2022-2023學(xué)年北京市通州區(qū)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2022-2023學(xué)年北京市通州區(qū)高一(上)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.sinl20o=()

ATB.?C.D.-i

2.設(shè)S={α∣α=∕cτr+1,∕c6Z},Sl={a?a=2kπ+1,∕c6Z},S2={a?a=2kπ—^,/c∈Z},

則下列結(jié)論錯誤的是()

A..S1QSB.S?USC.SiUS?=SD,S1∩S2=S

3.已知角α的頂點在原點，始邊與X軸的非負半軸重合，終邊在第三象限且與單位圓交于點

P(-y,m)>則Sina=()

A.一些BYC.-迪D.當(dāng)

5555

4.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增的是()

A.y=sinxB.y=?C.y=cosxD.y=Inx

5.將函數(shù)y=s譏X的圖象C向左平移卷個單位長度得到曲線C,然后再使曲線Cl上各點的橫

坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?得到曲線Cz，最后再把曲線Cz上各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到曲線。3,

則曲線C3對應(yīng)的函數(shù)是()

A.y=2sin(3x—3)B.y=2sin3(x-

C.y=2sin(3x+$D.y=2sin3(x+

6.iitana>0”是“a是第一象限角”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.函數(shù)y=logos久與y=iog2%的圖象()

A.關(guān)于X軸對稱B.關(guān)于y軸對稱

C.關(guān)于原點對稱D.關(guān)于直線y=X對稱

8.函數(shù)/(x)=1nx+2x-6的零點所在的大致區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

9.已知a=(|￡，b=(∣)i.c=log,,則a,b,C的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

10.中國茶文化博大精深.茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗表明，有一種茶用

85。C的水泡制，再等到茶水溫度降至55。C時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.某研究人員在室溫下,

每隔ITn譏測量一次茶水溫度，得到數(shù)據(jù)如下:

放置時間∕τn譏012345

茶水溫度/。C85.0079.0073.6068.7464.3760.43

為了描述茶水溫度y。C與放置時間XnI譏的關(guān)系，現(xiàn)有以下兩種函數(shù)模型供選擇：

x

①y=ka+25（fcER,0<a<I1%≥0）,②y=fcx+b（k,b∈R,x≥0）.

選擇最符合實際的函數(shù)模型，可求得剛泡好的茶水達到最佳口感所需放置時間大約為（）

（參考數(shù)據(jù)：∕g2≈0.301,lg3≈0.477）

A.6minB.6.5minC.7minD.7.Smin

二、填空題（本大題共5小題，共25?0分）

11.半徑為1,圓心角為1弧度的扇形的面積為

12.ZogzSin"+ZoWcos5的值為

13.若函數(shù)y=Asin{ωx+φ）（ω>0,0≤φ<Tr）的部分圖象

如圖所示，則此函數(shù)的解析式為.

14.已知/+y2=1,則％+y的最大值為,最小值為

15.已知函數(shù)人X）=惶;女二為;°，當(dāng)方程/O）=k有3個實數(shù)解時，k的取值范圍是

三、解答題（本大題共6小題，共85.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.（本小題13.0分）

已知tcma=-α是第四象限角.

4

(I)求CoSa-S歷ɑ的值；

(Il)求COSG+α),tan(α+J)的值.

17.(本小題13.0分)

己知函數(shù)/(x)=tanGX+9

(I)求函數(shù)/(x)的定義域；

(H)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

(W)求函數(shù)/(乃的單調(diào)區(qū)間.

18.(本小題14.0分)

已知函數(shù)/(x)=As譏(3久+中)(A>0,ω>O,Iwl<方的最小正周期為兀.

(I)求3的值；

(II)從下面四個條件中選擇兩個作為已知，求/(X)的解析式，并求其在區(qū)間上的最大

值和最小值.

條件①：f(x)的值域是［-2,2］；

條件②：/(無)在區(qū)間［-漢］上單調(diào)遞增；

條件③：/(%)的圖象經(jīng)過點(0,1)；

條件④：/(為的圖象關(guān)于直線％=-々對稱.

19.(本小題15.0分)

已知函數(shù)/(x)=ln(l—cos2x~)+cos(x+0),θ∈［0,^).

(I)求函數(shù)f(χ)的定義域：

(II)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，求。的值；

(HI)是否存在仇使得函數(shù)是奇函數(shù)？若存在，求出8的值；若不存在，請說明理由.

