四年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)競賽試題第08講-復(fù)雜數(shù)陣圖（人教版）含詳解

第第頁第八講復(fù)雜數(shù)陣圖較復(fù)雜的數(shù)陣圖往往給人感覺可能性太多，不知道該怎么去試．而尋找特殊對(duì)象可以幫助我們從紛繁復(fù)雜的條件中找到最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)進(jìn)行突破．那什么樣的對(duì)象在數(shù)陣圖中可以算特殊呢？比如數(shù)陣圖要填的若干數(shù)中最大或者最小的就算特殊；奇偶性與別的數(shù)不同的也算特殊；數(shù)陣圖中重?cái)?shù)最多或最少的空格也算特殊……一個(gè)對(duì)象只要有與眾不同的地方就是特殊．至于什么樣的特殊對(duì)解題有用，那還得看題目本身．但只要你有一雙發(fā)現(xiàn)特殊的慧眼，總可以找到那個(gè)對(duì)解題最有用的“特殊”．例題19595「分析」根據(jù)已有的數(shù)字9，圖中哪兩個(gè)圓圈已經(jīng)可以填出來了？剩下的數(shù)中，誰最特殊？練習(xí)1bacd請(qǐng)將1~8填入下圖的8個(gè)方格中，使得a、b、c、d四個(gè)方格中的數(shù)，恰好等于它上方與之有公共邊的兩個(gè)方格中所填數(shù)的差．其中bbacd

接下來我們重點(diǎn)學(xué)習(xí)一下數(shù)陣圖分析中與“重?cái)?shù)分析”有關(guān)的一些方法．在已知全部填入數(shù)字的情況下，我們通常是把所有相同的和相加，通過對(duì)每一個(gè)數(shù)字的重復(fù)次數(shù)來找出其中的特殊重?cái)?shù)，是解題的關(guān)鍵．例題2將1~9填入圖中的九個(gè)圓圈內(nèi)，使四條直線上三個(gè)圓圈內(nèi)所填數(shù)之和都是15．「分析」如果把四條直線的和加起來，每個(gè)圓圈各加了多少次？它們的重?cái)?shù)一樣嗎？哪個(gè)圓圈的重?cái)?shù)比較特殊？這個(gè)重?cái)?shù)特殊的位置必須填幾？練習(xí)2把1~8這八個(gè)數(shù)填入下邊的圓圈內(nèi)，使得每條直線上的數(shù)之和都等于14．例題3把1~7這七個(gè)數(shù)填入下圖中的方框中，使得每條直線上的三個(gè)數(shù)之和都相等．如果中心方框內(nèi)填的數(shù)相等，那么就視為同一種填法．請(qǐng)?zhí)畛鏊械目赡苄裕阜治觥谷绻讶龡l直線的和加起來，每個(gè)方框各加了多少次？它們的重?cái)?shù)一樣嗎？哪個(gè)方框的重?cái)?shù)比較特殊？這個(gè)重?cái)?shù)特殊的位置可以填幾？有幾種可能？練習(xí)3把1~9這九個(gè)數(shù)填入圖中的圓圈內(nèi)，使得三條直線上的所有數(shù)之和都是相等．請(qǐng)至少填出兩種情況．例題4將數(shù)字1，2，3，4，5，6，7填入圖中的小圓圈內(nèi)，使得每個(gè)圓周上的3個(gè)數(shù)之和與每條直線上的3個(gè)數(shù)之和都相等．「分析」如果把兩個(gè)圓周的和與三條直線的和加起來，每個(gè)圓圈各加了多少次？它們的重?cái)?shù)一樣嗎？哪個(gè)圓圈的重?cái)?shù)比較特殊？這個(gè)重?cái)?shù)特殊的位置必須填幾？

