2024年中考數(shù)學（滬科版）二輪復習高頻考點突破課件 軸對稱圖形與等腰三角形

軸對稱圖形與等腰三角形?考點一軸對稱圖形典例1

（2022·湘西州）下列書寫的4個漢字中，可以看作軸對稱圖形的是（

）

思路導引根據(jù)如果一個平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析.規(guī)范解答只有選項C中的圖形能找到一條直線，使它沿這條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠重合.故選C.方法歸納判斷一個圖形是不是軸對稱圖形的方法

（1）

根據(jù)定義，若一個圖形能夠找到一條直線，使得這個圖形沿著這條直線折疊后能夠完全重合，則這個圖形就是軸對稱圖形；反之，則不是.（2）

從背面看這個圖形，如果看到的圖形和從正面看到的圖形一樣，那么這個圖形是軸對稱圖形.?1.

（2022·宿州期末）下列標志中，是軸對稱圖形的為（

A

）

A考點二線段的垂直平分線典例2

（2022·貴港期中）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，D是BE的中點，連接AE.（1）

若∠C＝35°，求∠BAE的度數(shù).（2）

若CD＝4cm，CF＝3cm，求△ABC的周長.思路導引

（1）

利用垂直平分線的性質可得EA＝EC，進而可得∠EAC＝∠C＝35°，利用三角形的外角的性質可得∠AEB＝∠EAC＋∠C＝70°，再證AD垂直平分BE，推出∠ABE＝∠AEB＝70°，最后利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解.（2）

利用垂直平分線的性質可得AC＝2CF，CE＝AE＝AB，DB＝DE，通過等量代換可得AC＋CB＋AB＝AC＋2CD.規(guī)范解答

（1）

∵

EF垂直平分AC，∴

EA＝EC.∴∠EAC＝∠C＝35°.∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝70°.∵

D是BE的中點，AD⊥BC，∴

AD垂直平分BE.∴

AB＝AE.∴∠ABE＝∠AEB＝70°.∴∠BAE＝180°－∠ABE－∠AEB＝40°.（2）

∵

EF垂直平分AC，AD垂直平分BE，∴

AC＝2CF＝2×3＝6（cm），CE＝AE＝AB，DB＝DE.∴

AC＋CB＋AB＝AC＋CD＋DB＋AB＝AC＋CD＋（DE＋CE）＝AC＋2CD＝6＋2×4＝14（cm），即△ABC的周長是14cm.方法歸納利用線段垂直平分線的性質解決三角形的周長問題

在解利用線段垂直平分線的性質解與三角形周長相關的題目時，經(jīng)常先利用線段垂直平分線的性質，把三角形的一條邊轉化到另一個三角形的某一條已知邊上，然后借助整體思想來解決.?2.

（2022·青海）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E，∠BAE＝10°，則∠C的度數(shù)是

40°

?.

（第2題）40°

3.

如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AD的垂直平分線交AB于點E，交CB的延長線于點F，連接DE，AF.（1）

判斷DE與AC之間的位置關系，并證明.解：（1）

DE∥AC.∵

AD是∠BAC的平分線，∴∠CAD＝∠BAD.∵

EF垂直平分AD，∴

AE＝DE.∴∠BAD＝∠EDA.∴∠CAD＝∠EDA.

∴

DE∥AC.（第3題）（2）

求證：∠C＝∠EAF.

（第3題）考點三等腰三角形的性質和判定典例3

（2022·溫州）如圖，BD是∠ABC的平分線，DE∥BC，交AB于點E.（1）

求證：∠EBD＝∠EDB.（2）

當AB＝AC時，請判斷CD與DE之間的數(shù)量關系，并說明理由.思路導引

（1）

利用角平分線的定義和平行線的性質可得結論.（2）

利用平行線的性質可得∠ADE＝∠AED，則AD＝AE，從而有CD＝BE.由（1），得∠EBD＝∠EDB，可知BE＝DE，等量代換即可.規(guī)范解答

（1）

∵

BD是∠ABC的平分線，∴∠CBD＝∠EBD.∵

DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB.∴∠EBD＝∠EDB.（2）

CD＝DE.理由：∵

AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∵

DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC.∴∠ADE＝∠AED.∴

AD＝AE.∴

AC－AD＝AB－AE，即CD＝BE.由（1），得∠EBD＝∠EDB，∴

BE＝DE.∴

CD＝DE.方法歸納等腰三角形中線段相等的證明思路

證明兩條線段相等時，如果直接證明比較困難，那么我們通常把其中的一條線段轉化成與另一條線段有公共端點的線段，然后通過證明等腰三角形得到它們相等，最后運用等量代換證得結論成立.?4.

（2022·合肥廬江期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，連接AD，∠ADB的平分線交AB于點F，則圖中等腰三角形的個數(shù)為（

B

）A.6B.5C.4D.3B5.

（2022·淮南期末）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝7，BD，CD分別平分∠ABC，∠ACB，過點D作直線平行于BC，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，則△AEF的周長為

13

?.

13

6.

（2022·桐城期末）在△ABC中，BA＝BC，點D在邊CB上，且BD＝AD＝AC.（1）

如圖①，∠B＝

36

?°，∠C＝

72

?°.

（2）

如圖②，M為線段BD上的點，過點M作直線MH⊥AD于點H，分別交直線AB，AC于點N，E.①

求證：△ANE是等腰三角形.36

72

解：①

∵

在△ADB中，AD＝BD，∠B＝36°，∴∠BAD＝36°.∵

在△ACD中，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝72°.∴∠CAD＝36°.∴∠BAD＝∠CAD.

