考點(diǎn)16數(shù)列（11種題型8個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）（原卷版）

考點(diǎn)16數(shù)列（11種題型8個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）一一、真題多維細(xì)目表考題考點(diǎn)考向2022新高考求通項(xiàng)公式累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式2022新高考等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用求值2022新高考等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和與集合的綜合2021新高考數(shù)列的求和錯(cuò)位相減法求和2021新高考等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和求解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式的運(yùn)用2020新高考等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和2020新高考等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式及分組轉(zhuǎn)化法求和二二、2023真題搶先刷，考向提前知一．選擇題（共2小題）1．（2023?新高考Ⅱ）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則A．120 B．85 C． D．2．（2023?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件二．解答題（共2小題）3．（2023?新高考Ⅱ）已知為等差數(shù)列，，記，為，的前項(xiàng)和，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．4．（2023?新高考Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記，分別為數(shù)列，的前項(xiàng)和．（1）若，，求的通項(xiàng)公式；（2）若為等差數(shù)列，且，求．三三、考點(diǎn)清單一．等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an＝a1+（n﹣1）d；前n項(xiàng)和公式為：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，則有2am＝ap+aq（p，q，m都為自然數(shù)）等差數(shù)列的性質(zhì)（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項(xiàng)，特別地，當(dāng)s+t＝2p時(shí)，有as+at＝2ap；（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．（7）從第二項(xiàng)開始起，每一項(xiàng)是與它相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，也是與它等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項(xiàng)不一定選a1）．二．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，已知等差數(shù)列的首項(xiàng)a1，公差d，那么第n項(xiàng)為an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m項(xiàng)為am，則第n項(xiàng)為an＝am+（n﹣m）d．三．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝四．等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列（又名幾何數(shù)列），是一種特殊數(shù)列．如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，因?yàn)榈诙?xiàng)與第一項(xiàng)的比和第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的比相等，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1時(shí)，an為常數(shù)列．等比數(shù)列和等差數(shù)列一樣，也有一些通項(xiàng)公式：①第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，an＝a1qn﹣1，這里a1為首項(xiàng)，q為公比，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)通項(xiàng)公式其實(shí)就是指數(shù)函數(shù)上孤立的點(diǎn)．②求和公式，Sn＝，表示的是前面n項(xiàng)的和．③若m+n＝q+p，且都為正整數(shù)，那么有am?an＝ap?aq．等比數(shù)列的性質(zhì)（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動(dòng)數(shù)列．五．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式1．等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比值等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項(xiàng)都是非零的，公比q也是非零常數(shù)．2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)an＝a1?qn﹣13．等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．G2＝a?b（ab≠0）4．等比數(shù)列的常用性質(zhì)（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動(dòng)數(shù)列．六．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠0），其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＝．2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為﹣1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn．七．?dāng)?shù)列的應(yīng)用1、數(shù)列與函數(shù)的綜合2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合3、數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用數(shù)列與銀行利率、產(chǎn)品利潤(rùn)、人口增長(zhǎng)等實(shí)際問題的結(jié)合．八．?dāng)?shù)列的求和就是求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝②等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：③幾個(gè)常用數(shù)列的求和公式：（2）錯(cuò)位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項(xiàng)相消法：適用于求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，其中{an}為各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，即＝（）．