2023年福建省龍巖市上杭縣中考模擬數學試題（含答案）

2023年福建省龍巖市上杭縣中考模擬數學試題（一）和答案詳細解析（題后）

一、單選題

1.實數2023的相反數是()

A.B._1_c.D.2023

20232023-2023

2.五個大小相同的正方體塔成的幾何體如圖所示，其左視圖是（)

正面

D大

3.我國神舟十五號載人飛船于2022年II月30日，在距地面約39000（泮的軌道上與中國空間站天和核心艙交會對接成功，將

390000用科學記數法表示應為（）

A-3.9*104B-39x104

4.下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）

5.下列各運算中，計算正確的是（）

22

A?（x-y）=x--y3x-2x=6x

C（一.口）2=甘D-o6+a2=q3

6.如表是某公司員工月收入的資料:

月收入/元4500018000|1000055005000340033001000

人數11361111

能夠反映該公司全體員工月收入水平的統(tǒng)計量是（）

A.眾數和中位數B.平均數和中位數C.平均數和眾數D.平均數和方差

7.一次函數1.=履_勘?的圖象經過點心且.r隨'的增大而增大，則點，的坐標可以是（）

A-（1,1）B.（-1,3）C.（0,-1）D-(3.-1)

8.中國清代算書《御制數理精蘊》中有這樣一題：“馬四匹、牛六頭，共價四十八兩（，兩'為我國古代貨幣單位）：馬二匹、牛

五頭，共價三十八兩,閥馬、牛各價幾何？“設馬每匹x兩，牛每頭y兩，根據題意可列方程組為（）

A(4x+6y=38B（4.v+6v=48?J4A'+6y=48口J4y+6t=48

，Uv+5v=38*（5x+2y=38*（2y+5x=38

|2v+5y=48

9.如圖.在中，=AC=2f邊”的中點，E是邊sc上一點?若平分的周長，則力E的長為

（）

B?4D.10

3

10.二次函數y=/+znx-〃的對稱軸為x=2.若關于x的一元二次方程/+儂-〃=。在-iv》V6的范圍內有實數解，貝!）〃的取值

范圍是（）

A.-4<n<5B.n>-4C.-4<w<12D.5V，7V12

二、填空題

11.不等式組卜+2>°的解集是

lx-340-

12.正〃邊形的一個外角是60。，則邊數〃=.

13.如圖，已知點N在反比例函數「與內土。）的圖象上，過點/作/BJ.J釉于點區(qū)A048的面積是2-貝必的值是

14.已知w入【是方程2丫2-太-2=0的兩根，則卬+為2=-

15.在數學活動課上，老師說有人根據如下的證明過程，得到力=2”的結論.

設。、6為正數，且。=6.

?；a=b,

:?ab=8,①

:?ab-￡=?-&,②

?.aCb-a）=（6+a）（b-a）.③

?.a=b+a.④

.'.67=2（7.⑤

.'.1=2.⑥

大家經過認真討論，發(fā)現(xiàn)上述證明過程中從某一步開始出現(xiàn)錯誤，這一步是（填入編號），造成錯誤的原因是.

16.如圖，正方形,出co的邊長為。，點E在邊上運動（不與點/、8重合），Z_DAM=45^點戶在射線4W上，且.=正.

，C尸與/力相交于點G連接EC、EF、EG-則下列結論：①/ECF-45°；②△/EG的周長為。；③8E2+DG」EG；④AE4產

的面積的最大值是（加；⑤當8E:.4E=I:2時，G是線段4。的中點.其中正確的結論是.（填寫序號）

M

三、解答題

17.計算：

18.己知：如圖，點E,A,C在同一條直線上，AB〃CD,ABCE,AC=CD.

求證：BC=ED.

19.先化簡，再求值:1+A.等，其“

20.如圖，已知,A/4N，8為邊4”上一點.

N

4上----------------M

(1)尺規(guī)作圖(保留作圖痕跡，不寫作法)：

①過點8作BC1AM交AN邊于點C；

②以/C為邊作4/CZ)=￡，，且交于點。?

(2)若/D=5,8/):3,請利用(1)中所作的圖形求sin4/的值?

21.6月5日是世界環(huán)境日.某校舉行了環(huán)保知識競賽，從全校學生中隨機抽取了〃名學生的成績進行分析，并依據分析結果繪制

了不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖(如下圖所示).

