AB的垂線即可求得.

【詳解】解：由題知AC在鉆方向上的數(shù)量投影是-2,

|AC|cosZBAC=-2,

AC=4,

cosZBAC=-p即ZBAC=U0,

記ABA=BD,

貝ij\BC-^B^\BC-BD|=|DC|,

若求\BC-XB^eR)的最小值即求|nc|的最小值，

過點C作AB的垂線交A8于點。，此時,C|最小，

如圖所示：

/T

.'.|DC|=||AC|sinNBA。=4x半=2百，

故答案為：2#)

6.(2022?上海浦東新?校考一模)已知平面向量°,〃，c，滿足忖=1,W=2,卜卜2,

0W/IW1.若。.o=0，則卜-勸—(1—4)c|的取值范圍是.

【答案】[應(yīng)-1,3]

【分析】用坐標表示向量，設(shè)》=。8=(2,0),c=0C=(0,2),a=OA＞由卜d=1,知A在以。

為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)。。=X6+(l-/l)c,0W/IW1,則Z)在線段8c上(含端點)，問

題轉(zhuǎn)化為求線段BC上的點到圓上的點的距離的范圍，山圓心到直線的距離公式和兩點間距

離結(jié)合圓的性質(zhì)可得.

【詳解】因為卜|=2，/>c=()，所以設(shè)方=08=(2,0),c=OC=(0,2),a=0A,

又忖=1,則A在以。為圓心，1為半徑的圓上，

設(shè)0D=4+(l-/l)2,0W2W1,則。在線段BC上(含端點)，

易知。到直線BC的距離為d=6線段8c上的點到0的距離的最大值為|。即=Qq=2,

所以|D4|的最小值為血-1,最大值為2+1=3,

所以-力-。-2注卜卜耳的取值范圍是訴

故答案為：[四-1,3].

7.(2022?上海閔行?上海市中學?？寄M預(yù)測)設(shè)點如MBC的內(nèi)部，點〃，吩別

為邊4C,比的中點，且目=1,貝1。4+2。8+3。4=

【答案】2

【分析】由向量的加法法則，把O4+2O8+3OC轉(zhuǎn)化為2(OO+2OE),從而易得結(jié)論.

【詳解】,點。，吩別為邊力Ga的中點，，OA+OC=2O￡>，OB+OC=2OE,

；.|OA+2()B+3OC\=\OA+OC+2(OB+C>C)|=|2OD+40q=2+2OE|=2.

故答案為:2.

【點睛】本題考查求向量的模，向量關(guān)鍵是利用向量加法法則，把。4+208+3OC轉(zhuǎn)化為

2(OD+2OE).

8.(2022?上海徐匯?上海中學?？寄M預(yù)測)設(shè)點M、N、P、Q為圓/+^=產(chǎn)”>0)

上四個互不相同的點，若MPPN=0,且(PM+PN)PQ=2,則|尸。卜.

【答案】V2

【分析】根據(jù)MP./W=0得到仞V過圓的圓心。，再利用向量的加法法則得

PM+PN=2PO,由向量數(shù)量積的幾何意義得到等式|PO|cosO=；|PQ|,最后求得|PQ|的

值.

【詳解】因為MP-PN=()，所以MP_LPN,

所以MN過圓的圓心O,

所以(尸M+PA>PQ=2POJQ=2|PO|?|PQ|cos6>=2,

因為尸。在尸。向量方向上的投影為：|PO|cos，=g|PQ|,代入上式得：

故答案為：V2.

【點睛】本題考查向量與圓知識的交會、向量的垂直、加法法則、數(shù)量積的幾何意義等知

識，考查方程思想的運用，求解時注意向量幾何意義的靈活運用，考查邏輯推理能力和運算

求解能力.

9.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在ABC中，AC=4,BC=3,點尸是相的中點，則

BACP=.

