第6章 部分相干理論

普通高等教育“十一五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材

《傅里葉光學(xué)?第2版》電子教案

周哲海呂乃光編著機(jī)械工業(yè)出版社第六章部分相干理論本章主要內(nèi)容1、光場(chǎng)相干性的一般概念2、互相干函數(shù)3、相干度的測(cè)量4、傅里葉變換光譜學(xué)5、準(zhǔn)單色光的干涉6、準(zhǔn)單色光的傳播和衍射7、范西特-澤尼克定理1、光場(chǎng)相干性的一般概念在討論光的傳播、衍射等現(xiàn)象時(shí)，常常假定照明光是點(diǎn)光源產(chǎn)生的單色光，但實(shí)際的熱光源總是由大量獨(dú)立的基元輻射體（原子）組成的。對(duì)每一個(gè)輻射體來說，光輻射產(chǎn)生的時(shí)間、持續(xù)的時(shí)間間隔以及隨時(shí)間變換的方式都是無規(guī)則的。光源發(fā)出的光波正是所有這些輻射體發(fā)出的光的組合。所以，我們所用的都是具有有限譜寬的并在空間有限擴(kuò)展的光源，并非嚴(yán)格單色點(diǎn)光源。考察光場(chǎng)相干性，實(shí)質(zhì)上是考察光場(chǎng)中具有時(shí)間延遲的空間兩點(diǎn)光振動(dòng)之間的相關(guān)程度，它就既包含時(shí)間效應(yīng)，又包含空間效應(yīng)。前者是指時(shí)間相干性，源于光源的有限譜寬；后者是指空間相干性，源于光源的有限大小。1、光場(chǎng)相干性的一般概念1.1時(shí)間相干性可通過邁克爾遜干涉儀的干涉實(shí)驗(yàn)認(rèn)識(shí)時(shí)間相干性。下圖為邁克爾遜干涉儀的光路簡(jiǎn)圖。點(diǎn)光源S發(fā)出的光經(jīng)透鏡準(zhǔn)直，用濾色片F(xiàn)選擇一定寬度的譜線照明干涉儀。反射鏡M1和M2垂直。固定M2，移動(dòng)M1，逐漸增加光程差時(shí)，干涉條紋對(duì)比下降，最后條紋消失。1、光場(chǎng)相干性的一般概念假定光源發(fā)出的光是由一個(gè)個(gè)有限長(zhǎng)度的波列所組成，并將波列在真空中傳播的長(zhǎng)度稱為相干長(zhǎng)度。單個(gè)波列持續(xù)的時(shí)間稱為相干時(shí)間。通常用相干長(zhǎng)度和相干時(shí)間來衡量時(shí)間相干性的好壞。當(dāng)時(shí)間延遲遠(yuǎn)大于，或光程差遠(yuǎn)大于，觀察不到干涉條紋。

相干時(shí)間和光源譜寬之間的關(guān)系為式中為譜線寬度，上式稱為時(shí)間相干性的反比公式。譜線越窄，相干時(shí)間和相干長(zhǎng)度就越長(zhǎng)，時(shí)間相干性越好?？梢缘玫?/p>

式中為平均波長(zhǎng)。公式給出了描述時(shí)間相干性的諸物理量之間的關(guān)系。

1、光場(chǎng)相干性的一般概念1.2空間相干性可通過楊氏干涉實(shí)驗(yàn)認(rèn)識(shí)空間相干性。下圖所示的楊氏干涉實(shí)驗(yàn)裝置，擴(kuò)展光源照明不透明屏上的兩個(gè)針孔P1和P2，在遠(yuǎn)離它的觀察屏上P點(diǎn)附近觀察兩束光波疊加的結(jié)果。對(duì)于固定的兩個(gè)針孔，當(dāng)光源寬度大到一定程度后，干涉條紋消失，此時(shí)對(duì)應(yīng)的光源寬度稱作臨界寬度，其中，

是P1和P2點(diǎn)對(duì)光源中心的張角，稱為干涉孔徑角。只有光源寬度小于bc時(shí)，P1和P2點(diǎn)的光振動(dòng)才存在相關(guān)性，觀察屏上才會(huì)出現(xiàn)干涉條紋。1、光場(chǎng)相干性的一般概念從另一角度考慮，當(dāng)選定光源尺寸b，兩個(gè)針孔的距離d越小，干涉條紋越清晰，隨著d增大，干涉條紋對(duì)比度也下降，直至條紋消失。最大允許間隔為其中，

