2024屆常州市高三數(shù)學上學期12月調(diào)研聯(lián)考試卷附答案解析

2024屆常州市高三數(shù)學上學期12月調(diào)研聯(lián)考試卷

（試卷滿分150分，考試時間120分鐘）2023.12

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1,若集合4={#一2<。},集合3=卜12*>1},則AB=（）

A.（2，+°°）B,?2）c（-*2）口.R

2.己知復數(shù)z<l-2i）在復平面內(nèi)對應點的坐標為（3,1）,則z=（）

17.1.1.17.

—I-1—F1-----1---------1

A.55B.5c.5D.55

_l

3.已知"（肛一2）,〃=（3,4）,若〃則a“5b=（）

A.20B.15C.10D.5

sin（ct+—）

ZAOx=—______—=

4.如圖所示，。為射線以，的夾角，-4,點尸（T，3）在射線上，則cosa（）

2+6-2+石26+126-1

A.2B.2c.2D.2

5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（°'2）上單調(diào)遞減的是（）

x12-x

3y=cos—y=ln-——

A.y=2B.y=Tc.2D.2+尤

C-工+其=1?r_

6.設。為坐標原點，”為橢圓,42的焦點，點P在C上，貝尸"尸罵=（）

_J_12及

A.3B.0C.3D.3

7.凈水機通過分級過濾的方式使自來水逐步達到純凈水的標準，其工作原理中有多次的改棉濾芯過濾，

其中第一級過濾一般由孔徑為5微米的皮棉濾芯（聚丙烯熔噴濾芯）構成，其結構是多層式，主要用于去

除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質(zhì)，假設每一層尸尸棉濾芯可以過濾掉三分之一的大顆粒雜質(zhì)，若過

濾前水中大顆粒雜質(zhì)含量為80mg/L,現(xiàn)要滿足過濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過2mg/L,則改棉濾芯的

層數(shù)最少為（參考數(shù)據(jù)：32?！?。,lg3?0.48）（）

1

A.9B.8C.7D.6

8.設函數(shù)-4x+alnx,若函數(shù)y=/（x）存在兩個極值點玉，工且不等式/（占）+/（々）3+々+f

恒成立，則t的取值范圍為（）

2

A.（f，TB（-oo,-16-81n2］仁1」D.S'T］

二、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

9.下列命題正確的是（）

A.若樣本數(shù)據(jù)玉，馬，K6的方差為2,則數(shù)據(jù)初一1，2%-1，，2%-1的方差為7

B.若P（A）=06P（B）=0.8,尸（A|8）=0.5,則“刃㈤=§.

C.在一組樣本數(shù)據(jù)（4%），&，%），G,,無）,（/2,王，龍2，,，不全相等）的散點圖中，若所有樣

=_L+i--

本點（4%）。=1,2,，力都在直線-”-上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關系數(shù)為-5

D.以模型'=免去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗回歸方程，設z=lny,求得線性回歸方程為2=4x+0.3,

則c，”的值分別是e03和4

“X）=Asin（0x+p）［A>0,a）>0,閘<—

10.已知函數(shù)I2J的部分圖象如圖所示.則（）

，工。］

A.了⑺的圖象關于112）中心對稱

B."X）在區(qū)間L3'」上單調(diào)遞增

71

C.函數(shù)/（無）的圖象向右平移7個單位長度可以得到函數(shù)g（x）=2sin2x的圖象

TT

1//（%）=2sin（4xH）

D.將函數(shù)“X）的圖象所有點的橫坐標縮小為原來的萬，得到函數(shù)一'6的圖象

11.已知圓°：/+丁=4與圓C:Y+y2_2x+4y+4=0相交于A,§兩點，直線/:x-2y+5=0,點尸為

2

直線/上一動點，過P作圓。的切線P",PN,（M,N為切點），則說法正確的是（）

4小

A.直線的方程為》-2丫+4=°B.線段AB的長為4一

C.直線的過定點（5,5'D.伊網(wǎng)的最小值是L

12.如圖，從1開始出發(fā)，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是向右或右上或

右下移動，而一條移動路線由若干次移動構成，如從1移動到9,1-3-475-6—7-8-9就是一條移動

A.從1移動到9,一共有34條不同的移動路線

B.從1移動到9過程中，恰好漏掉兩個數(shù)字的移動路線有15條.

