高等數(shù)學（財經(jīng)類） 課件 1.7 函數(shù)的連續(xù)性

§1.7

函數(shù)的連續(xù)性

CONTENT1連續(xù)與間斷的概念2連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)目錄3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)與間斷的概念Chapter1

引言

例

自然界中有許多現(xiàn)象和事物不僅是運動變化的,而且這種變化往往是連續(xù)不斷的.如氣溫的變化,河水的流動都是隨著時間而連續(xù)地變化,這些現(xiàn)象反映在數(shù)學上就是函數(shù)的連續(xù)性.第一部分：函數(shù)的增量

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點的某個鄰域內(nèi)有定義,當自變量x由變到時,函數(shù)y相應地由變到，因此函數(shù)相應的增量為注:

是一個不可分割的整體記號.第一部分：函數(shù)的增量當

趨于零時,函數(shù)

y對應的增量也趨向于零,即

那么就稱函數(shù)

y=f(x)在點

處連續(xù).第二部分：連續(xù)與間斷的概念令則得當時,有而當時,有則定義20

設(shè)函數(shù)

f(x)在點

x0的某鄰域內(nèi)有定義.

(1)若,則稱

f(x)在點

x0處連續(xù),并稱

x0為

f(x)

的一個連續(xù)點；

(2)若

f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都連續(xù),則稱

f(x)在(a,b)內(nèi)

連續(xù)；

(3)若

x0不是

f(x)的連續(xù)點,則稱

x0為

f(x)的間斷點,或稱

f(x)在點

x0處間斷.第二部分：連續(xù)與間斷的概念第二部分：連續(xù)與間斷的概念(1)函數(shù)

f(x)在點處有定義;函數(shù)

f(x)在點處連續(xù),必須同時滿足以下三個條件：(2)極限存在;(3)注：

練習例試證函數(shù)在x=0處連續(xù).證幾何解釋：若

f(x)連續(xù),則曲線

y=f(x)的圖形是一條連續(xù)不間斷的曲線；若

x0是

f(x)的間斷點,則曲線

y=f(x)在點

處發(fā)生斷裂.如圖所示,函數(shù)

f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)共有三個間斷點:x1,x2,x3.第二部分：連續(xù)與間斷的概念第三部分：單側(cè)連續(xù)的概念定義21(1)若

f(x)在點

x0的某左鄰域內(nèi)有定義,且,則稱

f(x)在點

x0處左連續(xù)；若

f(x)在點

x0的某右鄰域內(nèi)有定義,且,則稱

f(x)在點

x0處右連續(xù).第三部分：單側(cè)連續(xù)的概念定義21(1)若

f(x)在點

x0的某左鄰域內(nèi)有定義,且,則稱

f(x)在點

x0處左連續(xù)；若

f(x)在點

x0的某右鄰域內(nèi)有定義,且,則稱

f(x)在點

x0處右連續(xù).(2)若

f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有定義,在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),且在左端點a處右連續(xù)、在右端點b處左連續(xù),則稱

f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).第三部分：單側(cè)連續(xù)的概念注：函數(shù)f(x)在點處連續(xù)

練習例44討論函數(shù)

在點

x=0和

x=1處的連續(xù)性.

解

在點

x=0處,有

由此可知

因此,f(x)在

x=0處連續(xù).

練習例44討論函數(shù)

在點

x=0和

x=1處的連續(xù)性.

解

在點

x=1處,有

因左、右極限不相等,故

不存在,故

x=1是

f(x)的間斷點.

但是,由

可知,

f(x)在

x=1處左連續(xù).第四部分：函數(shù)的間斷點(1)函數(shù)f(x)在點處有定義;函數(shù)f(x)在點處連續(xù)必須同時滿足以下三個條件：(2)極限存在;(3)如果上述三個條件中只要有一個不滿足,則稱函數(shù)f(x)在點處不連續(xù)或間斷,并稱點為函數(shù)f(x)的不連續(xù)點或間斷點.第四部分：函數(shù)的間斷點(1)

f(x)在處無定義;

(2)

f(x)雖在處有定義,但

不存在;(3)

f(x)雖在處有定義且

存在,但

定義如果函數(shù)y=f(x)在點處不連續(xù),則稱是函數(shù)f(x)的間斷點.注：如果函數(shù)f(x)滿足下列條件之一時,就稱函數(shù)f(x)在點處間斷.類型特點分類第一類間斷點及均存在

若稱x0為可去間斷點

若稱x0為跳躍間斷點第二類間斷點及中至少一個不存在

若其中有一個為∞稱

x0為無窮間斷點

若其中有一個為振蕩稱x0為振蕩間斷點······第四部分：函數(shù)的間斷點

練習例45討論

在

x=0處的連續(xù)性.

