（福建專(zhuān)用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九章第6課時(shí) 離散型隨機(jī)變量及其分布列課時(shí)闖關(guān)（含解析）

Peq\f(1,25)eq\f(4,25)eq\f(8,25)eq\f(8,25)eq\f(4,25)一、選擇題1．袋中裝有10個(gè)紅球、5個(gè)黑球．每次隨機(jī)抽取1個(gè)球后，若取得黑球則另?yè)Q1個(gè)紅球放回袋中，直到取到紅球?yàn)橹梗舫槿〉拇螖?shù)為ξ，則表示“放回5個(gè)紅球”事件的是()A．ξ＝4 B．ξ＝5C．ξ＝6 D．ξ≤5解析：選C.“放回五個(gè)紅球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到紅球，故ξ＝6.2．設(shè)隨機(jī)變量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么()A．n＝3 B．n＝4C．n＝9 D．n＝10解析：選D.∵P(X＝k)＝eq\f(1,n)(k＝1,2,3，…，n)，∴0.3＝P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(3,n).∴n＝10.3．設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為：X－101P0.51－2qq2則q等于()A．1 B．1±eq\f(\r(2),2)C．1－eq\f(\r(2),2) D．1＋eq\f(\r(2),2)解析：選C.由分布列的性質(zhì)得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2q≥0,q2≥0,0.5＋1－2q＋q2＝1))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜q≤\f(1,2)，,q＝1±\f(\r(2),2).))∴q＝1－eq\f(\r(2),2).4．(2012·安溪質(zhì)檢)一盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新的，3個(gè)舊的，從盒中任取3個(gè)球來(lái)用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列為P(X)，則P(X＝4)的值為()A.eq\f(1,220) B.eq\f(27,55)C.eq\f(27,220) D.eq\f(21,25)解析：選C.由題意知取出的3個(gè)球必為2個(gè)舊球1個(gè)新球，故P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,9),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,220).5．已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(1,2k)，k＝1,2，…，則P(2＜X≤4)等于()A.eq\f(3,16) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,16) D.eq\f(5,16)解析：選A.P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(1,23)＋eq\f(1,24)＝eq\f(3,16).二、填空題6．(2012·三明質(zhì)檢)從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，則所選3人中女生人數(shù)不超過(guò)1人的概率是________．解析：設(shè)所選女生人數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，則P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＋eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)7．隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2x3Pp1p2p3若p1，p2，p3成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是________．解析：由題意，p2＝p1＋d，p3＝p1＋2d.則p1＋p2＋p3＝3p1＋3d＝1，∴p1＝eq\f(1,3)－d.又0≤p1≤1，∴0≤eq\f(1,3)－d≤1，即－eq\f(2,3)≤d≤eq\f(1,3).同理，由0≤p3≤1，得－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(2,3)，∴－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))8．設(shè)隨機(jī)變量X只能取5,6,7，…，16這12個(gè)值，且取每一個(gè)值的概率均相等，則P(X＞8)＝________，若P(X＜x)＝eq\f(1,12)，則x的范圍是________．解析：∵X取每一個(gè)值的概率都相等．∴P(X＞8)＝P(X＝9)＋P(X＝10)＋P(X＝11)＋P(X＝12)＋…＋P(X＝16)＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).若P(X＜x)＝eq\f(1,12)，則P(X＜x)＝P(X＝5)．∴x∈(5,6]答案：eq\f(2,3)(5,6]三、解答題9．某校積極響應(yīng)《全民健身?xiàng)l例》，把每周五下午5∶00～6∶00定為職工活動(dòng)時(shí)間，并成立了行政和教師兩支籃球隊(duì)，但由于工作性質(zhì)所限，每月(假設(shè)為4周)每支球隊(duì)只能組織兩次活動(dòng)，且兩支球隊(duì)的活動(dòng)時(shí)間是相互獨(dú)立的．(1)求這兩支球隊(duì)每月兩次都在同一時(shí)間活動(dòng)的概率；(2)設(shè)這兩支球隊(duì)每月能同時(shí)活動(dòng)的次數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列．解：(1)設(shè)這兩支球隊(duì)在同一時(shí)間活動(dòng)為事件A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,4)C\o\al(2,4))＝eq\f(1,6).(2)由題易知ξ＝0,1,2，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,4)C\o\al(2,4))＝eq\f(1,6)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(2,4)C\o\al(2,4))＝eq\f(2,3)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,4)C\o\al(2,4))＝eq\f(1,6).所以，ξ的分布列如下：ξ012Peq\f(1,6)eq\f(2,3)eq\f(1,6)10.從集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出一個(gè)．(1)記性質(zhì)r：集合中的所有元素之和為10，求所取出的非空子集滿(mǎn)足性質(zhì)r的概率；(2)記所取出的非空子集的元素個(gè)數(shù)為X，求X的分布列．