練習(xí)4如圖所示，將數(shù)字1、2、3、4、5、6、7、8、9填入圖中的小圓圈內(nèi)，使得圓周上的4個(gè)數(shù)之和與每條直線上的3個(gè)數(shù)之和都相等，那么這個(gè)和是多少？前面幾個(gè)例題只有一個(gè)特殊格，那么接下來我們來看一下有多個(gè)特殊格、多個(gè)重?cái)?shù)的題目．例題5圖中一共有10個(gè)方格，現(xiàn)在把10個(gè)連續(xù)的自然數(shù)填到里面（9是這10個(gè)自然數(shù)中第三大的），每個(gè)方格填一個(gè)．如果要求圖中的3個(gè)的正方形中的4個(gè)數(shù)加起來的和都相等，那么這個(gè)和最小可能是多少？請(qǐng)給出一種填法．「分析」如果把三個(gè)正方形“加起來”，共12個(gè)數(shù)相加，相當(dāng)于把每個(gè)方格各加了幾次？由此你能得到什么結(jié)論？

例題6下圖中有三個(gè)圓環(huán)，將1～8填入圖中的8個(gè)圓圈內(nèi)，使得每個(gè)圓環(huán)上4個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)字之和都相等．那么這個(gè)和最大可能是多少？請(qǐng)給出一種填法．「分析」把三個(gè)圓周和加起來，圖中的8個(gè)○有幾種不同的重?cái)?shù)？由此你能得到什么結(jié)論？課堂內(nèi)外陣中國古代作戰(zhàn)是非常講究陣法即作戰(zhàn)隊(duì)形的，稱之為“布陣”．布陣得法就能充分發(fā)揮軍隊(duì)的戰(zhàn)斗力，克敵制勝．中國古代軍事史上有名的作戰(zhàn)陣法有三種：八陣：戰(zhàn)國時(shí)大軍事家孫臏創(chuàng)造，據(jù)說是受了《易經(jīng)》八卦圖的啟發(fā)，所以又稱八卦陣．具體陣勢(shì)是大將居中，四面各布一隊(duì)正兵，正兵之間再派出四隊(duì)機(jī)動(dòng)作戰(zhàn)的奇兵，構(gòu)成八陣．八陣散布成八，復(fù)而為一，分合變化，又可組成六十四陣．當(dāng)年諸葛亮還用石頭在四川奉節(jié)布設(shè)過八陣的方位，作為教練將士演習(xí)陣法之用，名為“八陣圖”．撒星陣：南宋名將岳飛破金兵“拐子馬”的陣法．撒星陣的隊(duì)形布列如星，連成一排的“拐子馬”沖來時(shí)士兵散而不聚，使敵人撲空．等敵人后撤時(shí)散開的士兵再聚攏過來，猛力撲擊敵人，并用刀?？绸R腿，以破“拐子馬”．鴛鴦陣：明代將領(lǐng)戚繼光為抗擊倭寇而創(chuàng)設(shè)的一種陣法．他把士兵分為三隊(duì)，當(dāng)敵人進(jìn)到百步時(shí)第一隊(duì)士兵發(fā)射火器；敵人進(jìn)到六十步時(shí)士兵發(fā)射弩箭；敵人進(jìn)到十步時(shí)第三隊(duì)士兵用刀矛向敵人沖殺．這些變化反映了中國作戰(zhàn)陣法從傳統(tǒng)的方陣向多兵種的集團(tuán)陣法演變的過程．作業(yè)請(qǐng)將2~9填入下圖的8個(gè)方格中，使得a、b、c、d四個(gè)方格中的數(shù)，恰好等于它上方與之有公共邊的兩個(gè)方格中所填數(shù)的差．其中b填7．

bacdbacd將數(shù)字1，3，5，7，9，11，13填入右上圖中的小圓圈內(nèi)，使得每個(gè)圓周上的3個(gè)數(shù)之和與每條直線上的3個(gè)數(shù)之和都相等．

把1至10填入右圖的圓圈內(nèi)，使得每條直線上的4個(gè)數(shù)之和都等于23．

將2至8填入右上圖的圓圈中，使得每條直線上的所有數(shù)字之和都相等．

圖中一共有10個(gè)方格，現(xiàn)在把10個(gè)連續(xù)的自然數(shù)填到里面（9是這10個(gè)自然數(shù)中第三大的），每個(gè)方格填一個(gè)．如果要求圖中的3個(gè)的正方形中的4個(gè)數(shù)加起來的和都相等，那么這個(gè)和最大可能是多少？請(qǐng)給出一種填法．

