2023年浙江省高考數學總復習：立體幾何（附答案解析）

2023年浙江省高考數學總復習：立體幾何

1.如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABC。為菱形，B￡_L平面ABCO,G為AC與8。的

交點.

(1)證明：平面4EC_L平面3ED；

(2)若/840=60°,AEA.EC,求直線EG與平面EDC所成角的正弦值.

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2.如圖，在四棱錐S-ABC。中，底面ABC。為矩形，ASAD為等腰直角三角形，SA=SD

=2√2,AB=2,F是BC的中點，二面角S-Ao-B的大小等于120°.

(1)在4。上是否存在點E,使得平面SEFL平面ABC￡?,若存在，求出點E的位置:

若不存在，請說明理由；

(2)求直線SA與平面SBC所成角的正弦值.

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3.如圖，三棱錐E-BC。中，AECO為正三角形，平面ECD平面BCD,BC=DC=專BD

=2,M,N分別是線段Eo和BD的中點.

(I)求點C到平面BQE的距離；

(II)求直線EN與平面MC3所成角的正弦值.

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4.如圖，在三棱柱ABC-AIBlCl中，平面AIAeel_L平面ABC,Z?ABC和AAiAC都是正

三角形，。是AB的中點

(1)求證：8?！ㄆ矫鍭iOC;

(2)求直線AB與平面OCCl所成角的正切值.

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5.如圖，在等腰直角三角形AQP中，已知A=*,AO=3,B,C分別是AP,OP上的點，

E是CO的中點，BC//AD.現將aPBC沿BC折起，使得點P在平面ABCO上的射影

為點A.

=≠>

(1)若B,C分別是AP、DP的中點，求證：平面網Cj_平面PCD

(2)請判斷是否存在一種折法，使得直線PB與平面ABCD所成角的余弦值是直線PB

與平面BAE所成角的正弦值的?倍？若存在，求出A8的長；若不存在，請說明理由.

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6.在直三棱柱ABC-AlBlCI中，NBAC=90°,AC=AB=AAI=2,設點M,N,P分別是

AB,BC,B?C?的中點.

(I)證明：AΛι〃平面PMN；

(II)若。為A4上的動點，試判斷三棱錐P-。MN的體積是否為定值？并說明理由.

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1

7.在多面體ABCCIA向中，四邊形ABBIAI為菱形，BC∕∕B?C?,BC=少ICi，AlCl=AιA,

ABLB?C,ZB1BA=6O0,平面43BlAlj"平面ABC

(1)在棱AB上是否存在點O,使得AB_L平面8∣0C?若存在，請給予證明；若不存在,

請說明理由.

(2)求二面角C↑-AC-B的正弦值.

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8.在四棱錐P-ABCo中，側面以。_1_底面ABe。，PA=AD=DC=6,AC=6√2,48=3,

CO〃平面∕?B,ZPAD=60°.

(I)求證：平面PCoj_平面PBC；

(II)求二面角P-BC-D的余弦值.

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9.如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為2的正方形，且平面SAO_L平面ABCD,M,

N分別為棱A。，BC的中點，SA=SD,SA±SD,P,。為側棱SO上的三等分點(點P

靠近點S).

(1)求證：PN〃平面MQC；

(2)求多面體MPQCN的體積.

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10.如圖，四邊形MABC中，Z?A8C是等腰直角三角形，AULBC,是邊長為2的

正三角形，以AC為折痕，將aMAC向上折疊到aD4C的位置，使點。在平面ABC內

的射影在AB匕再將4M4C向下折疊到aEAC的位置，使平面E4C_L平面48C,形成

幾何體DABCE.

(1)點尸在BC上，若3尸〃平面EAC,求點F的位置;

(2)求直線AB與平面EBC所成角的余弦值.

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II.如圖，直三棱柱BCF-中，。為E”的中點，AB=BF,BFLCF,AB=BF=CF=

2.

(I)求證：AFVBH-,

(II)求平面AoC與平面ABC所成角的余弦值.

