2021年高等數(shù)學(xué)大一題庫(kù)

（一）函數(shù)、極限、持續(xù)一、選取題：在區(qū)間(-1,0)內(nèi)，由()所給出函數(shù)是單調(diào)上升。(A)(B)(C)(D)當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)=xsinx是()（A）無(wú)窮大量（B）無(wú)窮小量（C）無(wú)界函數(shù)（D）有界函數(shù)當(dāng)x→1時(shí)，都是無(wú)窮小，則f(x)是()（A）高階無(wú)窮小（B）低階無(wú)窮?。–）同階無(wú)窮?。―）等階無(wú)窮小x=0是函數(shù)()（A）可去間斷點(diǎn)（B）跳躍間斷點(diǎn)；（C）振蕩間斷點(diǎn)（D）無(wú)窮間斷點(diǎn)下列對(duì)的結(jié)論是（）（A）若存在，則f(x)有界；（B）若在某鄰域內(nèi)，有且都存在，則也存在；（C）若f(x)在閉區(qū)間[a，b]上持續(xù)，且f(a)，f(b)<0則方程f(x)=0,在(a，b)內(nèi)有唯一實(shí)根;當(dāng)時(shí)，都是無(wú)窮小，但與卻不能比.二、填空題：若且則f(x)表達(dá)式為;已知數(shù)列極限是4，對(duì)于滿(mǎn)足n>N時(shí)，總有成立最小N應(yīng)是;(b為有限數(shù))，則a=，b=;設(shè)則x=a是f(x)第類(lèi)間斷點(diǎn);且f[g(x)]在R上持續(xù)，則n=；計(jì)算題:1、計(jì)算下列各式極限：（1）；（2）；（3）（4）（5）（6）2、擬定常數(shù)a，b，使函數(shù)在x=-1處持續(xù).四、證明：設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上持續(xù)，且a<f(x)<b，證明在(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使.（二）導(dǎo)數(shù)與微分一、填空題:設(shè)存在，則=;則;設(shè)，則dy=;設(shè)則;y=f(x)為方程xsiny+ye擬定隱函數(shù)，則.二、選取題:則值為()(A)–lna(B)lna(C)(D)設(shè)曲線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)處切線(xiàn)方程為()(A)2x-y-2=0(B)2x+y+1=0(C)2x+y-3=0(D)2x-y+3=0設(shè)處處可導(dǎo)，則()(A)a=b=1(B)a=-2，b=-1(C)a=0，b=1(D)a=2，b=1若f(x)在點(diǎn)x可微,則值為()(A)1(B)0(C)-1(D)不擬定5、設(shè)y=f(sinx)，f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，則dy表達(dá)式為()(A)(B)(C)(D)三、計(jì)算題：設(shè)對(duì)一切實(shí)數(shù)x有f(1+x)=2f(x),且,求若g(x)=又f(x)在x=0處可導(dǎo)，求求曲線(xiàn)在t=0處切線(xiàn)方程f(x)在x=a處持續(xù),求設(shè)，求設(shè)，求.計(jì)算近似值.（三）中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一、填空題：函數(shù)f(x)=arctanx在[0,1]上使拉格朗日中值定理結(jié)論成立=;若則a=，b=;設(shè)f(x)有持續(xù)導(dǎo)數(shù)，且則=;極大值為，極小值為;最大值為，最小值為.二、選取題：如果a,b是方程f(x)=0兩個(gè)根，函數(shù)f(x)在[a,b]上滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件，那么方程f’(x)=0在(a,b)內(nèi)（）（A）僅有一種根；（B）至少有一種根；（C）沒(méi)有根；（D）以上結(jié)論都不對(duì)。函數(shù)在區(qū)間[-上（）（A）滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件，且（B）滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件，但無(wú)法求（C）不滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件，但有能滿(mǎn)足該定理結(jié)論；（D）不滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件如果一種持續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上既有極大值，又有極小值，則（）（A）極大值一定是最大值；（B）極小值一定是最小值；（C）極大值一定比極小值大；（D）極在值不一定是最大值，極小值不一定是最小值。設(shè)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則是f(x)在(a，b)內(nèi)為減函數(shù)（）（A）充分條件；（B）必要條件；（C）充要條件；（D）既非充分又非必要條件。若f(x)在(a，b)上兩次可導(dǎo)，且（），則f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)增長(zhǎng)且是上凹。