3

C.若每次移動都是隨機的，則移動過程中恰好跳過4的概率為§

D,若每次移動都是隨機的，記尸⑺為經(jīng)過i的概率，則「⑺"（8）>尸⑼

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（V+D（x-2）4展開式中不項的系數(shù)為

14.至中，A（7,8）,4）,C（2,Y）,則SMC為

3兀

15.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為萬，側面積分別為$中和治,體積分別為％

&=2—

和吃.若上,則吃

16.在數(shù)列求和中，裂項相消法是很常用的方法.例如在計算J="2+3+……+"的過程中，可以選擇將

a=n=——［（n—i）n—n（n+i）］

通項作如下處理：n2L'7J,從而求出

S=——「0x1—Ix2+lx2—2x3+…—1）〃—〃（幾+1）］=」——L

n2LJ2,類比上述方法，計算

S“=lx2+2x3+…+M/+1）=,并由此結果推導出自然數(shù)的平方和公式F+22+3?+…+

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

,n<6

17.設數(shù)列｛叫滿足向13%"27,〃eN*且出+%=。.

3

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式""；(2)求數(shù)列｛%)的前n項和公式

sinB+sinCcosB—cosA

18.在舫。中，a=y/19,且cosB+cosAsinC

⑴求角A；

BD3

(2)若點。為BC邊上一點，比一^且ADLAC,求一ABC的面積.

如圖，直三棱柱。-中，

19.ABA4cABC為等腰直角三角形，CA=CB,E,F分別是棱四℃1上的點,

平面BE"，平面AB4A,M是■的中點.

(1)證明：CM〃平面BEF；Q)若AC=AE=2,求平面8EF與平面ABC所成銳二面角的余弦值.

^v+--=l(a>b>0)與C(l,—)

20.橢圓。廿的離心率為2,且經(jīng)過點2

(1)求橢圓方程

⑵點A為橢圓的上頂點，過點3(T，°)的直線1交橢圓于P,Q兩點，直線AP,AQ分別交x軸于點M,N,

若網(wǎng)=4近,求直線1的方程

21.設函數(shù)/(x)Tnx,g(X)=x2+a

(1)若函數(shù)與y=gQ)的圖象存在公切線，求a的取值范圍

⑵若函數(shù)/⑴=〃x)-g(x)有兩個零點和乙(占<馬)，求證：%+%>血.

22.甲乙兩人進行投籃比賽，兩人各投一次為一輪比賽，約定如下規(guī)則：如果在一輪比賽中一人投進，另

一人沒投進，則投進者得1分，沒進者得-1分，如果一輪比賽中兩人都投進或都沒投進，則都得0分，當

兩人各自累計總分相差4分時比賽結束，得分高者獲勝.在每次投球中甲投進的概率為0.5,乙投進的概率

為0.6,每次投球都是相互獨立的.

(1)若兩人起始分都為。分，求恰好經(jīng)過4輪比賽，甲獲勝的概率.

⑵若規(guī)定兩人起始分都為2分，記尸⑴(，=°』，2,3,4)為甲累計總分為i時，甲最終獲勝的概率，則

P(0)=0,P(4)=l

①求證｛P('+D—P⑺｝(，=0/，2,3)為等比數(shù)列

②求尸⑵的值.

4

1.B

【分析】求得集合4={刈］<2},3={x|x>。},根據(jù)集合交集的運算，即可求解.

x

【詳解】由題意,集合A=3x-2<0}={x|x<2},B={x|2>l}={x|x>0）；

根據(jù)集合交集的運算，可得ACB={X［0<X<2}.

故選：B.

2.A

【分析】由已知得到z.d-2i）=3+i,利用復數(shù)的除法求出z即可.

