高一數(shù)學(xué)必修四線性回歸分析知識(shí)點(diǎn)

高一數(shù)學(xué)必修四線性回歸分析知識(shí)點(diǎn)【導(dǎo)語(yǔ)】有時(shí)候，灑脫一點(diǎn)，眼前便柳暗花明;寬容一點(diǎn)，心中便海闊天空。身邊的世界往往比我們想象的要睿智與寬容。心存感激，永不放棄!即使是在最猛烈的風(fēng)雨中，我們也要有抬起頭，直面前方的勇氣。因?yàn)檎?qǐng)相信：任何一次苦難的經(jīng)歷，只要不是毀滅，就是財(cái)富!無(wú)憂考網(wǎng)高一頻道為你整理了《高一數(shù)學(xué)必修四線性回歸分析知識(shí)點(diǎn)》希望對(duì)你有幫助!

【一】重點(diǎn)難點(diǎn)講解：1.回歸分析：就是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系形式進(jìn)行測(cè)定，確定一個(gè)相關(guān)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，以便進(jìn)行估計(jì)預(yù)測(cè)的統(tǒng)計(jì)分析方法。根據(jù)回歸分析方法得出的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為回歸方程，它可能是直線，也可能是曲線。2.線性回歸方程設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，且相應(yīng)于n組觀測(cè)值的n個(gè)點(diǎn)(xi,yi)(i=1,......,n)大致分布在一條直線的附近，則回歸直線的方程為。其中。3.線性相關(guān)性檢驗(yàn)線性相關(guān)性檢驗(yàn)是一種假設(shè)檢驗(yàn)，它給出了一個(gè)具體檢驗(yàn)y與x之間線性相關(guān)與否的辦法。①在課本附表3中查出與顯著性水平0.05與自由度n-2(n為觀測(cè)值組數(shù))相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05。②由公式，計(jì)算r的值。③檢驗(yàn)所得結(jié)果如果|r|≤r0.05，可以認(rèn)為y與x之間的線性相關(guān)關(guān)系不顯著，接受統(tǒng)計(jì)假設(shè)。如果|r|>r0.05，可以認(rèn)為y與x之間不具有線性相關(guān)關(guān)系的假設(shè)是不成立的，即y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系。典型例題講解：例1.從某班50名學(xué)生中隨機(jī)抽取10名，測(cè)得其數(shù)學(xué)考試成績(jī)與物理考試成績(jī)資料如表：序號(hào)12345678910數(shù)學(xué)成績(jī)54666876788285879094，物理成績(jī)61806286847685828896試建立該10名學(xué)生的物理成績(jī)對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)的線性回歸模型。解：設(shè)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閤，物理成績(jī)?yōu)椋瑒t可設(shè)所求線性回歸模型為，計(jì)算，代入公式得∴所求線性回歸模型為=0.74x+22.28。說(shuō)明：將自變量x的值分別代入上述回歸模型中，即可得到相應(yīng)的因變量的估計(jì)值，由回歸模型知：數(shù)學(xué)成績(jī)每增加1分，物理成績(jī)平均增加0.74分。大家可以在老師的幫助下對(duì)自己班的數(shù)學(xué)、化學(xué)成績(jī)進(jìn)行分析。例2.假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y(萬(wàn)元)，有如下的統(tǒng)計(jì)資料：x23456y2.23.85.56.57.0若由資料可知y對(duì)x成線性相關(guān)關(guān)系。試求：(1)線性回歸方程;(2)估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少?分析：本題為了降低難度，告訴了y與x間成線性相關(guān)關(guān)系，目的是訓(xùn)練公式的使用。解：(1)列表如下：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.049162536于是b=,?！嗑€性回歸方程為：=bx+a=1.23x+0.08。(2)當(dāng)x=10時(shí)，=1.23×10+0.08=12.38(萬(wàn)元)即估計(jì)使用10年時(shí)維修費(fèi)用是12.38萬(wàn)元。說(shuō)明：本題若沒(méi)有告訴我們y與x間是線性相關(guān)的，應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)。如果本身兩個(gè)變量不具備線性相關(guān)關(guān)系，或者說(shuō)它們之間相關(guān)關(guān)系不顯著時(shí)，即使求出回歸方程也是沒(méi)有意義的，而且其估計(jì)與預(yù)測(cè)也是不可信的。例3.某省七年的國(guó)民生產(chǎn)總值及社會(huì)商品零售總額如下表所示：已知國(guó)民生產(chǎn)總值與社會(huì)商品的零售總額之間存在線性關(guān)系，請(qǐng)建立回歸模型。年份國(guó)民生產(chǎn)總值(億元)社會(huì)商品零售總額(億元)1985396.26205.821986442.04227.951987517.77268.661988625.10337.521989700.83366.001990792.54375.111991858.47413.18合計(jì)4333.012194.24解：設(shè)國(guó)民生產(chǎn)總值為x，社會(huì)商品零售總額為y,設(shè)線性回歸模型為。依上表計(jì)算有關(guān)數(shù)據(jù)后代入的表達(dá)式得：∴所求線性回歸模型為y=0.445957x+37.4148,表明國(guó)民生產(chǎn)總值每增加1億元，社會(huì)商品零售總額將平均增加4459.57萬(wàn)元。例4.已知某地每單位面積菜地年平均使用氮肥量xkg與每單位面積蔬菜每年平均產(chǎn)量yt之間的關(guān)系有如下數(shù)據(jù)：年份19851986198719881989199019911992x(kg)7074807885929095y(t)5.16.06.87.89.010.210.012.0年份19931994199519961997199871999x(kg)92108115123130138145y(t)11.511.011.812.212.512.813.0(1)求x與y之間的相關(guān)系數(shù)，并檢驗(yàn)是否線性相關(guān);(2)若線性相關(guān)，求蔬菜產(chǎn)量y與使用氮肥量之間的回歸直線方程，并估計(jì)每單位面積施肥150kg時(shí)，每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量。