第7章 機(jī)械波教材

7.1機(jī)械波的產(chǎn)生和分類第7章機(jī)械波1）機(jī)械波產(chǎn)生的條件

波源媒質(zhì)2）電磁波只需波源可在真空中傳播3）物質(zhì)波（量子物理學(xué)部分講）7.1.1機(jī)械波的產(chǎn)生條件真空振源A振動(dòng)通過彈性力傳播開去

特征：具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷.橫波：質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波的傳播方向相垂直的波.（僅在固體中傳播）如電磁波、繩波。7.1.2橫波與縱波縱波：質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波的傳播方向互相平行的波.（可在固體、液體和氣體中傳播）如聲波

特征：具有交替出現(xiàn)的密部和疏部.波線波面波面波線平面波球面波波面波線波線波面7.1.3平面波和球面波：柱面波波面波線xyz123456789101112131415161718橫波123456789101112131415161718縱波

結(jié)論(1)

波動(dòng)中各質(zhì)點(diǎn)并不隨波前進(jìn);(3)

各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相位依次落后,波動(dòng)是相位的傳播。(2)

機(jī)械波向外傳播的是波源（及各質(zhì)點(diǎn)）的振動(dòng)狀態(tài)和能量。7.14水波（1）水波（waterwave）是一種常見的機(jī)械波。將石子投入水中時(shí)，與石子撞擊的那部分水先振動(dòng)起來，成為波源，帶動(dòng)鄰近的水由近及遠(yuǎn)地相繼振動(dòng)起來，于是水面上就會(huì)出現(xiàn)以石子入水點(diǎn)為中心的向四周擴(kuò)散的波紋，這就是水面波。水面波主要是水的表面張力作用的結(jié)果，所以又稱為表面張力波。（2）由海水重力所引起的振蕩，稱為重力波。它的波長(zhǎng)可達(dá)幾百千米，比海洋的最大深度還要長(zhǎng)，并且無論海水多深，海嘯都可以傳播過去。7.2.1平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波：簡(jiǎn)諧波的波面是平面。一平面簡(jiǎn)諧波在理想介質(zhì)中沿x軸正向傳播，設(shè)原點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式：y

表示該處質(zhì)點(diǎn)偏離7.2平面簡(jiǎn)諧波的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述x為P點(diǎn)在x

軸的坐標(biāo)。平衡位置的位移，yxoPxu平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)o點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)傳到P點(diǎn)需用因?yàn)镻點(diǎn)是任意選取的，它代表了波線上任意一點(diǎn)在任意時(shí)刻離開平衡位置的位移。因此上式稱正行波的波動(dòng)方程。P點(diǎn)的振動(dòng)方程：yxoPxuP點(diǎn)比o點(diǎn)晚振動(dòng)可改寫成：正、逆行波的波函數(shù)一平面簡(jiǎn)諧波在理想介質(zhì)中沿x

軸負(fù)向傳播，yxoPxu波動(dòng)方程的物理意義(2)

波形傳播的時(shí)間周期性(1)振動(dòng)狀態(tài)的空間周期性

說明波線上振動(dòng)狀態(tài)的空間周期性說明波形傳播的時(shí)間周期性t1時(shí)刻的波形Oyx(4)t給定，y=y(x)表示t

時(shí)刻的波形圖(5)

x和t

都在變化，表明各質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移分布。

(3)x給定，y=y(t)是x處振動(dòng)方程t1+Δt時(shí)刻的波形x1同一波線上相位差為2

的質(zhì)點(diǎn)之間的距離；即波源作一次完全振動(dòng)，波前進(jìn)的距離。7.2.2平面簡(jiǎn)諧波的基本特征物理量波前進(jìn)一個(gè)波長(zhǎng)距離所需的時(shí)間。周期表征了波的時(shí)間周期性。由振源決定。單位時(shí)間內(nèi)，波前進(jìn)距離中完整波的數(shù)目。頻率與周期的關(guān)系為振動(dòng)狀態(tài)在媒質(zhì)中的傳播速度。

波長(zhǎng)反映了波的空間周期性。

波速與波長(zhǎng)、周期和頻率的關(guān)系為7.2.3平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù)的其他形式由得