【詳解】由己知復數(shù)z,0一2）在復平面內(nèi)對應點的坐標為（3』）,

則z-(l-2i)=3+i

3+i(3+i)(l+2i)l+7i17.

z——------=-------------------=-------=11

所以l-2i(l-2i)(l+2i)555

故選：A.

3.C

【分析】根據(jù)向量平行，求出加的值，再結合向量的坐標運算求模.

__3

【詳解】因為。b,所以：4〃L（一2）x3=。=*一］,

a-^b=f-1'-2j-|(3'4)=(-6'-8)

所以:

3

a——b=|(-6,-8)l=10

所以：2

故選：C

4.A

si”=巫cos"一叵

【分析】射線所對的角為,，由三角函數(shù)的定義可得10,10且4,于是有

。n275V5./,兀、2百+厲

a=B—sina=------cosa=——sin（tz+—）=

4,再根據(jù)兩角差的正、余弦公式可求得5,5，進而可得310

代入求解即可.

.c33V10々1回

sinLJ=--^.-..........cosLJ==_____

=10

【詳解】解：設射線所對的角為夕，則有歷10,M

c兀

B=a+—

又因為4,

5

a=p--

所以4,

sina=sin(夕一：)=(sin13-cos4)=cosa=cos(4一：)二

sin(a+B=%na+Wcosa=2員正

所以32210

2百+岳

sin(a+—10_2+若

cosa2

所以5

故選:A.

5.C

【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義以及導數(shù)分別判斷四個選項即可得出答案.

【詳解】對于A,函數(shù)/@)=州的定義域為R,關于原點對稱,

且f(-x)==2M=/(x),所以函數(shù)/(x)為偶函數(shù),

當xe(0,2)時/(x)=2*,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,故A不符合題意;

對于B,函數(shù)“x)=-x3的定義域為R,關于原點對稱,

且f(-x)="(-X)3=￡=_)=),所以函數(shù)/(X)為奇函數(shù),

由幕函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)'=/在R上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)/5)=一^在R上單調(diào)遞減，故B不符合題意;

f(x)=cos—

對于C,函數(shù)2的定義域為R,關于原點對稱,

/?/\Z%、％r/\

J(一%)=cos(——)=cos—=/(X),

且22,所以函數(shù)/⑺為偶函數(shù),

(。，咐嗚

當xe(0,2)時2''1又

所以函數(shù)c°S］在(0,1)上單調(diào)遞減，故c符合題意；

對于D,函數(shù)2+x的定義域為(-2⑵，關于原點對稱,

/(-x)=ln^-=ln(^^r1=-ln^-=-/(-^)

且八,2-x2+x2+x八。

112x

所以“X)是奇函數(shù)，又"?

2—x2+x(2—x)(2+x)

6

人/'(%)<0=>-2<%<0,令/'(%)>0n0<x<2

所以函數(shù)/（“）在（一2，°）上單調(diào)遞減，在（°，2）上單調(diào)遞增，故D不符合題意.

故選：C.

6.C

cosNFPF_m2+n2-8

【分析】設附附i,利用余弦定理可得c°s12-2mn,再由向量表示可知

PF}+PF2=2PO即可得病+〃2+2加松。$/耳尸尸2=12；聯(lián)立即可求得c°s/KPE=3.

【詳解】如下圖所示：

不妨設歸周='"」尸閱=",根據(jù)橢圓定義可得加+〃=%=4,國閭=2c=20；

加2+"2—8

cos/月Pg=

由余弦定理可知2mn

又因為3+圖=2尸。，所以附+對=R時,又3=3

22

即可得m+n+2〃如cos/耳P6=12,解得"2+=脂

29=(m+n)2—2mn=16—2mn=10

又根+ngpmn=3.

m2+n2-810-81

COS^F1PF2=

所以可得2mn6-3.

故選：C

7.A

【分析】首先由條件抽象出經(jīng)過幾層夕尸棉濾芯過濾后的大顆粒雜質(zhì)含量〉的函數(shù)，再結合指對運算，解不

等式.