解：(1)記“所取出的非空子集滿(mǎn)足性質(zhì)r”為事件A.基本事件總數(shù)n＝Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(5,5)＝31；事件A包含的基本事件是{1,4,5}，{2,3,5}，{1,2,3,4}；事件A包含的基本事件數(shù)m＝3.∴P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(3,31).(2)依題意，X的所有可能取值為1,2,3,4,5.又P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5),31)＝eq\f(5,31)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5),31)＝eq\f(10,31)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5),31)＝eq\f(10,31)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,5),31)＝eq\f(5,31)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(5,5),31)＝eq\f(1,31).故X的分布列為：X12345Peq\f(5,31)eq\f(10,31)eq\f(10,31)eq\f(5,31)eq\f(1,31)一、選擇題1．(2012·煙臺(tái)質(zhì)檢)隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))的值為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,6)解析：選D.由題意得eq\f(a,1·2)＋eq\f(a,2·3)＋eq\f(a,3·4)＋eq\f(a,4·5)＝1，即aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,4)－\f(1,5)))＝eq\f(4a,5)＝1，解得a＝eq\f(5,4)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(a,1·2)＋eq\f(a,2·3)＝eq\f(2a,3)＝eq\f(5,6).2．已知隨機(jī)變量X的概率分布如下表：X12345678910Peq\f(2,3)eq\f(2,32)eq\f(2,33)eq\f(2,34)eq\f(2,35)eq\f(2,36)eq\f(2,37)eq\f(2,38)eq\f(2,39)m則P(X＝10)＝()A.eq\f(2,39) B.eq\f(2,310)C.eq\f(1,39) D.eq\f(1,310)解析：選C.由題易知：P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝10)＝1，即eq\f(2,3)＋eq\f(2,32)＋…＋eq\f(2,39)＋m＝1，∴m＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋\f(2,32)＋…＋\f(2,39)))＝1－2×eq\f(\f(1,3)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))9)),1－\f(1,3))＝1－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,39)))＝eq\f(1,39).二、填空題3．(2012·荊門(mén)調(diào)研)由于電腦故障，使得隨機(jī)變量X的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失(以“x，y”代替)，其表如下：X123456P0.200.100.x50.100.1y0.20則丟失的兩個(gè)數(shù)據(jù)依次為_(kāi)_______．解析：由于0.20＋0.10＋(0.1x＋0.05)＋0.10＋(0.1＋0.01y)＋0.20＝1，得10x＋y＝25，于是兩個(gè)數(shù)據(jù)分別為2,5.答案：2,54．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：X0123P0.10.3ab則ab的最大值為_(kāi)_______．解析：由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)得：0．1＋0.3＋a＋b＝1得：a＋b＝0.6.由基本不等式得：ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝0.09.即ab的最大值為0.09.答案：0.09三、解答題5．袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球和若干個(gè)黑球(球的大小均相同)，從中任取2個(gè)球，設(shè)每取出一個(gè)黑球得0分，每取出一個(gè)白球得1分，每取出一個(gè)紅球得2分，已知得0分的概率為eq\f(1,6).(1)求袋中黑球的個(gè)數(shù)及得2分的概率；(2)設(shè)所得分?jǐn)?shù)為ξ，求ξ的分布列．解：(1)設(shè)有黑球x個(gè)，則eq\f(C\o\al(2,x),C\o\al(2,5＋x))＝eq\f(1,6)，解得x＝4.P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,9))＋eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,4),C\o\al(2,9))＝eq\f(11,36).(2)ξ可取0,1,2,3,4，∴ξ的分布列為ξ01234Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(11,36)eq\f(1,6)eq\f(1,36)6．為了參加師大附中第23屆田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)的開(kāi)幕式，高三年級(jí)某6個(gè)班聯(lián)合到集市購(gòu)買(mǎi)了6根竹竿，作為班旗的旗桿之用，它們的長(zhǎng)度分別為3.8,4.3,3.6,4.5,4.0,4.1.(單位：米)．(1)若從中隨機(jī)抽取兩根竹竿，求長(zhǎng)度之差不超過(guò)0.5米的概率；(2)若長(zhǎng)度不小于4米的竹竿價(jià)格為每根10元，長(zhǎng)度小于4米的竹竿價(jià)格為每根a元．從這6根竹竿中隨機(jī)抽取兩根，若期望這兩根竹竿的價(jià)格之和為18元，求a的值．解：(1)因?yàn)?根竹竿的長(zhǎng)度從小到大依次為3.6,3.8，4.0，4.1,4.3,4.5，其中長(zhǎng)度之差超過(guò)0.5米的兩根竹竿長(zhǎng)可能是3.6和4.3,3.6和4.5,3.8和4.5.設(shè)“抽取兩根竹竿的長(zhǎng)度之差不超過(guò)0.5米”為事件A，則P(eq\x\to(A))＝eq\f(3,C\o\al(2,6))＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5)，所以P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5).故所求的概率為eq\f(4,5).(2)設(shè)任取兩根竹竿的價(jià)格之和為ξ，則ξ