云南省2023屆高三第一次高中畢業(yè)生復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023年云南省第一次高中畢業(yè)生復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測(cè)

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的學(xué)校、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答

題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的學(xué)校、準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)，在規(guī)定的位置貼

好條形碼及填涂準(zhǔn)考證號(hào).

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題K答案』后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的K答案Il標(biāo)號(hào)涂黑.

如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它K答案】標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將K答案X寫(xiě)

在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.設(shè)Z=l+i,則z2-i=()

A.iB.-iC.1D.-1

K答案》A

K解析D

K祥解Il利用復(fù)數(shù)的乘法可求運(yùn)算結(jié)果.

K詳析員z2-i=(l+i)2-i=i,

故選：A

2.設(shè)集合A={2,3,q2-2a-3},B={θ,3},C={2,α}.若B三A,A?C{2},則a=()

A.-3B.-IC.1D.3

K答案HB

K解析』

K祥解H根據(jù)包含關(guān)系結(jié)合交集的結(jié)果可求”的值.

R詳析》因?yàn)锽gA,故儲(chǔ)_2.-3=0,故或a=3,

若α=T,則A={2,3,0},C={2,T},此時(shí)A?C{2},符合；

若α=3,則A={2,3,0},C={2,3},此時(shí)AC={2,3},不符合;

故選：B

3.甲、乙、丙、丁四名教師帶領(lǐng)學(xué)生參加校園植樹(shù)活動(dòng)，教師隨機(jī)分成三組，每組至少一人，則甲、乙在

同一組的概率為()

K答案』A

K解析H

R祥解X利用組合可求基本事件的總數(shù)，再根據(jù)排列可求隨機(jī)事件含有的基本事件的總數(shù)，從而可求對(duì)應(yīng)

的概率.

K詳析D設(shè)“甲、乙在同一組”事件A,

教師隨機(jī)分成三組，每組至少一人的分法為C；=6,

而甲、乙在同一組的分法有1，故尸(A)=2，

故選：A.

4.平面向量α與A相互垂直，已知α=(6,-8),W=5,且人與向量(1,0)的夾角是鈍角，貝”=()

A.(—3,—4)B.(4,3)C.(—4,3)D.(-4,—3)

K答案XD

K解析H

6x-8y=0

R祥解》設(shè)b=(x,y),則由題意得解出方程，檢驗(yàn)即可.

X1+y2-25

ab=Q6x-8y=0

K詳析》設(shè)b=(x,y),則由題意得，即《

X2+y2=25

解得《

又因?yàn)橄蛄繆A角范圍為［0,兀］，故此時(shí)夾角為銳角，舍去；

當(dāng)/,=(Y,-3)時(shí)，此時(shí)c°s2c)=M0=-g<O,故此時(shí)夾角為鈍角，

故選：D.

5.已知點(diǎn)A,B,C為橢圓。的三個(gè)頂點(diǎn)，若一ABC是正三角形，則。的離心率是()

√6√3

T

K答案1C

K解析》

K祥解》首先由題得到處=J^行，結(jié)合"="2+c2,即可求得e.

K詳析H無(wú)論橢圓焦點(diǎn)位于X軸或)'軸，根據(jù)點(diǎn)A,8,C為橢圓O的三個(gè)頂點(diǎn)，

若，ABC是正三角形,則如=]容+萬(wàn)，即。2=3〃，即Y=3,2—2),

即有2∕=3C2,則e?=2,解得e=邁.

33

故選：C.

6.三棱錐A—JBeD中，4。_1平面8。。，BDLCD.若AB=3,BD=I,則該三棱錐體積的最大值為

()

42

A.2B.―C.1D.一

33

K答案』D

K解析D

K祥解11先利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理依次證得即人平面ACD、3D，AD與AC，。。，從而

2

利用基本不等式求得SACD≤2,進(jìn)而得到VA_BCD=VB_ACD≤-,由此得解.

K詳析Il因?yàn)锳CL平面BCD,BDU平面BCD,所以AC28。，

又BD±CD,ACCD=C,AC,COu平面ACr),所以BDl平面AC。，

因?yàn)锳DU平面AC。，所以3DLAT>,

在Rt△?￡>中，AB=3,BD=L則AD=<AB?-g=2√∑，

因?yàn)锳C_L平面BCD,Cf)U平面BCD,所以ACLCD,

在Rtz^ACf)中，不妨設(shè)AC=a,CD=∕α>0S>0),則由AC?+。4=AfP得/+〃=&,

所以SAC°=，AeCO=，帥=∕x2M≤；(/+/)=2,

當(dāng)且僅當(dāng)α=8且〃+/=8,即α=∕,=2時(shí)，等號(hào)成立，

112

所以VAYe=%T8=3SA°?BD≤5X2X1=],

所以該三棱錐體積的最大值為：2.