2

_y=80xH-1=80x

【詳解】設經(jīng)過〃層。尸棉濾芯過濾后的大顆粒雜質(zhì)含量為則

80x(2]<2

2In1g—<1g—wig—>1g40

40

令,解得',兩邊取常用對數(shù)得340,即2

7

Ip?（lg3-lg2）>l+21g2）因為lg220.30,lg3-0.48；

（、>80

所以（0.48-0.30）*1.60,解得"-豆，因為〃eN*,所以”的最小值為9.

故選：A

8.D

【分析】先求導，然后根據(jù)導函數(shù)和極值點的關系求出為+%，再%及a的范圍，然后代入

/a）+/（x）-（%+動，構造函數(shù)求最值即可.

［詳解］函數(shù),⑺定義域為（°什°°）,‘7+1一x

又函數(shù)y=/a）存在兩個極值點不超,

所以方程尤②-4尤+。=°在（°，+°°）上有兩個不相等的正實數(shù)根,

A=16-4〃>0

%+9=4>0

x%

則i2=a>0,解得o<a<4,

12-|1

+%)-2xlx2J-5(x1+冗2)+〃1口(％1%2)=-2a^~20+a\na=a\na-a-12

2

設/z(a)=alna—a—12,0<a<4

貝lj"(a)=lna.

當。<a<l時，〃M）<°,"⑷單調(diào)遞減，

當l<a<4時，〃（a）>°,單調(diào)遞增加,

M*in=Ml)=T3

因為不等式f^+f（X2）>Xl+X2+t恒成立，

即/（%）+/（%）-（%+々）“恒成立,

所以r<T3.

故選：D.

9.BD

【分析】利用方差的概念，條件概率公式，線性回歸分析等知識分別對每個選項逐一判斷即可.

8

【詳解】對于選項A：若樣本數(shù)據(jù)不，均，%的方差為2,貝I］數(shù)據(jù)2網(wǎng)-1，2馬-1，，2%T的方差為

2

2x2=87,故A不正確;

對于選項B：若P(A)=06P(8)=0.8,P(A|B)=0.5,則

尸(AB)_P(B)P(A|B)0,8x0.52

尸網(wǎng)）

A=P(A)P(A)-0.6

3,故B正確;

對于選項C：在一組樣本數(shù)據(jù)（XQ）（%,%），<%,%）,（“22,毛，%，，%,不全相等）的散點圖中，

=L+i_i_

若所有樣本點5，y,）（i=i，2,“，〃）都在直線、一一5，十上，其中-5是線性回歸方程的一次項系數(shù)，不是相

關系數(shù)，相關系數(shù)是刻畫一組數(shù)據(jù)線性相關程度一個量，范圍是［-1,i］,當相關系數(shù)為正時呈正相關關系,

為負時呈負相關關系，故c不正確；

對于選項D：以模型y=ce”去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗回歸方程，設z=lny,

貝y=lny=lnc+lneA=lnc+辰，由題線性回歸方程為2=4x+0.3,則lnc=0.3,左=4,故。，上的值分別是e。?

和4,故D正確.

故選：BD.

10.ABD

【分析】由題意首先求出函數(shù)f（x）的表達式，對于A,直接代入檢驗即可；對于B,由復合函數(shù)單調(diào)性、

正弦函數(shù)單調(diào)性判斷即可；對于CD,直接由三角函數(shù)的平移、伸縮變換法則進行運算即可.

T_5兀7i_12兀

［詳解］由圖象可知A=2,4-126_4X0,解得T=n，①=2,

=22sinf—+^=2—+^>=—+2far,A:eZ1^1<—k=0,<p=~

又口，所以3J,即32,結合??2,可知6,

/(%)=2sin(2x+宗

所以函數(shù)的表達式為

/f-—>|=2sinf--+-^=0f-—,0^1

12

對于A,由于<>I66J,即AM的圖象關于I12)中心對稱,故A正確;

7兀25K7兀9兀

X6—,2?1:2.

