2022-2023上海實驗中學(xué)高三年級上冊數(shù)學(xué)月考試卷及答案

上海實驗2022學(xué)年第一學(xué)期高三年級數(shù)學(xué)月考

2022.12

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫

結(jié)果，每個空格填對前6題得4分、后6題得5分，否則一律得零分.

1.A-<x---y2=l,xeR,yeR>,B-<y—+y2=l,xeR_yeR,，則4n8=____.

I4JI4

2.已知函數(shù)/（x）=sinx+cosx+xe*,則/（0）=.

3.已知直線/經(jīng)過點尸（1,2）傾斜角。的正弦值為1,則/的點斜式方程為.

4.己知向量1=（1,6）/=（3,掰）.若向量刃在￡方向上的數(shù)量投影為3,則實數(shù)〃2=.

5.若復(fù)數(shù)z同時滿足z—Z=2i,z=iz,則目=（i是虛數(shù)單位，［是z的共粗復(fù)數(shù)）.

6.若sina=3,且a是第二象限的角，則cot（巴

7.已知/（x）=3f—e"函數(shù)/（x）的零點從小到大依次為菁，i=l,2,若

%,.e［/?,w+1）（WGZ）,則寫出所有的機所組成的集合.

8.集合S={1,2,3,4,5},從S的所有非空子集中，等可能地取出一個.設(shè)NqS,若XGN,

則6-xe4,就稱子集Z滿足性質(zhì)p，則所取出的非空子集滿足性質(zhì)p的概率為.

9.在ZXNBC中，設(shè)角力,B,C對應(yīng)的邊分別為a,b,c,記△48C的面積為S,

且且4/=〃+2。2,則目的最大值為.

a

10.己知實數(shù)；I同時滿足：（1）AD=AAB+（1-A）AC,其中。是△ZBC邊8c延長線

上一點；（2）關(guān)于x的方程2sin2x-（4+l）sinx+l=0在［0,2萬）上恰有兩解，則實數(shù)為的

取值范圍是.

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11.已知實數(shù)玉，x2,凹，為滿足：x：+y；=i,x；+*=l,xxx2+yxy2=,則

??—-+A/2|X2+%-11的最大值為.

12.對任意xeR,函數(shù)/(x)滿足：/(x+1)="(x)—,尸(x)+；,an=/'(?)-/(?)，

數(shù)列｛4｝的前15項和為—意，數(shù)列｛cn｝滿足c“+c?+1=[/(2023)]\若數(shù)列｛c,,｝的前〃

項和的極限存在，則j=.

二、選擇題(本大題滿分20分)本大題共有4小題，每題都給出四個結(jié)論，其中有且只有

一個結(jié)論是正確的，必須把答題紙上相應(yīng)題序內(nèi)的正確結(jié)論代號涂黑，選對得5分.

22

13.設(shè)點M、N均在雙曲線C：?一《=1上運動，K，月是雙曲線C的左、右焦點,

1斯+近—2而"的最小值為()

A.273B.4C.277D以上都不對

14.已知函數(shù)/(x)=2sin(2x+f),把函數(shù)/(x)的圖像沿x軸向左平移.個單位，得

到函數(shù)g(x)的圖像，關(guān)于函數(shù)g(x),下列說法正確的是()

A.在上是增函數(shù)B.其圖像關(guān)于直線x=-工對稱

.42」4

C.函數(shù)g(x)是奇函數(shù)D.當(dāng)xe0,y時，函數(shù)的值域是[-1,2]

15.直線m，平面a,垂足是0,正四面體Z8CQ的棱長為4,點C在平面a上運動，點

8在直線〃?上運動，則點O到直線的距離的取值范圍是()

4立-54拒+5

B.[2拒-2,2拒+2]

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3-2近3+2五

D.[372-2,372+2]

~2~，-2-

16.在平面直角坐標(biāo)系X。中，已知向量G,幾同=忖=1,75=0,點0滿足

OQ-y[z[a+b^.曲線C=1p|oP=acos8+加sine,0W8<2乃},

區(qū)域Q={P|O〈尸《|可上/?,r<及卜若cn。為兩段分離的曲線，則（）

A.l<r<7?<3B.l<r<3<J?C.r<1<7?<3D.l<r<3<7?

三、解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域

（對應(yīng)的題號）內(nèi)寫出必要的步驟.

17.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

2m'+-|j|sinx|

已知meR,函數(shù)/(x)=1+—sinx+cos2x-

（1）若〃?=0,求/（x）的最大值；

（2）若/（x）在時的最小值為:，求加的值.