學生成績分布統(tǒng)計表

請根據以上圖表信息，解答下列問題:

(1)填空：n—___,a=；

(2)請補全頻數分布直方圖；

(3)求這〃名學生成績的平均分；

(4)從成績在75.59<80.5和95.5%<100.5的學生中任選兩名學生.請用列表法或畫樹狀圖的方法，求選取的學生成績在

75.5方〈80.5和95.5夕<100.5中各一名的概率.

22.如圖，四邊形/BO是的內接四邊形，/c為直徑，曲_幻,DEJ.8C，垂足為￡

(1)判斷直線石力與彈位置關系，并說明理由;

(2)若CE=3，/C=12，求陰影部分的面積.

23.某商店銷售一種商品，經市場調查發(fā)現(xiàn)：該商品的周銷售量y(件)是售價x(元/件)的一次函數，其售價、周銷售量、周

銷售利潤”，(元)的三組對應值如下表：

售價X(元/件)506070

周銷售量了(件)806040

周銷售利潤卬(元)80012001200

注：周銷售利潤=周銷售量x(售價-進價)

(1)寫出y關于x的函數解析式：；

(2)求該商品的進價和周銷售的最大利潤：

(3)由于某種原因，該商品進價提高了狀元/件，物價部門規(guī)定該商品售價不得超過60元/件，該商店在今后的銷售中,

周銷售量與售價仍然滿足(1)中的函數關系.若周銷售最大利潤是1080元，求機的值.

24.綜合與實踐：過四邊形48CZ)的頂點”作射線/M，尸為射線/切上一點，連接。戶將/整點4順時針方向旋轉至40,記旋

轉角zPAQ=a，連接80。

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1,數學興趣小組探究發(fā)現(xiàn)，如果四邊形/8CZ)是正方形，且a=90°，無論點尸在何處，總有80=力尸，請證

明這個結論.

【類比遷移】如圖2,如果四邊形/8CZ)是菱形，zD.4B=a=60°＞/.MAD-15°＞連接當P0180，/8=后+/時，

求，爐的長.

【施展應用】如圖3,如果四邊形/8CZ)是矩形，/D=3，JB-4'4”平分ND/C，a-90°?在射線上截取/心使得

AR=j.4P-當AP8R是直角三角形時，請直接寫出的長.

25.在平面直角坐標系皿r中，己知拋物線v=ax2+及?+次》軸于4(-1.0)，8(4,0)兩點，與y軸交于點0

(2)如圖1,力為直線8c上方拋物線上一動點，連接力力，交8c于Q求靠的最大值；

(3)如圖2,連接/c，8c過點。作直線川8。點尸、。分別為直線/和拋城線上的點.試探究：在第四象限是否存在這樣的

點尸、Q，使ABP0-A/CB-若存在，請直接寫出所有符合條件的點/＞的坐標；若不存在，請說明理由?

答案詳解

【答案】C

【分析】根據相反數的定義求解即可，只有符號不同的兩個數互為相反數.

【詳解】實數2023的相反數是-2023.

嬲：C.

【點")本題考查了相反數的定義，掌握相反數的定義是解題的關鍵.

【答案】C

【分析】根據從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案.

［詳解］解：從左邊看第一層有兩個小正方形，第二層右邊有一小正方形,

雌：C.

本題考杳了簡單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖.

【答案】D

【分析】科學記數法的表示形式為ax1（『的形式，其中1￡同＜10,"為整數.確定"的值時，要看把原數變成《時，小數點移動了多少

位，”的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值＞1時，”是正數；當原數的絕對值“時，”是負數.

【詳解】解：390000=3.9x105

雌：D.

【點禁】本題考查了科學記數法，掌握科學記數法的方法是解題關鍵.

【答案】A

【分析】根據中心對稱圖形的定義（把一個圖形繞某一點旋轉1X0。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做

中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心）逐項判斷即可得.

【詳解】解:A.是中心對稱圖形，故選項A符合題意；

B.不是中心對稱圖形，故選項B不符合題意；

C.不是中心對稱圖形，故選項C不符合題意；

D.不是中心對稱圖形，故選項D不符合題意；

蝴：A.

【點禁】本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合.

【答案】C

【分桁】分別根據完全平方公式，單項式乘以單項式，積的乘方和同底數幕的除法運算逐項進行判斷即可.

