河南省商丘市永城蔣口鄉(xiāng)聯(lián)合中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

河南省商丘市永城蔣口鄉(xiāng)聯(lián)合中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)圓(x＋1)2＋y2＝25的圓心為C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點，Q為圓周上任一點，線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M，則M的軌跡方程為()參考答案：D略2.若圓（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有兩個點到直線4x﹣3y=2的距離等于1，則半徑r的取值范圍是（）A．（4，6） B．[4，6） C．（4，6] D．[4，6]參考答案：A【考點】點到直線的距離公式．【分析】先利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，由題意得|5﹣r|＜1，解此不等式求得半徑r的取值范圍．【解答】解：∵圓心P（3，﹣5）到直線4x﹣3y=2的距離等于=5，由|5﹣r|＜1得

4＜r＜6，故選A．3.某研究機構(gòu)對兒童記憶能力x和識圖能力y進行統(tǒng)計分析，得到如下數(shù)據(jù)：記憶能力x46810識圖能力y3568由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為，若某兒童的記憶能力為12時，則他的識圖能力為（）A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．10參考答案：B【考點】回歸分析的初步應(yīng)用．【分析】利用樣本點的中心在線性歸回方程對應(yīng)的直線上，即可得出結(jié)論．【解答】解：由表中數(shù)據(jù)得，，由在直線，得，即線性回歸方程為．所以當(dāng)x=12時，，即他的識圖能力為9.5．故選：B．4.若直線（1+a）x+y+1=0與圓x2+y2﹣2x=0相切，則a的值為(

)A．﹣1，1 B．﹣2，2 C．1 D．﹣1參考答案：D【考點】圓的切線方程．【專題】直線與圓．【分析】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)圓心到直線（1+a）x+y+1=0的距離等于半徑，求得a的值．【解答】解：圓x2+y2﹣2x=0即（x﹣1）2+y2=1，表示以（1，0）為圓心、半徑等于1的圓，再根據(jù)圓心到直線（1+a）x+y+1=0的距離d==1，求得a=﹣1，故選：D．【點評】本題主要考查直線和圓相切的性質(zhì)，點到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．5.傾斜角是45°且過（﹣2，0）的直線的方程是（）A．x﹣y+2=0 B．x+y﹣2=0 C．x﹣y+2=0 D．x﹣y﹣2=0參考答案：A【考點】直線的點斜式方程．【專題】計算題；規(guī)律型；直線與圓．【分析】求出直線的斜率，然后求解直線方程即可．【解答】解：傾斜角是45°則直線的斜率為：1，過（﹣2，0）的直線的方程是y=x+2，即x﹣y+2=0．故選：A．【點評】本題考查直線方程的求法，基本知識的考查．6.在區(qū)間[0，]上隨機取一個數(shù)x，則事件“”發(fā)生的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C7.如圖，坐標(biāo)紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：1，2，3，4，5，6的橫縱坐標(biāo)分別對應(yīng)數(shù)列的前12項，如下表所示：按如此規(guī)律下去，則（

）A．1003

B．1005

C．1006

D．2011參考答案：B略8.“k=﹣1”是“直線l：y=kx+2k﹣1在坐標(biāo)軸上截距相等”的（）條件．A．充分必要 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要參考答案：B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)直線截距的定義結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：當(dāng)k=﹣1時，直線l：y=kx+2k﹣1=﹣x﹣3，即，滿足在坐標(biāo)軸上截距相等，即充分性成立，當(dāng)2k﹣1=0，即k=時，直線方程為y=，在坐標(biāo)軸上截距都為0，滿足相等，但k=﹣1不成立，即必要性不成立，故“k=﹣1”是“直線l：y=kx+2k﹣1在坐標(biāo)軸上截距相等”的充分不必要條件，故選：B9.設(shè)，方程的解集是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略10.已知向量=（2，4，5），=（3，x，y）分別是直線l1、l2的方向向量，若l1∥l2，則（）A．x=6，y=15 B．x=3，y= C．x=3，y=15 D．x=6，y=參考答案：D【考點】共線向量與共面向量．【分析】由l1∥l2，利用向量共線定理可得：存在非0實數(shù)k使得，解出即可．【解答】解：∵l1∥l2，∴存在非0實數(shù)k使得，∴，解得，故選：D．【點評】本題考查了向量共線定理，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是__________．參考答案：∵，∴，∴，∵存在，使得，∴，∴，設(shè)，∴，，令，解得，令，則，函數(shù)單調(diào)遞增，令，則，函數(shù)單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，取最大值，，∴．12.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x