20.(本小題15.0分)

某一扇形鐵皮，半徑長為1,圓心角為?工人師傅想從中剪下一個矩形4BCD,如圖所示.

(I)若矩形ABCD為正方形，求正方形ABCD的面積；

(H)求矩形ABeD面積的最大值.

21.(本小題15.0分)

已知函數(shù)f(x)=lg(αx+3)的零點是X=2.

(I)求實數(shù)α的值；

(H)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并說明理由；

(Ul)設(shè)∕c>O若不等式2f(x)>lg(k∕)在區(qū)間［—4,—3］上有解，求k的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解:sinl20o=sin(90o+30o)=cos30o=y?

故選：A.

利用誘導(dǎo)公式，特殊角的三角函數(shù)值即可得解.

本題主要考查了誘導(dǎo)公式，特殊角的三角函數(shù)值在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：集合5=｛而=卜兀+］水€2｝表示終邊在丫軸的角的集合；

SI=｛a?a=2kπ+1,keZ｝表示終邊在y軸非負半軸的角的集合；

S2=｛α∣α=2/OT-今kWZ｝表示終邊在y軸非正半軸的角的集合；

所以SlUS,S?US,SlUS2=S正確，SInS2=S錯誤，

故選：D.

分析各個集合所表示的角的范圍，可得答案.

本題考查的知識點是集合的表示法，集合的交集并集，正確理解各個集合表示的角的范圍，是解

答的關(guān)鍵.

3.【答案】C

【解析】解：???角α的頂點在原點，始邊與X軸的非負半軸重合，終邊在第三象限且與單位圓交于

點P(—,τn)>

(―?)2+m2—1>且m<0,求得m=—

則Sina—m=

故選：C.

由題意，利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得Sina的值.

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：4y=Sinx是奇函數(shù)，當(dāng)O<x<l時，函數(shù)為增函數(shù)，滿足條件

B.函數(shù)的定義域為{x∣X芋0},當(dāng)0<x<l時，函數(shù)為減函數(shù)，不滿足條件.

Cy=COSX為偶函數(shù)，不滿足條件.

。.函數(shù)的定義域為(0,+8),關(guān)于原點不對稱，

函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件.

故選：A.

分別判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是否滿足即可.

本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵,

是基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：將函數(shù)y=Sinx的圖象C向左平移著個單位長度得到曲線CJy=sin(x+J),

然后再使曲線G上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?得到曲線C2：V=sin(3x+*,

最后再把曲線C?上各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到曲線碼，

則曲線C3對應(yīng)的函數(shù)是y=2sin(3x+J).

故選：C.

利用函數(shù)y=Asin(ωx+@)的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：tma>0時，α為第一或第三象限角，充分性不成立；

支為第一象限角時，tana〉0,必要性成立；

所以“tana〉。”是“a是第一象限角”的必要不充分條件.

故選：B.

分別判斷充分性和必要性是否成立即可.

本題考查了充分與必要條件的判斷問題，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：由于函數(shù)y=]ogθ.5%,即函數(shù)y=∣0g2%T=-lθg2》,

故函數(shù)y=logos%與y=IOg2》的圖象關(guān)于X軸對稱，

故選：A.

化簡函數(shù)y=[ogo.5X的解析式，從而得出結(jié)論.

本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：由題意可得f(l)=-4<0,

/(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0,

f(4)="4+2>0,

顯然滿足/(2)/(3)<0,

故函數(shù)f(%)=Inx+2x-6的零點所在的區(qū)間為(2,3)

故選：C.

可得f(2)=》2—2<0,/(3)=Z∏3>0,由零點判定定理可得.

本題考查函數(shù)零點的判定定理，涉及對數(shù)值得運算和大小比較，屬基礎(chǔ)題.

9.【答案】D

3

-

2<?

【解析】解:√l

b=(∣)3>(∣)°=1-

3

C=Iogi-<Iogzl=0,

323

則α,b,C的大小關(guān)系為C<a<b.

故選：D.

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解.

本題考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查函數(shù)的實際應(yīng)用，掌握對數(shù)函數(shù)的公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

由表中數(shù)據(jù)可得，每分鐘茶水的溫度的減少值呈現(xiàn)越來越小的變化趨勢，故選用模型①，更符合

實際的模型，將(0,85),(1,79)代入y=kαx+25可得，模型(1)的函數(shù)，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的公式，

即可求解.