7

【答案】j

【分析】利用向量的加法和減法法則，將BA，CP分別用CA,CB表示出來，然后代入結(jié)論

計算即可.

【詳解】在ABC中，點尸是A8的中點，所以CP=；（C4+C8）,BA=CA-CB,

所以B4CP=（C4_CBRCA+CB）CB]--?（4232）--.

7

故答案為：

10.（2022?上海寶山?統(tǒng)考二模）已知RE分別是ABC邊AB,AC的中點，M是線段OE

,,12

上的一動點（不包含DE兩點t），且相足AM=aA8+〃AC,則^+彳的最小值為一.

【答案】6+4夜##4夜+6

【分析】由三點共線得到2a+2〃=l,利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【詳解】由于M是上的一動點（不包含。,E兩點），

AM=aAB+PAC=2aAD+2pAE,所以a,〃>0且2a+2/?=l,

以L務(wù)d+京/+*6+4忘,

apap

當且僅當。=叵口。=二色時取等號，所以f最小值為6+4&.

2

故答案為：6+4夜

11.（2022?上海寶山?統(tǒng)考一模）在三角形A8C中，。是BC中點，AB=2,4c=4,則

ADCB=

【答案】-6

【分析】根據(jù)向量的加法減法運算及數(shù)量積的運算性質(zhì)求解即可.

T1—

【詳解】由三角形中筋=寇訪，&=必/，皿=8C,

可得：ADCB=(AB+町(AB-AC)=(A8+；BC)(AB-4C)

=(AB+；(AC-A8))(AB-AC)=g(AB+AC)(AB-AC)?B2-Ac2)=g(22-42)=-6,

故答案為：-6

12.(2022?上海閔行?上海市學校考模擬預(yù)測)已知平面內(nèi)不同的三點。,A3,滿

足|。4卜,@=4,若&[0』，，。8-酬+(1-/1)80-；a4的最小值為26，則畫=

【答案】2

【分析】設(shè)OC=/LOB(04；L41)、BD=：BA、4480=。(0＜。＜鄉(xiāng)，作賤于喇稱的點A，

如圖，根據(jù)向量的線性運算化簡題中的等式為kq+pq,利用點關(guān)于直線對稱的性質(zhì)可得

卜。卜2卡，結(jié)合余弦定理可求出cos2〃，利用余弦的二倍角公式求出cos。，最后根據(jù)

畫=2畫cos6計算即可.

【詳解】如圖，設(shè)OC=408(04/141),則點球線段附上運動，

所以卜08-0小=|00。4卜卜4,

設(shè)BD=；BA,則心”=卜1,

所以(l-A)BO--^BA=|(2-1)OB-BD\=\AOB-(OB+BD)\=|OC-OO|=|Dc\,

所以卜08-。^+(l_/t)BO_：BA=|AC|+|DC|,BR(|AC|+|z)c|)min=2＞/6,

作岐于必對稱的點2,設(shè)NABO=0（0<”,，

則+|oc卜|AC|+pc>|,所以卜〃卜2限

在,.ABD1中，網(wǎng)=4,幽卜師卜1,卜同=2折由余弦定理,得

“16+1-247p,

cos2^=————-=—-,XCOS26?=2COS26?-1,

2x4x18

所以cose=；,得卜）@=2|A@cosa=2x4x；=2.

故答案為：2

13.（2022?上海浦東新?上海市實驗學校?？寄M預(yù)測）己知點G為AABC的重心，過G

作直線與AB、AC兩邊分別交于〃、N兩點,且AM…B,4—則出的值為

【答案

1uuuiiuunumuuu

【分析】由曲三角形的重心得到AG=］（A8+AC）,再結(jié)合AM=XAB，AN=yAC>根據(jù)

MG"三點共線，易得到x,y的關(guān)系式，即可得到結(jié)論.