（A）；（B）；（C）；（D）三、計(jì)算題：求：求過(guò)曲線(xiàn)y=xe上極大值點(diǎn)和拐點(diǎn)連線(xiàn)中點(diǎn)，并垂直于直線(xiàn)x=0直線(xiàn)方程.四、應(yīng)用題：通過(guò)研究一組學(xué)生學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)接受能力（即學(xué)生掌握一種概念能力）依賴(lài)于在概念引人之前教師提出和描述問(wèn)題所用時(shí)間，講座開(kāi)始時(shí)，學(xué)生興趣激增，分析成果表白，學(xué)生掌握概念能力由下式給出：,其中G（x）是接受能力一種度量，x是提出概念所用時(shí)間（單位：min）（a）、x是何值時(shí)，學(xué)生接受能力增強(qiáng)或減少？（b）、第10分鐘時(shí)，學(xué)生興趣是增長(zhǎng)還是注意力下降？（c）、最難概念應(yīng)當(dāng)在何時(shí)講授？（d）、一種概念需要55接受能力，它適于對(duì)這組學(xué)生講授嗎？五、證明題：證明不等式（四）不定積分一、選取題：設(shè)可微，則（）（A）（B）（C）（D）若F（x）是一種原函數(shù)，則cF（x）（）原函數(shù)（A）是（B）不是（C）不一定是若則（）（A）（B）（C）（D）設(shè)在[a，b]上持續(xù)，則在（a，b）內(nèi)必有（）導(dǎo)函數(shù)（B）原函數(shù)（C）極值（D）最大值或最大值下列函數(shù)對(duì)中是同一函數(shù)原函數(shù)有（）在積分曲線(xiàn)族中，過(guò)點(diǎn)曲線(xiàn)方程是（）7、下列積分能用初等函數(shù)表出是（ ）（A）；（B）；（C）；（D）.8、已知一種函數(shù)導(dǎo)數(shù)為，且x=1時(shí)y=2,這個(gè)函數(shù)是（ ）（A）（B）（C）（D）9、（ ）（A）；（B）；（C）；（D）.10、（ ）（A）；（B）；（C）；（D）.二、計(jì)算題:1、2、3、5、6、7、三、求其中（五）定積分及其應(yīng)用一、填空題：設(shè)是持續(xù)函數(shù)，，則F'(x)=;設(shè)是持續(xù)函數(shù)，則；；4、設(shè)是持續(xù)函數(shù)，f(0)=-1,則；5、函數(shù)=在區(qū)間[a，b]上平均值為.二、單項(xiàng)選取題：設(shè)存在，則在[a，b]上()(A)可導(dǎo)(B)持續(xù)(C)具備最大值和最小值(D)有界設(shè)是以T為周期持續(xù)函數(shù)，則()（A）（B）（C）（D）設(shè)存在，則I=()(A)(B)(C)(D)0,在()（A）P<1時(shí)收斂,P≥1時(shí)發(fā)散（B）P≤1時(shí)收斂,P≥1時(shí)發(fā)散（C）P>1時(shí)收斂,P≤1時(shí)發(fā)散（D）P≥1時(shí)收斂,P<1時(shí)發(fā)散曲線(xiàn)及y軸所圍圖形面積為()(A)(B)(C)(D)三、計(jì)算下列定積分:1、2、3、4、四、求下列極限:1、2、五、設(shè)可導(dǎo)函數(shù)y=y（x）由方程所決定，試討論函數(shù)y=y（x）極值.六、已知拋物線(xiàn)，求p和a值，使得：拋物線(xiàn)與y=x+1相切；拋物線(xiàn)與0x軸圍成圖形繞0x軸旋轉(zhuǎn)有最大體積.（六）向量代數(shù)空間解析幾何一、填空題：1、向量與x，y，z軸夾角分別為，則，，。2、設(shè)，則=，=，=，=。3、以點(diǎn)為球心，且通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)球面方程為。4、平面通過(guò)點(diǎn)（5，-7，4）且在x，y，z三軸上截距相等，則平面方程為。5、把曲線(xiàn)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，則旋轉(zhuǎn)曲面方程為。二、選取題：1、平面與互相平行，則（）。（A）充要條件是（B）充要條件是（C）必要而不充分條件是（D）必要而不充分條件是2、設(shè)與為非零向量，則是（）（A）∥充要條件；（B）⊥充要條件；（C）=充要條件；（D）∥必要但不充分條件；3、設(shè)直線(xiàn)，則該直線(xiàn)為（）。（A）過(guò)原點(diǎn)且垂直于x軸（B）過(guò)原點(diǎn)且平行于x軸（C）但是原點(diǎn)但垂直于x軸（D）但是原點(diǎn)但平行于x軸4、直線(xiàn)和平面關(guān)系是（）。（A）直線(xiàn)與平面垂直；（B）直線(xiàn)與平面平行，但直線(xiàn)不在平面上；（C）直線(xiàn)在平面上；（D）直線(xiàn)與平面相交，但不垂直。5、平面在軸截距分別為，則（）。（A）（B）（C）（D）6、方程表達(dá)（）（A）橢球面；（B）橢圓柱面；（C）橢圓柱面在平面y=0上投影曲線(xiàn)；（D）y=1平面上橢圓。7、方程表達(dá)（）（A）錐面；（B）單葉雙曲面；（C）雙葉雙曲面；（D）橢圓拋物面。三、計(jì)算題：1、將直線(xiàn)方程化成對(duì)稱(chēng)式方程。2、求兩平行平面及之間距離。3、設(shè)始終線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)M（4，3，3），且垂直于由三點(diǎn)A1（6，0，1），A2（2，1，5），A3（5，3，5）所擬定平面，求該直線(xiàn)方程。