【解答】

解：由表中數(shù)據(jù)可得，每分鐘茶水的溫度的減少值呈現(xiàn)越來越小的變化趨勢，

故選用模型①，更符合實際的模型，

9

(

故y=60X(4)X+25,

令55=60X(?+25,即齊心尸，

故嗚=lg?)x=XIg?＞即X=*=就IY=y∑?≈T-黑％≈6?5,

剛泡好的茶水達到最佳口感所需放置時間大約為6.5τnin?

故選：B.

Il.【答案】?

【解析】解：???r=1,a=1,

???S=∣αr2=?.

故答案為：?.

根據(jù)扇形的面積公式求即可.

本題考查了扇形的面積公式，考查了計算能力，屬于簡單題.

12.【答案】-2

【解析】解：根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)可得，

原式=Iog2(sin?cos?)=Iog2(|sin≡)=Iog2J=-2.

首先由對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，可將原式化簡為log2(sin^cos*),再根據(jù)二倍角的正弦的公式，進

一步化簡可得1臉(1嗚)，進而可得答案.

本題考查對數(shù)的運算性質(zhì)以及二倍角的正弦的公式，初學(xué)時，要特別注意對數(shù)的運算性質(zhì)的特殊

性與對數(shù)函數(shù)的定義域.

13.【答案】y=3sin(2x+^)

【解析】解：有圖可得A=3,

則函數(shù)y=3sm(ωx+φ)(ω>0,0≤φ<τr),

結(jié)合圖象，可得；?4=?iγ,.??3=2.

2ω63

再結(jié)合五點法作圖，可得2X*+0=兀，0=/，

故函數(shù)y=3sin(2x+今，

故答案為：y=3sin(2x+9?

由周期求出3,由五點作圖求出⑦可得函數(shù)的解析式.

本題主要考查由函數(shù)y=AS由(3X+0)的部分圖象求函數(shù)的解析式，由周期求出3,由五點作圖

求出口屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】√2-√2

【解析】解：因為/+y2=1,

nJ=cosa,y=sina,

所以X+y=sina+cosa=V2sin(ɑ+∈[―√2,√2].

故答案為：√2,-√2?

令X=COSα,y-sina,然后結(jié)合輔助角公式進行化簡，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)可求.

本題主要考查了輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】(一4,一3]

【解析】解：方程f(x)=k有3個實數(shù)解，等價于函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=A有3個公共點,

因當(dāng)x≤0時，/(%)在(-8,-1]上單調(diào)遞減,在-1,0]上單調(diào)遞增，/(-1)=-4,f(0)=-3,當(dāng)

x>0時，f(x)單調(diào)遞增,/(x)取一切實數(shù)，

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=/(x)的圖象及直線y=k,如圖：

由圖象可知，當(dāng)一4<k≤-3時，函數(shù)y=∕(x)的圖象及直線y=k有3個公共點，方程/(x)=k有

3個解，

所以k的取值范圍為(-4,一3].

故答案為：(—4,—3].

根據(jù)給定條件將方程/(x)=k的實數(shù)解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(%)的圖象與直線y=k的交點問題,

再利用數(shù)形結(jié)合思想即可作答.

本題考查了函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的運用，屬于中檔題.

16.【答案】解：(I)已知tana=—%a是第四象限角，

則駟,

cosa4

乂sin"+cos”=

又Sina<0,cosa>0,

則Sina=一|,CoSa=N

則CoSa-sina=1—(―|)=|；

(II)由(I)可得：cos(；+a)=y(cosa-sina)=?,

1

-1

34

?-t-tana=-=_

tan(α+≡)77

-

1—tana4

【解析】(I)由同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可；

(II)由兩角和的三角函數(shù)求解即可.

本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，重點考查了兩角和的三角函數(shù)，屬基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(1)由函數(shù)/。)=1211(5+鄉(xiāng)可得卜+肝"+晟fc∈Z,

求得X≠2kττ+fc∈Z,

故函數(shù)的定義域為{小≠2∕cπ+p?∈Z}.

π?

(II)由函數(shù)的解析式，可得它的最小正周期為T=2兀.

2

(111)令/￡兀一]<2刀+*</￡兀+5，kEZ,

求得2kτr—?<X<2kπ+*k∈Z,

可得函數(shù)的增區(qū)間為(2時一季2"+今，k∈Z;該函數(shù)沒有減區(qū)間.

【解析】(1)由題意，根據(jù)正切函數(shù)的定義域，得出結(jié)論.

(II)由題意，根據(jù)正切函數(shù)的周期性，得出結(jié)論.