（4）倒序相加法：推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．九．?dāng)?shù)列遞推式1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an﹣1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．2、數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式：an＝．在數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個(gè)重點(diǎn)，要認(rèn)真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1）；若a1適合由an的表達(dá)式，則an不必表達(dá)成分段形式，可化統(tǒng)一為一個(gè)式子．（2）一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關(guān)系式，然后再求解．【解題方法點(diǎn)撥】數(shù)列的通項(xiàng)的求法：（1）公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式，然后再求解．（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．（6）已知遞推關(guān)系求an，有時(shí)也可以用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）．特別地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an．②形如an＝的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)．（7）求通項(xiàng)公式，也可以由數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行歸納猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．十．?dāng)?shù)列與函數(shù)的綜合數(shù)列的函數(shù)特性：等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中共涉及五個(gè)量a1，an，q，n，Sn，知三求二，體現(xiàn)了方程的思想的應(yīng)用．解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來分析、解決問題．【解題方法點(diǎn)撥】1．在解決有關(guān)數(shù)列的具體應(yīng)用問題時(shí)：（1）要讀懂題意，理解實(shí)際背景，領(lǐng)悟其數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，舍棄與解題無關(guān)的非本質(zhì)性東西；（2）準(zhǔn)確地歸納其中的數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型；（3）根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型的知識(shí)系統(tǒng)，解出數(shù)學(xué)模型的結(jié)果；（4）最后再回到實(shí)際問題中去，從而得到答案．2．在求數(shù)列的相關(guān)和時(shí)，要注意以下幾個(gè)方面的問題：（1）直接用公式求和時(shí)，注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導(dǎo)過程．（2）注意觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律，在分析數(shù)列通項(xiàng)的基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和．（3）求一般數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，無一般方法可循，要注意掌握某些特殊數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，觸類旁通．3．在用觀察法歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式（尤其是在處理客觀題目時(shí)）時(shí)，要注意適當(dāng)?shù)馗鶕?jù)具體問題多計(jì)算相應(yīng)的數(shù)列的前幾項(xiàng)，否則會(huì)因?yàn)樗?jì)算的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)過少，而歸納出錯(cuò)誤的通項(xiàng)公式，從而得到錯(cuò)誤的結(jié)論．十一．?dāng)?shù)列與不等式的綜合證明與數(shù)列求和有關(guān)的不等式基本方法：（1）直接將數(shù)列求和后放縮；（2）先將通項(xiàng)放縮后求和；（3）先將通項(xiàng)放縮后求和再放縮；（4）嘗試用數(shù)學(xué)歸納法證明．常用的放縮方法有：，，，＝[]﹣＝＜＜＝﹣（n≥2），＜＝（）（n≥2），，2（）＝＜＝＜＝2（）．…+≥…+＝＝＜．【解題方法點(diǎn)撥】證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類競(jìng)賽試題命題的極好素材．這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：（1）添加或舍去一些項(xiàng)，如：＞|a|；＞n；（2）將分子或分母放大（或縮小）；（3）利用基本不等式；＜；（4）二項(xiàng)式放縮；（5）利用常用結(jié)論；（6）利用函數(shù)單調(diào)性．（7）常見模型：①等差模型；②等比模型；③錯(cuò)位相減模型；④裂項(xiàng)相消模型；⑤二項(xiàng)式定理模型；⑥基本不等式模型．十二．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合1、等差數(shù)列的性質(zhì)（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項(xiàng)，特別地，當(dāng)s+t＝2p時(shí)，有as+at＝2ap；（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．（7）從第二項(xiàng)開始起，每一項(xiàng)是與它相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，也是與它等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項(xiàng)不一定選a1）．2、等比數(shù)列的性質(zhì)．（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動(dòng)數(shù)列．十三．?dāng)?shù)列與三角函數(shù)的綜合函數(shù)、數(shù)列、解析幾何作為高中數(shù)學(xué)的主要軀干，蘊(yùn)含著諸多的數(shù)學(xué)思想和方法（數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化和歸納等），因而一直是高考的重點(diǎn)．