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⑵在如圖所示的幾何體中，四邊形ABC。是菱形，NBAo=I20°,4后_1_平面ABCf>,AE

//CF.

(1)求證：Z)F〃平面ABE

(2)若AO=AE=2C尸=2,求該幾何體的表面積.

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13.如圖，在四棱錐P-ABCD中，△外。是等邊三角形，平面以。_1_平面ABCD,底面

ABCQ是直角梯形，AD//BC,已知AO=2BC=4,NBAo=60°.

(1)若E為雨的中點，求證：BE〃平面PCr＞；

(II)求二面角B-PC-D的正弦值.

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14.已知在平行四邊形ABCD中，40=2,AB=√3,ZADC=如圖，DE//CF,且Z)E

O

=3,CF=4,ZDCF=等且平面4BCZ)"L平面COEF.

(I)求證：AC，平面CDEF；

(H)求二面角D-AE-C的余弦值.

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15.如圖，己知四棱錐P-4BCO中，AD//BC,AB=CD,AD=2BC=2PC=2,PD=y[3,

ZADC=GOo.

(1)求證：BPLCD-,

(2)若8尸=VL求直線PC與平面玄。所成角的正弦值.

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16.如圖，在四棱錐P-ABC0中，△/?∕)是等邊三角形，平面小。_1_平面A8CQ,底面

ABCQ是直角梯形，AD//BC,已知AO=2BC=4,NB40=60°.

(I)若E為公的中點，求證：BE〃平面PCO；

(II)求四棱錐P-ABCD的體積.

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17.如圖，在直三棱柱ABC-AIBICI中，AB=BC=AAi,ABLBC,。為AB的中點，E為

BC上一點,滿足CE=2EB.

(1)求證：AlC〃平面BiDE;

(2)求二面角Bi-AiC-Ci的余弦值.

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18.已知在平行四邊形ABCD中，40=2,AB=√3,ZADC=如圖，DE//CF,且Z)E

O

=3,CF=4,ZDCF=等且平面4BCZ)"L平面COEF.

(I)求證：AC，平面CDEF；

(II)求四棱錐F-ABCD的體積.

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19.如圖所示，在四棱錐E-ABCo中，四邊形ABCD是直角梯形，AB=AE=BC=%。=1,

BC//AD,AEl5FffiABCD,NBAD=90°,N為。E的中點.

(1)求證：NC〃平面EAB；

(2)求二面角A-CN-D的余弦值.

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20.如圖，在多面體ABC3E尸中，四邊形ABC。、四邊形ACT=1E均為菱形，ΛBAD=AEAC

=120°.

(1)求證：平面BoF_L平面ACFE；

(2)若BE=DE,求二面角C-BF-E的余弦值.

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21.如圖所示，在三棱錐ABC。中，AB=BC=BD=2,AD=2√3,/CBA=NCBD=與點、

E,尸分別為AD,8。的中點.

(I)求證：平面ACZ)_L平面8CE；

(II)求四面體CDEF的體積.

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22.如圖，在棱長為3的正方體中，過頂點Ql作平面支交AAl于E點，交BBl于F點，使

得AIE=1,BF=I.

(I)求證：AC〃平面a；

(II)求點。到平面a的距離.

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23.已知448C,AB=BC,ZCBA=60°,沿著邊CB把AABC進行翻折，使平面ABC與

平面。BC垂直，可由aABC翻折得到.回答下列問題.

(I)直線AC與平面ABO所成角的余弦值；

(II)二面角A-BD-C的余弦值.

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24.如圖，四棱錐P-ABCO,底面四邊形ABCO為梯形，且滿足AD=I,AB=CD=3,BC

=4且AQ〃BC,PQJ_底面ABCD設平面《4。與平面PBC的交線為/.

(I)求/與平面POC所成的角；

(II)已知PO=I,求平面∕?B與平面尸。C所成的銳二面角的余弦值.