解

因為

而

f(0)沒有定義,故

f(x)在

x=0處間斷,x=0為

f(x)的可去間斷點.

練習例46討論

在

x=0處的連續(xù)性.

解

因為

所以

f(x)在

x=0處間斷,且

x=0為無窮間斷點.

練習例47討論

在

x=0處的連續(xù)性.

解

因為在

x=0處函數(shù)無定義,且

不存在,

所以

f(x)在

x=0處間斷,且

x=0為第二類振蕩間斷點.

連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)Chapter2第一部分：連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)定理14(連續(xù)函數(shù)的四則運算)設(shè)f(x)與g(x)在點x0(或區(qū)間I上)連續(xù),則

(1)在點x0處(或I上)連續(xù)；

(2)在點x0處(或I上)連續(xù)；

(3)當

時,在點x0處(或I上)連續(xù).

第一部分：連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)定理15(復合函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)函數(shù)

y=f(u)在點x0處連續(xù),在點x0處連續(xù),且,則復合函數(shù)

在點x0處連續(xù),即有定理16(反函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)、連續(xù),且

則其反函數(shù)

在區(qū)間

上單調(diào)、連續(xù).定理17

一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.

練習例48求

解

所給函數(shù)為初等函數(shù),其定義域為R,故由初等函數(shù)的連續(xù)性得

練習例49求

解

由于arcsinu是連續(xù)函數(shù),則

練習例50求

解

例51求

解

練習例52討論函數(shù)

的連續(xù)性.

解

f(x)在其定義域

內(nèi)不是初等函數(shù).但在

內(nèi)

為初等函數(shù),在

內(nèi)

也為初等函數(shù),故f(x)在

內(nèi)連續(xù).例52討論函數(shù)

的連續(xù)性.

解

在分段點x=2處,有因此,f(x)在x=2處連續(xù).綜上所述,f(x)在其定義域內(nèi)連續(xù).

練習

分段函數(shù)的連續(xù)性討論分段函數(shù)的連續(xù)性的方法：第一步：利用初等函數(shù)的連續(xù)性,分段說明函數(shù)在各分段子區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性；第二步：根據(jù)連續(xù)性的定義,討論函數(shù)在各分段點處的連續(xù)性；第三步：得出函數(shù)的連續(xù)區(qū)域.

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)Chapter3第一部分：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定義23設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間I上有定義.若存在,使對I內(nèi)的一切x,恒有

則稱

f(x0)是

f(x)在I上的最大值或最小值.最大值與最小值統(tǒng)稱為最值.第一部分：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理18(最值定理)設(shè)函數(shù)

f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則

f(x)在[a,b]上必能取得最大值與最小值.即在[a,b]上至少存在兩點,使對任意的

,

恒有第一部分：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)注：如果函數(shù)f(x)不在閉區(qū)間上連續(xù),而在開區(qū)間內(nèi)連續(xù),或函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有間斷點,則定理5不一定成立.推論

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定是有界函數(shù).第一部分：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理19(介值定理)設(shè)函數(shù)

f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且

f(x)在[a,b]上的最大值為M,最小值為m,則對任何實數(shù)C(m<C<M),至少存在一點

使得第一部分：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)推論(零點定理)設(shè)函數(shù)

f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且,則至少存在一點

使得注：零點定理常用于證明方程實根的存在性.第一部分：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)注:

最值定理和介值定理中的條件“f(x)在閉區(qū)間上連續(xù)”是必要的,否則定理不一定成立.

例如,

函數(shù)

在閉區(qū)間[0,1.5]上不連續(xù).該函數(shù)既無最小值(m=0),也無最大值(M=2);當

時,也不存在使得.

練習例53證明:方程

在(0,1)內(nèi)至少有一個實根.

證

設(shè),則

f(x)為初等函數(shù),它在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù),且有于是,由零點定理可知,方程

在(0,1)內(nèi)至少有一個實根

x0.

練習例54設(shè)函數(shù)

f(x)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù),且證明:存在,使得.

證

構(gòu)造輔助函數(shù),由于

f(x)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù),因此F(x)在[0,1]上連續(xù),且因為由零點定理知,存在