-3」時,~T9~6~~T?T

對于B,當,由復合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間L3

上單調(diào)遞增，故B正確;

717171=2sin12%一弓

g(x)=2sin2X--+—

函數(shù)/（元）的圖象向右平移7個單位長度可以得到函數(shù)

對于C,6

故C錯誤;

9

TT

1/z（x）—2sin（4%H）

對于D,將函數(shù)/“）的圖象所有點的橫坐標縮小為原來的萬，得到函數(shù),一’6的圖象，故D正

確.

故選：ABD.

11.BCD

【分析】利用兩圓方程相減即可得到公共弦所在直線方程來判斷選項A；聯(lián)立兩圓方程，求出公共點坐標,

即可求出線段AB的長，判斷選項B；設加（不，乂）川（孫月）,可得直線方程和直線PN的方程，用點尸

坐標表示出直線MN的方程，即可求出定點坐標判斷選項C；當「a最小時，歸’囪最小，利用點到直線距

離公式和勾股定理求解即可判斷選項D.

fx2+'2=4

【詳解】由題知，聯(lián)立［f+y2-2x+4y+4=0,

兩式相減得工一2〉-4=0,

即直線鉆的方程為-4=0,人錯；

fx2+y2=4

聯(lián)立〔I+V_2%+4y+4=0,

對于C,設“（冷M），N（X2，%）,

因為"，N為圓。的切點，

所以直線PM方程為孫+郎=4,

直線PN的方程為書+觀=4,

又設尸兒），

玉+%%=4

所以［無?！?%%=4,

故直線MN的方程為％x+%、=4,

10

所以（2%+V）%—5A4=0,

4

x=——

<5

[2x+y=0<_8

由[一5彳一4=。得了5,

即直線MN過定點I55人c正確;

因為P"+0"=PC>2,

所以當1PM最小時，陽最小,

【分析】畫出樹狀圖，結合圖形及古典概型即可求解.

【詳解】畫出樹狀圖，結合圖形

甲,

申

則從1移動到9,一共有34條不同的移動路線，A正確；

從1移動到9過程中，恰好漏掉兩個數(shù)字的移動路線，

即上圖倒數(shù)第三行有9的路線，有15條，B正確；

若每次移動都是隨機的，則移動過程中恰好跳過4的路線共有10條,

5

則其概率為17,C錯誤;

若每次移動都是隨機的，記尸⑺為經(jīng)過i的概率，則「（9）=1為最大值，尸0）＜1,D錯誤.

11

故選：AB

13.8

【分析】由題意利用二項展開式的通項公式，求得(尤3+D(x-2)4展開式中/項的系數(shù).

【詳解】由題意可知：-2)4展開式的通項公式為&|"7”-(-2)'"=0,1,2,3,4,

所以(Da.展開式中不項的系數(shù)為C：x(_2y+C；x(-2)=16-8=8.

故答案為：8.

14.28

【分析】用向量的方法，借助平面向量數(shù)量積的有關計算求角A,然后用三角形的面積公式求解.

【詳解】因為：鉆=(3，T,AC=(-5,-12),

所以：網(wǎng)=5,國卜13,AB./=3x(-5)+(Y)x(-12)=33,

cos/AB,Ac\==~/ARsin(AB,Ac\=—

所以：'/5x1365,所以為銳角，且'/65.

所以sABC=11As|.|Ac|-sin(AB,Ac)=1X5X13X||=28

故答案為：28

15.5##5

【分析】設母線長為/,甲圓錐底面半徑為R乙圓錐底面圓半徑為d根據(jù)圓錐的側面積公式可得4=22,

再結合圓心角之和可將小4分別用/表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即

可得解.

【詳解】解：設母線長為/,甲圓錐底面半徑為弓，乙圓錐底面圓半徑為4,

則%一萬以一4一,所以(二24，

2兀42?！?兀r+r,3II

-------1--------=T--=一1=-，4=—

又II則/4,所以2-4,

4=

所以甲圓錐的高

h,=Jl2-—l2=^-1

乙圓錐的高V164

12

吃:兀靛*x巫/5

所以3164

8.

故答案為：5.

1n(n+l)(?+2)、九(九+1)(2〃+1)

16.。

9+1)=一如一1)9+1)一9+1)(〃+2)],可求空①,進而

【分析】根據(jù)題設的方法,

然后利用"="(〃+1)一"求空②.