1uuuUUU

【詳解】如圖，因為G為A4BC的重心，所以4G=§（4B+AC）,又4〃=XAB，

uumuuu=1一111

AN=yAC^所以=由題意知必G,A三點共線，所以丁+丁=1,化簡得

JX3yJX3y

xy_1

x+y3

故答案為：

【點睛】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，以及向量的基本定理和向量在幾何中的應(yīng)用，屬

于中檔題.

三、雙空題

LIL1Uuuu

14.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知菱形ABC。的邊長為1,N8A￡>=60°,AP=AAB

（A>0）.當/1=（時，ACPD=;當APOP取得最小值時，彳=.

31

【答案】77

44

【分析】當2=g時，AP=^AB,根據(jù)向量的三角形法則和數(shù)量積的運算法則計算可得

AC，。的值；ffijAPDP=AAB（AAB-AD）=A2-^,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出當ARDP

取得最小值時4的值.

【詳解】當4=g時，AP=^AB,

AC-PD=（AB+BC\（AD-AP\=（AB+AD\\AD--AB\=AD'--+-ABAD

.11../八。3

=1F—x1x1xcos60=一；

224

DP=AP-AD=AAB-AD，

所以".OP=AAB^AAB-AD）

所以當%=9時，AP.￡＞P取得最小值，最小值為二.

416

故答案為：:；；.

44

【點睛】關(guān)鍵點睛：對于第二空，可由平面向量數(shù)量積的運算法則得出AP.DP=zl2-g/l,從

而利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

四、解答題

22

15.（2022?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知A、B為橢圓??+親和雙曲線

y22

=-v4=1的公共頂點，P,。分別為雙曲線和橢圓上不同于A、8的動點，且滿足

a~b"

AP+BP=A（AQ+BQ）（Ae/?,網(wǎng)＞1）,設(shè)直線AP、8尸、A。、8。的斜率分別為占、取、匕、酊

（1）求證：點尸、Q、。三點共線；

（2）當。=2,時，若點P、Q都在第一象限，且直線PQ的斜率為求VBPQ的面積

S；

（3）若6、B分別為橢圓和雙曲線的右焦點，且QK〃P5，求6+代+后+好的值.

【答案】（1）證明見解析；（2）地一迎；（3）8.

510

【分析】（1）由的+BP=2（AQ+BQ）,得至IJ。尸=2。。，由此可證明出點P、Q、。三點共

線；

,2h2X2〃2V

（2）設(shè)點尸（玉,）＜）、。（孫K）,求出—---L,&+勺=---2----?由。P//OQ,可得

ay?；?/p>

出五=二，從而可求出勺+&+&+勺的值；

到必

—儲+12

%,=----a

（3）由OP=4。。，可得12,再由QK〃P心，得出（K+zJ=4,（%+勺）2=4,由

y[=—^b-

此能求出年+后+后+后的值.

【詳解】解：（1）證明：因為A,8為橢圓與雙曲線的公共點，P,Q分別為雙曲線和橢圓

上不同于A,8的動點，

又因為AP+8P=/（AQ+5Q）,

所以20P=，2OQ,BPOP=AOQ,

所以點P,Q,。三點共線.

（2）設(shè)網(wǎng)4乂），。（孫月）,直線PQ的方程為y=gx,

1

x

y=-",

聯(lián)立29，解得X=±G，

尤+A2

43

1

y=—x

2y=±^-,解得。（亞

所以尸底,同理，解得x=±A/6,

x2y2

=1-2I

T-T

則|PQ|=3-半，又因為a=2,b=6,

22

Xy

+=1

一-1

43

2

,解得3（±2,0）,

工r

=1

一1

43

2

所以點8到直線PQ的距離d飛,

則5='|尸。|=手_嚕^

\x,=Ax.