0

1

2

3y

1

3

5

7則y與x的線性回歸方程

．參考答案：y=2x+1

【考點】線性回歸方程．【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)確定出，，xiyi，4?，xi2，42的值，進而求出a與b的值，即可確定出y與x的線性回歸方程．【解答】解：∵=1.5，=4，xiyi=34，4?=24，xi2=14，42=9，∴b==2，a=4﹣2×1.5=1，則y與x的線性回歸方程為y=2x+1，故答案為：y=2x+1．13.在中,若,則

參考答案：略14.函數(shù)的最大值為__________.參考答案：．【名師點睛】通過配角公式把三角函數(shù)化為的形式再借助三角函數(shù)圖象研究性質(zhì)，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征．一般可利用求最值．

15.平面α過正方體ABCD﹣A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，則m，n所成角的正弦值為．參考答案：【考點】異面直線及其所成的角．【分析】如圖：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，由△CB1D1是正三角形，即可得出m、n所成角．【解答】解：如圖：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．則m、n所成角的正弦值為：．故答案為：．【點評】本題考查了空間位置關(guān)系、異面直線所成的角、等邊三角形的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．16.設(shè)函數(shù)是定義在(－∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞,0)上是減函數(shù)，且圖象過點(1,0)，則不等式的解集為________參考答案：(－∞,0)∪(1,2)【分析】根據(jù)題意，分析可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及特殊值可得當(dāng)x＜0時，f（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1時，f（x）＜0，又由奇偶性可得當(dāng)1＜x＜2時，f（x）＜0，當(dāng)x＞2時，f（x）＞0；又由（x﹣1）f（x）＜0?或，分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)y＝f（x+1）是定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的偶函數(shù)，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，且f（x）的定義域為{x|x≠1}，y＝f（x）在區(qū)間（﹣∞，1）是減函數(shù)，且圖象過原點，則當(dāng)x＜0時，f（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1時，f（x）＜0，又由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則當(dāng)1＜x＜2時，f（x）＜0，當(dāng)x＞2時，f（x）＞0，（x﹣1）f（x）＜0?或，解可得：x＜0或1＜x＜2，即不等式的解集為（﹣∞，0）∪（1，2）；故答案為：（﹣∞，0）∪（1，2）．【點睛】本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，涉及函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用，屬于綜合題．17.已知是拋物線上一點，是圓上的動點，則的最小值是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）設(shè)橢圓：的離心率為，點（，0），（0，），原點到直線的距離為（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點為（，0），點在橢圓上（與、均不重合），點在直線上，若直線的方程為，且，試求直線的方程．參考答案：（Ⅰ）由得

………………2分由點（，0），（0，）知直線的方程為，于是可得直線的方程為

因此，得，，，………………5分所以橢圓的方程為

………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知、的坐標(biāo)依次為（2，0）、，因為直線經(jīng)過點，所以，得，即得直線的方程為

