專題11數(shù)列的通項公式和前n項和（解密講義）

專題11數(shù)列的通項公式和前n項和（解密講義）【知識梳理】【考點(diǎn)1】數(shù)列的通項公式1.數(shù)列的通項公式(1)通項公式：如果數(shù)列{an}的第n項an與n之間的關(guān)系可以用一個式子an＝f(n)來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式.(2)遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.2.由遞推公式求通項公式的常用方法(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an，即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1.(2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an，即an＝··…···a1.(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，則an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列{an＋k}．(4)形如an＋1＝(A，B，C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解．3.若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an，則an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))4.遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化，應(yīng)考慮an與an＋1(或者相鄰三項等)之間的遞推關(guān)系，或者Sn與Sn＋1(或者相鄰三項等)之間的遞推關(guān)系.方法技巧：1、等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，常用“基本量法”求解，但有時靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡便．2、數(shù)列的通項公式或前n項和公式都可以看作關(guān)于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題．3、數(shù)列中的恒成立問題可以通過分離參數(shù)，通過求數(shù)列的值域求解．【考點(diǎn)2】數(shù)列的前n項和1.數(shù)列求和的幾種常用方法(1)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.(2)裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.(3)錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，這個數(shù)列的前n項和可用錯位相減法求解.(4)倒序相加法如果一個數(shù)列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解.2.在利用裂項相消法求和時應(yīng)注意：(1)在把通項裂開后，是否恰好等于相應(yīng)的兩項之差；(2)要注意正負(fù)項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．3.用錯位相減法求和時，應(yīng)注意(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意4.Sn與an關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向兩個不同的方向轉(zhuǎn)化．①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解；②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．方法技巧：1、在處理一般數(shù)列求和時，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想．把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和，在求和時要分析清楚哪些項構(gòu)成等差數(shù)列，哪些項構(gòu)成等比數(shù)列，清晰正確地求解．在利用分組求和法求和時，由于數(shù)列的各項是正負(fù)交替的，所以一般需要對項數(shù)n進(jìn)行討論，最后再驗(yàn)證是否可以合并為一個公式．2、(1)錯位相減法適用于求數(shù)列{an·bn}的前n項和，其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列；(2)所謂“錯位”，就是要找“同類項”相減．要注意的是相減后得到部分，求等比數(shù)列的和，此時一定要查清其項數(shù)．(3)為保證結(jié)果正確，可對得到的和取n＝1,2進(jìn)行驗(yàn)證．3、(1)裂項相消法的基本思想就是把通項an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*)的形式，從而達(dá)到在求和時某些項相消的目的，在解題時要善于根據(jù)這個基本思想變換數(shù)列{an}的通項公式，使之符合裂項相消的條件．(2)常用的裂項公式①eq\f(1,nn＋k)＝eq\f(1,k)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋k))；②eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))；③eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq\f(1,k)(eq\r(n＋k)－eq\r(n))．