（3）因為0P=40Q,所以.-

[*=力2

因為。耳〃尸工,所以|0用=川0閭,

a2+b2<_22+la2/

所以萬=所以天=乃方=可

所以（―舞=4,

同理化3+%)2=4,而{&=，

七一a

又X：=/+*_.y；,所以％凡=4，

同理g=-4,所以6+后+好+"=8.

a"

16.(2022?上海閔行?上海市中學?？寄M預(yù)測)已知向量a=|[gsinx+^cosx

和向量b=(l，/(X)),且a"b.

(1)求函數(shù)〃x)的最小正周期和最大值；

(2)已知AABC的三個內(nèi)角分別為A,B,C,若有/(4-專)=6,BC=5,sinB=與,

求AC的長度.

【答案】(1)最小正周期為2乃，最大值為2；(2)2.

【分析】由〃//整理可得：/(x)=sinx+6cosx=2sin(x+2}(1)根據(jù)正弦型函數(shù)的最

小正周期和最值的求解方法直接求得結(jié)果；(2)利用/百求得sinA,利用正弦定

理求得結(jié)果.

【詳解】由a/解得:—f(x)=—siax+—cosx

2v722

則：/(x)=sinx+Gcosx=2sin(x+?j

(1)/(X)最小正周期為：7=斗=2萬

當如卜+?)=1時一(力皿=2

(2)由=G得：2sinA=百，則sinA=*

幣X叵

BCACm.rBC-sinBV/x

由正弦定理可知:gUAC=--------=----1—=2

sinAsinBsinA6

T

【點睛】本題考查三角函數(shù)中的正弦型函數(shù)的最小正周期、最值的求解、解三角形中的正弦

定理的應(yīng)用，涉及到平面向量共線定理、輔助角公式的應(yīng)用.

17.(2022?上海浦東新??？家荒?已知向量a=(J5si”,l),b=^cosx,-\).

(1)若a〃b,求tan2x的值；

(2)若〃x)=(a+8)力，求函數(shù)/(x)的最小正周期及當xw0,1時的最大值.

【答案】(1)-73(2)最小正周期為左，最大值為1

【分析】(1)由〃/必得tam=-3，再根據(jù)二倍角的正切公式直接求解.

3

(2)根據(jù)平面向量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的恒等變換，化簡/"(X)即可求出T,再根據(jù)三角

函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出xe[O,時f(x)的最大值以及對應(yīng)x的值.

【詳解】解：(1)由〃///?得，一百sinx=cosx，

??tanx=------

3

2tanxrr

??tanx=--------廠=-73

1-tanx

(2)/(x)=(〃+/?)?〃=>.Msinxcosx+cos2x

Ojr

函數(shù)/(X)的最小正周期為7=半=萬

、C江力■八冗

當t,xe0,—時，—<2x+—<7—4

2」666

二當2嗚？即個時，"力3=<!=1?

【點睛】本題考查了共線向量的坐標運算，平面向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的恒等變換以及三

角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是綜合性題目.

考點二：平面向量的基本定理及坐標運算

一、單選題

1.(2022?上海嘉定??？寄M預(yù)測)在ABC中，AB=AC=3,BD=2DC.若

flULU

ADBC=4,則W=().

A.3B.-3C.2D.-2

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的線性運算，將茄.詫=4轉(zhuǎn)化為(g48+[4C>(AC-AB)=4,結(jié)合數(shù)量

積的運算，即可求得答案.

.......................................2

【詳解】由題意可得A￡>.8C=(A3+8O).(AC—A8)=(A5+18C).(AC—A3)=4,

即[48+§(4。一48)](4。-48)=(§48+14e)(40-48)=4,

1-921171

+-AC--AB-AC=4,gR-3+-x9--AB-AC=4,

解得4B-"=-3,

故選：B

2.(2022?上海靜安?統(tǒng)考二模)設(shè)a=(x,y),b=(m,ri),且“，人均為非零向量，則

"土=』,,是“￡〃4的()條件

mn

A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要

【答案】A

【分析】由向量共線的坐標公式判斷充分性和必要性即可求解.