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25.如圖，在三棱臺4BC-A'B'C中，已知平面ABB'A'_L平面ABC,ACLBC,Z

CBA=?四邊形A88'A'是等腰梯形，AB=2A'B'=2BB',E,尸分別為8A'

6A,

Cl的中點.

(1)求證：EFLACi

(2)求直線EF與平面ACuA'所成角的正弦值.

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26.如圖，AABC為正三角形，半圓。以線段BC為直徑，O是比上的動點(不包括點8,

C),平面ABC_L平面BCD

(1)是否存在點。，使得BOLAC?若存在，求出點。的位置：若不存在，請說明理由.

(2)若∕C8C=30°,求二面角O-Ao-C的余弦值.

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27.如圖，ZXABC是正三角形，D,E,尸分別是線段AB,BC,4C的中點，現將aAO尸和

△CEF分別沿著。F,EF折起，使得4,C兩點在P點重合，得到四棱錐P-BEFZX

(1)證明：平面PBF_L平面BEFD-,

(2)設正三角形ABC的邊長為4,求三棱錐尸-PBE的體積.

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28.如圖，在四棱錐尸-ABCO中，底面ABCD為正方形，△必。為等邊三角形，平面以。

_L平面PCD.

(I)證明：直線C￡＞，平面心。；

(II)若AB=2,Q為線段PB的中點，求三棱錐Q-PC。的體積.

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29.如圖，在四棱錐P-ABCf）中，AD//BC,ADlAB,并且BC=24O=2AB=2,PM=看,

點P在平面ABC。內的投影恰為BD的中點M.

(I)證明：BPJ_平面PCD；

(II)求點A到平面PCD的距離.

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30.如圖，在四棱錐尸-ABCO中，己知∕?"L平面ABe￡),且四邊形ABC。為直角梯形，Z

TT

4BC=NBAO=務AD=2,AB=BC=

(1)當四棱錐P-4BCQ的體積為1時，求異面直線AC與PO所成角的大小;

(2)求證：Cz)J"平面∕?C.

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31.如圖所示，在三棱錐A-BCC中，AB=BC=BD=2,AD=2√3,NCBA=NCBD=3,

點、E,尸分別為AO,8。的中點.

(I)求證：EF〃平面ABC；

(II)求平面8CE與平面ACF所成銳二面角的余弦值.

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32.如圖，在四棱錐P-ABCf）中，AD//BC,ADLAB,并且BC=249=248,點P在平

面ABCD內的投影恰為BD的中點M.

(I)證明：^)，平面尸3。；

(II)若PM=AD,求直線刑與CO所成角的余弦值.

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33.如圖，在三棱錐P-ABC中，以_1_底面ABC,AABC是邊長為2的正三角形，側棱PB

Tr

與底面所成的角為二.

4

(1)求三棱錐P-ABC的體積V；

(2)若3為PB的中點，求異面直線以與Cr)所成角的大小.

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34.如圖1,在三棱柱ABC-AlBIeI中，B^ΠABLAC,AB=AC=?,AAi=2,且AAI，平

面ABC,過A],Cι,B三點作平面截此三棱柱，截得一個三棱錐和一個四棱錐（如圖2）.

（1）求異面直線BCl與AΛ∣所成角的大小（結果用反三角函數表示）；

（2）求四棱錐B-ACCIAl的體積和表面積.

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35.如圖，在矩形ABCO中，將4ACO沿對角線AC折起，使點。到達點E的位置，且AE

LBE.

(1)求證：平面ABfLL平面ABC

3√7-

(2)若BC=3,三棱錐B-AEC的體積為求點E到平面ABe的距離.

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36.如圖，在直三棱柱ABC-AIBiCl中，4ABC是正三角形，點。在棱B8∣上，且BBi=

3BιZλ點E為BC的中點.

(1)證明：平面4CE，平面BCCiBi;

(2)若BBι=3√Σ,AB=I,求點C到平面4。E的距離.