是擴(kuò)展光源對(duì)P1P2連線中點(diǎn)的張角，dc稱為橫向相干寬度。當(dāng)確定以后，距離超過dc的空間兩點(diǎn)，它們的光振動(dòng)不存在相關(guān)性。綜上所述上述公式稱為空間相干性的反比公式。1、光場(chǎng)相干性的一般概念總結(jié)一下：實(shí)際光源總是具有有限頻帶寬度的擴(kuò)展光源，其輻射光場(chǎng)的相干性應(yīng)包含時(shí)間相干性和空間相干性的雙重影響。只是對(duì)于光譜線很窄的擴(kuò)展光源，空間相干性是主要的；對(duì)于有限譜寬的尺寸很小的光源，時(shí)間相干性是主要的。2、互相干函數(shù)相對(duì)時(shí)間延遲為

的P1、P2點(diǎn)的光振動(dòng)，即兩個(gè)時(shí)空點(diǎn)的光振動(dòng)的相關(guān)函數(shù)稱為光場(chǎng)的互相干函數(shù)表示，其中，<>代表時(shí)間平均運(yùn)算。當(dāng)P1、P2點(diǎn)重合時(shí)，該點(diǎn)光振動(dòng)的自相關(guān)函數(shù)稱為光場(chǎng)自相干函數(shù)，將歸一化后，有

稱為復(fù)相干度。

2、互相干函數(shù)從P1和P2發(fā)出的次級(jí)子波在空間某一點(diǎn)P產(chǎn)生的合振動(dòng)光強(qiáng)為上式正是平穩(wěn)光場(chǎng)的普遍的干涉定律。它表明兩束光在P點(diǎn)疊加所引起的光強(qiáng)度與每束光在P點(diǎn)的強(qiáng)度以及復(fù)相干度實(shí)部的值有關(guān)。上式可進(jìn)一步寫為其中，是P1和P2點(diǎn)光振動(dòng)之間的位相差，為兩個(gè)單色光波的平均頻率。

2、互相干函數(shù)復(fù)相干度的模的物理意義a)當(dāng)取最大值1時(shí)，P點(diǎn)的強(qiáng)度與頻率為的兩個(gè)單色光波在該的P1和取最小值0時(shí)，干涉項(xiàng)為零，P點(diǎn)強(qiáng)度為兩束光波在P點(diǎn)產(chǎn)生時(shí)，P1和P2點(diǎn)的光振動(dòng)是部分相干的，表示它們的相干度。

點(diǎn)疊加所產(chǎn)生的干涉結(jié)果相同，這種情況下，相對(duì)時(shí)延為b)當(dāng)P2點(diǎn)的光振動(dòng)是相干的。光強(qiáng)的簡(jiǎn)單相加，所以P1和P2點(diǎn)的光振動(dòng)是非相干的。c)當(dāng)

互相干函數(shù)和復(fù)相干度是兩個(gè)十分重要的物理量，它們表示時(shí)空中兩個(gè)不同點(diǎn)的光振動(dòng)的關(guān)聯(lián)程度。

3、相干度的測(cè)量光場(chǎng)的相干性質(zhì)，即兩個(gè)時(shí)空點(diǎn)的光振動(dòng)的相干度，可以通過實(shí)驗(yàn)由干涉條紋的對(duì)比度V(P)來確定，上式表明，只要測(cè)定出兩束光各自在P點(diǎn)產(chǎn)生的光強(qiáng)以及干涉條紋的對(duì)比度，就可以得到。若兩個(gè)光波在P點(diǎn)的強(qiáng)度相等，即時(shí)，復(fù)相干度的模就等于干涉條紋的對(duì)比度，即

3、相干度的測(cè)量3.1時(shí)間相干性的測(cè)量歸一化的自相干函數(shù)定義為復(fù)時(shí)間相干度γ11(),它描述P1點(diǎn)相對(duì)時(shí)延為的光振動(dòng)的關(guān)聯(lián)程度，即光場(chǎng)的時(shí)間相干性。而且即，復(fù)時(shí)間相干度的模就等于觀察點(diǎn)附近干涉條紋的對(duì)比度，它們都隨著時(shí)延變化。