【詳解】若二=2,則"=如，則〃〃6,滿足充分性；反之，若〃〃匕，則必=，取，不能推

mn

出入2,

mn

比如〃?=X=(),顯然滿足M=，政，但土=二無意義，不滿足必要性；故“土=2”是

mnmn

ua//bn的充分非必要條件.

故選:A.

3.(2022?上海浦東新?上海市實驗學校?？寄M預(yù)測)如圖，已知點P(2,0),正方形

ABC。內(nèi)接于。O:Y+y2=2,用、N分別為邊A3、8c的中點，當正方形ABC。繞圓心。

旋轉(zhuǎn)時，PMON的取值范圍是()

A.[―1,1]B.V5]

C.[-2,2]D.一冬乎

【答案】C

【分析】根據(jù)題意易知ON=1,將PM表示為PO+OM,再結(jié)合數(shù)量積的運算律計算即可.

【詳解】解：由題意可知正方形A8C。的邊長為2,

則ON=1,

?/OMION,；.OM-ON=。，

設(shè)PO，ON的夾角為，，則，目0,司，

PMON=(PO+OM)ON=PO-ON=2x\xcos0=2cos0e[-2,2],

故選：c.

4.(2022?上海浦東新?上海市實驗學校?？寄M預(yù)測)在RfAABC中，AB=AC,點M、

N是線段AC的三等分點，點P在線段8c上運動且滿足PC=hBC，當命.防取得最小值

時，實數(shù)k的值為

A-i

【答案】c

C

取MN中點￡),由極化恒等式得，PM-PN=\PD^-\DM^,

所以當DPL8C,PM./W最小，則PC=：BC,即《=；.

44

故選C.

5.(2022?上海普陀?統(tǒng)考一模)設(shè)％>0,若向量〃、b、c滿足麻W：H=1M：3,且

b-a=2(c-b),則滿足條件的衣的取值可以是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得(36)2=4#+4夕c+時，利用平面向量的數(shù)量積的定義和三角函數(shù)的

性質(zhì)可得93=37+12??卜，9425,49],進而公結(jié)合選項即可求解.

【詳解】由b-a=2(c-b),得勸=2c+a,

所以(3b)=(2c+“)=4p|+4<z-c+|?|,

又麻W：H=1:4:3,

所以9r=4x3:+12+4x3xlxcos(a,c),

即9/=37+12cosk,C)G[25,49],

得k睦年75，學40，又%>0,所以k嗚57

所以左的取值可以是2.

故選:B.

二、填空題

6.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知向量。=(3,4),匕=(1,2),則0-%=

【答案】(1,0)

【分析】由平面向量的減法的坐標運算即可求解.

【詳解】因為a=(3,4),b=(l,2),所以：-2力=(3,4)-2(1,2)=(1,0),

故答案為：。，0)

7.(2022?上海浦東新?統(tǒng)考一模)如圖，在一ABC中，點〃、￡是線段比上兩個動點，且

19

AD+AE=xAB+yAC,,則一+一的最小值為_____.

xy一

【答案】8

【分析】以向量ABAC為基底，表示向量A2AE,結(jié)合平面向量基本定理可得x+y=2,再

19

利用基本不等式求一+一的最小值.

【詳解】設(shè)=EC—BC,則0W4W1,0<//<1,AD=AB+BD=AB+ABC，

AE=AC+CE=AC-^BC,所以

A￡>+AE=A8+AC+(/l—〃)BC=AB+AC+(2-〃)(AC-A8),

所以AD+AE=(1-2+〃)AB+(1+4—〃)4C,又4￡)+AE=xAB+y4C,

所以x=l-2+〃,y=l+4-〃，所以x+y=2,

因為0W4W1,04〃41,所以—14—〃<0,—,所以041+4—〃V2,

即0VyV2,同理可得04x42,若y=0則，〃-4=1,因為￡>B=-/IBC，EC=pBC,所以

DB+EC=BC，所以DB=BC+CE=BE,即BE+B￡)=0，此時B,D,E三點重合，與已知矛

盾，所以0<y42,同理0<x42

vQr1a

當且僅當上=一，即工=y=J時取等號；

xy22

19

所以一+一的最小值為8.

xy

故答案為：8.