(2)不僅適用于機(jī)械波，也適用于電磁波、熱傳導(dǎo)、化學(xué)中的擴(kuò)散等過程；(1)上式是一切平面波所滿足的微分方程（正、反傳播）；(3)若物理量是在三維空間中以波的形式傳播，波動(dòng)方程為說明例題7-1一根長(zhǎng)線用水平力張緊，在上面產(chǎn)生一列向左傳播的簡(jiǎn)諧波，波速為20m/s．在t=0時(shí)它的波形曲線如圖7-６所示．求該簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)．解：由圖7-6可以看出，振幅，波長(zhǎng)則周期角頻率若設(shè)波源處的振動(dòng)方程為，則由圖7-6可以看出，波源的，原點(diǎn)處質(zhì)元的振動(dòng)方程為由于在波的傳播過程中，整個(gè)波形向左平移，所以波函數(shù)為振動(dòng)初相位為例題7-2頻率為3000Hz的聲波，以1560m/s的傳播速度沿一波線傳播，經(jīng)過波線上的A點(diǎn)后，再經(jīng)13cm而傳到B點(diǎn)．求：⑴

B點(diǎn)的振動(dòng)比A點(diǎn)落后的時(shí)間；⑵波在A、B兩點(diǎn)振動(dòng)時(shí)相位差是多少？⑶設(shè)波源做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為1mm，求振動(dòng)速度的幅值，是否與波的傳播速度相等？解：⑴因?yàn)椴ǖ闹芷跒椴ㄩL(zhǎng)為所以B點(diǎn)的振動(dòng)比A點(diǎn)落后的時(shí)間為，即⑵由于A、B兩點(diǎn)距離相差，所以波在A、B兩點(diǎn)振動(dòng)時(shí)的相位差為⑶如果振幅，則振動(dòng)速度的幅值為振動(dòng)速度隨時(shí)間按余弦函數(shù)形式做周期變化，幅值為18.8m/s，遠(yuǎn)小于波動(dòng)的傳播速度1560m/s．三維情況：式中稱為

拉普拉斯算子由波函數(shù)7.3平面簡(jiǎn)諧波的動(dòng)力學(xué)描述對(duì)t和x分別求二階偏導(dǎo)數(shù)，得平面波的波動(dòng)方程7.3.1平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程7.3.2波速振動(dòng)狀態(tài)在介質(zhì)中的傳播速度稱為波速（wavevelocity），一般用u表示。由于波動(dòng)本身就是振動(dòng)相位的傳播過程，因此，波速實(shí)質(zhì)上也是相位傳播的速度，簡(jiǎn)稱相速（phasevelocity）。從波的運(yùn)動(dòng)學(xué)角度來看，波速是指在單位時(shí)間內(nèi)波傳播的距離，所以有或表示為例題7-3在室溫下，已知空氣中的聲速為340m/s，水中的聲速為1450m/s，求頻率為200Hz和2000Hz的聲波在空氣中和在水中的波長(zhǎng)各為多少？解：頻率為200Hz和2000Hz的聲波在空氣中的波長(zhǎng)分別為它們?cè)谒械牟ㄩL(zhǎng)分別為可見，同一頻率的聲波，在水中的波長(zhǎng)比在空氣中的波長(zhǎng)要長(zhǎng)得多。7.4.1波的能量能量密度7.4波的能量和波的強(qiáng)度之和每個(gè)質(zhì)元振動(dòng)所具有的動(dòng)能每個(gè)質(zhì)元形變所具有的勢(shì)能以平面簡(jiǎn)諧波為例，波動(dòng)方程（）為：可以證明：波的能量：平均能量密度：能量密度：波傳播所經(jīng)歷媒質(zhì)中單位體積內(nèi)的能量能流(瞬時(shí)功率)——單位時(shí)間內(nèi)通過垂直于波傳播方向某一面積的能量單位：瓦特（W）7.4.2能流波的強(qiáng)度平均能流能流密度(功率密度)波的強(qiáng)度——單位時(shí)間內(nèi)通過垂直于波傳播方向單位面積的平均能量。即通過單位面積的平均能流。（也稱波的強(qiáng)度）

能流密度(波的強(qiáng)度)為矢量，其方向與波速相同單位：Wm-21.對(duì)于任意的簡(jiǎn)諧波3.定義：機(jī)械波的特性阻抗討論：對(duì)于光波：兩媒質(zhì)比較：折射率較大者稱光密媒質(zhì)折射率較小者稱光疏媒質(zhì)兩媒質(zhì)比較：

較小者稱波疏媒質(zhì)

