湖南省岳陽(yáng)市臨湘市桃林鎮(zhèn)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

湖南省岳陽(yáng)市臨湘市桃林鎮(zhèn)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某班有60名學(xué)生，其中正、副班長(zhǎng)各1人，現(xiàn)要選派5人參加一項(xiàng)社區(qū)活動(dòng)，要求正、副班長(zhǎng)至少1人參加，問(wèn)共有多少種選派方法？下面是學(xué)生提供的四個(gè)計(jì)算式，其中錯(cuò)誤的是（）A．CCB．C﹣CC．CC﹣CCD．CC+CC參考答案：A【考點(diǎn)】組合及組合數(shù)公式．【分析】根據(jù)題意，利用分類方法來(lái)解排列數(shù)，用所有的從60人選5個(gè)減去不合題意的，可知選項(xiàng)B正確，兩個(gè)班長(zhǎng)中選一個(gè)，余下的59人中選4個(gè)，減去重復(fù)的情況知C正確，當(dāng)有一個(gè)班長(zhǎng)參加和當(dāng)有兩個(gè)班長(zhǎng)參加得到結(jié)果是選項(xiàng)D，而A的計(jì)算公式有重復(fù)的情況，綜合可得答案【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于B：運(yùn)用的排除法，先在所有的從60人選5個(gè)，有C605種情況，再排除其中不合題意即沒有班干部的C585種情況，即有C﹣C種情況，B正確；對(duì)于C：運(yùn)用的排除法，先兩個(gè)班長(zhǎng)中選1個(gè)，余下的59人中選4個(gè)，有C21C594種情況，再排除其中有2個(gè)班長(zhǎng)參加的C22C583種情況，即有C21C594﹣C22C583種情況，可知C正確，則A錯(cuò)誤；對(duì)于D：運(yùn)用的分類加法原理，當(dāng)有一個(gè)班長(zhǎng)參加時(shí)，有C21C584種情況，當(dāng)有2個(gè)班長(zhǎng)參加時(shí)，有C22C583種情況，共有C21C584+C22C583種情況，D正確：故選A．2.在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若使該三角形繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）．【專題】計(jì)算題．【分析】所形成的幾何體是以ACD為軸截面的圓錐中挖去了一個(gè)以ABD為軸截面的小圓錐后剩余的部分，故用大圓錐的體積減去小圓錐的體積，即為所求．【解答】解：如圖：△ABC中，繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體是以ACD為軸截面的圓錐中挖去了一個(gè)以ABD為軸截面的小圓錐后剩余的部分．∵AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，∴AE=ABsin60°=，BE=ABcos60°=1，V1==，V2==π，∴V=V1﹣V2=，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的體積公式的應(yīng)用，判斷旋轉(zhuǎn)體的形狀是解題的關(guān)鍵．3.若直線與直線互相垂直，則a的值為（A）

（B）

（C）

（D）1參考答案：C4.對(duì)賦值語(yǔ)句的描述正確的是（

）①可以給變量提供初值

②將表達(dá)式的值賦給變量③可以給一個(gè)變量重復(fù)賦值

④不能給同一變量重復(fù)賦值A(chǔ)．①②③

B．①②

C．②③④

D．①②④參考答案：A5.若橢圓的短軸為,它的一個(gè)焦點(diǎn)為,則滿足為等邊三角形的橢圓的離心率是

A.

B.

C.

D.參考答案：D略6.設(shè)、都是非零向量，則“”是“、共線”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：C7.已知雙曲線的左頂點(diǎn)為A1，右焦點(diǎn)為F2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A.－2

B.

C.1

D.0參考答案：A略8.已知下列等式：，，，，…，，

則推測(cè)（

）A．109 B．1033

C．199 D．29參考答案：A根據(jù)題意，分析所給的等式，可歸納出等式，（且是正整數(shù)），將代入，可得，從而可以求得，于是，故選A.

9.經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,－2)且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程是（

）．A． B． C． D．參考答案：C解：與漸近線相同，所以設(shè)為，將代入可得，，則為．故選．10.與向量＝(1，-3,2)平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)為()（A）(1,3,2)

（B）(-1，-3,2)

（C）(-1,3，-2)

（D）(1，-3，-2)參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的值域是

參考答案：12.設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為

．參考答案：64試題分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，，解得.所以，于是當(dāng)或時(shí)，取得最大值.考點(diǎn)：等比數(shù)列及其應(yīng)用13.過(guò)點(diǎn)M（1，2）作直線l交橢圓+=1于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M恰為線段AB的中點(diǎn)，則直線l的方程為．參考答案：8x+25y﹣58=0【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】利用“點(diǎn)差法”、線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式即可得出．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則16x12+25y12=400，16x22+25y22=400，∴16（x1+x2）（x1﹣x2）+25（y1+y2）（y1﹣y2）=0．∵M(jìn)（1，2）恰為線段AB的中點(diǎn)，∴32（x1﹣x2）+100（y1﹣y2）=0，∴直線AB的斜率為﹣，∴直線AB的方程為y﹣2=﹣（x﹣1），即8x+25y﹣58=0．故答案為8x+25y﹣58=0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“點(diǎn)差法”、線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式，屬于中檔題．14.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為▲.