8.(2022?上海虹口?統(tǒng)考一模)在一ABC中，AB=5,AC=6,cosA=1,。是的

外心，若OP=xO8+)，OC,其中x,川［0川，則動點尸的軌跡所覆蓋圖形的面積為

【答案】扣楣警

【分析】先利用余弦定理求出8c的長，因為。是一ABC的外心,

設(shè)外接圓的半徑為R,所以O(shè)A=OB=OC=R,再利用正弦定理

求出R,由。尸=xQ8+yOC,x,ye[0,l]

知道動點P的軌跡所覆蓋圖形為以0B為邊的菱形OBEC

畫圖，由圖可知菱形0BEC為25小，求出5吶即可得.

【詳解】在一45c中，因為A8=5,AC=6,cosA='

所以由余弦定理：（^A:世衛(wèi)生匹！：].,

2ABAC

所以BC2=49n8C=7,

又因為。是ABC的外心，設(shè)外接圓的半徑為R,

所以。4=QB=0C=R,

所以sinA=Vl-cos2A=1

BC73576

由正弦定理：一嬴了一工后一下一

由。尸=xOB+yOC,x,ye[0,l],

所以動點P的軌跡所覆蓋圖形為以0B為邊的菱形OBEC,

如圖所示：

由圖知N8OC,NA為BC所對的圓心角與圓周角，

所以有NBOC=2ZA,

所以sin/BOC=sin2A=2sinAcosA

2V61_45/6

5525

所以SB0C=；xOBxOCxsinZ.BOC

135瓜355/647649指

——X------------X-------------X------------------------，

224242548

所以動點P的軌跡所覆蓋圖形面積為：

49娓

BOC~24

故答案為：警

9.（2022?上海徐匯?統(tǒng)考三模）在_ABC中，已知AB=1,AC=2,ZA=120°,若點尸是

ABC所在平面上一點，且滿足AP=4B+/IAC，BPCP=-i.則實數(shù)久的值為

【答案】1或I

【分析】根據(jù)平面向量的線性運算法則，分別把8RCP用ABAC表示出來，再用BPCP=-1建

立方程，解出入的值.

【詳解】由AP=A8+/IAC,得AP-A8=2AC，即8P=/iAC，

CP=AP-AC=AB+(A-1)AC,

在J1BC中，已知AB=1,AC=2,ZA=120°,

所以BP?CP=2AC?(AB+(2一1)AC)=4AC?AB+4(/1-1)AC。)

=22cos120+4/l(2-l)=422-5/l=-l,

即4萬-5；1+1=0,解得2=1或

4

所以實數(shù)/I的值為1或L

故答案為：1或1.

4

10.(2022?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知向量”(1,3),=(sina,cosa),若〃///?,則

tan[a+#--------.

【答案】2

【分析】由向量平行得tana,再由正切兩角和公式計算即可.

【詳解】由a//b可得，3sina=cosa,得tana=g,

[1+1

.“乃\tana+13八

而tan(a+—)=------==2.

41-tana.￡

3

故答案為：2.

11.（2022?上海浦東新?校考一模）已知點A（-2,0）,設(shè)氏Gt圓0：丁+步之上的兩個不

同的動點，且向量OB=/QA+（1T）OC（其中方為實數(shù)），則AB.AC=

【答案】3

【分析】由向量。8="必+（17）。。（其中，為實數(shù)），可得：A,B,C三點共線，且4B，AC

同向，設(shè)圓。與靜由正半軸交于點反與確正半軸交于點F,由割線定理可得

|M|AC|=|蜴|A耳，由AC=k@k4cosO即可得解.

