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文檔簡介
§1.3行列式的性質(zhì)一、前言
n階行列式共有n!項(xiàng)
因此用定義計(jì)算n階行列式是較為困難的
只有三角形等特殊行列式用定義計(jì)算比較方便
我們已經(jīng)知道三角形行列式的值等于主對角線上各元素的乘積
因此我們想到能否把一般的行列式化成三角形行列式來計(jì)算
這就需要研究行列式的性質(zhì)
二、行列式的性質(zhì)
將行列式D的行與列互換后得到的行列式
稱為D的轉(zhuǎn)置行列式
記為DT
即如果行列式的轉(zhuǎn)置:則二、行列式的性質(zhì)記D的一般項(xiàng)為行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即DT=D.
性質(zhì)1證明它的元素在D中位于不同行、不同列,因而在DT中位于不同列、不同行.所以這n個(gè)元素的乘積在DT中應(yīng)為由定理3可知,其符號(hào)也是因此,D與DT是具有相同項(xiàng)的行列式,所以DT=D.
行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.說明:二、行列式的性質(zhì)互換行列式的兩行(列),行列式變號(hào).性質(zhì)2例如交換
i,j兩行記作
,交換
i,j兩列記作.說明:如果行列式D的兩行(列)完全相同,那么此行列式為零.推論1互換相同的兩行,有證明二、行列式的性質(zhì)行列式的某一行(列)的所有元素都乘以
k所得的新行列式等于原行列式乘以
k.性質(zhì)3第
i行(或列)乘以
k,記作
(或
).說明:二、行列式的性質(zhì)行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式記號(hào)外面.推論2第
i行(或列)提出公因子
k,記作
(或
),有說明:二、行列式的性質(zhì)若行列式中有兩行(列)元素成比例,則該行列式為零.推論3證明練習(xí)計(jì)算行列式例1解因?yàn)榈谝涣信c第二列對應(yīng)元素成比例,根據(jù)推論3,得練習(xí)解設(shè),求.例2練習(xí)例二、行列式的性質(zhì)若行列式的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和,如第
i
行的元素都是兩數(shù)之和,即性質(zhì)4二、行列式的性質(zhì)則
D
等于下列兩個(gè)行列式之和如果行列式某一行(列)的每個(gè)元素都寫成
m個(gè)數(shù)(m為大于2的整數(shù))的和,則此行列式可以寫成
m個(gè)行列式的和.推論4二、行列式的性質(zhì)將行列式的某一列(行)的各元素乘以同一個(gè)數(shù)后加到另一列(行)的對應(yīng)元素上去,行列式不變.性質(zhì)5以數(shù)
k乘以第
i行加到第
j行上,記作
,以數(shù)
k乘以第
i列加到第
j列上,記作
.說明:二、行列式的性質(zhì)例如行:row×k二、行列式的性質(zhì)例如×k列:column二、行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式常用方法:利用運(yùn)算把行列式化為上三角行列式,從而算得行列式的值。具體步驟:設(shè)第一列第一行的元素不為0,如果第一列第一行的元素為0,先利用性質(zhì)2,將第一行與其他行交換,使第一列第一行的元素不為0;然后利用性質(zhì)5,把第一行分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到其他各行,使第一列除第一行元素外其他行元素全為0;再用同樣的方法處理除去第一行和第一列后余下的低一階行列式;依次做下去,直至使它成為上三角行列式,這時(shí)主對角線上元素的乘積就是行列式的值.練習(xí)解計(jì)算行列式
例3化為上三角行列式練習(xí)化為0不變不變化為0化為0不變練習(xí)相乘練習(xí)解計(jì)算行列式
例4化為上三角行列式練習(xí)練習(xí)練習(xí)計(jì)算行列式
例練習(xí)練習(xí)解計(jì)算n階行列式
例5化為三角形行列式將
列都加到第一列得
練習(xí)練習(xí)計(jì)算行列式
例6解給定行列式是
階行列式.
將行列式的第一行加到第二行上,再將新的第二行加到第三行上,
,直到將新的第
n行加到第
行上,可得練習(xí)練習(xí)例7設(shè)證明:練習(xí)解對
作運(yùn)算
,可將其化為下三角行列式,不妨設(shè)對
作運(yùn)算
,可將其化為下三角行列式,設(shè)為練習(xí)
于是,對
D的前
r行作運(yùn)算
,再對后
列運(yùn)算
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