故選：D.

1)

7.設(shè)函數(shù)/(x),g(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)存在，且/'(x)<g'(x),貝熠x∈(α,0)時(shí)()

A./(x)<g(x)B./(%)>g(%)

C./(x)+g(α)<g(x)+/S)D./(x)+g(h)<g(x)+∕(b)

K答案，C

K解析》

K祥解D對(duì)于AB,利用特殊函數(shù)法，舉反例即可排除；對(duì)于CD,構(gòu)造函數(shù)MX)=/(X)-g(%),利用

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系證得MX)在R上單調(diào)遞減，從而得以判斷.

K詳析11對(duì)于AB,不妨設(shè)/(x)=-2x,g(x)=l,則r(x)=-2,g'(x)=O,滿足題意，

若X=Te(。,匕)，則/(x)=2>l=g(x),故A錯(cuò)誤，

若X=O∈(α,Z?),則/(x)=O<1=g(%),故B錯(cuò)誤；

對(duì)于CD,因?yàn)?(x),g(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)存在，且r(x)<g'(%),

令MX)=f(x)-g(%)，則〃(X)=/"(X)-g〈X)<O,

所以MX)在R上單調(diào)遞減，

因?yàn)閤∈(α,Z?),即α<x<b,所以，

由Λ(Λ)<〃(a)得f(x)-g(x)<f(a)-^(a),則+g(α)<g(x)+f(a),故C正確；

?h(Z?)<Λ(x)/(?)-g(b)<f(x)-g(Λ-),則/(x)+g?>g(x)+/?,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

8.已知α,b,C滿足α=log5(2"+3"),C=Iog3(5"—2"),則()

A.∣α-c∣>|z?-c|,|t7-/?|>|z>-c|B.|?-c|≥∣z>-c∣,∣ct-?∣≤∣^-c∣

c.∣tz-c∣≤∣z>-c∣)∣tj-z?|≥|z?-c∣D.∣tv-c∣≤∣z?—c∣,∣Λ-?∣≤∣∕?-c∣

(答案HB

K解析》

R祥解D構(gòu)造函數(shù)/(x)=[g)+f∣j,利用其單調(diào)性，分b>l,b=l,匕<1討論即可.

K詳析Il由題意得5"—2">0,即5">2%貝∣J0<*<1,貝h>O,

㈤

令/(x)=(2]+(1],/(1)=1,根據(jù)減函數(shù)加減函數(shù)為減函數(shù)的結(jié)論知:

/(x)在R上單調(diào)遞減,

<2?<3?

當(dāng)力>1時(shí)，可得-+-<1,.?,2b+3b<5h,兩邊同取以5為底的對(duì)數(shù)得

⑶[5

fcfcfcbbb

a=Iog5(2+3")<Iog5S=b,對(duì)2+3<5通過(guò)移項(xiàng)得5-2>3J

兩邊同取以3為底的對(duì)數(shù)得C=IOg3(5"-2")>〃，

所以c>b>α,所以-b<-a,所以c-h<c—α,且c-b>O,c-α>O,

故此時(shí)，∣α-c∣>∣6-d,故C,D選項(xiàng)錯(cuò)誤,

。=2時(shí)，6z=Iog513,C=Iog321,c-b=Iog321-2=Iog3—

b-a=2-Iog513=Iog5且。一力>0,。一。>0,故A錯(cuò)誤,

下面嚴(yán)格證明當(dāng)匕>1時(shí)，0<b-a<c-b,

ftz,

?-α=?-log5(2+3)=log∕^η-^

c-b=l0g3(5"-2>Z?=Iog3

根據(jù)函數(shù)MX)=E[—仔]在R上單調(diào)遞增，且MI)=1,

<3/k3/

<5?(2、

則當(dāng)人>1時(shí)，有1<3--

1

.?.1<—

<1，、b

TlNl/

1I7

5〃5b-2b

下面證明:----<,b>?