【詳解】由向量O8=rOA+（l-f）OC（其中1為實數(shù)），

可得：A,B,C三點共線，

且48，AC同向，

設(shè)圓。與環(huán)由負半軸交于點區(qū)與行由正半軸交于點F,

由圓的割線定理可得，|A^|AC|=|A^|AF|,

AB-AC=|AB||AC|COSO=IAB||AC|=\AE\|AF|=1X3=3,

故答案為3

【點睛】本題考查了向量中三點共線的判斷，及圓的割線定理，屬于中檔題.

12.（2022?上海浦東新?上海市實驗學校?？寄M預(yù)測）已知橢圓5+y2=i（。>0）的

a

焦點月、尸2,拋物線y?=2x的焦點為尸，若

UUl￥ULK^

耳尸=?>FF2,貝IJ“=

【答案】O

【詳解】由拋物線的標準方程可得其焦點坐標為廠

設(shè)橢圓的焦點坐標為：耳（-c,0），6（c,0）,

則："尸=1+c,O）,%=（T，O）,

求解關(guān)于c的方程可得：c=l,貝|：“=后”=0.

13.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）a=（\,i）,b={-\,t\a-h=5,t=.

【答案】3

【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的坐標運算求解.

【詳解】由題意可得：』力=1x（—l）+2xf=2f—1=5,解得，=3.

故答案為：3.

14.（2022?上海寶山?統(tǒng)考一模）已知平面向量〃、〃滿足忖=3,忖=4,則2a+O在a方

向上的數(shù)量投影的最小值是.

【答案】2

【分析】先求出（2"+8）”的范圍，根據(jù)即可求得結(jié)果.

（2a+b）a

【詳解】因為2〃+方在a方向上的數(shù)量投影為H

所以當（2a+b）.a最小時?，數(shù)量投影取得最小值.

設(shè)=9,貝!|（2a+〃）-a=2/+a-6=2|o|'+|o||fo|cos0=18+12cosO.

因為-l#cosO1,則當cosO=-l時，僅。+今a=I8+12cos（9有最小值6.

（2a+b）-ag

所以，2〃+）在a方向上的數(shù)量投影的最小值是一^=5=2.

H3

故答案為：2.

15.（2022?上海長寧?統(tǒng)考一模）設(shè)向量a,。滿足同=l,a力=2,則a-（a+，）=

【答案】3

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運算律，即可求得答案.

【詳解】由題意|a|=l,a%=2得a-（a+5）=a2+a/=l+2=3,

故答案為：3

16.（2022?上海嘉定?統(tǒng)考一模）在空間直角坐標系中，點A（l,0,0）,點8（5,T,3）,點

C（2,0,l）,則AB在CA方向上的投影向量的坐標為.

【答案】住。彳）

【分析】先求出AB和CA的坐標，再根據(jù)投影向量的定義可得答案.

【詳解】依題意：A8=（4,T,3）,C4=（-l,0,T）,

所以AB在CA方向上的投影向量為：

II/vCA（A8?CA）_7、/77、

|4B|cos（AB,CA）xj—[=|r-xCA=y（-1,0,-l）=^-,0,-J.

故答案為：

17.（2022?上海崇明?統(tǒng)考一模）在邊長為2的正六邊形/比儂中，點/為其內(nèi)部或邊界上

一點，則A。-8P的取值范圍為.

【答案】I，12]

【分析】利用數(shù)量積的幾何意義去求ALbBP的取值范圍即可解決.

【詳解】正六邊形四微力中，過點必乍88」AO于"，則|叫=4,,4=3,|叫=1

又AO,8/卜卜4?|此cos(AD,BP)引AO,8回

Bp-4<IAZ)|■|BP|COS[AD,BP)<12,故AO的的取值范圍為[32]

故答案為：[T12]

三、解答題

18.(2022?上海徐匯?位育中學?？寄M預(yù)測)設(shè)｛4｝、｛2｝是兩個數(shù)列，

M(l,2)，4(2,4),B.(—)〃eN*,M、4?、紇三點共線.