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37.如圖所示，在直三棱柱ABC-AlBICl中，底面是等腰直角三角形，/4CB=90°,CA

=CB=CG=2.點。，Dl分別是棱AC,AIeI的中點.

(1)求證：D,B,Bi,Ci四點共面；

(2)求直線BCI與平面OBBlDl所成角的大小.

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38.如圖,在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形,A8〃Cr>,CD=2AB=4,AD=√5,

△SCO是等腰直角三角形，SC=SD,SA=3.

(I)證明：平面SCOJ"平面4BCQ；

(II)若平面SAD與平面SCB的交線為I,求二面角C-I-D的余弦值.

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39.如圖，在矩形ABCD中，將AACO沿對角線AC折起，使點。到達點E的位置，且AE

VBE.

(1)求證：平面ABE_L平面ABC；

(2)若EB=夕，三棱錐B-AEC的體積為了，求二面角E-AC-B的余弦值.

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40.如圖，在三棱柱ABC-AlBlCI中，P,Q分別是A4”CB上一點，且AP=2∕?ι,CQ

=IQB.

(1)證明：AQ〃平面CPBi;

(2)若三棱柱ABC-AiBiCi為直三棱柱，且A4∣=3,BC=BA=√15,AC=2√3,求點

B到平面CPBI的距離.

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41.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。是正方形，AB=I,叨，平面43CL>,PB

與底面ABCZ）所成的角為45°,過A。的平面分別與PB,PC交于點E,F.

(I)求證：EFVDCx

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42.在四棱柱ABCn-AIBIC1。1中，四邊形ABC￡）是平行四邊形，AAi=AC=I,ZABC=

30o,BC=2,平面AB8iA|_L平面ABC￡>,M,N分別為AIC,AB的中點.

(I)求證：MN〃平面AiBCi；

(II)若cos/AlCB=華,求二面角C-MN-0的余弦值.

zr

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43.如圖所示，三棱柱ABC-AIBlCl中，平面ACClAlJ_平面ABC,AAilAC,AAl=AB=

BC=2,D,。分別為AC,4C的中點，且NBAC=30°.

(I)求證：DDilBC;

(II)求二面角BI-DAI-Ci的余弦值.

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44.如圖，四棱錐P-A8Cf)的底面為正方形，PC=PA=^PD=√5ΛD.E,尸分別是鬼,

Po的中點.

(I)證明：EF_L平面PCD；

(II)求二面角A-CE-F的余弦值.

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45.如圖，在四棱錐P-ABC。中，等邊三角形巾。所在平面與梯形ABC。所在平面垂直,

且CD//AB,AD=BD^2,DC=∣4B=√Σ點G為△/?O的重心，AC與BD交于點M.

(1)求證：GM〃平面「CC；

(2)求點C到平面PBO的距離.

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46.如圖，直三棱柱AS。-ABC中，A8=AC=1,Z.BAC=?,AιA=4,點M為線段AIA

的中點.

（1）求直三棱柱AIBIG-ABC的體積；

（2）求異面直線BM與BlCl所成的角的大小.（結果用反三角表示）

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47.如圖，已知直角梯形ABCr>,BC//AD,BC=CD=2,AD=4,NBCD=90°,點、E為

A。的中點，現將三角形ABE沿BE折疊，得到四棱錐A-BCnE,其中N4EO=120°,

點M為4D的中點.

(1)求證：A'B〃平面EMC；

(2)若點N為BC的中點，求四面體AMNB的體積.

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48?如圖，在三棱錐P-ABC中，AABC為正三角形，點O,E分別為AC,%的中點，其

中PA=PB=4凡PC=AC=4.

(1)證明：平面BDEl平面ABCx

√6

(2)若點F是線段AC上異于點D的一點，直線AE與平面BEF所成角的正弦值為丁，

4

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49.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，四邊形ABC。是梯形，AB//CD,ABLBC,且m=Po

=BC=CD=I,AB=2,PC=y∕3.

(1)證明：BDL平面PAD,

(2)求直線AO與平面PBC所成角的正弦值.