【詳解】對于S〃=1X2+2X3+...+小+1)

其中求和項“"=w(n+l)=[(〃_1)"(〃+(〃+1)(九+2)]

3

?！?〃+1)(〃+2)

S"=-g[xlx2-lx2x3+lx2x3-2x3x4+--+(?-l)H(n+

3

V??4=n(n+l)—n

,仔+22+3?+...+〃2=]X2-1+2x3-2++〃(〃+1)-n

〃(幾+1)(〃+2)n(n+l)

=Ix2+2x3+...+〃(幾+1)—(1+2+...+〃)32

〃(幾+1)(2〃+1)

一6.

痂公安％；巾+1)(〃+2)/〃+1)(2〃+1)

改合基力：,；°.

-n2+12n,H<7

6

fl3—2n,n<7Sn=<73_y~

a

n=\2〃一7八---，〃>7

17.(1)〔與，〃>7⑵12

【分析】(1)根據(jù)遞推公式判斷數(shù)列是否等差、等比，再根據(jù)等差、等比求通項;

(2)分段求數(shù)列的前"項和.

【詳解】(1)由題意：數(shù)列｛"/的前7項成等差數(shù)列，公差4=-2,從第7項起成等比數(shù)列，公比4=3.

出+%=0n%-51+的鄉(xiāng)？=0n%=-1

〃)〃

當時,an=%+(—7d=—2+13

13

n-1

當〃>7時，an-aiQ=-y

J-2n+13,n<7

所以「=1獷，”>7.

s,=-f+⑵

(2)當〃47時，2,

1-3(l-3-7)73-3^

當“>7時，Sn=S7+ag+a9+---+an]-32

-n2+12n,n<7

Sn=\73-3,!-6"

-----------,ra>7

所以：〔2

2K3A/3

18.(1)3(2)2

.Z?2+c2-a21

cosA=-------------=—

【分析】(1)根據(jù)同角的三角函數(shù)關系和正弦定理化簡原式，結合余弦定理求解處c2進

而得到答案；

(2)根據(jù)已知條件轉化為向量關系，通過向量數(shù)量積運算得到2c=36,結合余弦定理得到19=萬2+02+歷，

3

兩式聯(lián)立得到一’一5一，結合三角形面積公式即可得到答案.

sinB+sinC_cosB-cosA

【詳解】(1)因為cos3+cosAsinC,

所以sinBsinC+sin2C=cos2B-cos2A,

gpsinBsinC+sin2C=(1一sin2—(1一sin2A)=sin2A-sin2B

在ABC中，由正弦定理得，bc+c2=a2-b2,^b2+c2-a2=-bc,

.b2-^-c2-a21

An-cosA=---------=—

在，ABC中，由余弦定理得，2bc2,

A-2兀

又因為0<4<兀，所以一工.

(2)如圖所示，

BD_3

因為又一月

14

2QAQ

AD=AB+-BC=AB+-(AC-AB}=-AB+-AC

所以77、>77

因為ADLAC,所以A?AC=。，

|-AB+-AC|-AC=O

所以177J

43

-ABAC+-ACAC=O

所以77,

—ftcxf--^+―xfe2=0

即7I2)7,即2c6=36、

又因為匕/0,所以2c=36,

在，ABC中，由余弦定理得，a2^b2+c2-2bccosA,

即19=Z?2+c2+bc,

c=-b

代入2,解得b=i2（負值舍去），

3

b=2,C=-/?=3

所以2

A/3_3A/3

=-bcsinA=—x2x3x

所以22~2~~

Vf

19.(1)證明見解析(2)3

【分析】（1）過F作田，￡3交BE于。，應用垂直于同一個平面的兩直線平行可證CM//ED即可;

（2）以C4C民CG為x,丫，z軸建系，應用空間向量求二面角的余弦值.