1）當(dāng)時(shí)，，干涉條紋最清晰，V=1；

2）隨著的逐漸增大，減小，干涉條紋對(duì)比度下降；當(dāng)足夠大時(shí)，趨于零，輸出光強(qiáng)變?yōu)榫鶆虺?shù)，干涉現(xiàn)象消失。

3、相干度的測(cè)量3.2空間相干性的測(cè)量復(fù)空間相干度為它描述在同一時(shí)刻t，光場(chǎng)中兩點(diǎn)P1和P2的空間相干性，它的?？赏ㄟ^測(cè)量零光程差附近干涉條紋的對(duì)比度確定。

4、傅里葉變換光譜學(xué)在討論時(shí)間相干性測(cè)量的邁克爾遜干涉實(shí)驗(yàn)中，P點(diǎn)光強(qiáng)隨反射鏡M1位移發(fā)生變化，即記錄下這一光強(qiáng)變化，就得到干涉圖。回顧：干涉圖上干涉條紋對(duì)比度的變化決定于復(fù)時(shí)間相干度的模，顯然這一變化的根本原因正在于光源特定的光譜分布。由實(shí)驗(yàn)獲得的干涉圖來確定一個(gè)未知光源的光譜分布，或者說由于干涉條紋的強(qiáng)度分布反推出光源的時(shí)間功率譜信息正是傅里葉變換光譜學(xué)的任務(wù)。4、傅里葉變換光譜學(xué)可導(dǎo)出對(duì)于干涉圖的強(qiáng)度分布作余弦傅里葉變換，得結(jié)果得到光源的功率譜及其鏡像。該式表明，在干涉圖的強(qiáng)度分布中包含著光源光譜分布的信息，只要作余弦傅里葉變換就可以提取這一信息。傅里葉變換光譜儀就是根據(jù)這一原理設(shè)計(jì)的。

與采用棱鏡光譜儀、F-B干涉儀、光柵干涉儀的傳統(tǒng)光譜技術(shù)相比，傅里葉變換光譜儀可以使用擴(kuò)展光源，增大入射光束口徑，可獲得很大的輻射通量。并由于同時(shí)能記錄全部光譜成分，光能輸出要大得多，因而也具有更高的靈敏度和信噪比。另外，傅里葉變換光譜儀的分辨率要高得多，它決定于可動(dòng)反射鏡的最大移動(dòng)距離。4、傅里葉變換光譜學(xué)當(dāng)測(cè)出光源的功率譜后，就可以由它確定相干時(shí)間和有效譜寬等描述時(shí)間相干性的物理量的大小。

對(duì)功率譜密度函數(shù)作歸一化，得則歸一化的自相干函數(shù)為該式指出復(fù)時(shí)間想干度與光源歸一化功率譜密度之間的傅里葉變換關(guān)系。5、準(zhǔn)單色光的干涉準(zhǔn)單色光條件是指：1）光的譜線很窄，有效譜寬遠(yuǎn)小于平均頻率，即2）光路中從光源到干涉區(qū)域所涉及到的最大光程差遠(yuǎn)小于光的相干長(zhǎng)度，或者。

互強(qiáng)度定義為P1和P2兩點(diǎn)在相對(duì)時(shí)延的情況下光振動(dòng)的互相關(guān)，即

定義復(fù)空間相干度或，即

5、準(zhǔn)單色光的干涉若在準(zhǔn)單色光近似下，輻射場(chǎng)的干涉定律為其中，，和都是與時(shí)延無關(guān)的量。

如果和在觀察區(qū)域內(nèi)近似不變，則該區(qū)域干涉條紋具有幾乎恒定的對(duì)比度和相位，條紋對(duì)比度為若兩束光強(qiáng)度相等，即，則

測(cè)量出干涉條紋的對(duì)比度就可以確定復(fù)空間相干度的模。

5、準(zhǔn)單色光的干涉干涉條紋最大值出現(xiàn)在測(cè)量出干涉條紋極大值的位置就可以確定復(fù)空間相干度的相位。

以上分析表明，準(zhǔn)單色場(chǎng)的特點(diǎn)類似于頻率為的干涉條紋的對(duì)比度和位置分別決定于復(fù)空間相干度的模的嚴(yán)格單色場(chǎng)，區(qū)別在于準(zhǔn)單色光和位相。下圖給出相干、部分相干、非相干三種情況下的強(qiáng)度分布。

a)相干疊加b)部分相干疊加

c)非相干疊加5、準(zhǔn)單色光的干涉在描述光場(chǎng)相干性的物理量和中，既包含時(shí)間效應(yīng)也包含空間效應(yīng)。只有在準(zhǔn)單色場(chǎng)中才有可能把空間相干性效應(yīng)分離出來。下表列出了描述光場(chǎng)相干性的各種參數(shù)。