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50.在四棱錐P-ABCn中，PA=PC=I,底面ABCC是菱形，AB=2√3,NABC=60°.

(I)求證：ACLPB-,

(II)求四棱錐P-ABCD的體積.

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2023年浙江省高考數學總復習：立體幾何

參考答案與試題解析

1.如圖，在四棱錐E-ABCZ)中，底面ABCo為菱形，BE，平面ABC。，G為AC與3。的

^交?.占，、、、?

(1)證明：平面AEC，平面8EC；

(2)若NBAo=60°,AELEC,求直線EG與平面EOC所成角的正弦值.

【解答】(1)證明：；ABCD為菱形，；.ACLBO,

VBEX5PffiABCD,ACU平面ABCZ),

：.BElAC,

又BDCBE=B,BD、BEU平面BED,

.\AC_L平面BED,

YACu平面AEC,

二平面AEC，平面BED.

(2)解：設AB=I,在菱形ABCO中，由/840=60°,可得AG=GC=乎，BG=GD=

1

2,

/5

VAFlEC,：.EG=AG=

「BE，平面ABC￡>,：.BELBG,BE=√EG2-BG2=j???=?.

以G為原點，GB、GC分別為x、y軸，過點G作直線Gz〃BE,建立如圖所示的空間直

角坐標系，

,√311√2

則G(0,0,0),C(0,—,0),D(-?,0,0),E(-,0,—),

2222

T1y/2Ty/2Tl店V∑

ΛGE=(一，0,—),DE=(1,0,—),CE=(一,—?-,—),

222222

(TT(χ+2^^Z=O

設平面EDC的法向量為I=(%,y,Z),則［.呼=°,即〈2,

(九?CE=0Q%—2^y+-?-z=0

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令X=1,則y=—號，z=-√2,'.n=(I,—?,—√2),

2.如圖，在四棱錐S-ABe。中，底面ABCZ）為矩形，△%￡＞為等腰直角三角形，SA=SD

=2√Σ,AB=2,尸是BC的中點，二面角S-A。-B的大小等于120°.

（1）在AO上是否存在點E,使得平面SEr_L平面ABC。，若存在，求出點E的位置；

若不存在，請說明理由；

（2）求直線SA與平面SBC所成角的正弦值.

【解答】解：（1）在線段Ao上存在點E滿足題意，且E為AO的中點.

如圖,連接EF,SE,SF,

：四邊形ABCO是矩形，.?.ABLAQ,

又E、F分別是A。、BC的中點，

.?EF∕∕AB,ADlEF,

；ZXSAO為等腰直角三角形，SA=SD,E為AD的中點，

.,.SE±AD,

：SECEF=E,SE、EFU平面SEF,

.*.AZ)_L平面SEF,

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VΛDC5]ZDDABCD,.?.平面SEFJ_平面ABeO,

故AD上存在中點E,使得平面SEFL平面ABCD.

(2)由(1)知，SE1.AD,EFLAD,

，/SE尸為二面角S-AO-B的平面角，即NSM=I20°.

以E為原點，EA,E尸所在的直線分別為x、y軸，作EZJ_平面ABCD,建立如圖所示的

空間直角坐標系，

在等腰RtASAO中，SA^SD=2√2,ΛAD=4,SE=2,

：.S(0,-1,√3),A(2,0,0),B(2,2,0),C(-2,2,0),

：.SA=(2,?,-√3),SB=(2,3,-√3),SC=(-2,3,-√3),

n-SB=0即2x+3y—√3z=0

設平面SBC的法向量為n=(x,y,z),則f

n?SC=0—2x+3y—√3z=0

令y=l,則X=0,z=√3,：.n=(0,1,√3),

設直線SA與平面SBC所成角為θ,

TT

rι,TTSAn1-3√2

則sin。=ICOS<54n>∣=∣?~→→1=∣公…才-Γ'

∣SΛ∣?∣n∣√4+l+3×24

故直線S4與平面SBC所成角的正弦值為座.

