河北省秦皇島市新世紀(jì)高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年河北省秦皇島市新世紀(jì)高級中學(xué)高二（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.點(diǎn)(-2,3)到直線l：3x+4y+3=0A.2 B.95 C.85 2.已知雙曲線C：x2-A.y=13x B.y=±13.“今有城，下廣四丈，上廣二丈，高五丈，袤兩百丈，“這是我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》卷第五“商功”中的問題.意思為“現(xiàn)有城(如圖，等腰梯形的直棱柱體)，下底長4丈，上底長2丈，高5丈，縱長200丈(1丈=10尺)”，則該問題中“城”的體積等于(

)A.3×105立方尺 B.6×105立方尺 C.6×104.(文)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，則該橢圓的離心率為(

)A.33 B.12 C.5.圓C1：x2+y2=1與圓CA.1條 B.2條 C.3條 D.4條6.已知點(diǎn)F是拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)，P(x0A.2 B.4 C.6 D.87.雙曲線x29-y216=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線上，若A.85 B.165 C.4 8.已知直線l：3x+4y-11=0與橢圓C：x24+y2m2A.433 B.22 二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.方程x2+y2+2axA.-1 B.1 C.0 D.10.已知直線l：3x-yA.直線l的傾斜角是30°

B.過點(diǎn)(3,1)與直線l平行的直線是3x-y-2=0

C.直線3x-11.方程x24-k+y2A.曲線C可以是圓 B.若1<k<4，則曲線C為橢圓

C.曲線C可以表示拋物線 D.若曲線C為雙曲線，則k12.如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱A1DA.異面直線AC與BM所成角的余弦值為23

B.若△AC1P的面積為3，則動點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分

C.若點(diǎn)P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點(diǎn)P的軌跡為拋物線的一部分

D.過直線

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．14.已知直線l：3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y215.設(shè)P為橢圓x29+y24=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF16.設(shè)點(diǎn)P是曲線x24-y25=1右支上一動點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓x四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知△ABC頂點(diǎn)A(3,0)、B(-1,-3)、C(1,1)．

(Ⅰ)求BC邊上中線所在的直線方程；

(Ⅱ)求18.(本小題12分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為e=22且橢圓經(jīng)過點(diǎn)(2,-2)．

(1)求橢圓C19.(本小題12分)

已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)和B(5,-2)，且圓C關(guān)于直線2x+y=0對稱．

(1)求圓C的方程；

(2)過點(diǎn)D(-3,1)作直線l20.(本小題12分)

如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB的中點(diǎn)，E是C1C的中點(diǎn)，且AB=1，AA1=2．

21.(本小題12分)

已知雙曲線C的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，離心率為2，右頂點(diǎn)為(1,0)．

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過E22.(本小題12分)

已知拋物線D的頂點(diǎn)是橢圓x24+y23=1的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合．

(1)求拋物線D的方程；

(2)已知?jiǎng)又本€l過點(diǎn)P(4,0)，交拋物線D于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O為PQ中點(diǎn)，求證：∠AQP=∠BQP；

(3)是否存在垂直于答案和解析1.【答案】B

【解析】解：點(diǎn)(-2,3)到直線l：3x+4y+3=0的距離d=3×(-2)+4×3+39+16=2.【答案】D

【解析】解：雙曲線C：x2-y29=1，可得a=1，b=3，

所以漸近線方程為3x±y=0，即3.【答案】D

【解析】解：由題意，計(jì)算直四棱柱的底面積為S=12×(20+40)×50=1500(平方尺)；

因?yàn)橹彼睦庵母邽?00丈=2000尺，

所以問題中“城”的體積即直四棱柱的體積為1500×2000=3000000=3×106(立方尺)．

4.【答案】C

【解析】解：由題意，∵橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形

∴3b=c，3b2=c2，

∵a2=b2+c2=43c2

∴e=5.【答案】C

【解析】解：由圓C1：x2+y2=1與圓C2：x2+y2-6y+5=0，

可得圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-3)2=4，圓心坐標(biāo)為(0,3)，半徑為2．

圓C16.【答案】C

【解析】解：由拋物線的定義可知，|PF|=1+p2=4，所以p=6．

故選：7.【答案】B

【解析】解：設(shè)點(diǎn)P(x,y)，

由雙曲線x29-y216=1可知F1(-5,0)、F2(5,0)，

∵PF1⊥PF2，

∴y-0x+5?y-0x-5=-1，

∴x2+y2=25，8.【答案】B

【解析】解：如圖所示，

已知直線l：3x+4y-11=0與橢圓C：x24+y2m2=1交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(1,2)恰為弦AB的中點(diǎn)，

依題意，直線l的斜率為-34，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

則y1-y2x1-x2=-9.【答案】AC

【解析】解：方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0，即為

(x+10.【答案】BC

【解析】解：直線l：3x-y+1=0，

對于A：直線的斜率tanθ=3，由于θ∈[0,π)，故θ=60°，故A錯(cuò)誤；

對于B：設(shè)過點(diǎn)(3,1)且與直線l平行的直線為3x-y+t=0，由于點(diǎn)(3,1)滿足該直線，故t=-2；

所以所求的直線方程為3x-y-2=0，故B正確；

對于C：由于直線l：3x11.【答案】AD

【解析】解：對于A，若曲線C是圓，則4-k=k-1>0，解得k=52，故A正確；

對于B，若曲線C為橢圓，則4-k>0k-1>04-k≠k-1，解得1<k<4且k≠52，故B錯(cuò)誤；

對于C，顯然不可能為拋物線，故12.【答案】BCD

【解析】解：如圖所示，以D為原點(diǎn)，以DA、DC、DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，M(1,0,2)，可得AC=(-2,2,0),BM=(-1,-2,2)，