∵

MH⊥AD，∴∠AHN＝∠AHE＝90°.∴∠AEN＝∠ANE＝54°，即△ANE是等腰三角形.②

CD＝BN＋CE.由①，易知AN＝AE.又∵

BA＝BC，BD＝AC，∴

BN＝AB－AN＝BC－AE，CE＝AE－AC＝AE－BD.∴

BN＋CE＝BC－BD＝CD，即CD＝BN＋CE.②

試寫出線段BN，CE，CD之間的數(shù)量關系，并加以證明.考點四等邊三角形的性質與判定典例4

（2022·南寧期中）如圖，△ABC，△CDE都是等邊三角形，AD，BE相交于點O，M，N分別是線段AD，BE的中點，連接CM，CN，MN.（1）

求證：AD＝BE.（2）

求∠DOE的度數(shù).（3）

求證：△MNC是等邊三角形.思路導引

（1）

根據(jù)等邊三角形性質得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，進而得出∠ACD＝∠BCE，證△ACD≌△BCE即可.（2）

根據(jù)全等求出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADE＋∠BED的值，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可.（3）

求出AM＝BN，根據(jù)“SAS”證△ACM≌△BCN，推出CM＝CN，求出∠NCM＝60°即可.

（2）

∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC.∵△DCE是等邊三角形，∴∠CED＝∠CDE＝60°.∴∠ADE＋∠BED＝∠ADC＋∠CDE＋∠BED＝∠BEC＋60°＋∠BED＝∠CED＋60°＝60°＋60°＝120°.∴∠DOE＝180°－（∠ADE＋∠BED）＝60°.

方法歸納等邊三角形的判定方法

（1）

若已知三邊關系，則一般選用定義法；（2）

若已知三角關系，則一般選用推論1；（3）

若已知三角形是等腰三角形，則一般選用推論2.?7.

（2022·銅陵期末）如圖，在等邊三角形ABC中，D是邊BC上不與兩端點重合的點，線段AD的垂直平分線分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，連接ED，F(xiàn)D.下列結論中，不一定正確的是（

C

）A.

EA＝EDB.∠EDF＝60°C.

DF⊥ACD.∠2＝2∠1（第7題）C8.

如圖，在等邊三角形ABC的邊BC上任取一點D，作∠ADE＝60°，DE交△ABC的外角∠ACF的平分線于點E，連接AE.如果按邊分類，那么△ADE是

等邊

?三角形.

等邊

9.

（2022·北海期中）已知△ABC是等邊三角形.（1）

如圖①，DE∥BC，分別交AB，AC于點D，E.求證：△ADE是等邊三角形.解：（1）

∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵

DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°.∴∠ADE＝∠AED＝∠A＝60°.∴△ADE是等邊三角形.（2）

如圖②，△ADE是等邊三角形，點B在ED的延長線上，連接CE，求出∠BEC的度數(shù)及線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關系，并說明理由.

考點五角平分線的性質與判定典例5

（2022·柳州期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，點F在AC上，F(xiàn)D＝DB.求證：（1）

CF＝EB.（2）

AB＝AF＋2EB.思路導引

（1）

根據(jù)角平分線的性質證明Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF＝EB.（2）

利用角平分線的性質證明Rt△ADC≌Rt△ADE，得AC＝AE，再將線段AB進行轉化.

方法歸納角平分線＋雙垂直的應用當條件中出現(xiàn)“角平分線＋雙垂直”時，?？紤]角平分線的性質，從而得到線段相等，這為證明三角形全等創(chuàng)造了條件，再通過證明三角形全等得到線段或角相等.?10.

如圖，P是∠AOB的平分線上的一點，過點P作PC∥OA交OB于點C，PD⊥OA于點D.（1）

求證：點C在線段OP的垂直平分線上.解：（1）

∵

P是∠AOB的平分線上的一點，∴∠BOP＝∠AOP.

∵

PC∥OA，∴∠CPO＝∠AOP.∴∠CPO＝∠BOP.∴

CP＝OC.∴

點C在線段OP的垂直平分線上.（2）

若∠AOB＝30°，OC＝6，求PD的長.

?1.

（2022·阜陽期中）如圖，在△ABC中，作邊AB的垂直平分線MN，分別與邊AB和邊BC交于點M和點N，作邊AC的垂直平分線PQ，分別與邊AC和邊BC交于點P和點Q，△AQN的周長為13，且QN＝2，則BC的長為（

B

）A.8B.9C.10D.11（第1題）B2.

（2022·蕪湖期中）如圖，A，B分別是∠NOP，∠MOP的平分線上的點，AB⊥OP于點E，BC⊥MN于點C，AD⊥MN于點D，則下列結論錯誤的是（

C

）A.

AD＋BC＝ABB.∠AOB＝90°C.

與∠CBO互余的角有2個D.

O是CD的中點（第2題）C3.

（2022·蚌埠期末）在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（－2，4），（4，2），P為x軸上一動點，當PA＋PB的值最小時，點P的坐標為

（2，0）

?.

（2，0）

4.

如圖，O是等邊三角形ABC內(nèi)一點，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，以OC為一邊向右作等邊三角形COD，連接AD.（第4題）（1）

當α＝150°時，按角分類，△AOD的形狀是

直角三角形

?.

（2）

當α＝

125°或110°或140°

?時，△AOD是等腰三角形.

直角三角形

125°或110°或140°

5.

如圖①所示為共頂點的△ABC和△AB'C'.若AB＝AB'，AC＝AC'，且∠BAC＋∠B'AC'＝180°，則稱△ABC與△AB'C'互為“頂補三角形”.（1）

如圖②，△ABC是等腰三角形，△ABE，△ACD是等腰直角三角形，連接DE.求證：△ABC與△ADE互為“頂補三角形”.解：（1