較大者稱波密媒質(zhì)2.對(duì)于同一種媒質(zhì)，波的相對(duì)波強(qiáng)例題7-5一正弦式空氣波沿直徑的圓柱形管子的軸向傳播，，頻率為，波速為，求：⑴波的平均能量密度和最大能量密度；⑵兩個(gè)相位差為2π的等相面之間的區(qū)域中含有的機(jī)械能．解：⑴由式（7-22）得波中的平均能量密度為最大能量密度⑵

因?yàn)閮蓚€(gè)相位差為2π的等相面之間相距為λ，所以這兩個(gè)等相面之間區(qū)域中含有的總機(jī)械能為波的強(qiáng)度為1.惠更斯原理實(shí)際上一些理想模型可以寫出解析方程（如平面諧波），但大多數(shù)情況是很難寫出波動(dòng)方程的解析解。所以物理上通常采用定性和半定量的方法加以補(bǔ)充。要解決波的傳播問題，原則上列出波動(dòng)方程后解方程，從而得到運(yùn)動(dòng)的表述?；莞乖砭褪欠浅３晒Φ亩ㄐ院桶攵糠椒?。7.5波的衍射和干涉駐波7.5.1惠更斯原理波的衍射1678年惠更斯提出的惠更斯原理，利用簡(jiǎn)潔的作圖法定性解決了波的傳播問題。

在研究光的衍射等問題時(shí)，菲涅爾利用疊加的概念對(duì)惠更斯原理做了重要發(fā)展，稱惠更斯－菲涅爾原理。

基爾霍夫?qū)⒒莞梗颇鶢栐砑右詳?shù)學(xué)描述，發(fā)展成“光傳播”的重要計(jì)算手段，即基爾霍夫方程。

在研究波的傳播問題中，波動(dòng)方程和惠更斯原理同等重要，相互補(bǔ)充。惠更斯原理：子波：波面上任一點(diǎn)都是新的振源，發(fā)出的波稱為子波；波動(dòng)傳播到的任一點(diǎn)都可以看成是產(chǎn)生次級(jí)子波的波源，在其后的某一時(shí)刻，這些次級(jí)子波的包跡（包絡(luò)線）就決定了新的波陣面。子波面的包絡(luò)線（新波面）——

t時(shí)刻各子波波面的公共切面（包絡(luò)面），就是該時(shí)刻的新波面。作用：已知一波面就可求出任意時(shí)刻的波面。包跡（包絡(luò)線）：一條曲線和一族曲線的每一條都相切，則這條曲線稱為這族曲線的包跡（或包絡(luò)線）。t+

t時(shí)刻波面·····u

t波傳播方向t時(shí)刻波面···············t+

tut

波在各向同性介質(zhì)中傳播例：2.波的衍射衍射——波傳播遇到障礙物時(shí)，發(fā)生偏離原來直線傳播方向的現(xiàn)象。（波面破損或畸變）

一切波動(dòng)都具有衍射現(xiàn)象

衍射是波動(dòng)的直接證據(jù)之一平面波經(jīng)小孔衍射成球面波平面波入射障礙物障礙物平面波入射衍射是否明顯決定于障礙物（包括孔、縫）的線度與波長(zhǎng)的比較。對(duì)一定波長(zhǎng)的波：線度小的障礙物衍射現(xiàn)象明顯；線度大的障礙物衍射現(xiàn)象不明顯。水波通過窄縫時(shí)的衍射廣播和電視哪個(gè)更容易收到?更容易聽到男的還是女的說話的聲音？障礙物衍射：受限的尺度與波長(zhǎng)相比選講用惠更斯作圖法導(dǎo)出了光的折射定律u2

t媒質(zhì)1折射率n1媒質(zhì)2折射率n2i法線B入射波A··E·Cu1u1

t··FDu2折射波傳播方向r

——?dú)v史上說明光是波動(dòng)作圖步驟：選講絕對(duì)折射率定義即：u2

t媒質(zhì)1折射率n1媒質(zhì)2折射率n2i法線B入射波A··E·Cu1u1

t··FDu2折射波傳播方向r導(dǎo)出折射定律得折射定律選講如果第1種介質(zhì)是空氣，第2種介質(zhì)是水——實(shí)驗(yàn)結(jié)果：折射角小于入射角結(jié)論：光在空氣中傳播的速度大于水中的速度；后來光速測(cè)量說明了上述結(jié)論的正確。由歷史上，惠更斯原理給出了光的波動(dòng)說,同時(shí)惠更斯介入了關(guān)于光的本性認(rèn)識(shí)的爭(zhēng)論。選講7.5.2波的疊加原理波的干涉——幾列波同時(shí)在一介質(zhì)中傳播，每列波都將獨(dú)立地保持自己原有的特性傳播，就象在各自的路程中，沒有遇到其它波一樣，這稱為波傳播的獨(dú)立性。——在波相遇的區(qū)域內(nèi)，任一點(diǎn)的合振動(dòng)是各列波在該點(diǎn)分振動(dòng)的矢量和。