4

3.如圖，三棱錐E-BCD中，AECD為正三角形，平面ECD，平面BCD,BC=DC=骨D

=2,M,N分別是線段Eo和BD的中點.

(I)求點C到平面Bz)E的距離；

(II)求直線EN與平面MCB所成角的正弦值.

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【解答】解：(I)???平面ECo_L平面BCD,且△￡(?為正三角形，CD=2,

二點E到平面BCD的距離為百，

：BC=QC=￥BZ)=2,4BCZ)是等腰直角三角形,

ISABCD=^BC?DC=2.

在43Z)E中，BE=BD=2√2,DE=2,

：?SABDE=B×2×V7—√7.

設C到平面BOE的距離為d,

,**VEBCD=Vc-BDEf

??gx0x2=*x√7,解得〃=亨,

2√21

故點C到平面8。E的距離為〒

(II)以C為原點，CD、CB所在的直線分別為x、y軸，作CzL平面8CQ,建立如圖

所示的空間直角坐標系,

,3√3L

則B(0,2,0),C(0,0,0),D(2,0,0),M(-,0,—),E(1,0,√3),N(1,

22

1,0),

TLT3v?T

：.EN=(0,1,-√3),CM=(-,0,—),CB=(0,2,0),

22

(TT[3√3

設平面MBC的法向量為曾=G,y,z),貝(1嚴？=°,即>+2^z=0,

^n?CB=O{2y—O

令X=1,則y=0,z=-√3,.?n=(1,0,-V3),

設直線EN與平面MBC所成角為θ,

ENn33

貝IJsinθ=ICOSVEN,n>??~→=Tl=Tv?=4,

IENH九I

3

故直線EN與平面MBC所成角的正弦值為一.

4

4.如圖，在三棱柱ABC-A/1C］中，平面AIACCl_L平面4BC,ZXABC和aAiAC都是正

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三角形，。是AB的中點

(1)求證：8。〃平面AiOC

(2)求直線AB與平面。CCl所成角的正切值.

【解答】(1)證明：連接AC,交AIC于E,連接OE,

四邊形4ACG是平行四邊形，

.?.E是Ael的中點，

：。是AB的中點，.'.DE//BCi,

「OEu平面AiOC,BClC平面AiOC,

二8。〃平面AlQC.

(2)解：取AC的中點。，連接4。，BO,

「△ABC和aAiAC都是正三角形，ΛAιO±AC,BOLAC,

,：平面AIACCI，平面ABC,平面AlACCm平面ABC=AC,

,AC平面ABC,C.A?01,B0,

以。為原點，OB、OC,。4所在直線分別為x、八Z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

L√31

設AC=2,則A(0,-1,0),B(√3,0,0),C(0,1,0),D(―,-?,0),Ci(0,

2,√3),

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TLTV33T√35-

：.AB=(√3,I,O),CD=(—,-5,0),DC=(一苧，-,√r3),

22122

f→→_(q_3y=o

設平面OCG的法向量為1=(x,y,z),則匕電=。，即{22

{n-DC1=O??+^y+√3z=O

令x=3,則尸舊，z=-l,Λn=(3,√3,-1),

TT

→→ΛB?n3√3+√3

設直線AB與平面DCCi所成的角為。,則sinθ=∣cos<4B,n>∣=∣-_=TI=F—~|=

?AB?-?n?2×√9+3+l

2√3

再，

Λtanθ=2√3>

故直線AB與平面DCC?所成角的正切值為2√5.

5.如圖，在等腰直角三角形ADP中，已知A=*,AD=3,B,C分別是”，OP上的點，

E是C。的中點，S.BC//AD.現將4P8C沿8C折起，使得點P在平面ABCD上的射影

（1）若B,C分別是AP、。尸的中點，求證：平面BIC，平面「CD

（2）請判斷是否存在一種折法，使得直線PB與平面ABCD所成角的余弦值是直線PB

與平面HE所成角的正弦值的W倍？若存在，求出AB的長；若不存在，請說明理由.