6、準(zhǔn)單色光的傳播和衍射6.1互強(qiáng)度的傳播在準(zhǔn)單色條件下，互相干函數(shù)可表達(dá)為其中，是互強(qiáng)度，它與變量無關(guān)。

由波動(dòng)方程可得到互強(qiáng)度滿足的兩個(gè)亥姆霍茲方程，式中和分別是對(duì)P1和P2點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)的拉普拉斯算符。上式是準(zhǔn)單色場(chǎng)中描述空間相干性傳播的基本規(guī)律。

6、準(zhǔn)單色光的傳播和衍射互強(qiáng)度傳播的普遍公式為互強(qiáng)度的傳播其中，為系統(tǒng)透射函數(shù)，為傾斜因子，為平均波數(shù)。

如右圖，自由空間的準(zhǔn)單色場(chǎng)中互強(qiáng)度傳播公式為6、準(zhǔn)單色光的傳播和衍射見圖，若和重合為一點(diǎn)時(shí)，可得到上的強(qiáng)度分布為

上式表明點(diǎn)的光強(qiáng)等于上每一對(duì)點(diǎn)所做的貢獻(xiàn)之和。

每一對(duì)點(diǎn)產(chǎn)生的響應(yīng)為貢獻(xiàn)依賴于這兩點(diǎn)的強(qiáng)度以及相應(yīng)的復(fù)空間相干度。

，每一對(duì)點(diǎn)的上式可看作是部分相干場(chǎng)中強(qiáng)度傳播的惠更斯—菲涅耳原理。6、準(zhǔn)單色光的傳播和衍射6.2部分相干光的衍射參看上圖，遠(yuǎn)場(chǎng)條件下部分相干光的衍射公式為上式表明，衍射圖樣的強(qiáng)度分布是孔徑自相關(guān)函數(shù)與入射光波復(fù)空間相干度的乘積的二維傅里葉變換。

7、范西特—澤尼克定理如下圖所示，一擴(kuò)展的準(zhǔn)單色平面光源照明平面屏幕上和兩點(diǎn)。假定僅是平面的一部分，它與屏幕平面平行，距離為z。則和兩點(diǎn)的復(fù)空間相干度為

光源7、范西特—澤尼克定理由準(zhǔn)單色擴(kuò)展光源的強(qiáng)度分布可確定光場(chǎng)中和相干度，上式稱為范西特-澤尼克定理。在傍軸近似下，該定理的最終表達(dá)式為，

兩點(diǎn)的復(fù)空間式中，，和分別表示和兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

公式表明當(dāng)光源本身線度以及觀察區(qū)域線度都比兩者距離z小很多時(shí)，觀察區(qū)域上復(fù)空間相干度正比于光強(qiáng)強(qiáng)度分布的歸一化傅里葉變換。7、范西特—澤尼克定理對(duì)于直徑為b的均勻亮度的準(zhǔn)單色圓形光源，輻射光強(qiáng)分布為可推導(dǎo)出式中，式中，，是光源對(duì)Q1、Q2兩點(diǎn)連線中心點(diǎn)的張角，即光源的角直徑；，等于Q1、Q2兩點(diǎn)之間的距離，如下圖。

7、范西特—澤尼克定理相對(duì)變化的曲線。當(dāng)

=3.833時(shí)，為第一個(gè)零極小，下圖給出相應(yīng)孔距為若取

=1時(shí)，。它對(duì)理想值1偏離12%，可認(rèn)為是最大允許偏離，此時(shí)

以dc為直徑的圓面積Ac稱為相干面積。本章小結(jié)1）實(shí)際光源總是具有有限頻帶寬度的擴(kuò)展光源，其輻射光場(chǎng)的相干性應(yīng)包含時(shí)間相干性和空間相干性的雙重影響。只是對(duì)于光譜線很窄的擴(kuò)展光源，空間相干性是主要