強(qiáng)度較小時(shí)，相應(yīng)的波動(dòng)方程為線性時(shí)才成立；當(dāng)強(qiáng)度甚大時(shí)，各列波之間相互影響明顯，疊加原理失效。波的獨(dú)立傳播原理：波的疊加原理：1.波的疊加原理2.波的干涉干涉現(xiàn)象——滿足一定條件的兩列波相遇時(shí)，某些點(diǎn)的振動(dòng)始終加強(qiáng)，某些點(diǎn)的振動(dòng)始終減弱的現(xiàn)象。相干條件頻率相同振動(dòng)方向相同有恒定相位差——滿足相干條件的兩列波稱為相干波；——滿足相干條件的兩波源稱為相干波源。s1s2pr1r2相干波源s1

和s2振動(dòng)方程：P點(diǎn)振動(dòng)方程相干波的干涉式中s1s2pr1r2相干波干涉加強(qiáng)相干波干涉減弱相位差討論：（1）（2）（3）若則波程差：相干波干涉減弱（i）（ii）相干波干涉加強(qiáng)7.5.3駐波半波損失

兩列振幅相同的相干波，在同一條波線上，沿相反方向傳播，干涉疊加而產(chǎn)成駐波。1.駐波駐波實(shí)驗(yàn)2A0t=T/8xx0t=T/20xt=T/4

/4-

/4x02A-2A振動(dòng)范圍

/2xt=3T/80駐波的形成入射波反射波波的疊加波腹波節(jié)駐波方程振幅駐波方程一般?。簞t：

稱為

波節(jié)（1）當(dāng)稱為

波腹（2）當(dāng)討論：（3）相鄰兩個(gè)波腹和相鄰兩個(gè)波節(jié)之間距離都是

/2說明：

駐波能量沒有定向傳播，能量只是在每一分段之內(nèi)，進(jìn)行著動(dòng)能和勢(shì)能的轉(zhuǎn)變。

駐波表現(xiàn)為分段振動(dòng)，同段內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)相位相同，相鄰兩段的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)相位相反。（4）相鄰的波腹與波節(jié)之間距離則為

/4波節(jié)駐波相位突變?chǔ)胁ㄊ杳劫|(zhì)波密媒質(zhì)x2.半波損失

波從波疏媒質(zhì)到波密媒質(zhì)，從波密媒質(zhì)反射回來，在反射處發(fā)生了的相位突變

在反射點(diǎn)處的繩固定不動(dòng)，是波節(jié)。(1)從波疏介質(zhì)到波密介質(zhì)演示半波損失

當(dāng)反射點(diǎn)處的繩是自由端時(shí)，反射波沒有“半波損失”，形成的駐波在此是波腹。波腹相位不變波疏媒質(zhì)波密媒質(zhì)x駐波(2)從波密介質(zhì)到波疏介質(zhì)(

1u1>2u2)全波反射從波疏介質(zhì)到波密介質(zhì)(

1u1<2u2)反射波有半波損失，反射點(diǎn)(交界處)是節(jié)點(diǎn)從波密介質(zhì)到波疏介質(zhì)(

1u1>2u2)反射波無半波損失，反射點(diǎn)(交界處)是腹點(diǎn)透射波不存在相位突變結(jié)論：7.6機(jī)械波的多普勒效應(yīng)設(shè)波源的運(yùn)動(dòng)、探測(cè)器的運(yùn)動(dòng)以及波速都沿同一條直線

由于波源或觀察者相對(duì)波的傳播介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致觀察者接收到的波的頻率與波源的振動(dòng)頻率間存在差別的現(xiàn)象。波源的運(yùn)動(dòng)速度為vS，波源的振動(dòng)頻率為

S規(guī)定：探測(cè)器的運(yùn)動(dòng)速度為vO，探測(cè)到的頻率為

波源、探測(cè)器的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)影響探測(cè)到的頻率聲源與觀察者相趨近時(shí)，vs和v0為正；遠(yuǎn)離時(shí)為負(fù)。7.6.1波源和探測(cè)器都靜止7.6.2波源靜止，探測(cè)器運(yùn)動(dòng)探測(cè)器P向波源S靠近