【詳解】（1）過F作即，必交BE于。，因為平面平面48男4,

平面BEFI平面A網(wǎng)A=BE

FDu平面BEF,則

.?.尸￡）_1_平面48瓦4,

M為中點，且C4=CB,.1WAS,

又平面ABC,CMu平面ABC,

15

/._LCM又AB,A4ju平面ABB{A{

ABcA4]=A,...cw平面AB耳A、

:.CM//FD,CM<z平面跳F,FDu平面BEF,

，。///平面3歷.

(2)…CM/AD尸，，可確定一平面OWZ>,

CF//AA,cf<z平面A?瓦A,44Ju平面AB瓦A...c尸〃平面ABB|A,Cbu平面CAIDT7,

平面CMD尸c平面A84A,:.CF//MD,

Ap

：.CF=MD=——=1

二.四邊形CMD廠為平行四邊形，2

以CABCCi為x,丫，％軸建系，則3(0,2,0),E(2,0,2),尸(0,0,1),

設“=(x,y,z)為平面BEF的法向量，

<m-EF=0J2尤+z=0

EF=(-2,0,-l),BF=(0,-2,l)；則]機尸=0,gp[2j-z=0；令x=l,則y=-L,z=-2

.""=(LT-2)是平面3跖的一個法向量，

〃=(。,。,1)為平面板的一個法向量，即仇昨高邛

^6

平面BEF與平面A3c所成銳二面角的余弦值為T.

—+y2=l_

20.(1)4'⑵x-2y+l=0或3x-y+3=0

16

，〃

【分析】（1）根據(jù)題意列式求/,即可得結果;

（2）分類討論直線1是否為x軸，設1方程為尤=沖一1,尸（為，必），。（%,必）,根據(jù)題意整理得

1-（％+為）+%%,聯(lián)立方程結合韋達定理分析求解.

【詳解】（1）因為?2/4,可得小=4尸，

（1$4+3=1

又因為點I'J在橢圓上，則“4b2,

聯(lián)立解得〃=4萬=1,

—+y2=l

所以橢圓方程為4

（2）若直線1為x軸時，網(wǎng)=4不符合條件;

my.-lmy-l=（力-1）（%一%）

\MN\=2

1-yi-必i-ylx+%）+%%

所以2

x=my—1

=1

聯(lián)立方程|了+’‘消去X得（加2+4））2_2根y_3=0

_2m—3

-2

則八=4機2_402+4）（—3）=48+16加2>0,可得%+%一^777'弘%m+4

17

??\(2m丫124dm2+3

火！J'，

4dm2+3\m-1|

------------------------=4A/7

+1

□TMm+4m+4基:鉀徂3根一7m+2=0一解徂m=2前—3一

所以所求直線方程為無一2>+1=°或3尤-y+3=°.

【點睛】方法點睛：涉及弦長的問題中，應熟練地利用根與系數(shù)的關系、設而不求計算弦長；涉及垂直關

系時也往往利用根與系數(shù)的關系、設而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定

義求解.

-l+ln2、

a€---------,+8

21.(1)L24⑵證明見解析.

【分析】（1）設公切線與y=〃x），y=g（x）分別相切于5，ln』），（X2，x；+a）,寫出對應切線方程，根據(jù)公

a=luXjH-1

切線列方程得到4%在（0，+°°）上有解，構造中間函數(shù)研究參數(shù)范圍；

五+1

——In（2）>2

A-1%2

（2）分析法，將問題化為證X2,應用換元法及導數(shù)證明不等式即可.

【詳解】（1）設公切線與y="x），y=g（x）分別相切于（/足口⑸后+幻，

y_In再=一（x一項）2

則直線％與直線，-/_〃=2%（冗一々）為同一條直線,

<玉。=1叫+上-1

In再一1二〃一君消去巧得例

要有公切線存在，即上述關于看的方程在（°，+°°）上有解,

設心）=lnx+2-1且無力收），則〃四=卜3=2X2-1

2d

（吟正

2

而（X）—0+

18

/z(x)單調(diào)減極小值單調(diào)增

l+ln2l+ln2

--------ae-----------,+oo

所以2,即2

（2）由蒼，蒼是尸（%）的兩個零點,則In玉=x；+a/nx2=￥