考點(diǎn)命題點(diǎn)考題數(shù)列的通項公式=1\*GB3①等差、等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì)=2\*GB3②求數(shù)列的通項公式2023北京卷T14，2023北京卷T10，2023全國乙卷（理）T15，2023全國乙卷（理）T10，2023天津卷T6，2022浙江卷T10，2022新高考II卷T3，2022全國乙卷（文）T10，2022全國乙卷（理）T8數(shù)列的前n項和=1\*GB3①公式法及分組法求前n項和=2\*GB3②裂項相消法=3\*GB3③錯位相減法2023全國乙卷（文）T18，2023全國甲卷（理）T17，2023新課標(biāo)I卷T20，2023新課標(biāo)II卷T18，2022天津卷T18，2022新高考II卷T17，考點(diǎn)一數(shù)列的通項公式命題點(diǎn)1等差、等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì)典例01（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和．若a2+aA．25 B．22 C．20 D．15【答案】C【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列an的公差和首項，再根據(jù)前n方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列an的公差，再根據(jù)前n【詳解】方法一：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，首項為aa2+a又a4a8所以S5故選：C.方法二：a2+a6=2a4從而d=a8-所以S5故選：C.典例02（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知等比數(shù)列an的前3項和為168，a2-a5A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,q≠0，易得q≠1【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,q≠0若q=1，則a2所以q≠1，則a1+a所以a6故選：D.典例03（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和．若2S3【答案】2【分析】轉(zhuǎn)化條件為2a1【詳解】由2S3=3S2即2a1+2故答案為：2.典例04（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知an為等比數(shù)列，a2a4a5【答案】-2【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對a2a4a5=a3a【詳解】設(shè)an的公比為qq≠0，則a2則a4=q2，即a1q3則q15=q53故答案為：-2.命題點(diǎn)2求數(shù)列的通項公式典例01（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列an滿足an+1=A．當(dāng)a1=3時，an為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M≤0，使得B．當(dāng)a1=5時，an為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M≤6，使得C．當(dāng)a1=7時，an為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M>6，使得D．當(dāng)a1=9時，an為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M>0，使得【答案】B【分析】法1：利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數(shù)列的性質(zhì)，故可判斷B的正誤.法2：構(gòu)造fx=14x-63+6-x，利用導(dǎo)數(shù)求得fx的正負(fù)情況，再利用數(shù)學(xué)歸納法判斷得各選項an所在區(qū)間，從而判斷an的單調(diào)性；對于A，構(gòu)造hx=14x3-92x2+26x-47x≤3，判斷得an+1<an-1，進(jìn)而取m=-【詳解】法1：因?yàn)閍n+1=1對于A，若a1=3，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：an證明：當(dāng)n=1時，a1-6=-3≤-3，此時不等關(guān)系設(shè)當(dāng)n=k時，ak則ak+1-6=1由數(shù)學(xué)歸納法可得an≤3而an+114an-62-1≥9故an為減數(shù)列，注意故an+1-6=1所以6-an+1≥94若存在常數(shù)M≤0，使得an>M恒成立，則故6-M3>94n，故n<log故A不成立.對于B，若a1=5,可用數(shù)學(xué)歸納法證明：-1≤a證明：當(dāng)n=1時，-1≤a1-6=-1≤0設(shè)當(dāng)n=k時，5≤a則ak+1-6=1由數(shù)學(xué)歸納法可得5≤ak+1而an+114an-62-1<0，an若M=6，則an<6恒成立，故B對于C，當(dāng)a1=7時，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：0<a證明：當(dāng)n=1時，0<a設(shè)當(dāng)n=k時，6<a則ak+1-6=14由數(shù)學(xué)歸納法可得6<an而an+1-an=又an+1-6=an-6×1若an+1≤6+14n，若存在常數(shù)則M-6≤14n恒成立，故n≤log14對于D，當(dāng)a1=9時，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：an證明：當(dāng)n=1時，a1設(shè)當(dāng)n=k時，ak則ak+1-6=1由數(shù)學(xué)歸納法可得an≥9而an+1-an=又an+1-6=an-6×1若存在常數(shù)M>0，使得an<M恒成立，則故M>6+394n-1，故n<log94故選：B.