2b+3hr3ft

5h5h-2h

要證:—-------<-----;—

2"+3"3b

即證:15〃<(2&+3&乂5&-2b),等價(jià)于證明4Λ+6Λ<10Λ，

bh

即證:I<1,此式開(kāi)頭已證明,

cbcb_Ob

對(duì)"-T<左邊同除分子分母同除5"，右邊分子分母同除3"得

2ft+3h36

1(2Y5(2丫

則0<〃一Q=Iog5<iog<lθg=c-b

5tr5)33Jj

故當(dāng)》>1時(shí)，O<b-a<c-b,則|〃一,<|。一4

(2Y3?b

當(dāng)o<z><ι時(shí)，可得￡+>1..?,2h+3h>5h,兩邊同取以5為底的對(duì)數(shù)得

5/

fcz,bb

a=log5(2+3)>Iog55=b,對(duì)2"+3">5通過(guò)移項(xiàng)得5"-2"<3J

兩邊同取以3為底的對(duì)數(shù)得C=Iog3(5"-2")<。,

所以c<6<",所以-b>-a,所以c-b>c-α,且c-8<0,c-α<0,

故0<Z?—c<α-c,故此時(shí)?，∣α-d>∣∕>-c∣,

下面嚴(yán)格證明當(dāng)0<。<1時(shí)，c-b<b-a<O,

2r3Y

當(dāng)0<匕<”寸，根據(jù)函數(shù)/(X)=+,/(1)=1,且其在R上單調(diào)遞減，可知

$

、

1

[∣J+[∣J>1,則―10<7<1

<0,則(IF(I)

∕c?x∕πλ^r

根據(jù)函數(shù)函數(shù)〃(X)=3--在R上單調(diào)遞增，且MI)=1,

?3√\3>

則當(dāng)0<b<l時(shí)，0<(g)—(g)<1>

Sh5b-2b

下面證明：白下>Jj,s<i),

2h+3h3h

5h5b-2b

要證:

2h+3h>3〃

即證：15">(2"+3")(5"—2"),等價(jià)于證4〃+6〃>10”，

即證：(I)+(I)>1，此式已證明,

對(duì)左邊同除分子分母同除5J右邊分子分母同除3〃得

2l,+3h3〃

故0<0<l時(shí)，c-b<b-a<0,貝IJIa-W<|。一4

當(dāng)b=l時(shí),a=Iog55=l,c=Iog33=1,則Ia-Cl=I8一c∣,∣α—6=∣8-c∣,

綜上∣α-c∣≥∣A-c∣,∣α—4≤∣。一c∣,

故選：B.

Rr點(diǎn)石成金口關(guān)鍵［點(diǎn)石成金」：本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)∕u)=f∣、x

,利用其單調(diào)性及/(D=1,

/

從而得到α4,C之間的大小關(guān)系，同時(shí)需要先求出。的范圍，然后再對(duì)匕進(jìn)行分類討論.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.己知/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(x),g(x)在(一8⑼單調(diào)遞

減，貝IJ()

A.Z(∕(l))<∕(∕(2))B.f(g⑴)<f(g(2))

c?g("l))<g(∕(2))D.g(g⑴)<g(g(2))

R答案』BD

K解析D

K祥解D由奇偶函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系確定兩函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合/(1)</(2),g(0)=O>g(l)>g(2)

逐項(xiàng)判斷即可.

K詳析》因?yàn)?(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且兩函數(shù)在(…刈上單調(diào)遞

減，

所以/(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞減，g(x)在R上單調(diào)遞減，

所以/(1)<"2),g(0)=0>g⑴>g(2),

所以/(g(l))<∕(g(2)),g(∕⑴)>g(∕(2)),g(g⑴)<g(g(2)),

所以BD正確，C錯(cuò)誤；

若∣∕(ι)∣>∣∕(2)∣,則/(/⑴)>/(/⑵)，A錯(cuò)誤.

故選：BD

10.已知平面m,平面夕=/,B,D是/上兩點(diǎn)，直線ABUa且ABI=B,直線CDU尸且

CDI=D.下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的有()

A.若ABL/,且AB=CD,則ABCQ是平行四邊形

B.若M是AB中點(diǎn)，N是CC中點(diǎn)，則MN〃AC

C.若ABA-l,ACLI,則CD在α上的射影是8。

D.直線48,C。所成角的大小與二面角。一/一"的大小相等

R答案』ABD

K解析D

K祥解》由空間中線線、線面及面面關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可得解.

R詳析』對(duì)于A,由題意，AB,CO為異面直線，所以四邊形ABC。為空間四邊形，不能為平行四邊形,

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,取BC的中點(diǎn)”,連接HM則“M是一ABC的中位線，所以“M//AC,

因?yàn)镠M與MN相交，所以MN與4C不平行，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若ABJJ,ACJJ,所以由線面垂直的判定可得/1平面ABC,所以/,BC,

由C萬(wàn)結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得3C_L二，所以點(diǎn)C在平面。內(nèi)的投影為點(diǎn)。，

所以CD在平面α內(nèi)的投影為8。，故C正確；

對(duì)于D,由二面角定義可得當(dāng)且僅當(dāng)AB，/,CD_L/時(shí)，直線A8,CO所成的角或其補(bǔ)角才為二面角的大

小，故D錯(cuò)誤.