【詳解】A.（x-.v）2=x2-2盯，+尸，計算錯誤，不符合題意；

B,3.r-2x=6A-.計算錯誤，不符合題意；

C、計算正確，符合題意；

D、/+加=04,計算錯誤，不符合題意；

故選：C.

【點『1）本題考查了完全平方公式，單項式乘以單項式，積的乘方和同底數幕的除法運算，熟練掌握各個運算法則是解題的關鍵.

6.

【答案】A

【分析】結合表格觸差異較大分析即可得解

【詳解】：這組數據中有差異較大的雌，求平均數會導致平均數較大，

.不J用中位數與眾數可以更好地反映這組甥§的集中趨勢.

故選擇：A

【點第】本題考查了眾數，中位數，解超的關鍵是分析數據特征，理解并掌握中位數及眾數的定義.

7.

【答案】c

【分析】先根據一次函數的解析式可以判斷其必過點(2.0),即團居一次因數是遞增函數，將點(2.0四選項各點逐一比較即可得解.

【詳解】-y-kx-2k-k(x-2),

.可知一次函數必經過點(2.0),

A.K2,1>0,此時不滿足H魄v的增大而增大，故A項錯誤,不符合題意；

B.-K2,3>0,此時不滿足,隨'的增大而增大，故B項錯誤,不符合題意；

C.0<2,-K0,此時滿足?倍t的增大而增大，故C項正確，符合題意；

D.3>2,-K0,此時不滿足隨'的增大而增大，故D項錯誤.不符合題意；

9C.

【點禁】本題考查了一次函數的增減性，找到一次函數經過定點(2。是解答本題關鍵.

【答案】B

【分析)設馬每匹、兩，牛每頭「兩，由“馬四匹、牛六頭，共價四十八兩”可得4x+6,r=48,木弱“馬二匹、牛五頭，共價三十八兩，”可

得2L5J，=38,即可求解.

【詳闞解：設馬每匹兩牛碼兩根據題意可得

(4.V+6F=48

12K+5)，=38

雌B

【點層】本題考直了列二元一次方程組，理解題意列出方程組是解假的關鍵.

【空室】B

【分析】延長8C到點尸，使。尸-G4,連接XF,過點。作CH,月尸于點“，牛幽OE平分A.48。的周長，。為8。中點，推出

AC+CE=BE,得到EF「8￡,推出是A/8F的中腐.得到。E〃月F，DE~\AF,根據三角形外角性斷等邊對等

角，ZJCB-60°,CF-CA^2,得到NF=NC4--30。，推出一本才仁一㈠，推出/尸一2月，-2￡，得到

DEf.

【詳解】解：延長8C到點尸，使。尸=。4連接』廣，過點。作CH1.月廣于點H,

???DE平分AM3。的周長，且。為8c中點，

:.AC+CE=BE

:.EF=BE,

.??￡)￡是A48尸的中媵.

t.DEMF.DE-\AF

vZF+/.CAH^Z^Cfi=60°,CF=C4=2.

zF=乙04,=30°,

，XH=￡/C=0，

："F=2AH=2日

.-.DE=3

雌：B.

【點喜】本殷主要考查了三角形中位線，等腰三角形，三角形外角，含30。角的直角三角形，解決問題的關鍵是添加輔助線，熟練掌握

三角形中位線的判定和性質，等腰三角形性質，三角形外角性質，含30。角的直角三角形邊的性質.

【答案】C

【分析】根據對稱軸求出"帕值，從而得到.V--I、6時的函數尸二』值再根據一元二次方程M+心-〃-誨-1<尸(例范國內有

好相當于.V「城+必與yf在'的范圍內有交點解答.

【詳解】樣.拋物線的對稱軸x=-號=2,

則方程9+，，g，=0,即14一"=0的解相當于y=xJv與直線r=，，的交點的橫坐標，

【方程=。在-1<x<6的范圍內有實數解.

..當r=-l時，y-1+4=5,

當x=6時，_y=36-24=12,

又二v=/4=(x-2)2-4,

，在-l<x<6的范圍，-4<v<12,

的取值范圍是"￡“<12,

嬲：C.

【點本題主要考查拋物線與、軸的交點，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵.難點是把一元二次方程V+加一"-(底

-\<x<6的范圍內有實數解,轉化為函數.Vr2+心與直線L〃在一I<X<6的范圍內有交點的問題進行解答.