18.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

JI1

如圖，在直角梯形48c。中，ADHBC,NBAD=—,AB=BC=-AD=a,E是4D

22

的中點，。是/C與8E的交點.將△Z8E沿8E折起到如圖2中△4BE的位置，得到

四棱錐4一88E.

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(1)證明：cz>J>平面4。。；

(2)當(dāng)平面46E平面8C￡>E時，四棱錐4-8CZ)E的體積

為36五，求a的值.

19.(本題滿分14分，第1題6分，第2題8分)

根據(jù)預(yù)測，某地第個月共享單車的投放量和損失量分別為?！昂汀?單位：輛)，

f5?4+151<〃<3

其中勺='一一，b?=n+5,第〃個月底的共享單車的保有量是前〃個月的

[-10〃+470,〃24

累計投放量與累計損失量的差.

(1)求該地區(qū)第4個月底的共享單車的保有量；

(2)已知該地共享單車停放點第〃個月底的單車容納量Sa=-4(〃-46)2+8800(單位：

輛).設(shè)在某月底，共享單車保有量達(dá)到最大，向該保有量是否超出了此時停放點的單車容

納量？

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20.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分)

22

設(shè)耳，耳分別是橢圓。：會+%=1(。>6>0)的左、右焦點，過耳作傾斜角為。的直

線交桶圓。于4,8兩點，耳到直線48的距離為3,連接橢圓。的四個頂點得到的菱形

面積為4.

(1)求橢圓。的方程；

(2)已知點M(—1,0),設(shè)E是橢圓。上的一點，過￡、M兩點的直線/交y軸于點C,

若屈=4而，求;t的取值范圍；

(3)作直線4與橢圓。交于不同的兩點P,Q,其中P點的坐標(biāo)為(—2,0),若點N(0,f)

是線段尸。垂直平分線上一點，且滿足標(biāo)?福=4,求實數(shù)/的值.

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21.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分)

記/'(X),g'(x)分別為函數(shù)/(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù)，若存在與eR,滿足〃Xo)=g(x。)

且「'(x())=g'(xo)，則稱/為函數(shù)/(x)與g(x)的一個“S點”.

(1)證明：函數(shù)/卜)=%與8卜)=%2+2萬—2不存在“S點”；

(2)若函數(shù)/(司=加_1與g(x)=lnx存在“S點”，求實數(shù)a的值；

(3)已知函數(shù)/(x)=—f+a,g(x)=-.對任意a〉0,判斷是否存在6〉0,使函

數(shù)/(x)與g(x)在區(qū)間(0,+oo)內(nèi)存在“S點”，并說明理由.

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參考答案

一、填空題

1.[-1,1];2.2;3.y=±[(x—1)+2;4.百；5.V2;6.-3：7.we｛-1,0,3)：

8--:9.嚕；10sT)|J｛T-20｝；11.V7+1^/212.1y

12.對任意xeR,函數(shù)〃x)滿足：/(x+1)="(x)-/2(x)+；，%=f(〃)—/(〃)，

數(shù)列｛4｝的前15項和為一工，數(shù)列｛.｝滿足c“+C“M=[/(2023)]”,若數(shù)列｛%｝的前n

項和的極限存在，則C]=_____.

【答案】I

【解析】對任意xeR,函數(shù)/(%)滿足:/(x+1)=J/(x)-/2(對+；,

%=尸(〃)一/(〃)，則/(x)-/2(%)...0,解得0,J(x),L

...ane[-l,0].

i31(iA71

a〃+]+a〃=數(shù)列｛a〃｝的前15項和，.二6+7xI——=-,

3Q味=得"焉"(2019)一/(2019)-卜高=0,

解得q.a

17

解得/(2019)="或屋數(shù)列｛c.｝滿足%+cn+1=[/(2019)r，

，或圖.若c,,+c“+H?數(shù)列｛c“｝的前〃項和的極限存在,

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11

c,+_KI=—1.若c?+c?+l=(3],v數(shù)列｛q,｝的前n項和的極限存

i__5\4J

1616

93

在，，解得j=3.故答案為：3.

'99177

1-------1------------

1616

二、選擇題

13.B14.D15.B16.A

16.在平面直角坐標(biāo)系X。中，已知向量E,口第=1,￡4=0,點0滿足

麗=0僅+B).曲線C=[P|而=￡COS9+欣由仇0<6<2乃｝,區(qū)域

Q=^|o<r<|P2|<A,r</?|.若CD。為兩段分離的曲線，則()

A.1<r<7?<3B.l<r<3<7?C.r<1<7?<3D.1<r<3<7?