11.質(zhì)點(diǎn)P和。在以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，半徑為1的。。上逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā).尸的角速

度大小為2rad∕s,起點(diǎn)為：O與X軸正半軸的交點(diǎn)；。的角速度大小為5rad∕s,起點(diǎn)為射線

y=—GMX≥0）與CO的交點(diǎn).則當(dāng)Q與P重合時(shí)，。的坐標(biāo)可以為（）

2π.2萬(wàn)5π.5π

ACOS—,sin—B.-cos—,-sin——

9999

π.π

D.-cos—,s?n—

99

K答案》ABD

K解析U

K祥解》確定點(diǎn)0的初始位置，由題意列出重合時(shí)刻，的表達(dá)式，進(jìn)而可得。點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)賦值對(duì)比選

項(xiàng)即可得解.

Tl

K詳析》由題意，點(diǎn)。的初始位置。的坐標(biāo)為銳角NQ∣OP=],

TrTr2〃

設(shè)「時(shí)刻兩點(diǎn)重合，則5r-2f=g?+2E,(keN),即，=§+7兀,(左eN),

、

此時(shí)點(diǎn)QcosI+5/,sinH+5Z

37

(2π.2π、

當(dāng)Z=O時(shí)，βlcos—,sin—I,故A正確;

,.J.32π.32πΛ5π.5π

當(dāng)Z=I時(shí)，Q?cos-----,sin---,--即0rlQr-cos—,-sin—故B正確;

(99\99

,八[62π,62πc/兀，冗

當(dāng)IZ=2時(shí)，Q[COS—^―,sin—^―,B∣Jβl-cos—,sin—,故D正確.

由三角函數(shù)的周期性可得，其余各點(diǎn)均與上述三點(diǎn)重合.

故選：ABD.

12.下圖改編自李約瑟所著的《中國(guó)科學(xué)技術(shù)史》，用于說(shuō)明元代數(shù)學(xué)家郭守敬在編制《授時(shí)歷》時(shí)所做的

天文計(jì)算.圖中的AB，AC，BD，CQ都是以。為圓心的圓弧，CMNK是為計(jì)算所做的矩形，其中

N,K分別在線段OD,OB,OA上，MNLOB,KNLOB.記α=NAO5,β=AAOC,Y=NBOD,

A.sinβ=sin∕cosi?B.cosβ-cos/cos

.SinKCosrcosJ

C.sina=-------D.cosa=--------------

cosβcosβ

K答案，ACD

K解析』

K祥解》先利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理證得CMJ_OD,CKLOA,結(jié)合條件中MNLOB,

KNLOB,從而在各直角三角形中得到α,￡,7,5的正余弦表示，對(duì)選項(xiàng)逐一分析判斷即可.

K詳析H因?yàn)樵诰匦蜯NKC中，KNLMN,

又KNtOB,MNCOB=N,MNQBU面BOD,所以K2V，面BOD,

又0。U面Bor>,所以KNLOD,

因?yàn)樵诰匦文cVKC中，CMHKN,所以CM_L。。，即a0_LMO,

因?yàn)镸∕V>LO5,KN±MN,KNCoB=N,KN,08U面

所以MNJ_面。43,

又在矩形MZVKC中，MN//CK,所以CK_1_面。43,

又OAU面。W,所以CKj

同時(shí)，易知在矩形政VKC中，CM=KN,CK=MN,

對(duì)于A,在RteKO中，siny0=-,

MN

在RtAMNO中，sin/=------,

OM

在RtaCMO中，COSb=

OC

,,.UMNOMMNCK.*,L

所rr以SlnyCOs3=-------------=------=------=Sin/o7,故A正確rtr；

OMOCOCOC

OK

對(duì)于B,在Rt-CKO中，COSy?=-----,

OC

ON

在RtΛMNO中，cos/=-----,

OM

又CoSB二卷,且在Rt_&VO中，OK為Rt-KTVO的斜邊，則QV關(guān)OK,

,,ONOMONOK,

所rr以CoSyCos3e=-------------=≠------=cosβo,故B錯(cuò)誤o；

OMOCOCOC

KN

對(duì)于C,在Rt_KNO中，Sina=-----,

OK

CM

在RtACMO中，Sinb=-----,

OC

CoK,、

又πcosB-----≠O,

OC

包C=也.堡=型KN

=sinα,故C正確;

CoSSOCOKOK^δκ

ON

對(duì)于D,在Rt/QVO中,COSa5F

又cos/?=等≠0,COS/=ONCoSS=也

OMOC

所以cose"洸器=器,cos*.=ONOMON

~OM~OCOC

CoSycosδ

所以CoSaCoS尸=COSycos3,即CoSa=—:-----:—,故D正確.

cosβ

故選：ACD.