法2：因?yàn)閍n+1令fx=1令f'x>0，得0<x<6-令f'x<0所以fx在-∞,6-23令fx=0，則14x3-92x注意到4<6-233所以結(jié)合fx的單調(diào)性可知在-∞,4和6,8上fx<0，在4,6對于A，因?yàn)閍n+1=1當(dāng)n=1時，a1=3，a2假設(shè)當(dāng)n=k時，ak當(dāng)n=k+1時，ak+1-6=1綜上：an≤3，即因?yàn)樵?∞,4上fx<0，所以因?yàn)閍n+1令hx=1因?yàn)閔'x開口向上，對稱軸為所以h'x在-∞所以hx在-∞,3故an+1-a假設(shè)存在常數(shù)M≤0，使得an>M取m1=-M+4，其中因?yàn)閍n+1<a上式相加得，a-則am1=aM+4對于B，因?yàn)閍1當(dāng)n=1時，a1=5<6，假設(shè)當(dāng)n=k時，ak當(dāng)n=k+1時，因?yàn)閍k<6，所以ak所以ak+1又當(dāng)n=1時，a2-5=1假設(shè)當(dāng)n=k時，ak當(dāng)n=k+1時，因?yàn)閍k≥5，所以ak所以ak+1綜上：5≤a因?yàn)樵?,6上fx>0，所以an+1此時，取M=6，滿足題意，故B正確；對于C，因?yàn)閍n+1=1注意到當(dāng)a1=7時，a2=猜想當(dāng)n≥2時，ak當(dāng)n=2與n=3時，a2=14+6假設(shè)當(dāng)n=k時，ak當(dāng)n=k+1時，所以ak+1綜上：an易知3n-1>0，則0<1所以an因?yàn)樵?,8上fx<0，所以an+1假設(shè)存在常數(shù)M>6，使得an>M記m0=log32則3m故123m-1>所以am<M，故an>M對于D，因?yàn)閍1當(dāng)n=1時，a2-6=1假設(shè)當(dāng)n=k時，ak當(dāng)n=k+1時，ak+1-6=1綜上：an因?yàn)樵?,+∞上fx>0，所以a因?yàn)閍n+1令gx=1因?yàn)間'x開口向上，對稱軸為所以g'x在9,+∞所以gx故an+1-a假設(shè)存在常數(shù)M>0，使得an<M取m2=M+1，其中因?yàn)閍n+1>a上式相加得，aM則am2=aM+1>M故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)首項給出與通項性質(zhì)相關(guān)的相應(yīng)的命題，再根據(jù)所得命題結(jié)合放縮法得到通項所滿足的不等式關(guān)系，從而可判斷數(shù)列的上界或下界是否成立.典例02（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列an各項均為正數(shù)，其前n項和Sn滿足①an的第2項小于3；

②an為等比數(shù)列；③an為遞減數(shù)列；

④a其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①③④【分析】推導(dǎo)出an=9an-9an-1，求出a【詳解】由題意可知，?n∈N*，當(dāng)n=1時，a12=9當(dāng)n≥2時，由Sn=9an所以，9an-1=9a因?yàn)閍2>0，解得a2假設(shè)數(shù)列an為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則a22所以，S22=S1故數(shù)列an不是等比數(shù)列，②當(dāng)n≥2時，an=9an-9假設(shè)對任意的n∈N*，an所以，a100000=9S故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題在推斷②④的正誤時，利用正面推理較為復(fù)雜時，可采用反證法來進(jìn)行推導(dǎo).典例03（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）記Sn為數(shù)列an的前n項和，bn為數(shù)列Sn的前（1）證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列（2）求an【答案】（1）證明見解析；（2）an【分析】（1）由已知2Sn+1bn=2得Sn=2bn2bn-1,且bn≠0（2）由（1）可得bn的表達(dá)式,由此得到Sn的表達(dá)式,然后利用和與項的關(guān)系求得【詳解】（1）[方法一]：由已知2Sn+1bn=2得取n=1,由S1=b由于bn為數(shù)列Sn的前所以2b所以2b所以2b由于b所以22bn+1-1=所以數(shù)列bn是以b1=3[方法二]【最優(yōu)解】：由已知條件知bn=于是bn-1=S由①②得bnbn-1又2Sn+由③④得bn令n=1，由S1=b所以數(shù)列bn是以32為首項，[方法三]：

由2Sn+1bn=2，得b又因?yàn)閎n=Sn?在2Sn+1b故數(shù)列bn是以32為首項，[方法四]：數(shù)學(xué)歸納法