11.

【級】-2<x<3

【分析】分別求出兩個不等式的解集，再找出兩個解集的公共部分即可得不等式組的解集.

【詳闞產法

卜-3?0②

解不等式①得x>-2,

解不等式②得.v￡3,

故不等式的解集為-2<xW3.

故答案為：-2<xS3

【點睛】本踵考查解一元一次不等式組，求不等式組的解集，應注意：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了.

正確求出每個不等式的解集是解題關鍵.

12.

【答案】6

【分析】利用正多邊形的外角和即可求出答案.

【詳解】360°+60°=6,

故答案為：6.

【點錄】本翅主要考查了多邊形的外角和定理.掌握任何一個多邊形的外角和都是360。是關鍵.

13.

圖】4

【分析】根據，OAB的面積等于2即可得到線段OB與線段AB的乘積，進而得到A點橫坐標與縱坐標的乘積，進而求出俏.

【詳闞解：設點”的坐標為（％5,ABly.

-

由題意可知:SAOARTOB-AB-^y（?.Vj2,

叫「"4，

又點4在反比例函數圖像上，

故有人=."，）=4.

故答案為：4.

【點注】本題考查了反比例函數系數k的幾何意義，三角形的面積公式等，熟練掌握反比例函數的圖形和性質是解決此類題的關鍵.

【答案】y

【分析】利用根與系數的關系得到$+.9=*,$.巧=-1,再利用完全平方公式進行計算即可.

【詳解】解：根據題意得\］打2-￥，x&=-I.

-%V|2+-（町+4/-2A?卜巧

=（￥「-2x（-1）

_17-

T-

故答案為：孑.

【點胤本題考直了根與系數的關系：若“，4是一元二次方程遍+灰+。-0（"0）的兩根，則有一+二-->1,w廣務

15.

【答案】④等式兩邊除以零，無意義.

【分析】根據等式的性質：等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不為零的整式，結果不變，可得答案

【詳解】解：由a=b,得a-b=O.

第④步中兩邊都除以（a-b）無意義.

故答案為：④；等式兩邊除以零，無意義.

【點露】本題考查了等式的性質，等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不為零的整式，結果不變.

【答案】①④⑤

【分析】①正確.如圖1中，在*'上截取環(huán)連接￡〃.證明AEHC（SAS）即可解決司題.②③錯誤.如圖2中，延

長力。到"使得DH=BE,則AC8￡WACO〃（SAS）,再證明AGC￡三AGC〃（SAS）即可睇決問題.④正確.設

BE-x.則/￡-°-1.4尸-石皿構建二次函數，利用二次函數的性質解決最值問題.⑤正確.當8￡:.4￡-1:2時，設

DG-x.則=+利用勾股定理構建方程可得v=O.W即可解決問題.

【詳制解：如圖I中，在*'上截取8〃-連接EH.

BE=BH、乙EBH=900,

NF=?BE，

AF-EH.

'LDAM-乙EHB-45。,乙BADn

^LFAE-，E〃C=I35。，

.BA-BCBE=BH,

AE-HC.

.△FAE三A￡//C（SAS）,

.EF-EC、5EF=LECB.

乙ECH+乙CEB-900,

?￡.4EF+LCEB-9。。,

ZF￡C-9OC,

'Z.ECF-N￡TC=45。，故①正確，

圖1

如圖2中，延長.4。到〃，使得?！ā狟E.則ACBE三ACD//(SAS),

，￡ECB=LDCH.

LECH=48c0=90。，

ZECG=乙GCH=45°,

CG=CG,CE=CH,

.AGCEWAGC〃(SAS),

EG=GH,

■:GH=DG+DHQH-BE,

EG-BE+DG,故③^誤,

A.4￡G的WK-AE^EG+AG-AE-AH=AD+DH+AE-AE+EB-AD-AB-AD-2a.故@

設BE=x,則.4E=。-x,.4F=隹t，

"^MEF=5?(a--V)*.r=-,.H+ilax5(x2-ar+^a2-~-4(-v-5a)+^a-,

?—40.

."T"時，A/EF的面積的最大值為*R.故④正確，

當8E:.4￡T:2時，設。G-x,則EG=x+#a,

在RtA/lEG中，則有(x+￡a)=(a-x)*+(^a),

解得「號，

AG^GD,即。是線段/。的中點，故⑤正確，

故答案為：①④⑤.