所以cos<AC,BM>=|AC?BM||AC|?|BM|=28?9=26，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

設(shè)P到AC1的距離為h，則12|AC1|?h=3，解得h=1，所以點(diǎn)P位于以AC1為中軸線，半徑為1的圓柱面上，

又因?yàn)镻位于平面BCC1B1上，所以P位于平面BCC1B1與圓柱面的交線上，

根據(jù)圓柱面與平面的位置關(guān)系，可得P的軌跡為橢圓的一部分，故B項(xiàng)正確；

由正方體的性質(zhì)，可知點(diǎn)P到直線C1D1的距離等于|PC1|，即P到點(diǎn)C1與P到直線BC的距離相等，

根據(jù)拋物線的定義，則動點(diǎn)P的軌跡為拋物線的一部分，故C項(xiàng)正確；

取AD中點(diǎn)H，則易得MH=2，且MH⊥平面ABCD，

可知當(dāng)HN與平面α和底面ABCD的交線垂直時(shí)，過直線MN的平面α與面ABCD所成角最小，

因此HN⊥AC，且平面13.【答案】y2【解析】解：由題意，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0)，準(zhǔn)線方程是x=-p2，

∵拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2，

∴p2=2，解得p=4，

故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y214.【答案】10【解析】解：圓x2+y2-2y-4=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-1)2=5，

∴圓心C(0,1)，r=5，

又∵直線l：315.【答案】4

【解析】解：由橢圓的方程可知：|PF1|+|PF2|=2a=6，b=2，c=5，

由|PF1|：|PF2|=2：1，

則|PF1|=4，|PF2|=2，丨F1F2丨=25，

由|PF116.【答案】8

【解析】解：由雙曲線的方程可得a=2，b=5，則c=a2+c2=4+5=3，

設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)F'，則F(3,0)，

圓x2+(y-4)2=1的圓心C(0,4)，半徑r=1，

由題意可得|PF|+|PQ|=2a+|PF'|+|PQ|≥4+|17.【答案】解：(I)設(shè)BC的中點(diǎn)為D，

則D(0,-1)，

∵A(3,0)，

∴kAD=-1-00-3=13，

故BC邊上中線所在的直線方程為y=13x-1，即x-3【解析】(I)先求出BC的中點(diǎn)，再結(jié)合直線的斜率公式，以及點(diǎn)斜式方程，即可求解．

(II18.【答案】解：(1)由題意可得：e=ca=22,4a2+2b2=1,a2=b2+c2，

解得a=22,b=c=2，

∴橢圓C的方程為x2【解析】(1)根據(jù)橢圓的離心率和所過點(diǎn)求得a，b，c，從而求得橢圓C的方程．

(2)求得直線l的方程并與橢圓方程聯(lián)立，求得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解．

本題考查了橢圓的性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．19.【答案】解：(1)已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)和B(5,-2)，

則線段AB的垂直平分線方程為：y=x-3，即x-y-3=0，

又圓心在直線2x+y=0上，

聯(lián)立2x+y=0x-y-3=0，解得x=1y=-2，

所以其圓心為C(1,-2)，R=|AC|=4，

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-1)2+(y【解析】(1)先求得線段AB的垂直平分線方程，與2x+y=0聯(lián)立，求得圓心即可；

(2)若直線l的斜率存在，方程可設(shè)為y=20.【答案】解：(1)證明：取A1B的中點(diǎn)F，連結(jié)EF、DF，

∵D、F分別是AB，A1B的中點(diǎn)，∴DF-//12A1A，

∵A1A-//C1C，E是C1C的中點(diǎn)，∴DF-//EC，

∴四邊形CDEF是平行四邊形，∴CD-//EF，

∵CD?平面A1EB，EF?平面A1EB，

∴CD/?/平面A1EB．

(2)解：∵△ABC是正三角形，D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，

∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，

∴A1A⊥CD，

由(1)知DF//A1A，∴CD、BD、DF兩兩垂直，

∴以D為原點(diǎn)，DB、DC、DF所在直線分別為x，y，【解析】(1)取A1B的中點(diǎn)F，連結(jié)EF、DF，推導(dǎo)出四邊形CDEF是平行四邊形，從而CD-//EF，由此能證明CD/?/平面A1EB．

(2)推導(dǎo)出CD、BD、DF兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，DB、DC、DF所在直線分別為x，21.【答案】解：(1)由離心率e=ca=2，又c2=a2+b2，所以b2=3a2，

又右頂點(diǎn)為(1,0)，所以a2=1，所以b2=3，

故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y23=1．

(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+2，設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y【解析】(1)根據(jù)題意建立a，b，c的方程組即可求解；

(2)利用韋達(dá)定理確定k2的取值范圍，再建立EM?EN22.【答案】(本小題滿分14分)

(1)解：由題意，可設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0)．

由a2-b2=4-3=1，得c=1．

∴拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，∴p=2．

∴拋物線D的方程為y2=4x.…(4分)

(2)證明：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

由于O