由已知2Sn+1bn=2，得Sn=2bn2bn下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)n=1時顯然成立．假設(shè)當(dāng)n=k時成立，即bk那么當(dāng)n=k+1時，bk+1=b綜上，猜想對任意的n∈N都成立．即數(shù)列bn是以32為首項，（2）由（1）可得，數(shù)列bn是以b1=∴bSn當(dāng)n=1時，a1當(dāng)n≥2時,an=Sn-S∴an【整體點(diǎn)評】（1）方法一從2Sn+1bn=2得Sn=方法二先從bn的定義，替換相除得到bnbn-1=Sn方法三由2Sn+1bn=2，得bn=Sn（2）由（1）的結(jié)論得到bn=12n+1，求得S1．已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且SnA．a(chǎn)n<an+1 B．Sn>【答案】D【分析】根據(jù)條件先求解出an的通項公式，A：根據(jù)an的通項公式結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷；B：根據(jù)Sn+1-Sn的結(jié)果進(jìn)行判斷；C：根據(jù)an的通項公式結(jié)合Sn【詳解】當(dāng)n=1時，a1當(dāng)n≥2時，an所以n=1不滿足n≥2的情況，所以an對于A：當(dāng)n≥2時，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知：43n>43對于B：因?yàn)镾n+1-Sn=對于C：當(dāng)n=1時，2a當(dāng)n≥2時，2a故2an+S對于D：當(dāng)n=1時，a1當(dāng)n≥2時，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知an=4且43n>0恒所以0<an≤故選：D.2．（多選）已知正項等比數(shù)列an的前n項的積為Tn，且公比q≠1，若對于任意正整數(shù)n，TnA．0<a1<1 B．0<q<1 C．a(chǎn)【答案】AD【分析】根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性即可求解0<a1【詳解】根據(jù)題意，Tn在n=2023時取得最小值，所以an為單調(diào)遞增數(shù)列，所以0<a1<1,q>1當(dāng)a2024=1時，Tn由Tn≥T2023可得T2024T2023故選：AD．3．已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a1>12，-a2，a1(1)求an及S(2)若bn=1Sn1+S【答案】(1)an=2n-1(2)T【分析】（1）根據(jù)等差等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì)列方程組求出公差、首項即可得解；（2）根據(jù)裂項相消法求和即可得解.【詳解】（1）設(shè)an的公差為d由題意得a3即d=2a解得a1=14（舍去）或所以an=2n-1，（2）由（1）知Sn所以bn所以Tn考點(diǎn)二數(shù)列的前n項和命題點(diǎn)1公式法及分組求和法求前n項和典例01（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn=n2-n+2n【答案】4【分析】結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項和公式的特點(diǎn)，分別求得an,b【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，根據(jù)題意等差數(shù)列an的前n項和公式為P等比數(shù)列bn的前n項和公式為Q依題意Sn=P通過對比系數(shù)可知d2=1a1-d2故答案為：4【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和公式，屬于中檔題.典例02（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知an為等差數(shù)列，bn=an-6,n為奇數(shù)2an,n為偶數(shù)，記Sn(1)求an(2)證明：當(dāng)n>5時，Tn【答案】(1)an(2)證明見解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，用a1,d表示Sn（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出Sn，bn，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出Tn，并與Sn作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出Sn，bn，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項和公式求出【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，而b則b1于是S4=4a1+6d=32所以數(shù)列an的通項公式是a（2）方法1：由（1）知，Sn=n(5+2n+3)當(dāng)n為偶數(shù)時，bn-1Tn當(dāng)n>5時，Tn-S當(dāng)n為奇數(shù)時，Tn當(dāng)n>5時，Tn-S所以當(dāng)n>5時，Tn方法2：由（1）知，Sn=n(5+2n+3)當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn當(dāng)n>5時，Tn-S當(dāng)n為奇數(shù)時，若n≥3，則T=32n2+52當(dāng)n>5時，Tn-S所以當(dāng)n>5時，Tn典例03（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且(1)求an與b(2)設(shè)an的前n項和為Sn，求證：(3)求k=12n【答案】(1)a(2)證明見解析(3)(6n-2)【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項公式進(jìn)行基本量運(yùn)算即可得解；（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項與前n項和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證；（3）先求得[a2k-(-1)2k-1a【詳解】（1）設(shè){an}公差為d，{bn由a2-b2=所以an（2）證明：因?yàn)閎n+1=2b即證(Sn+1+即證an+1而an+1=S（3）因?yàn)閇=(4k-1+4k-3)×2所以k=12n[=k=1設(shè)T所以Tn則4T作差得-3=(2-6n)所以Tn所以k=12n[a命題點(diǎn)2裂項相消法典例01（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=an1+aA．