(In)由題意，根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論.

本題主要考查正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)因為7=辭=兀，所以3=2.

(Il)方案一：

選擇①，③

因為/(x)的值域是[一2,2],

所以A=2.

所以∕Q)=2sin(2x+φ).

因為/(x)的圖象經(jīng)過點(0,1),

所以2si∏0=1,

即Sirl(P=?.

又IWlVa所以W=5

所以/(%)的解析式為/(%)=2sin(2x+/

因為％∈[-p^],

所以2"旌[-理】?

當(dāng)2x+*J

即X=一押,/Q)取得最小值/(一：)=2sin(-∣)=-√3;

當(dāng)2X+(=3即X=軻,f(x)取得最大值/￠)=2Sin,=2.

方案二：

選擇條件①，④

因為/(x)的值域是[一2,2],

所以4=2.

所以f(x)=2sin(2x+φ).

因為f(χ)的圖象關(guān)于直線X=-5對稱，

所以2(/)+9=E+?keZ),

所以9=?τr+?.

又∣W∣<*所以W=∣?

所以f(x)的解析式為/(X)=2sin(2x+∣).

以下同方案一.

方案三：

選擇條件③，④

因為/(X)的圖象關(guān)于直線X=一5對稱，

所以2(冶)+w=k兀+?kez),

所以9=kττ+￥.

O

又取?4

所以9=O

因為f(x)的圖象經(jīng)過點(0,1)，

所以/sin*=1,

即A=2.

所以/(X)的解析式為f(x)=2sin(2x+≡).

以下同方案一.

【解析】(1)由周期可得3；

(2)由①中確定4,由③得出A,9的關(guān)系式，由④可確定(p,條件②不能得出確定的值，f(x)在

區(qū)間［-葭］上單調(diào)遞增，沒有說［-也自就是單調(diào)增區(qū)間，由它可能確定參數(shù)的范圍.因此考慮方

案：①③；①④：③④分別求解.

本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：(】)由題意，得I-CoS2x>0,所以COS2x<l,

所以2x≠2kτr,k∈Z,所以k&Z,

故函數(shù)的定義域為｛x∣X≠kπ,keZ)；

(II)/(%)=?n(l—cos2x)+cos(x+。)=ln(2sin2x)+cos(x+8),

若/(x)為偶函數(shù)，則/(—%)=/0)，

所以COS(X+。)=cos(―X+θ),所以SinXSine=0,

因為SinX不恒為O,故SinO=0,

因為。6［0,方，所以。=0；

(In)不存在。，使得函數(shù)/(%)是奇函數(shù)，理由如下：

當(dāng)。=0時，f(x)為偶函數(shù),

當(dāng)?！?O,割寸,/(—x)+/(χ)=?n(2sin2x')+cos(-x+。)+ln(2sm2x)+cos(x+θ)

=2ln(^2sin2x)+2cosx?cosθ≠0,

故/(一χ)≠-f(χ),

所以f(x)不是奇函數(shù).

【解析】(I)由題意，得l-cos2x>0,然后結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)求出定義域；

(Il)由已知結(jié)合偶函數(shù)的定義即可求解；

(In)結(jié)合奇函數(shù)的定義即可求解.

本題主要考查函數(shù)的定義域的求解和函數(shù)奇偶性的判斷，屬于中檔題.

20.【答案】解：連接0C,設(shè)乙COB=8,則BC=40=04=s譏。，入

AB=OB-OA=cosθ—sinθ.D/\

(I)若矩形48CD為正方形，貝IJS譏8=cosθ—sinθf即CoSe=2sinθ,

O

ABP

?tanθ=p則正方形48CD的面積S=Sine(COSe-Sinθ)

.2八sin20tan2041

=sin0=-7-------=-7-----==z;

sin0+cos2θtane+1打15

(II)矩形4BCD的面積S=sinθ(cosθ—sinθ)=sinθcosθ—sin20

1.l-cos2θ√2..π?1

=-sιnπ2nθ------------=ysιn(r2πθn+-)--，

當(dāng)2。+:=*即時，面積取到最大值為與i?

【解析】連接OC,以角CoB為變量，把48、4D用4C0B表示.

(I)若矩形ABCD為正方形，則CoSJ=2si∏e,再由正方形面積公式求解；

(II)矩形ABCC的面積S=sinθ(cosθ-sinθ),變形后利用三角函數(shù)求最值.

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的最值的求法，是中檔題.

21.【答案】解：