尤其是它們互相之間及和其他數(shù)學(xué)知識(shí)（如復(fù)數(shù)、向量等）之間的互相滲透、互相聯(lián)系，更為高考命題帶來廣闊的空間．而傳統(tǒng)的章節(jié)復(fù)習(xí)法使學(xué)生分散地學(xué)習(xí)知識(shí)，對(duì)各個(gè)章節(jié)的聯(lián)系和滲透考慮較少，從而造成對(duì)一些綜合題心存膽怯．近幾年高考中常見的函數(shù)﹣數(shù)列﹣解析幾何綜合題就是其中的典型．【解題方法點(diǎn)撥】事實(shí)上，無論是函數(shù)、數(shù)列還是解析幾何中的曲線（包括復(fù)數(shù)、向量），都表現(xiàn)出數(shù)和形兩種狀態(tài)，數(shù)列是一個(gè)特殊的函數(shù)；函數(shù)的圖象（解析式）則可看作解析幾何中一種特殊的形（方程）；而復(fù)數(shù)、向量的坐標(biāo)順理成章地使它們與函數(shù)、數(shù)列及解析幾何發(fā)生聯(lián)系．解函數(shù)﹣數(shù)列﹣解析幾何綜合題首先是建立在對(duì)數(shù)學(xué)基本概念理解的基礎(chǔ)上，然后抓住概念間內(nèi)在的聯(lián)系，將問題轉(zhuǎn)化為較熟悉的數(shù)學(xué)問題予以解決，當(dāng)然這也離不開對(duì)各章節(jié)內(nèi)部的扎實(shí)基本功．四四、題型方法一．等差數(shù)列的性質(zhì)（共5小題）1．（2024?鄭州一模）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則A．19 B．22 C．25 D．272．（2024?甘肅模擬）在等差數(shù)列中，，是方程的兩根，若，則的值為A． B． C．2 D．63．（2024?秦都區(qū)校級(jí)四模）已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，且，則．4．（2024?新疆一模）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列，乙：（其中，則下列說法正確的是A．甲是乙的充分不必要條件 B．甲是乙的必要不充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的既不充分也不必要條件5．（2024?東莞市校級(jí)一模）已知等差數(shù)列與等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為與，且，則A． B． C． D．二．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（共3小題）6．（2023?全國(guó)一模）南宋數(shù)學(xué)家在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，高階等差數(shù)列中前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，2，4，7，11，16，22，則該數(shù)列的第20項(xiàng)為A．172 B．183 C．191 D．2117．（2023?海淀區(qū)一模）在等差數(shù)列中，，，則A．9 B．11 C．13 D．158．（2024?自貢模擬）南末數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”．現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為3，7，13，23，39，63，97，則該數(shù)列的第8項(xiàng)A．131 B．139 C．141 D．143三．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（共5小題）9．（2024?林芝市一模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則使成立的的最大值為A．3 B．4 C．5 D．610．（2024?吉林模擬）已知等差數(shù)列滿足，前項(xiàng)和為，則A．8 B．12 C．16 D．2411．（2024?揚(yáng)州模擬）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則A． B．的前項(xiàng)和中最小 C．的最小值為 D．的最大值為012．（2024?黑龍江模擬）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則下列結(jié)論正確的是A．是遞增數(shù)列 B． C． D．13．（2024?四川模擬）《九章算術(shù)》有這樣一個(gè)問題：今有女子善織，日增等尺，四日織24尺，且第七日所織尺數(shù)為前兩日所織尺數(shù)之積．則第十日所織尺數(shù)為？譯為：現(xiàn)有一善于織布的女子，從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，前4天織了24尺布，且第7天所織布尺數(shù)為第1天和第2天所織布尺數(shù)的積．問第10天織布尺數(shù)為．四．等比數(shù)列的性質(zhì)（共5小題）14．（2024?揚(yáng)州模擬）已知函數(shù)，若是與的等比中項(xiàng)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．0 B．0或1 C．2 D．0或1或215．（2024?良慶區(qū)校級(jí)模擬）在數(shù)列中，．若命題，命題是等比數(shù)列，則是的條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要16．（2024?渾南區(qū)校級(jí)模擬）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)積為，若，則A． B． C． D．17．（2024?昌樂縣校級(jí)模擬）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并滿足條件，，，下列結(jié)論正確的是A． B． C．是數(shù)列中的最大值 D．?dāng)?shù)列無最大值18．（2024?株洲模擬）設(shè)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則下列說法中正確的是A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 C． D．五．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（共2小題）19．（2024?林芝市一模）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則．20．（2024?涼山州模擬）設(shè)是等比數(shù)列，且，，則．六．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（共3小題）21．（2024?開封一模）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則A．6 B．8 C．9 D．1222．（2024?秦都區(qū)校級(jí)四模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則A．4 B． C．10 D．1223．（2024?南充模擬）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則．七．?dāng)?shù)列的求和（共11小題）24．（2024?渾南區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列，，，且，則數(shù)列的前2024項(xiàng)之和為A．1012 B．