【答案】A

【解析】???平面直角坐標(biāo)系xOy中。已知向量5、6,|5|=|6|=\,a-b=0

不妨令a=(1,0),5=(0,1),則麗=y/2(a+6)=("瓜

OP=2cos。+Bsin。=(cos仇sin夕)故P點的軌跡為單位圓，

Q={^(0<r?\PQ\?Rr<R}表示的平面區(qū)域為：以。點為圓心，內(nèi)徑為小外徑為R的

圓環(huán)，若CcQ為兩段分離的曲線,則單位圓與圓環(huán)的內(nèi)外圓均相交，

故|。01—1(r<HVOQ|+1「I001=2,故1<r<7?<3,

三、解答題

7

17.已知加wR,函數(shù)/(x)=l+-sinx+cos2x-

(1)若加=0,求/(x)的最大值;

(2)若/(x)在04x4^時的最小值為g,求勿的值.

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2?

【解析】(1)陽=0時/(x)=l+§sinx+cos2x-§|sinx|.2分

由于sinx-|sin、40,8s?,因此/(%)。2,當(dāng)x=0時可取得等號.故/(x)的最大值為2.

(2)OSxw］時/(x)=1+cos2x-2m2sinx=-sin2x-2m2sinx+2.8分

設(shè)/=sinx,則/(x)=g(z)=-/2-2〃/Z+2(0<Z<1).11分

由于二次函數(shù)g。)頂點的橫坐標(biāo)為-/wo,故［=1時g(f)取得最小值1一2〃戶，從而

w2=-,即加=±—.

42

18.(1)略⑵6

19.［解析］(1)(q+g+。3+%)-(A+4+"+")=965-30=935

(2)—10〃+470>"+5=〃442,即第42個月底，保有量達(dá)到最大

/、“777、°入(420+50)x38］(6+47)x42?。。

(q+/+%+…+%)-(4+2+4+,,,+”)=［9654--------------］-------....=8782

S42=-4(42-46)2+8800=8736,.?.此時保有量超過了容納量.

2c。I\A

20.【答案】(1)—+/=1(2)2>--^2<-2(3)，=±2在或土

4-35

【解析】⑴設(shè)耳，鳥的坐標(biāo)分別為(一c,0),(c,0)，其中c>0

由題意得48的方程為：y=a(x-c)

因大到直線48的距離為3,所以有=3,解得c=Ji2分

所以有/_/=。2=3……①

由題意知：,x2ax2b=4,即ab=2②

2

聯(lián)立①②解得：a=2,6=1

丫2

所求橢圓D的方程為—+/=14分

4-

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丫2

（2）由（I）知橢圓。的方程為二十必=1

4-

設(shè)￡（X],必），C（O,m）,由于=,所以有（不必一加）=4（-1-x”一切）

Am

x,=-----,y.=----7分

11+Z11+4

(-—)2

又E是橢圓D上的一點,則一1+"--+(-)2=1

41+A

(32+2)(2+2)

所以加2

4

2

解得：A.>—或丸W—210分

3

（3）由尸（一2,0）,設(shè)0（國,必）

根據(jù)題意可知直線4的斜率存在，可設(shè)直線斜率為左，則直線4的方程為歹=%（》+2）

把它代入橢圓D的方程,消去y,整理得：（1+4k2）x2+I6k2x+（16%2-4）=0

由韋達(dá)定理得-2+Q-黑，則寸霽，乂=明+2）=4k

1+4公

所以線段尸。的中點坐標(biāo)為（_三^,-2i_）

（1）當(dāng)左=0時，則有。（2,0）,線段尸。垂直平分線為y軸

于是而=(—2,7),而=(2,T)

由而?而=-4+〃=4,解得：/=±2四12分

（2）當(dāng)左。0時，則線段尸0垂直平分線的方程為歹―￡*=-戶）

因為點N（0,t）是線段PQ垂直平分線的一點

令x=0,得：/=一_J

1+4公

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于是冠=(-2,T),而=(再，必-1)

4(16左4+15左2-1)V14

由NP-NQ=-2再一/(,一/)==4,解得：左=±—^―

(1+4左2了

2V14

6k

代入」，解得：f=±

1+4公5

綜上，滿足條件的實數(shù)f的值為，=±2五或，=±2普.18分

21.記/'(x),g'(x)分別為函數(shù)/(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù)，若存在x°eR,滿足

/(x°)=g(x。)