(D求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)若數(shù)列間滿足:喝%，'竽:父:的,其中｛%｝是第三項為8,公比為4的等比

數(shù)列.求證：點列4(3)、6(2也)、、勺(〃也)在同一條直線上；

(3)記數(shù)列｛q｝、｛〃,｝的前用項和分別為4和B,”,對任意自然數(shù)?,是否總存在與"相關(guān)的自

然數(shù)加，使得4,5“=24?若存在，求出m與〃的關(guān)系，若不存在，請說明理由.

【答案】(1)4,=2〃

(2)證明見詳解

(3)存在，2〃=m+1

【分析】(1)利用〃〃6。%%=9)1，代入運算整理可得4=2"；(2)根據(jù)題意求

22

a,+a2++an=n+n,%=Z?”''代入整理可得她+見偽++a?bn=(2n-3)(n+/?),再結(jié)合

St.A2—14—SAW

%=c'運算求得勿=3〃-4；⑶先求4=病+一，B,產(chǎn)產(chǎn),代入

必一七一卜""2

3〃一43/77—5

巴凡=勿、可得也」=也一，分析整理得2n=m+\.

nm+\

(1)

由題意得：肌4“=(1,4-2),知5,=1[彳-2)

17

???4、/紇三點共線，則%〃幽,可得」4-2)=二2

nn

????！?2〃

(2)

由（1）可得4+/++。“="4+""）=n2+n

???{%}是第三項為8,公比為4的等比數(shù)列，則=16cl=8

C|=；，則C"=W"=2"T

又...log2cL她+地++，，也=2”-3

ax+a2++a?

/.44+a2b2++anbn=（2〃-3乂1+〃）

當〃=1時，=—2

當"22時，岫+a2b2++a,i如=（2"-5）（〃J〃）

22

anbn=（2〃-3）（〃2+M）-（2n-5）（n-n^=6n-8n

綜上所述：anhn=6/_8〃，貝ljbn=3n-4

???點列田1聞、鳥（2也）、、匕（“也）在同一條直線，=3—4上

（3）

由（2）可得＞+用，您=幽山=即』

22

aB

nm=b〃A",,g|J2nX3"25"=（3〃一4）（加+機）

3〃一4一548

結(jié)合自然數(shù)〃〃整理可得也，=也一，則3-上=3-上7

nm+1n機+1

/.2〃=帆+1

若對任意自然數(shù)"，團存在且為自然數(shù)

，存在，2"=機+1

19.（2022?上海黃浦?統(tǒng)考模擬預(yù)測）一質(zhì)點/從原點出發(fā)沿於由的正向以定速度諭進，

質(zhì)點6從（0,-2）與/同時出發(fā)，且與質(zhì)點4以大小相同的速度向某方向前進，/與貶間的最短

距離為1.

（D求弼前進方向與x軸正向間的夾角。；

（2）當4間距離最短時，求4、聞勺坐標.

【答案】（D?

（2）（73,0）,

【分析】（1）設(shè)出發(fā)后，時，A位移為3,0）,貝IJB的位移（acos0,-2+asin0）,利用距離公式

求得|A.=J(2-2cos夕)/-4asin6+4,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解;

(2)由(1)求得。=；凹，人,即可求得A,8的坐標.

1-COS。

【詳解】⑴解:設(shè)出發(fā)后f時,A位移為3,0),則8的位移(acos&-2+asin。)，

貝“A?=J(4cosg-〃)2+(-2+asin。)2=J/cos28-2c」cos8+/+〃「sin」8-4〃sin8+4

若2-28s6=0時,即cos6=l時，可得|泅=2,不符合題意