2022 C．2024 D．404825．（2024?昌樂縣校級(jí)模擬）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知．（1）證明：為等比數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前項(xiàng)和．26．（2024?吉林模擬）已知數(shù)列，．（1）求，；（2）求的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)的前項(xiàng)和為，若，求．27．（2024?昌樂縣校級(jí)模擬）已知函數(shù)為常數(shù)，且．（1）在下列條件中選擇一個(gè)_____使數(shù)列是等比數(shù)列，說明理由；①數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；②數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列；③數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列的前項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列．（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．28．（2024?天津模擬）已知數(shù)列滿足：，正項(xiàng)數(shù)列滿足：，且，，．（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）已知，求：；（3）求證：．29．（2024?河西區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，已知對(duì)于任意，都有，數(shù)列是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）記，求．30．（2024?新疆一模）數(shù)列滿足，且，．（1）設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求的前項(xiàng)和．31．（2024?甘肅模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．32．（2024?開封一模）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，且．（1）求；（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．33．（2024?黑龍江模擬）已知等差數(shù)列公差與等比數(shù)列公比相同，，，．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列是將數(shù)列和中的項(xiàng)從小到大依次排列而成的新數(shù)列，求數(shù)列前60項(xiàng)的和．34．（2024?渾南區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，都有，求的取值范圍．八．?dāng)?shù)列遞推式（共6小題）35．（2024?涼山州模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則A．9 B．10 C．11 D．1236．（2024?揚(yáng)州模擬）對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列，令，則數(shù)列稱為數(shù)列的一階商數(shù)列，再令，則數(shù)列是數(shù)列的二階商數(shù)列．已知數(shù)列為1，2，8，64，1024，，且它的二階商數(shù)列是常數(shù)列，則A． B． C． D．37．（2024?黑龍江模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，都有，則A．是等比數(shù)列 B． C． D．38．（2024?永壽縣校級(jí)模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且對(duì)于任意，，恒成立，則A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列 C． D．39．（2024?北京模擬）已知數(shù)列和滿足，．（1）證明：；（2）是否存在，，使得數(shù)列是等比數(shù)列？說明理由．40．（2024?良慶區(qū)校級(jí)模擬）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．九．?dāng)?shù)列與函數(shù)的綜合（共2小題）41．（2024?渾南區(qū)校級(jí)模擬）定義在，的函數(shù)滿足，且，，都有，若方程的解構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列，則下列說法中正確的是A． B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則公差為6 C．若，則 D．若，則42．（2024?天河區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)函數(shù)，．（1）①當(dāng)，時(shí)，證明：；②當(dāng)，時(shí)，求的值域；（2）若數(shù)列滿足，，，證明：．一十．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合（共5小題）43．（2024?四川模擬）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，則A．2 B． C． D．44．（2024?銅川一模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則A． B．3 C．或3 D．1．或45．（2024?河西區(qū)校級(jí)模擬）在等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則A．3 B． C．9 D．46．（2024?北京模擬）設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，則A．3 B． C． D．247．（2024?株洲模擬）各項(xiàng)都為整數(shù)的數(shù)列滿足，，前6項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第5項(xiàng)起依次成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出所有的正整數(shù)，使得．一十一．?dāng)?shù)列與三角函數(shù)的綜合（共3小題）48．（2024?株洲模擬）在非直角中，、、成等比數(shù)列，則的取值范圍是A． B． C． D．49．（2023?河北模擬）已知函數(shù)的零點(diǎn)是以為公差的等差數(shù)列．若在區(qū)間，上單調(diào)遞增，則的取值范圍為A． B． C． D．50．（2023?普陀區(qū)校級(jí)模擬）已知等差數(shù)列中，，設(shè)函數(shù)，記，則數(shù)列的前9項(xiàng)和為．五五、易錯(cuò)分析易錯(cuò)點(diǎn)一、利用an＝Sn－Sn－1求通項(xiàng)公式忽視n＝1致錯(cuò)1、在數(shù)列中，（），求的通項(xiàng)公式．易錯(cuò)點(diǎn)二、忽視在數(shù)列中n為正整數(shù)而致錯(cuò)2．在數(shù)列－1,0，eq\f(1,9)，eq\f(1,8)，…，eq\f(n－2,n2)中，若an＝0.08，則n＝()A.eq\f(5,2) B．8C.eq\f(5,2)或10D．10易錯(cuò)點(diǎn)