Kr點(diǎn)石成金J》關(guān)鍵點(diǎn)L點(diǎn)石成金J：本題的突破口是利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理證得CMLOD,

CKVOA,從而得到α,6,∕,5的正余弦表示，由此得解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布N(I(X),er?).質(zhì)量指標(biāo)介于99至101之間的產(chǎn)品為良品,

為使這種產(chǎn)品的良品率達(dá)到95.45%,則需調(diào)整生產(chǎn)工藝，使得b至多為.(若X-N(4,σ?2),

則P(IX—“<2CΓ)B0.9545)

K答案D|##0.5

K解析U

K祥解11根據(jù)題意以及正態(tài)曲線的特征可知，∣X-100∣<2b的解集A=(IOO-2b,100+2b)q(99,101),

即可根據(jù)集合的包含關(guān)系列出不等式組，從而得解.

R詳析派題可知，4=100,再根據(jù)題意以及正態(tài)曲線的特征可知，∣XT()0∣<2cr的解集Aq(99,101),

由|X—100∣<2cr可得，100-2b<X<100+2cr,

100-2σ≥99故“至多為;.

所以《,解得:σ≤Λ

100+2σ≤10122

故K答案H為：?.

14.若P,Q分別是拋物線χ2=y與圓(X—3p+y2=l上的點(diǎn)，則IPQl的最小值為

K答案』√5-l?ft-l+√5

K解析H

"羊解11設(shè)點(diǎn)P(Xo,片)，圓心c(3,θ),∣PQ∣的最小值即為ICH的最小值減去圓的半徑，求出ICH的最

小值即可得解.

R詳析》依題可設(shè)P(X0,片)，圓心C(3,0),根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值求法可知,

?PQ?的最小值即為ICPl的最小值減去半徑.

因?yàn)閨"『=(/—3)2+(片一0)2=父+片-6后+9,xeR,

設(shè),f(尢)=χ4+尤2—6%+9,

(??2

∕,(x)=4X3+2x-6=2(x-1)(2/+2x+3)由于2%?+2x+3=21xd—+』＞O恒成立,

I2)2

所以函數(shù)/(x)在(一8,1)上遞減，在(l,+∞)上遞增，即啟,=/(1)=5,

所以IepLn=君＞1,即IPQl的最小值為逐-L

故K答案D為：√5-l?

22355

15.數(shù)學(xué)家祖沖之曾給出圓周率》的兩個(gè)近似值:“約率”與“密率，，二X它們可用“調(diào)日法''得到：稱小

'7113,

34

于3.1415926的近似值為弱率，大于3.1415927的近似值為強(qiáng)率.由~j?＜兀＜］，取3為弱率，4為強(qiáng)率，得

4=詈=g,故%為強(qiáng)率，與上一次的弱率3計(jì)算得為=魯=5，故的為強(qiáng)率，繼續(xù)計(jì)算，…….若

某次得到的近似值為強(qiáng)率，與上一次的弱率繼續(xù)計(jì)算得到新的近似值：若某次得到的近似值為弱率，與上

22

一次的強(qiáng)率繼續(xù)計(jì)算得到新的近似值，依此類推，已知。,“=亍，貝!!〃?=；?=.

47

K答案』①?6②.—

K解析D

K樣解》根據(jù)題意不斷計(jì)算即可解出.

th-^ττ<r-"_3_+￡0_￡3.?頭己品泵

K詳析》因?yàn)椤?為強(qiáng)率，LlJ(兒qNJ1守，Cl^——K∣J(Λ-ι√J√HΛ牛”；

131+34

3133+13_

由I<兀<1可得，?4=y＞3.1415927,即由為強(qiáng)率；

1+4—

,3x16?3+16_19

rI_、<T/TI<、<__H∏JΓz1寸?,/a/、-——6∕>D3?J1i4m1J57Q乙?7/,S即I〃Ja5?13田??.

151+5—

3193+19_22

由一<π<—可得，％=y＞3.1415927,即以為強(qiáng)率，所以加=6；

161+6—

3223+22_25

由一<π<—可得，a1==y=3.125<3.1415926,即%為弱率；

171+7

252225+2247

由--<兀<---可得，CL.■——,

878+715-

47

故K答案2為：6；—.

16.圖為一個(gè)開(kāi)關(guān)陣列，每個(gè)開(kāi)關(guān)只有“開(kāi)"和"關(guān)''兩種狀態(tài)，按其中一個(gè)開(kāi)關(guān)1次，將導(dǎo)致自身和所有相鄰

的開(kāi)關(guān)改變狀態(tài).例如，按(2,2)將導(dǎo)致(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2)改變狀態(tài).如果要求只改

變（U）的狀態(tài)，則需按開(kāi)關(guān)的最少次數(shù)為

K答案，5

K解析H

K祥解》方法一：根據(jù)題意可知，如果要求只改變（Ll）的狀態(tài)，只有在（Ll）以及周邊按動(dòng)開(kāi)關(guān)才可以使

按開(kāi)關(guān)的次數(shù)最少，利用表格即可分析求出.