【點注】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，二次函數的應用等知識，熟練掌握并靈活運用是解題的關鍵.

【答案】-班

【分析】先計算負整數指數靠、化簡二次根式、去絕對值，再進行加減計算即可.

【詳解】解：原式：-2-邛+2-下

=-玷

【點m】本題考查二次根式的混合運算，涉及負整數指數幕.化簡二次根式和去絕對值.掌握二次根式的混合運算法則是解題關鍵.

【答案】見解析

【分析】首先由ABUCD,根據平行線的性質可得/BACMECD,再由條件AB=CE,AC=CD可證出〃BAC和-ECD全等，再根據全等三角

形對應邊相等證出CB=ED.

【洋解】證明：-.ABUCD,

.'.zBAC=zECD,

.在，BAC和AECD中，

AB=ECfZBAC=ZECD,AC=CD,

.“BAgAECD(SAS).

,CB=ED.

【點蹈】本題考查了平行線的性質，全等三角形的判定和性質.

19.

【標】品G

【分析】先將括號里面的進行通分計算，除法改寫為乘法，各個分子分母進行因式分解，再進行化簡，最后將.、的值代入進行計算即可.

【詳闞解：筋一苦言

AH-I3(.v-2)

E(x+|)2

當l/t時，原式「石七丁瓦

【點污】本題主要考查了分式的化簡求值及二次根式的化簡，解題的關鍵是掌握分式混合運算的運算法則和運算順序.

20.

【答室】(I)①見解析；②見解析

⑵6

T

【分析】(1)①根局乍垂線的方法進行畫圖即可；②根據線段垂直平分線的作法畫圖即可.

(2)解直角三角形求出8c..4C,可得結論.

【詳解】(1)①如圖，直線8c即為所求作.

②如圖，射線CD即為所求作.

(2)由作圖可知，EF垂直平分線段HC,

-DA=DC-5,

BD=3,8cL90。，

BC^yjcb2-BD^-4.AB-AD+BD-S.

在RtA48C中，AC^^BC2+AB2+-4^51

[--]本題考查作圖-基本作圖、勾股定理、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常

考題型.

【答案】(1)40,0.25

(2)見解析

(3)88.125分

(4)圖表見解析，宮

【分析】(1)根據'瀕率=頻數-總數”和頻率之和為1可得答案；

(2)用總人數減去其他組的人數即為80.5到85.5組人數，即可補全頻數分布直方圖;

(3)利用平均數的計算公式計算即可；

(4)列出樹狀圖即可求出概率

【詳解】⑴解：由圖表可知："-2+0.05=40,a=40-2-1-11-2-0.25

(2)解:由⑴可知，80S到85.5組人數為40-2-15-11-2=10(人)，

(3)解：^)(2x78+10x83+15x88+11x93+2*98)-88.125(分)

(4)解：用必表示75.5人＜80.5中的兩名學生，用片,々表示95.5點＜100.5中的兩名學生，畫樹狀圖，得

AiAiBiBi

AiBiBiAiB\BiAiA2BiA\A2Bi

由上圖可知，所有結果可能性共12種，而每一種結果的可能性是一樣的，其中每一組各有一名學生被選到有8種.

?.每一組各有一名學生被選到的概率為備=5-

【點禁】本題主要考查本題考查讀頻數分布直方圖，求平均數，利用樹狀圖求概率，掌握相關的概念以及方法是解題的關鍵.

22.

【答案】(1)見解析

⑵6;r-94

【分析】(1)連結如圖，根據圓周角定理，由分心-彼得到/8.4Q-LACD,再根據圓內接四邊形的性質得

LDCE=BAD,所以N/CO-Z.DCE；利用內錯角相等證明0cli8C,而。￡18C,則。。J.OE,于是根據切線的判

定定理可得為的切線；

(2)作OHJ.8C于"易得四邊形。。E〃為矩形，所以O0-E//-6,則C7/-HE-CE-3,于是有z.=30。，得

到zCOD-60%然后根據扇形面積公式、等邊三角形的面積公式和陰影部分的面積=S扇形進行計算即可.

【詳解】(1)直線E。與相切.

理由如下：

連結”。，如圖，rZiB-怒，

**?Z.BAD-Z.A(JD?

???ZDCE+Z.DCB-180°,ZBCD^rABAD-180°,

NDCE=/BAD

/.乙ACD=CDCE.

vOC-OD.