【解答】（1）證明：?.?點尸在平面ABCo上的射影為點A,

...BA,平面AB8,

VCDciFfSABCD,：.PALCD,

V等腰RtZXADP,且C為。P的中點，

.?.AC±CD,

,：PAQAC=A,PA,AeU平面A?C,

.?.CO1?平面PAC,

又CnU平面PCC,二平面∕?C"L平面Pa).

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(2)解：?.?∕?"L平面ABC。，

.?.NABP為直線PB與平面ABC。所成的角，設其大小為α,則CoSa=囂

過點B作BM_LAE,交AE于點M,連接PM,

；出_1_平面48。。，.".PAl.BM,

又AEnΛ4=A,AE.Λ4u平面∕?E,

.?.BM_L平面PAE,

：.NBPM為直線PB與平面PAE所成的角，設其大小為B，則sinβ=資，

???直線PB與平面ABCo所成角的余弦值是直線PB與平面∕?E所成角的正弦值的督倍,

Λcosa=^∣^sinβ,BPAB=,

設A8=f(0Vf<3),則BM=?,DE=∣CD=^PD=?f,

設/ABM=/OAE=。，

DEAD

在△Ν￡>￡：中，由正弦定理知,

sin?DAEsin?AED

與3

2_____?

得sinθ=7—τcosθ,

sinθ-in(-θ)'O-C

s4

Vsin2θ+cos2θ=1,且θ∈(0,-)

2

?_6-t

??Qcos。=',

2

y∣2t-12t+36

LBM=(K6T),

J2t2-12t+36

又BM=?,

√Zo

t(6-t)5化簡整理得，2r2+L3=0,解得f=l或一|(舍負),

√2t2-12t+36—√26，

故當AB=I時，直線PB與平面ABe。所成角的余弦值是直線PB與平面Λ4E所成角的

正弦值的、一倍.

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6.在直三棱柱ABC-AIBlCI中，NBAC=90°,AC=AB=AAI=2,設點M,N,P分別是

AB,BC,B?C?的中點.

(I)證明：AΛι〃平面PMN；

(II)若。為44上的動點，試判斷三棱錐P-。MN的體積是否為定值？并說明理由.

【解答】(I)證明：：點M,N,P分別是AB,BC,BleI的中點，；.PN〃CCi,

又?.?AΛι“CC1，.?AA?∕∕PN,

「AAiC平面PMN,PNU平面PMM

〃平面PMN；

(II)解：如圖，連接AMAP,

根據等體積法可知，VP-QMN=VQ-PMN,

由(I)可知，AAl〃平面PMM

又。為AAi上的動點，VQ.PMN=VA-PMN—Vp.AMN>

即Vp-QMN=VQ-PMN=VA-PMN=Vp-AMN=?×2×?=?-

.?.若。為A4上的動點，則三棱錐P-QMN的體積定值去

4

Q

1

7.在多面體ABCcjAIBI中，四邊形A8Bι4為菱形，BC∕∕B?C?,BC=抑Ci，AICl=AιA,

AB1B?C,ZBιβΛ=60o,平面平面ABC.

(1)在棱A8上是否存在點。，使得ABL平面8∣OC?若存在，請給予證明；若不存在,

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請說明理山.

(2)求二面角Ci-AC-B的正弦值.

【解答】解：(1)在棱AB上存在點O(。為棱AB的中點)，使得ABL平面BiOC.

理由如下：

連接ABi,Y四邊形ABBMi為菱形，且NBlBA=60°,

∕?AB?B是等邊三角形，

又。為AB的中點，.?B↑O±AB,

,：ABLBiC,B]0nB?C=Bι,BlOU平面BiOC,BιC?5F≡B?0C,

.?.AB，平面BiOC.