K詳析員方法一：根據(jù)題意可知，只有在（Ll）以及周邊按動(dòng)開(kāi)關(guān)才可以使按開(kāi)關(guān)的次數(shù)最少.具體原因如

下：

假設(shè)開(kāi)始按動(dòng)前所有開(kāi)關(guān)閉合，要只改變（1,1）的狀態(tài)，在按動(dòng)（1,1）后，（1,2）,（2,1）也改變，

下一步可同時(shí)恢復(fù)或逐一恢復(fù)，同時(shí)恢復(fù)需按動(dòng)（2,2）,但會(huì)導(dǎo)致周邊的（2,3）,（3,2）也改變，

因此會(huì)按動(dòng)開(kāi)關(guān)更多的次數(shù)，所以接下來(lái)逐一恢復(fù)，則至少按開(kāi)關(guān)3次，

這樣沿著周邊的開(kāi)關(guān)再按動(dòng)，可以實(shí)現(xiàn)最少的開(kāi)關(guān)次數(shù)，即按動(dòng)5次可以滿足要求.

如下表所示：（按順時(shí)針?lè)较蜷_(kāi)關(guān)，逆時(shí)針也可以）

(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)（2,2）(2,3)(3，1)(3,2)(3,3)

按動(dòng)（Ll）開(kāi)開(kāi)關(guān)開(kāi)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)

按動(dòng)

開(kāi)關(guān)開(kāi)開(kāi)關(guān)開(kāi)關(guān)關(guān)關(guān)

(∣,3)

按動(dòng)

開(kāi)關(guān)關(guān)開(kāi)開(kāi)關(guān)關(guān)關(guān)開(kāi)

（2,3）

按動(dòng)

開(kāi)關(guān)關(guān)開(kāi)開(kāi)關(guān)開(kāi)開(kāi)關(guān)

(3,2)

按動(dòng)

開(kāi)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)

⑴）

方法二：

要滿足題意，按動(dòng)開(kāi)關(guān)次數(shù)必須為奇數(shù)，且連續(xù)兩次按一個(gè)方格等于無(wú)操作,

按開(kāi)關(guān)順序無(wú)影響，由對(duì)稱性按表格順序可設(shè)各方格按動(dòng)次數(shù)為

abc

hde

cef

方格（1,1）改變狀態(tài)的次數(shù)為奇數(shù)，其它方格改變狀態(tài)的次數(shù)為偶數(shù)，

所以，

對(duì)（1,1）：α+2b為奇數(shù);對(duì)（1,2）或（2,1）：α+b+c+d為偶數(shù);

對(duì)（1,3）：b+c?+e為偶數(shù)；對(duì)（2,2）：2b+2e+d為偶數(shù)；

對(duì)（2,3）或（3,2）：Ο+"+64/為偶數(shù)；對(duì)（3,3）：2e+f為偶數(shù)，

根據(jù)以上情況，為使開(kāi)關(guān)次數(shù)最少，α=l,/=0,J=O,

即l+b+c為偶數(shù)，6+c+e為偶數(shù)，c+e為偶數(shù)，所以可取〃=0，e=l,即

各方格開(kāi)關(guān)次數(shù)如下：

101

001

110

具體開(kāi)閉狀態(tài)可參照方法一，故按開(kāi)關(guān)的最少次數(shù)為5.

故K答案』為：5.

Kr點(diǎn)石成金D本題主要考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決知識(shí)遷移問(wèn)題的綜合能力，利用表格分析法簡(jiǎn)單清晰

直觀.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.如圖，四邊形ABCQ是圓柱底面的內(nèi)接四邊形，AC是圓柱的底面直徑，PC是圓柱的母線，E是AC

與BD的交點(diǎn),AB^AD，440=60°.

(I)記圓柱的體積為匕，四棱錐P-ABCD的體積為匕，求3；

(2)設(shè)點(diǎn)F在線段AP上，PA=4PF,PC=4CE,求二面角廠一CD—P的余弦值.

K答案》(1)√3π

⑵返

13

K解析D

K祥解II(I)利用平面幾何的知識(shí)推得ACl80,進(jìn)而得到3。=26EC與AC=4EC,從而利用柱體

與錐體的體積公式求得VP匕關(guān)于EC,PC的表達(dá)式，由此得解；

(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)ICEl=1,結(jié)合Q)中結(jié)論與(2)中所給條件得到所需向量的坐

標(biāo)表示，從而求得平面FCD與平面PC。的法向量〃與相，由此利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可得

解.