參考答案：略15.關(guān)于平面向量a，b，c.有下列三個(gè)命題：①若a·b=a·c，則b=c.②若a=（1,k），b=（—2，6），a//b，則k=—3.③非零向量a和b滿足，則a與a+b的夾角為60°.其中真命題的序號(hào)為__________.（寫出所有真命題的序號(hào)）參考答案：②16.設(shè)則是的_____________________條件（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）.參考答案：充分不必要略17.（原創(chuàng)）如圖所示的“趙爽弦圖”中，四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)邊長(zhǎng)為2的大正方形，若直角三角形中較小的銳角，現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一枚飛鏢，飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是______________。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（8分）設(shè)命題p：;命題q:,若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：略19.(本小題滿分16分)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則稱函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”.（1）請(qǐng)舉一個(gè)“超導(dǎo)函數(shù)”的例子，并加以證明；（2）若函數(shù)與都是“超導(dǎo)函數(shù)”，且其中一個(gè)在R上單調(diào)遞增，另一個(gè)在R上單調(diào)遞減，求證：函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”；（3）若函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”且方程無(wú)實(shí)根，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），判斷方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)并說(shuō)明理由.參考答案：解：（1）舉例：函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”，因?yàn)?，，滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，故是“超導(dǎo)函數(shù)”.……4分注：答案不唯一，必須有證明過(guò)程才能給分，無(wú)證明過(guò)程的不給分.（2）∵，∴，∴

……………6分因?yàn)楹瘮?shù)與都是“超導(dǎo)函數(shù)”，所以不等式與對(duì)任意實(shí)數(shù)都恒成立，故，，①

………8分而與一個(gè)在上單調(diào)遞增，另一個(gè)在上單調(diào)遞減，故，②由①②得對(duì)任意實(shí)數(shù)都恒成立，所以函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”.

……10分（3）∵，所以方程可化為，設(shè)函數(shù)，，則原方程即為，③

……………12分因?yàn)槭恰俺瑢?dǎo)函數(shù)”，∴對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，而方程無(wú)實(shí)根，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減，故方程③等價(jià)于，即，

……………14分設(shè)，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，而，，且函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷，故在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，從而原方程有且僅有唯一實(shí)數(shù)根.……………16分注：發(fā)現(xiàn)但缺少論證過(guò)程的扣4分.

20.已知橢圓┍的方程為+=1（a＞b＞0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣a，b）．（1）若直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)M、A（0，﹣b），B（a，0）滿足=（+），求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線l1：y=k1x+p交橢圓┍于C、D兩點(diǎn)，交直線l2：y=k2x于點(diǎn)E．若k1?k2=﹣，證明：E為CD的中點(diǎn)；（3）對(duì)于橢圓┍上的點(diǎn)Q（acosθ，bsinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓┍上存在不同的兩個(gè)交點(diǎn)P1、P2滿足+=，寫出求作點(diǎn)P1、P2的步驟，并求出使P1、P2存在的θ的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．【專題】計(jì)算題；證明題；壓軸題．【分析】（1）設(shè)M（x，y）根據(jù)=（+）分別用三點(diǎn)的坐標(biāo)表示出三個(gè)向量，進(jìn)而解得x和y，則M點(diǎn)坐標(biāo)可得．（2）直線l1與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式求得，a2k12+b2﹣p2＞0，設(shè)C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），利用韋達(dá)定理可求得x1+x2的表達(dá)式，進(jìn)而求得x0，代入直線方程求得y0，兩直線方程聯(lián)立根據(jù)直線l2的斜率求得x=x0，y=y0進(jìn)而判斷出E為CD的中點(diǎn)；（3）先求出PQ的中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線OE的斜率，再由+=，知E為CD的中點(diǎn)，根據(jù)（2）可得CD的斜率，直線CD與橢圓Γ的方程聯(lián)立，方程組的解即為點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)．欲使P1、P2存在，必須點(diǎn)E在橢圓內(nèi)，進(jìn)而求得q的取值范圍．【解答】解：（1）設(shè)M（x，y）∵=（+），∴2（x+a，y﹣b）=（a，﹣2b）+（2a，﹣b）∴，解得x=y=﹣M點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）（2）由方程組，消y得方程（a2k′1+b2）x2+2a2k1px+a2（p2﹣b2）=0，因?yàn)橹本€l1：y=k1x+p交橢圓于C、D兩點(diǎn)，所以△＞0，即a2k12+b2﹣p2＞0，設(shè)C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），則x0==﹣，y0=k1x0+p=，由方程組，消y得方程（k2﹣k1）x=p，又因?yàn)閗2=﹣，所以x==x0，y=k2x=y0故E為CD的中點(diǎn)；（3）求作點(diǎn)P1、P2的步驟：1°求出PQ的中點(diǎn)E（﹣，），2°求出直線OE的斜率k2==，3°由+=，知E為CD的中點(diǎn)，根據(jù)（2）可得CD的斜率k1=，4°從而得直線P1P2的方程：y﹣=（x+），5°將直線CD與橢圓Γ的方程聯(lián)立，方程組的解即為點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)．欲使P1、P2存在，必須點(diǎn)E在橢圓內(nèi)，所以+＜1，化簡(jiǎn)得sinθ﹣cosθ＜，∴sin（θ﹣）＜，又0＜q＜p，所以﹣＜θ﹣＜arcsin，故q的取值范圍是（0，+arcsin）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．解題的前提是要求學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)有相當(dāng)熟練的把握．21.如圖,在四棱錐P-ABCD中,是等邊三角形,,,.(Ⅰ)求證:(Ⅱ)若平面平面ABCD,,求二面角的余弦值參考答案：證明：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接為等邊三角形且又四邊形為矩形,平面又平面，(Ⅱ)由（Ⅰ）知平面平面，平面平面，平面平面,以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)則,,又，得,,,,設(shè)平面法向量由,得，取，得又知是平面的一個(gè)法向量，設(shè)，二面角的余弦值為22.已知圓C的方程為x2＋y2＝4.（1）直線l過(guò)點(diǎn)P(1,2)，且與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，求直線l的方程；（2）圓C上一動(dòng)點(diǎn)M(x0，y0)，＝(0，y0)，若向量＝＋，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．參考答案：(1)①若直線l垂直于x軸，則此直線為x