4、求過(guò)點(diǎn)和且與平面成角平面方程。四、應(yīng)用題：設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)開(kāi)始時(shí)位于點(diǎn)P（1，2，-1）處，今有一方向角分別為60°,60°,45°,而大小為100克力作用于此質(zhì)點(diǎn)，求當(dāng)此質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)P作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)M（2，5，-1+3）時(shí)，力所作功（長(zhǎng)度單位為厘米）。（七）多元函數(shù)微分學(xué)一、填空題：1、設(shè)，則f（x，y）=.2、設(shè)，則=.3、由方程所擬定函數(shù)在點(diǎn)（1，2，2）處全微分dz=.4、曲面在點(diǎn)處切平面方程是.5、設(shè)，則該函數(shù)定義域?yàn)?二、選取題：1.當(dāng)，時(shí)，函數(shù)極限（）（A）等于0；（B）等于；（C）等于；（D）不存在2.函數(shù)z=f（x，y）偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)（x0，y0）持續(xù)是函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）可微分（）（A）充分條件但非必要條件；（B）必要條件但非充分條件；（C）充分必要條件；（D）既非充分條件也非必要條件；3.設(shè)z=f（u，v），而，其中f具備一階持續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則等于（）（A）；（B）；（C）；（D）；4.在曲線(xiàn)所有切線(xiàn)中，與平面平行切線(xiàn)（）（A）只有1條；（B）只有2條；（C）至少有3條；（D）不存在5.設(shè)函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（0，0）某個(gè)鄰域內(nèi)持續(xù)，且=2則在點(diǎn)（0，0）處f（x，y）（）（A）不可微分；（B）可微分，且；（C）獲得極大值；（D）獲得極小值.三、計(jì)算題：1、設(shè)，求2、設(shè)，求3、設(shè),求4、設(shè)由方程所擬定，求dz5、設(shè)，求6、求函數(shù)極值.四、求曲面上同步垂直平面與切平面方程五、在旋轉(zhuǎn)橢球面上求距平面為近來(lái)和最遠(yuǎn)點(diǎn).習(xí)題答案（一）函數(shù)、極限、持續(xù)答案一、1、（D）2、（C）3、（C）4、（B）5、（D）二、1、2、N=103、4，104、一，跳躍5、三、1、（1）（2）（3）（不存在）（4）（5）（6）2、解：f（-1-0）=0f（-1）=bf（-1+0）=a+π使f（x）在x=-1持續(xù)四、證明：令F（x）=f（x）-x顯然F（x）在[a，b]上持續(xù)F（a）=f（a）-a〉0F（b）=f（b）-b〈0∴在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)使F（）=0即：使f（）=（二）導(dǎo)數(shù)與微分答案一、1、2、不存在3、4、5、0二、1、（A）2、（D）3、（C）4、（B）5、（D）三、解：1、2、而3、解：對(duì)等式兩邊關(guān)于t求導(dǎo)對(duì)等式兩邊關(guān)于t求導(dǎo)∴當(dāng)t=0時(shí)，得x=0，y=-1∴曲線(xiàn)在t=0處切線(xiàn)方程斜率為，∴切線(xiàn)方程4、5、6、…7、設(shè),則（三）導(dǎo)數(shù)應(yīng)用答案一、（1）（2）1，1；（3）1；（4）（5）二、B；D；D；A；A三、解：1.(1)、原式=(2)、原式=2.，駐點(diǎn)，，令，得，由于，所覺(jué)得極大值點(diǎn)，所覺(jué)得拐點(diǎn)因此極大值點(diǎn)與拐點(diǎn)中點(diǎn)坐標(biāo)為，所求直線(xiàn)為：四、1、解：G（x）單調(diào)下降：因此當(dāng)提出概念所用時(shí)間不大于13分鐘時(shí)，接受能力增強(qiáng)；當(dāng)提出概念所用時(shí)間不不大于13分鐘時(shí)，接受能力減少（b）單調(diào)上升，學(xué)生興趣在增長(zhǎng)。時(shí)取極大值，因此最難概念應(yīng)當(dāng)在提出問(wèn)題后第13分鐘時(shí)講授。（d）由于G（13）=59.9，這個(gè)概念需要55接受能力，不大于最大接受能力，因此可以對(duì)這組學(xué)生講授該概念。2、解：設(shè)與公路總長(zhǎng)為，則，因此，令，得：（舍去）只有唯一駐點(diǎn)，因此在處獲得最小值五、證：1、令當(dāng)x>0時(shí)，，有，當(dāng)x<0時(shí)，，有故（四）不定積分答案一、1、（C）2、（B）3、（C）4、（B）5、（A）6、（A）7、（D）8、（B）9、（D）10、（C）二、1、原式=2、原式=3、原式=4、原式=5、原式=6、原式===7、原式=三、原式=（五）定積分及其應(yīng)用答案一、（1）（2）0；（3）ln2（4）（5）二、1、D，2、B，3、C，4、A，5、C。三、解：1、原式=2、原式=3、原式=4、原式=四、解：1、原式=2、，而又，由夾擠定理知，此外由任意性知五、兩邊求導(dǎo)得即令y'=0，得x=0，且由于x