中考數(shù)學：一元二次方程根與系數(shù)的關系大題練習真題+模擬（原卷版北京）

中考數(shù)學一元二次方程根與系數(shù)的關系大題專練

【方法歸納】

￥1考查年份考查頻率-

一元二次方程根與系數(shù)的關系2021、2019、2018、2017、2016、2014、十年7考~

（大題）2013

一元二次方程根與系數(shù)的關系是北京中考的?？即箢}之一，主要涉及根的判別式和根與

系數(shù)的關系

根的判別式：

一般地，式子b2-4αc叫做方程ax'+bx+c=O（α≠0）

根的判別式

根的判別式，通常用希臘字母△表示，即A=^-4°c

方程ax2+bx+c=O(a^0)有兩個不相等的實數(shù)根,即

Δ>O

-b+?Jb2—Aac

X=-------------

根的情況2a

與判別式方程α^+bx+c=0（αHO）有兩個相等的實數(shù)根，即

Δ=O

的關系b

…=F______________________________________

Δ<0方程αx2+hx+c=O（α≠0）沒有實數(shù)根

根與系數(shù)的關系：

1、一元二次方程根與系數(shù)的關系（韋達定理）

如果α√+bx+c=O（α≠O）的兩個實數(shù)根是可，%,那么不+蒼=-&,?xt=-.

33

推論1:如果方程發(fā)+m+。=0的兩個根是可,看,那么可+與=-P,x%=q.

推論2：以兩個數(shù)芥,顯為根的一元二;欠方程（二;欠項系數(shù)為1）是V-a+與）χ+襁=0.

2、的

運用根與系數(shù)的關系和運用根的判別式一樣，都必須先把方程化為一般形式，以便正確確定a、b、C

的值.

3、利用一元二次方程根與系數(shù)的關系求關于可、號的代數(shù)式的值時,關鍵是把所給的代數(shù)式經(jīng)過恒等

變形,化為含4+題,可有的形式,然后把蘇+芻,4褥的值整體代入，即可求出所求代數(shù)式的值.

【典例剖析】

【例1】（2021?北京?中考真題）已知關于X的一元二次方程--4mx+3πι2=o.

（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若m>0,且該方程的兩個實數(shù)根的差為2,求m的值.

【真題再現(xiàn)】

1.（2013?北京?中考真題）已知關于久的一元二次方程產+2x+2k-4=0有兩個不相等的

實數(shù)根.

(I)求k的取值范圍；

(2)若/c為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求k的值.

2.(2014,北京?中考真題)已知關于X的方程“tr2-(w+2)x+2=0(∕w≠0).

(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，求正整數(shù)，〃的值.

3.(2016?北京?中考真題)關于X的一元二次方程/+(2m+l)x+wJ]=。有兩個不相等的

實數(shù)根.

(1)求機的取值范圍；

(2)寫出一個滿足條件的，〃的值，并求此時方程的根.

4.(2018?北京?中考真題)關于X的一元二次方程αv2+bx+l=0.

(1)當匕=α+2時，利用根的判別式判斷方程根的情況；

(2)若方程有兩個相等的實數(shù)根，寫出一組滿足條件的m6的值，并求此時方程的根.

5.(2019.北京?中考真題)關于X的方程/一2%+2巾一1=0有實數(shù)根，且m為正整數(shù)，

求m的值及此時方程的根.

6.(2017?北京?中考真題)已知關于X的方程--(k+3)χ+2k+2=0

(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根

(2)若方程有一個小于1的正根，求實數(shù)k的取值范圍

L模擬精練】

一、解答題

1.(2022?北京四中模擬預測)己知關于X的一元二次方程mx2-(2m+l)x+m+2=0

(1)若這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍；

⑵當打=0時，求方程的兩個根

2.(2022?北京,二模)已知關于X的一元二次方程/+ax—5=0.

(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若方程有一個根是1,求方程另一個根.

3.(2022?北京市十一學校模擬預測)已知關于X的一元二次方程m/+(2m+l)x+m+2=

0有兩個不相等的實數(shù)根Xi，X2.

(1)求Zn的取值范圍；

⑵若Xι?Λ?=O,求方程的兩個根.

4.(2022?北京大興?一■模)已知關于X的方程/-2mx+m?-9=0.

(1)求證：此方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)設此方程的兩個根分別為X1，x2,若XI+Λ?=6,求小的值.

5.(2022?北京朝陽?一模)已知關于X的一元二次方程/-ax+a-1=0.

(1)求證：該方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若該方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，且其中一個根是另一個根的2倍，求α的值.

6.(2022?北京市三帆中學模擬預測)關于X的一元二次方程/+(k-2)x+k-3=0.

(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若方程有一個根大于0,求A的取值范圍.

7.(2021?北京■―?模)已知，關于X的一元二次方程/+αx-α-1=0.