:.LOCD-LODC,

而4or。-Z.DCE,

??.Z.DCE-LODC,

^OD\\BC

-DEIBC.

IODIDE,

??.￡)￡為G)O的切線；

(2)作OHIBC于兄

又DE1BC,OD1DE,

則四邊形OOE”為矩形，

：?OD=EH.

?:CE=3.4C=12,

：.OC=OD=6,

:?CH=HE-CE=6-3=3.

在RlAO〃C中，VOC-6,CH-3.4OH-90。,乙HOC：3。。,

，?.ZCOD-60°,

陰影部分的面積rS扇形0c［廠5人”。

_6()?乃?6°z2

=-3604-*6

=6^-9^3?

【點⑴本題考宜了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某

點，連接圓心與這點(即為半徑)，再證垂直即可.也考直了扇形面積的計算.

23.

【答案】(l)v--2V+180

(2)售價為65元件時，周銷售利潤最大，為1250元

(3)/n=2

【分析】(1)依題意設,V-AX+"解方程組即可得到結論；

(2)根據利潤=售價-進價，周銷售利潤=周銷售量>(售價-進價)列出函數關系式，根據性質解答即可;

(3)利用二次函數的性質解答即可.

【詳解】(1)解：設，與'的函數關系式為嚴打+〃，將(50,80),(60,60)分別代入得，

1504十加80?iaM=-2

(60A*7)=60'80'

7與用)函數關系式是v=-Zv+180;

故答案為：.v=-2r+l?0;

(2)解：設進價為。元，由售價50元時，周銷售量為S0件，周銷售利潤為800元，得

80(50-fl)-X00,

解得：a=40

即該商品的進價為40元件；

fife?意有(-2r+180)(.v-40)=-2x2+260.v-7200---2(.r-65)2+1250

----2<0,

拋物線開口向下，

，當X-65時，，，有最大值為1250,

即售價為65元件時，周銷售利潤最大，為1250元.

(3)解：意有ir=(-2v-180)(x-40-/n)=-2r-+(260+2in).v-7200-180m,

-m>0i

.對磷「當位>65,

,,-2<0,

VA-<60

隨珀勺增大而增大，

'?當.v-60時，“有最大值(-2x60+180)(60-40-??/)—1080,

-'in-2.

【點六】本題考查了二次函數在實際生活中的應用，熟練掌握題目中的等量關系是解答本題的關鍵.

【答案】探究發(fā)現(xiàn)：見解析；類比遷移：2;拓展應用：羋或印

【分桁】探究發(fā)現(xiàn)：用正方形性質和旋轉變換證明A.4OPWA480(SAS),即可證得結論；

類比遷移：如圖2,過點N乍?HJ.48于點“，連接8P,先證明A4￡)e￡AzlB0(SAS),可得80-。尸，Z.APD-LAQB

,再證明：A.4PQ是等邊三角形，A.4P"是等腰直角三角形，A8P0是等候直角三角形，利用解直角三角形即可求得答

案；

拓展應用：分三種情況討論：①當48KP-90。時，②當/P8R-9(T時，③當48PR-90。時，分別求出的長即可.

【詳解】探究發(fā)現(xiàn)：證明：如圖I,；四邊形/8C。是正方形，

LD.4P+ZBJ.W-900,

vZ40=90。,

Z.BAO+484M=90°,

:.LDAP-zBAQ,

.?將.，儼繞點，順時針方向旋轉至/。，

：.AP-AQ,

??.A.4OPWA/180(SAS),

：.BQ-DP.

類比遷移：解：如圖2,過點N乍尸"±.48于點兒連接8P,

1,四邊形/8C。是菱形，

AD^AB,

由旋轉得：AP-AQ.

%-/.DAB-a-600,即乙。彳8一，R4。-60。，

??.ZD.4P+LBAM-60°,，8/0+ZBAM=60。，

??.LDAP^乙BAQ,

:.A.4OPWA.480(SAS),

??.BQ-DP,LAPD-LAQB,

VAP^AQ.，/M0=6O。，

:，△.4P。是等邊三角形，

Z.40P=6O。,

“018。

???480Ph90。，

ALAQB=△40P+，80P=6O。+90。=150°,

??.乙APD-LAQB-150°,

??.ZDP.W=180°-Z.APD-1800—150°「30°,

vLMAD-^15°,

??.LADP-乙DPM-ZA/JD=3O°-15。=15。，

???Z.ADP=ZMAD,

:.AP=DP,

?,.AQ-BQ-PQ-AP,

??.￡ABQ=LBAQ-，同力。=15°,

??.LPAH-LPAQ-4840—60。-15°—45°,

-PHLAB.