分析：(1)使用樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式來(lái)完成;(2)查表得出顯著水平0.05與自由度15-2相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05比較，若r>r0.05，則線性相關(guān)，否則不線性相關(guān)。解：(1)列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算：i123456789101112131415xi707480788592909592108115123130138145yi5.16.06.87.89.010.210.012.011.511.011.812.212.512.813.0xiyi357444544608.4765938.490011401058118813571500.616251766.41885,.故蔬菜產(chǎn)量與施用氮肥量的相關(guān)系數(shù)：r=由于n=15，故自由度15-2=13。由相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值表查出與顯著水平0.05及自由度13相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05=0.514，則r>r0.05，從而說(shuō)明蔬菜產(chǎn)量與氮肥量之間存在著線性相關(guān)關(guān)系。(2)設(shè)所求的回歸直線方程為=bx+a，則∴回歸直線方程為=0.0931x+0.7102。當(dāng)x=150時(shí)，y的估值=0.0931×150+0.7102=14.675(t)。說(shuō)明：求解兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)及它們的回歸直線方程的計(jì)算量較大，需要細(xì)心謹(jǐn)慎計(jì)算，如果會(huì)使用含統(tǒng)計(jì)的科學(xué)計(jì)算器，能簡(jiǎn)單得到，這些量，也就無(wú)需有制表這一步，直接算出結(jié)果就行了。另外，利用計(jì)算機(jī)中有關(guān)應(yīng)用程序也可以對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理?！径繂?wèn)題提出1.函數(shù)是研究?jī)蓚€(gè)變量之間的依存關(guān)系的一種數(shù)量形式.對(duì)于兩個(gè)變量,如果當(dāng)一個(gè)變量的取值一定時(shí)，另一個(gè)變量的取值被惟一確定，則這兩個(gè)變量之間的關(guān)系就是一個(gè)函數(shù)關(guān)系.2.在中學(xué)校園里，有這樣一種說(shuō)法：“如果你的數(shù)學(xué)成績(jī)好,那么你的物理學(xué)習(xí)就不會(huì)有什么大問(wèn)題.”按照這種說(shuō)法,似乎學(xué)生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)之間存在著某種關(guān)系,我們把數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)看成是兩個(gè)變量,那么這兩個(gè)變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎?3.我們不能通過(guò)一個(gè)人的數(shù)學(xué)成績(jī)是多少就準(zhǔn)確地?cái)喽ㄆ湮锢沓煽?jī)能達(dá)到多少,學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)時(shí)間、教學(xué)水平等,也是影響物理成績(jī)的一些因素,但這兩個(gè)變量是有一定關(guān)系的,它們之間是一種不確定性的關(guān)系.類似于這樣的兩個(gè)變量之間的關(guān)系,有必要從理論上作些探討,如果能通過(guò)數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)物理成績(jī)進(jìn)行合理估計(jì),將有著非常重要的現(xiàn)實(shí)意義.知識(shí)探究(一)：變量之間的相關(guān)關(guān)系思考1:考察下列問(wèn)題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系:(1)商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi);(2)糧食產(chǎn)量與施肥量;(3)人體內(nèi)的脂肪含量與年齡.這些問(wèn)題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎?思考2：“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學(xué)生的水平就越高，那么學(xué)生的學(xué)業(yè)成績(jī)與教師的教學(xué)水平之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎?你能舉出類似的描述生活中兩個(gè)變量之間的這種關(guān)系的成語(yǔ)嗎?思考3:上述兩個(gè)變量之間的關(guān)系是一種非確定性關(guān)系,稱之為相關(guān)關(guān)系,那么相關(guān)關(guān)系的含義如何?自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系，叫做相關(guān)關(guān)系.1、球的體積和球的半徑具有()A函數(shù)關(guān)系B相關(guān)關(guān)系C不確定關(guān)系D無(wú)任何關(guān)系2、下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是()A角的度數(shù)和正弦值B速度一定時(shí)，距離和時(shí)間的關(guān)系C正方體的棱長(zhǎng)和體積D日照時(shí)間和水稻的畝產(chǎn)量AD練:知識(shí)探究(二)：散點(diǎn)圖【問(wèn)題】在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中,研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù):其中各年齡對(duì)應(yīng)的脂肪數(shù)據(jù)是這個(gè)年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù).思考1:對(duì)某一個(gè)人來(lái)說(shuō),他的體內(nèi)脂肪含量不一定隨年齡增長(zhǎng)而增加或減少,但是如果把很多個(gè)體放在一起，就可能表現(xiàn)出一定的規(guī)律性.觀察上表中的數(shù)據(jù),大體上看,隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化?思考2:為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關(guān)系,我們需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,通過(guò)作圖可以對(duì)兩個(gè)變量之間的關(guān)系有一個(gè)直觀的印象.以x軸表示年齡,y軸表示脂肪含量,你能在直角坐標(biāo)系中描出樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的圖形嗎?思考3：上圖叫做散點(diǎn)圖，你能描述一下散點(diǎn)圖的含義嗎?在平面直角坐標(biāo)系中，表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱為散點(diǎn)圖.思考4:觀察散點(diǎn)圖的大致趨勢(shì),人的年齡的與人體脂肪含量具有什么相關(guān)關(guān)系?思考5：在上面的散點(diǎn)圖中,這些點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域,對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系,我們將它稱為正相關(guān).一般地,如果兩個(gè)變量成正相關(guān)，那么這兩個(gè)變量的變化趨勢(shì)如何?思考6：如果兩個(gè)變量成負(fù)相關(guān)，從整體上看這兩個(gè)變量的變化趨勢(shì)如何?其散點(diǎn)圖有什么特點(diǎn)?一個(gè)變量隨另一個(gè)變量的變大而變小，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域.一般情況下兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系成正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，類似于函數(shù)的單調(diào)性.知識(shí)探究(一)：回歸直線思考1:一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是樣本數(shù)據(jù)的中心,那么散點(diǎn)圖中樣本點(diǎn)的中心如何確定?它一定是散點(diǎn)圖中的點(diǎn)嗎?思考2:在各種各樣的散點(diǎn)圖中,有些散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是雜亂分布的,有些散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布有一定的規(guī)律性,年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布有什么特點(diǎn)?這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近.思考3:如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布,從整體上看大致在一條直線附近,則稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫做回歸直線.對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量,其回歸直線一定通過(guò)樣本點(diǎn)的中心嗎?思考4:對(duì)一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù),你認(rèn)為其回歸直線是一條還是幾條?思考5:在樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，能否用直尺準(zhǔn)確畫出回歸直線?借助計(jì)算機(jī)怎樣畫出回歸直線?知識(shí)探究(二)：回歸方程在直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都有相應(yīng)的方程，回歸直線的方程稱為回歸方程.對(duì)一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，如果能夠求出它的回歸方程，那么我們就可以比較具體、清楚地了解兩個(gè)相關(guān)變量的內(nèi)在聯(lián)系，并根據(jù)回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì).思考1：回歸直線與散點(diǎn)圖中各點(diǎn)的位置應(yīng)具有怎樣的關(guān)系?整體上最接近思考2:對(duì)于求回歸直線方程，你有哪些想法?思考4：為了從整體上反映n個(gè)樣本數(shù)據(jù)與回歸直線的接近程度，你認(rèn)為選用哪個(gè)數(shù)量關(guān)系來(lái)刻畫比較合適?20.9%某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)并制作了某6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)照表：如果某天的氣溫是-50C，你能根據(jù)這些數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù)嗎?實(shí)例探究為了了解熱茶銷量與氣溫的大致關(guān)系,我們以橫坐標(biāo)x表示氣溫，縱坐標(biāo)y表示熱茶銷量，建立直角坐標(biāo)系.將表中數(shù)據(jù)構(gòu)成的6個(gè)數(shù)對(duì)表示的點(diǎn)在坐標(biāo)系內(nèi)標(biāo)出，得到下圖。你發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)有什么規(guī)律?今后我們稱這樣的圖為散點(diǎn)圖(scatterplot).建構(gòu)數(shù)學(xué)所以,我們用類似于估計(jì)平均數(shù)時(shí)的思想,考慮離差的平方和當(dāng)x=-5時(shí)，熱茶銷量約為66杯線性回歸方程：一般地,設(shè)有n個(gè)觀察數(shù)據(jù)如下：當(dāng)a,b使2.三點(diǎn)(3,10),(7,20),(11,24)的線性回歸方程是()D11.69二、求線性回歸方程例2：觀察兩相關(guān)變量得如下表：求兩變量間的回歸方程解1：列表：閱讀課本P73例1EXCEL作散點(diǎn)圖利用線性回歸方程解題步驟：1、先畫出所給數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖;2、