因為，所以，即

………………7分設(shè)的坐標(biāo)為，(法Ⅰ)由得P()，則

………………10分所以KBE=4又點的坐標(biāo)為，因此直線的方程為

………………12分19.已知（1）如果，求w的值；（2）如果，求實數(shù)a，b的值.參考答案：（1）（2）試題分析：（1）本問考查共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的乘方，由，，于是可以經(jīng)過計算求出；（2）本問考查復(fù)數(shù)除法運算及兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件，（），（），則的充要條件是且，列方程組可以求解.試題解析：（1）∵，∴.（2）∵，∴.∴，解得.20.已知函數(shù)f（x）=ex和函數(shù)g（x）=kx+m（k、m為實數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，e≈2.71828）．（1）求函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)k=2，m=1時，判斷方程f（x）=g（x）的實數(shù)根的個數(shù)并證明；（3）已知m≠1，不等式（m﹣1）[f（x）﹣g（x）]≤0對任意實數(shù)x恒成立，求km的最大值．參考答案：（1）求出h′（x）=ex﹣k，（x∈R），分以下兩種情況討論：①當(dāng)k≤0，②當(dāng)k＞0，（2）當(dāng)k=2，m=1時，方程f（x）=g（x）即為h（x）=ex﹣2x﹣1=0，結(jié)合（1）及圖象即可判定．（3）設(shè)h（x）=f（x）﹣g（x），分①當(dāng)m＞1，②當(dāng)m＜1，分別求解解：（1）h′（x）=ex﹣k，（x∈R），①當(dāng)k≤0時，h′（x）＞0恒成立，h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間；②當(dāng)k＞0時，由h′（x）＞0得x＞lnk，由h′（x）＜0得x＜lnk，故h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，lnk），單調(diào)遞增區(qū)間為（lnk，+∞）．（2）當(dāng)k=2，m=1時，方程f（x）=g（x）即為h（x）=ex﹣2x﹣1=0，由（1）知h（x）在（﹣∞，ln2）上遞減，而h（0）=0，故h（x）在（﹣∞，ln2）上有且僅有1個零點，由（1）知h（x）在[ln2，+∞）上遞增，而h（1）=e﹣3＜0，h（2）=e2﹣5＞0，且h（x）的圖象在[1，2]上是連續(xù)不間斷的，故h（x）在[1，2]上有且僅有1個零點，所以h（x）在[ln2，+∞）上也有且僅有1個零點，綜上，方程f（x）=g（x）有且僅有兩個實數(shù)根．（3）設(shè)h（x）=f（x）﹣g（x），①當(dāng)m＞1時，f（x）﹣g（x）≤0恒成立，則h（x）≤0恒成立，而h（﹣）=e＞0，與h（x）≤0恒成立矛盾，故m＞1不合題意；②當(dāng)m＜1時，f（x）﹣g（x）≥0，恒成立，則h（x）≥0恒成立，1°當(dāng)k=0時，由h（x）=ex﹣m≥0恒成立可得m∈（﹣∞，0]，km=0；2°當(dāng)k＜0時，h（）=e﹣1，而，故e＜1，故h（）＜0，與h（x）≥0恒成立矛盾，故k＜0不合題意；3°當(dāng)k＞0時，由（1）可知[h（x）]min=h（lnk）=k﹣klnk﹣m，而h（x）≥0恒成立，故k﹣klnk﹣m≥0，得m≤k﹣klnk，故km≤k（k﹣klnk），記φ（k）=k（k﹣klnk），（k＞0），則φ′（k）=k（1﹣2lnk），由φ′（k）＞0得0，由φ′（k）＜0得k＞，故φ（k）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減，∴φ（k）max=φ（）=，∴km≤，當(dāng)且僅當(dāng)k=，m=時取等號；綜上①②兩種情況得km的最大值為．21.已知曲線C的極坐標(biāo)方程為（1）若以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若是曲線C上的一個動點，求的最大值.參考答案：（1）(2)【分析】（1）利用極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式求解即可；（2）設(shè),利用三角函數(shù)圖像和性質(zhì)解答得解.【詳解】（1）由題得，所以.所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.設(shè),所以，其中在第一象限，且.所以x+2y最大值為5.【點睛】本題主要考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程的互化，考查三角函數(shù)的恒等變換和最值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.22.已知函數(shù)f（x）=loga（1+x）﹣loga（1﹣x）（a＞0，a≠1）． （Ⅰ）判斷f（x）奇偶性，并證明； （Ⅱ）當(dāng)0＜a＜1時，解不等式f（x）＞0． 參考答案：【考點】函數(shù)奇偶性的判斷；其他不等式的解法． 【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 【分析】（Ⅰ）求函數(shù)的定義域，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f（x）奇偶性； （Ⅱ）當(dāng)0＜a＜1時，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解不等式f（x）