(2)由(1)知，AB，平面BiOC,：.ABA.OC,

又平面ABBiAiJL平面ABC,平面ABBiA↑∩平面ABC^AB,

.?.0C，平面ABBIA1，OClBiO,

以。為坐標原點，OB,OC,OBl所在直線為X,y,Z軸，建立空間直角坐標系，

取BiCl的中點E,連接4E.CE,由題意知幾何體ABC-AIBIE是三棱柱，

取AIBl中點￡),連接OE,貝IJOC"OE"*4ιCι,

設A4ι=2,則0(0,0,0),A(-1,0,0),C(0,1,0),BI(0,0,√3),Ai(-

2,0,√3),

Λ0C1=OB1+B^A1+A^C1=OB1+20A+WC=(0,0,√3)+2(-1,0,0)+2(0,

1,0)=(-2,2,√3),

ΛC∣(-2,2,√3),A=(1,1,0),AC1=(-1,2,√3),

設平面ACCl的法向量蔡=(x,y,z),

則E*=x+y=O,取kl,得蔡=(1,-1,遮),

m?AC1=-X+2y÷√3z=0

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平面ABC的一個法向量I=(0,0,1),

設二面角C↑-AC-B的平面角為θ,

貝IJCOSe=???=造,sinθ=ll-(?=2^θ.

∣m∣?∣n∣√5J√55

√10

...二面角CLAC-B的正弦值為行.

8.在四棱錐P-ABCQ中，側面P4O_L底面ABCO,PA=AD=DC=G,AC=6√2,AB=3,

CZ)〃平面∕?8,Z∕?D=60o.

(I)求證：平面PCOJ_平面PBC；

(II)求二面角P-BC-D的余弦值.

【解答】解：（I）證明：?.?AO=OC=6,AC=6√2,.?AD2+DC2=AC2,：.AD1DC,

Y側面以￡>_1底面ABCD,側面∕?OΓ∣底面ABCD=AD,

.?.Cf>l■平面現O,平面小。，.,.CDlPD,

取尸C和Oe的中點分別為M和M連接MN,BM,

貝IJMN〃P。，；.CDJLMN,

YCD〃平面以8,CO〃平面ABC。，平面7?BΓ1平面ABCO=4B,

J.CD//AB,

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?：AB=ND=3,，四邊形ABN。為平行四邊形，

：.BN//AD,：.CDLBN,

'：BNCMN=N,，CD_L平面BMN,

VBMc5FffiBMN,ICDLBM,

；C￡)_L平面PAD,且BAu平面PAD,

：.ABLPA,即△/?B為直角三角形，PB=√62+32=3√5,

"：PB=BC,且M是PC的中點，：.PC1BM,

'：PCHCD=C,.?.BM，平面PCO,

YBMu平面尸BC,，平面PCO_L平面P8C.

(II)在。中，?'PA=AD=6,Nfi4O=60°,

△以。為等邊三角形，PD=6,

取AO的中點0,連接PO,.?.POJ_AO,JLPO=√62-32=3√3,

；平面網￡>_1平面4BC￡>,平面以Orl平面ABCf)=A￡),，P0_L平面ABC

過點P作P",BG交BC于點H,連接04,

則/PHO即為三面角P-BC-D的平面角，

,：PD=CD=6,CDLPD,Z?PCC為等腰直角三角形，

PC=>∕CD2+PD2=√62+62=6?√f2)

：由(I)知尸B=BC=3√?,M為PC的中點，：.BMLPC,

在RtA6MC中，BM=√βC2-MC2=J(3√5)2-(3√2)2=3√3,

在APBC中，SΛPBC=^×BM×PC=^PH-BC,

解得PH=噌，

∏,∣,/DUCpo3百√10

則tsm∕PH°=而=亞=.，

~~ζ~

??,RtZXPAO中，NPHO為銳角，

；?CGSNPHO=乎，

√6

???二面角P-BC-D的余弦值為-.

4r

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9.如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為2的正方形，且平面S4)J_平面ABCD,M,

N分別為棱A。，BC的中點，SA=SD,SAA.SD,P,Q為側棱SZ)上的三等分點(點尸

靠近點S).