第八講復(fù)雜數(shù)陣圖例題120128359271201283592714詳解：20是這里面最大的數(shù)，應(yīng)該在最下端，其中，再一層的往上推即可．

例題2915283746915283746詳解：有兩種重?cái)?shù)，中間的圓圈是特殊格，重?cái)?shù)是4，，公共和是15，所有和是45，所以中間數(shù)就是5，那么同一條直線上的另外兩個(gè)數(shù)的和就是10，即1、9；2、8；3、7；4、6．

例題317243654172436547132657524163詳解：

，有三種情況：

（1）中=1，公共和=10；（2）中=4，公共和=12；（3）中=7，公共和=14．例題41726354答案：

1726354詳解：

，所以中間數(shù)只能為4，公共和=12．直線上除最里面的4，剩下兩個(gè)數(shù)之和為8，分別是、和，然后嘗試調(diào)整使得圓周的和也都等于12．例題5AB10921138465747AB109211384657471182359106詳解：10個(gè)數(shù)是2、3、…、10、11，．這個(gè)相等的和是2×2正方形中4個(gè)數(shù)之和，，則A和B的和可以是4、7、…要使得和最小，這個(gè)和只能是7，所以A、B可以填2、5；3、4．而這個(gè)相等的和是24．經(jīng)過嘗試后其他格均可以填出，答案是其中兩種填法．例題6CBA85714236答案：答案不唯一，CBA85714236詳解：重?cái)?shù)有三種，A、B格的重?cái)?shù)是2，C格的重?cái)?shù)是3，其他格都是1；所以A、B、C是特殊格．．所有和是36，所以

可能是9、12、15、…要這個(gè)和最大，所以只能是27，此時(shí)公共和是21．A、B、C可以是4、7、8．答案不唯一．

練習(xí)1715268471526843詳解：b為7，只可能：，而8最大，所以只能在邊上，最中間填1．然后注意嘗試即可得答案．練習(xí)23564712835647128詳解：有兩種重?cái)?shù)，中間的圓圈是特殊格，重?cái)?shù)是3，，公共和是14，所有和是36，所以中間數(shù)就是3，那么同一條直線上的另外兩個(gè)數(shù)的和就是11，即1、2、8；4、7；5、6．練習(xí)392378416923784165324851679623849157簡答：

，有三種情況：

（1）尖=3，公共和=17；（2）中=6，公共和=19；（3）中=9，公共和=21．練習(xí)4914678532914678532簡答：

，所以中間數(shù)可以為3、6、9．

（1）如果中=3，則公共和=16，此時(shí)直線上除最里面的3，剩下的兩個(gè)數(shù)之和為13，題目數(shù)據(jù)無法滿足，排除；

（2）如果中=6，則公共和=17，此時(shí)直線上除最里面的3，剩下的兩個(gè)數(shù)之和為11，題目數(shù)據(jù)無法滿足，排除；

（3）如果中=9，則公共和=18，此時(shí)直線上除最里面的3，剩下的兩個(gè)數(shù)之和為9，則分別為、、和．

然后嘗試調(diào)整使得圓周的和也都等于18即可．作業(yè)1答案：見圖72349568簡答：7只能是，而9最大，所以．剩下3、4、5、6、8，

c和d只能是3和4，剩下的根據(jù)題中條件依次填出．72349568作業(yè)2答案：見圖713131159簡答：將三條直線、兩個(gè)圓上的數(shù)字都加起來，圓上的每個(gè)數(shù)字都算了2次，

而中間的數(shù)字算了3次．即1至13這7個(gè)數(shù)的和的2倍加上中間的數(shù)字等于

和的5倍．計(jì)算可得，這個(gè)和為21，中間數(shù)字是7．713131159作業(yè)3答案：見圖79410153679410153682作業(yè)4答案：見圖2675348簡答：把每條直線上的數(shù)字都加起來，每個(gè)上下的六個(gè)數(shù)