R小問(wèn)1詳析』

因?yàn)閆ABD與ZACD是底面圓弧Ao所對(duì)的圓周角，

所以NABD=NACD,

因?yàn)锳6=AT>,所以在等腰Z?ABO中，ZABD=ZADE>

所以NAJDE=NACD,

因?yàn)锳C是圓柱的底面直徑，所以NAr)C=90°,則NCW+NACD=90°，

所以NCW+NADE=90°,則NA￡7)=90°,即ACl8。，

所以在等腰4ABO,BE=DE,AC平分4840,則NCAP=LN84。=30°,

2

所以NADE=60°，則NCr)E=30°，

故在RJCEO中，CD=2EC,DE=√3EC,則3。=2DE=2√^EC，

在RtAAGD中，AC=2CDAEC,

因?yàn)镻C是圓柱的母線，所以PC_L面ABCr),

,22

所以K=π(gac)?CP=π?(2fC)?PC=4π?EC?PC.

111-ΛJT.

V^-×-ACBDPC^-×4EC×2^rECPC=-^-EC2PC，

23263

所以J=6兀.

K小問(wèn)2詳析》

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA方向?yàn)閄軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一孫z,

Z八

1'

"τff

/∕v?

不妨設(shè)ICEl=1,則AC=4EC=4,DE=逝EC=√3，PC=4CE=4,

則C(0,0,0),A(4,0,0),0(1,60),P(0,0,4),

所以CD=(l,G,θ),CP=(0,0,4),PA=(4,0,),

因?yàn)楱M?=4",所以Pb=J尸4=(1,0,—1),

則b=CP+P∕=(0,0,4)+(1,0,-I)=(1,0,3),

?n-CF=Qx+3z=0

設(shè)平面/CZ)的法向量〃=(x,y,z),則〈，即

[n?CD=Qx+λ∕3y=0

令%=—3,則y=z=1,故〃=(―3,V^,1),

[m?CP=0[4r=0

設(shè)平面尸CD的法向量加二(PMr),則＜,叫p+&=0'

[m?CD=0

令，=-3,則4=百/=0，故機(jī)=(—3,75,0),

π

設(shè)二面角下一c。一。的平面角為。，易知o＜e＜一,

2

9+32強(qiáng)

所以CoSe=cos(n,m)=---------

'/?n?-?m?√9+3+l×√9+3^13

因此二面角E—CD—P的余弦值為2叵.

13

18.已知函數(shù)/(x)=Sin(C9X+。)在區(qū)間單調(diào)，其中o為正整數(shù),I噌,且/

(1)求y=∕(χ)圖像的一條對(duì)稱軸；

(2)若/(￡)=等，求

7)

K答案》(1)%=—

12

、π

⑵;

K解析H

R祥解II(I)由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性確定最小正周期的范圍，再由函數(shù)值相等即可確定對(duì)稱軸；

(2)根據(jù)對(duì)稱軸及函數(shù)值確定ox+。的表達(dá)式，再結(jié)合最小正周期確定0的可能取值，即可得解.

K小問(wèn)1詳析R

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)=sin((υx+°)在區(qū)間

所以函數(shù)/O)的最小正周期T≥2x

?(冗2兀I7

所以直線x=M>TJ即X咤為y=f(χ)圖象的一條對(duì)稱軸;

K小問(wèn)2詳析』

2TT2兀

由(1)知T≥—，故0二—≤3,由①∈N*，得G=L2或3.

3T

TtTTTT

由X=—為/(x)=sin(3x+0)的一條對(duì)稱軸，所以一力+0=-+kπ,k∈Z.

12122ll

因?yàn)槎荻?所以囚69+夕=q+2&2兀或工69+9="+2%兀,左2，％3eZ，

I6/263~63

TrTrSJTJΓ212

若不公+夕=§+222兀，貝IJ五。=∕+(Z∣-2左2)兀，即口=《+《(用一222)，

不存在整數(shù)勺,右，使得。=1,2或3；

,,.Tr2τt-.5τrTt/?.\2]2∕r?\

右7①+。=?-+2&兀，則1??69=—%+（Kτ—2攵3）兀，即/=一《+-2&f），

不存在整數(shù)占,勺，使得0=1或3.當(dāng)占=2勺+1時(shí)，0=2.

此時(shí)e=g+2%兀，由IeI<]，得e=].

19.記數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為T(mén)11,且4=l,%=Zι("≥2)?

(1)求數(shù)列｛α,,｝的通項(xiàng)公式；

12n

(2)設(shè)巾為整數(shù)，且對(duì)任意〃eN*,m≥-+-++—,求機(jī)的最小值.

4a2a,,

(2)7

K解析H

K祥解》(1)由數(shù)列明與(的關(guān)系可得%+∣=2%("≥2),再結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)可得解;

12n

(2)利用錯(cuò)位相減法求出一+—++—，結(jié)合范圍即可得解.