(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根：

(2)若該方程有一個根是負數(shù)，求ɑ的取值范圍.

8.(2021.北京順義.一模)已知關于X的一元二次方程/+bχ-3=0.

(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若方程有一個根是1,求方程的另一個根.

9.(2020?北京市三帆中學模擬預測)已知關于X的一元二次方程/+(α+l)χ+α=0.

(1)求證：此方程總有兩個實數(shù)根；

(2)如果此方程有兩個不相攀的實數(shù)根，寫出一個滿足條件的α的值，并求此時方程的根.

10.(2020?北京海淀?二模)已知關于X的一元二次方程/-2x+?I=0.

(1)如果此方程有兩個相等的實數(shù)根，求〃的值；

(2)如果此方程有一個實數(shù)根為0,求另外一個實數(shù)根.

11.(2022.北京.模擬預測)已知關于X的一元二次方程*2-3x+(τn+1)=0有兩個不相等

的實數(shù)根.

(1)求機的取值范圍；

(2)如果機是非負整數(shù)，且該方程的根是整數(shù)，求m的值.

12.(2021?北京四中模擬預測)如果關于X的一元二次方程a/+bχ+c=0有兩個實數(shù)根,

且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，研究發(fā)現(xiàn)了此類方程的一

般性結論：設其中一根為3則另一個根為23因此α/+bx+c=α(x-t)(x-2t)=ax2-

Satx+2t2a,所以有爐—∣αc=0；我們記“K=h2—gac”即K=0時，方程ax?+bx+c=0

為倍根方程；

下面我們根據(jù)此結論來解決問題：

(1)方程①2χ2一3x+1=0；方程②/-2x-8=0；方程③/+χ=一:這幾個方程中，

是倍根方程的是(填序號即可)；

(2)若(X-I)(TnX-n)=0是倍根方程，則爭J值為；

13.(2020?北京?北理工附中三模)已知關于X的方程/+2x+zn-2=0.

(1)若該方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍：

(2)當該方程的一個根為-3時，求m的值及方程的另一根.

14.(2022?北京十一學校一分校模擬預測)關于X的一元二次方程M一(m+3)x+m+

2=0.

(1).求證：方程總有兩個實數(shù)根；

(2).若方程的兩個實數(shù)根都是正整數(shù)，求m的最小值.

15.(2022?北京東城?二模)已知關于X的一元二次方程——2依+/一ι=o.

(1)不解方程，判斷此方程根的情況；

(2)若X=2是該方程的一個根，求代數(shù)式一2好+8k+5的值.

16.(2022?北京密云?二模)已知關于X的一元二次方程/+(2k-l)x+1一k=0.

(1)求證：此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)如果方程有一個根為0,求出的值.

17.(2022.北京門頭溝.二模)已知關于X的二次方程JnX2一(2血一3次+0-1)=0有兩

個不相等的實數(shù)根.

(1)求機的取值范圍；

(2)如果機為正整數(shù)，求此方程的根.

18.(2022?北京昌平?二模)已知關于X的一元二次方程/+4x+k=O有兩個不相等的實數(shù)

根，寫出一個滿足條件k的值，并求此時方程的根.

2

19.(2022.北京海淀.二模)關于X的方程/—(2爪+I)X+m=O有兩個不相等的實數(shù)根.

(1)求m的取值范圍；

(2)當加取最小的整數(shù)時，求此時的方程的根.

20.(2022?北京東城.一模)已知關于X的一元二次方程/一2x+k-2=O有兩個不相等的

實數(shù)根.

(1)求k的取值范圍；

(2)若左為正整數(shù)，且方程的兩個根均為整數(shù)，求k的值及方程的兩個根.

21.(2022?北京市十一學校二模)己知關于X的方程(卜一2)/-2》+1=0有兩個實數(shù)根.

(1)求K的取值范圍；

(2)當上取最大整數(shù)時，求此時方程的根.

22.(2022?北京石景山?一模)已知：關于X的一元二次方程/—2mx+m2—1=0.

(1)求證：不論，"取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)選擇一個你喜歡的整數(shù)m的值代入原方程，并求出這個方程的解.

23.(2022?北京豐臺?一■模)已知關于X的一元二次方程f-(m+2)x+m+?-O.

(1)求證：該方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若該方程的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，求m的值.

24.(2022?北京市燕山教研中心一模)已知關于X的方程/+2x+k=O總有兩個不相等的

實數(shù)根.

(1)求k的取值范圍；

(2)寫出一個k的值，并求此時方程的根.

25.(2022?北京?中國人民大學附屬中學分校一模)關于X的一元二次方程χ2-2x+3m-

2=0有實數(shù)根.

(1)求，〃的取值范圍；

(2)若方程有一根為4,求方程的另一根.

26.(2022?北京順義