???乙AHP=ZB//P-900,

A△.4P〃是等腰直角三角形，

在

：.AH^PH-AP^45Q-\AP'

-BQ-PQ.Z.尸08-90。，

???A是等腰直角三角形.

?INPBQ=45。,

???乙PBH=LPBQ-4力80—45。-15°—30°,

B廠

PHr

ABH=lanLPBH~tan30°一~TAP

rrR.r

vzvov，十

.??AB-4H+BH=*AP十?AP-"24P’

,：AB-示一0，

.?.與￡日后+亞，

.,.AP-2\

拓展應用：解：①當48RP=9(r時，如圖3,連接OP,PQ,過點B作8EJ.X。于點E,

設J.M交C。于點￡過點F作尸GL4C于點G,

.「四邊形」18co是矩形，

；.Z.84W+Z,。月尸=90°,ZJDC=900.

vZBAM-*-zB.4/?-90°,

.%￡DAPz.BAR,

,?AD—3tAB~4?

.AD3

f不

%,AR-

??.AADPsAABR,

；.佛-普T，即8R=§DP,

???4M平分iD4C,FDJLAD.FGJLAC,

:.FD=FG,

在RtA/CD中，AC~^ADr^CDr-y32+42-5<

AsinZACD-4^--1?

v_sinZ.4CD=i,

**CF亨

,:DF+CF=CD=4,

ADF=5,CF=J,

在RlAADF^P,=J/D2+DF?=b+(g)-

7Z.BAR=LDAP,LAEB=ZJDF-900,

AAAEB^AADF.

8。4J5

??.力￡>+'8￡=+'

???乙BRP-9。。,

??.乙ARP+/法-90。，

???Z.ARP+Z..4PR=90。，

??.LBRE=LAPR,

:.tanLBRE_tanZAPR.

.HE_AR_4

5-f

??瓦7T3

:?FR=ARE-2艾亞一生，

vAR+ER-AE,

②當乙P8R-90。時，如圖4,過點Pf乍PGJ..4。于點G,PH上4B于點訊

???￡GAH=LAGP-ZJ/7P-900,

.?四邊形/G/7/是矩形，

Js2J5

:.AH-PGAP，PH-AG-^AP'

一行

???BH=AB-AH=4-^AP'

:.BP2=PH2+B心［半斗（4-￡.4尸|-/尸2-羋.40+|6'

SRtAQPG中,0P2=￡X;2+PG2=Q-羋"）+倬/尸）=^--^-^+9,

：.BR2-^DP2-^AP2-^J-AP+\6,

SERtA/lPH中，P^-A^+Al^^Al^^^Apf-^AP2'

在RIAP8R中，PR2-^BP2+BR2'

:.^AP2-AP2-^J-AP+\6+^AP2-^-AP+\6'

解得：』尸「￥；

③當LBPR-90。時，

由②知：8解=普"2-^^.4尸+16"爐一普4產，BP?-/產-畛”+16,

???尸解+3產=8科

■■■^AP2+AP2-^-AP+

解得：/p-0或--羋，均不符合題意；

綜上所述，”的長為更或座.

411

【點建】本題考查了正方形.菱形、矩形的性質，直角三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形、等腰直角

三角形的判定和性質，解直角三角形，相似三角形的判定與性質，勾股定理，采用分類討論的思想，作出輔助線是解決本題的

25.

[(I)V-----4-V2+5V+

【分析】(1)用待定系數法求出函數解析式即可；

(2)構造出A.4GE?△/)￡〃，可得唯一竽，而。￡和.46都可以用含自變量的式子表示，最后用二次函數最大值的方法

求值.

(3)先發(fā)現(xiàn)A.43「是兩直角邊比為2:1的直角三角形，由&BPQ-AACB,構造出A8。。，表示出。點的坐標，代入解析

式求解即可.

【詳解】(I)分別將,4(T.0),8(4,0)代入v=av2+/n+2中得

10=a-/)+2

I。二?2'

a=-5

解得：