4a24

K小問(wèn)1詳析?

因?yàn)閝=l,αlt=11(〃22),所以a?=。1=1，

當(dāng)〃≥2時(shí)，an+]=Tn=Tn,l+all=Ian,故α,,=%?2""=2""(〃22)，

且q=1不滿足上式，

故數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為an=<

R小問(wèn)2詳析]

12n

設(shè)S“=一+—+--+一,貝(JH=1,

?1?2%

012n

當(dāng)“≥2時(shí)，Sn=l+2?2+3?2-++n?2-,

n

故:S,,=g+2?2-∣+3?2-2+.+n?2'^,

2n

于是;S"=∣+(2-'+2-2++22^n)-2^'(l-2^)

“?2~=9+-nS?2?,I-M

2l-2^,

整理可得5“=7—(〃+2)22^Λ,所以S,,<7,

又工=二>6,所以符合題設(shè)條件的，"的最小值為7.

20.一個(gè)池塘里的魚(yú)的數(shù)目記為N,從池塘里撈出200尾魚(yú)，并給魚(yú)作上標(biāo)識(shí)，然后把魚(yú)放回池塘里，過(guò)一

小段時(shí)間后再?gòu)某靥晾飺瞥?00尾魚(yú)，X表示撈出的500尾魚(yú)中有標(biāo)識(shí)的魚(yú)的數(shù)目.

(1)若N=5000,求X的數(shù)學(xué)期望；

(2)已知撈出的500尾魚(yú)中15尾有標(biāo)識(shí)，試給出N的估計(jì)值(以使得P(X=I5)最大的N的值作為N的

估計(jì)值).

K答案D(1)20(2)6666

K解析D

K祥解II(I)首先求出標(biāo)魚(yú)占總體的比例，再分析其符合超幾何分布，根據(jù)超幾何分布期望的計(jì)算公式即

可得到K答案L

「15「485

(2)首先計(jì)算出當(dāng)N<685時(shí)，P(X=I5)=0,當(dāng)N≥685時(shí)，P(X=15)=,貨黝,

記Q(N)=Gqga,計(jì)算,從而得到α(N)的單調(diào)性，最后得到其最大值.

K小問(wèn)1詳析］

依題意X服從超幾何分布，且N=5000,M=200,n=500,

故E(X)=NX昂=500x2^=20.

n5000

K小問(wèn)2詳析H

當(dāng)N<685時(shí)，P(X=I5)=0,

「150485

、200JN-200

當(dāng)N≥685時(shí)，P(X=I5)-Q5(X)-

「15「485

、

記α(N)=200LN200則

”(N+1)_C需一200Cy

a(N)C)IC‰)

(∕V+1-5OO)(7V+1-200)

(N+1)(N+1—200—485)

(N-?499)(N-199)

(7V+l)(7V-684)

_TV?-698N+499χl99

-—7V2-6837V-684-'

由解一698N+499×199>N2-683N-684，

499×199+684

當(dāng)且僅當(dāng)N<≈6665.7,

15

則可知當(dāng)685≤N≤6665時(shí)，a(N+l)>a(N)i

當(dāng)N≥6666時(shí)，a(N+l)<a(N),

故N=6666時(shí)?，a(N)最大,所以N的估計(jì)值為6666.

22

21.已知雙曲線C:0一1=1伍>0力>0)過(guò)點(diǎn)A(4√Σ,3),且焦距為10.

ab^

(1)求C的方程；

LLIGollHol

(2)己知點(diǎn)B(4√2,-3),D(2√2,0),E為線段AB上一點(diǎn),且直線OE交C于G,"兩點(diǎn).證明：——=--

I??IIH乜I

22

K答案，(1)—-??l

169

(2)證明見(jiàn)K解析》

K解析H

工祥解Il(1)根據(jù)題意列方程組求出α力,即可得出C的方程；

(2)根據(jù)。,E,",G四點(diǎn)共線，要證黑j=^^即證GD?HE=GE?OH，設(shè)出直線

IGElIHE\

DE：'=邛(x-2√2),G(X1，?),“(孫也)，E(4√∑,r)

,聯(lián)立直線方程與橢圓方程得出玉+x2,X1X2,

將其4弋入GDHE—GE?DH，計(jì)算結(jié)果為零，即證出.

R小問(wèn)1詳析』

??Q-------------22

由題意可得三一一7=1,2,/+/=10,故α=4,b=3,所以C的方程為工-E=L

a2h~169

R小問(wèn)2詳析）

設(shè)E（4√Σ"）,G（XI,力）,"（登，為），

QO-2

當(dāng)x=4正時(shí)，即絲一匕υ=1,解得y=±3,則∣f∣<3,

169

3

雙曲線