線性代數(shù)（財(cái)經(jīng)類） 課件 1.3 行列式的性質(zhì)

§1.3行列式的性質(zhì)一、前言

n階行列式共有n!項(xiàng)

因此用定義計(jì)算n階行列式是較為困難的

只有三角形等特殊行列式用定義計(jì)算比較方便

我們已經(jīng)知道三角形行列式的值等于主對(duì)角線上各元素的乘積

因此我們想到能否把一般的行列式化成三角形行列式來(lái)計(jì)算

這就需要研究行列式的性質(zhì)

二、行列式的性質(zhì)

將行列式D的行與列互換后得到的行列式

稱為D的轉(zhuǎn)置行列式

記為DT

即如果行列式的轉(zhuǎn)置：則二、行列式的性質(zhì)記D的一般項(xiàng)為行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即DT=D.

性質(zhì)1證明它的元素在D中位于不同行、不同列,因而在DT中位于不同列、不同行.所以這n個(gè)元素的乘積在DT中應(yīng)為由定理3可知,其符號(hào)也是因此,D與DT是具有相同項(xiàng)的行列式,所以DT=D.

行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立.說(shuō)明：二、行列式的性質(zhì)互換行列式的兩行(列),行列式變號(hào).性質(zhì)2例如交換

i,j兩行記作

，交換

i,j兩列記作.說(shuō)明：如果行列式D的兩行(列)完全相同,那么此行列式為零.推論1互換相同的兩行,有證明二、行列式的性質(zhì)行列式的某一行(列)的所有元素都乘以

k所得的新行列式等于原行列式乘以

k.性質(zhì)3第

i行(或列)乘以

k，記作

(或

).說(shuō)明：二、行列式的性質(zhì)行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式記號(hào)外面.推論2第

i行(或列)提出公因子

k，記作

(或

)，有說(shuō)明：二、行列式的性質(zhì)若行列式中有兩行(列)元素成比例，則該行列式為零.推論3證明練習(xí)計(jì)算行列式例1解因?yàn)榈谝涣信c第二列對(duì)應(yīng)元素成比例,根據(jù)推論3,得練習(xí)解設(shè),求.例2練習(xí)例二、行列式的性質(zhì)若行列式的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和，如第

i

行的元素都是兩數(shù)之和，即性質(zhì)4二、行列式的性質(zhì)則

D

等于下列兩個(gè)行列式之和如果行列式某一行(列)的每個(gè)元素都寫成

m個(gè)數(shù)(m為大于2的整數(shù))的和,則此行列式可以寫成

m個(gè)行列式的和.推論4二、行列式的性質(zhì)將行列式的某一列(行)的各元素乘以同一個(gè)數(shù)后加到另一列(行)的對(duì)應(yīng)元素上去，行列式不變.性質(zhì)5以數(shù)

k乘以第

i行加到第

j行上，記作

，以數(shù)

k乘以第

i列加到第

j列上，記作

.說(shuō)明：二、行列式的性質(zhì)例如行：row×k二、行列式的性質(zhì)例如×k列：column二、行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為上三角行列式,從而算得行列式的值。具體步驟：設(shè)第一列第一行的元素不為0，如果第一列第一行的元素為0，先利用性質(zhì)2，將第一行與其他行交換，使第一列第一行的元素不為0；然后利用性質(zhì)5，把第一行分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到其他各行，使第一列除第一行元素外其他行元素全為0；再用同樣的方法處理除去第一行和第一列后余下的低一階行列式；依次做下去，直至使它成為上三角行列式，這時(shí)主對(duì)角線上元素的乘積就是行列式的值.練習(xí)解計(jì)算行列式

例3化為上三角行列式練習(xí)化為0不變不變化為0化為0不變練習(xí)相乘練習(xí)解計(jì)算行列式

例4化為上三角行列式練習(xí)練習(xí)練習(xí)計(jì)算行列式

例練習(xí)練習(xí)解計(jì)算n階行列式

例5化為三角形行列式將

列都加到第一列得

練習(xí)練習(xí)計(jì)算行列式

例6解給定行列式是

階行列式.

將行列式的第一行加到第二行上，再將新的第二行加到第三行上，

，直到將新的第

n行加到第

行上，可得練習(xí)練習(xí)例7設(shè)證明：練習(xí)解對(duì)

作運(yùn)算

，可將其化為下三角行列式，不妨設(shè)對(duì)

作運(yùn)算

，可將其化為下三角行列式，設(shè)為練習(xí)

于是，對(duì)

D的前

r行作運(yùn)算

，再對(duì)后

列運(yùn)算