32<S100<3 B．3<S【答案】A【分析】顯然可知，S100>32，利用倒數(shù)法得到1an+1=1an+1an=【詳解】因?yàn)閍1=1,an+1=由a∴1a根據(jù)累加法可得，1an<1+n-12則1an≤∴∴a由累乘法可得an≤6則an≤6由裂項求和法得：所以S100≤61故選：A．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過倒數(shù)法先找到an,an+1的不等關(guān)系，再由累加法可求得an≥4(n+1)2，由題目條件可知要證S典例02（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記Sn為數(shù)列an的前n項和，已知a1(1)求an(2)證明：1a【答案】(1)a(2)見解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式求得Snan=1+13n-1=n+23，得到Sn=n+2an3（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項求和法得到1a1+1【詳解】（1）∵a1=1，∴S1=又∵Snan∴Snan=1+∴當(dāng)n≥2時，Sn-1∴an整理得：n-1a即an∴a=1×3顯然對于n=1也成立，∴an的通項公式a（2）1a∴1a1典例03（2019·浙江·高考真題）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3=4，a（1）求數(shù)列{a（2）記Cn=a【答案】（1）an=2n-1，bn【分析】(1)首先求得數(shù)列an的首項和公差確定數(shù)列an的通項公式，然后結(jié)合三項成等比數(shù)列的充分必要條件整理計算即可確定數(shù)列(2)結(jié)合(1)的結(jié)果對數(shù)列cn的通項公式進(jìn)行放縮，然后利用不等式的性質(zhì)和裂項求和的方法即可證得題中的不等式【詳解】(1)由題意可得：a1+2d=4a則數(shù)列an的通項公式為a其前n項和Sn則nn-1nn+1據(jù)此有：n2故bn(2)結(jié)合(1)中的通項公式可得：Cn則C1【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，，裂項求和的方法，數(shù)列中用放縮法證明不等式的方法等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.命題點(diǎn)3錯位相減法典例01（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為20dm×12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm【答案】5720-【分析】（1）按對折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得Sn，再根據(jù)錯位相減法得結(jié)果【詳解】（1）由對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3故對折4次可得到如下規(guī)格：54×12，52×6，5×3，10×3（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為12的等比數(shù)列，首項為120dm2,第n次對折后的圖形面積為120×12n-1，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1設(shè)S=k=1則12兩式作差得：1=240+=360-120因此，S=720-240故答案為：5；720-15【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對于anbn結(jié)構(gòu)，其中a（3）對于an（4）對于1anan+1結(jié)構(gòu)，其中an是等差數(shù)列，公差為dd≠0典例02（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和，已知(1)求an(2)求數(shù)列an+12n的前n【答案】(1)a(2)T【分析】（1）根據(jù)an（2）根據(jù)錯位相減法即可解出．【詳解】（1）因?yàn)?S當(dāng)n=1時，2a1=當(dāng)n=3時，21+a3當(dāng)n≥2時，2Sn-1=化簡得：n-2an=n-1an-1，當(dāng)當(dāng)n=1,2時都滿足上式，所以an（2）因?yàn)閍n+12n12兩式相減得，12=1-1+n212典例03（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)an是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列bn滿足bn=nan（1）求an和b（2）記Sn和Tn分別為an和bn的前【答案】（1）an=(13)【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及a1得到9（2）利用公式法、錯位相減法分別求出Sn,Tn【詳解】（1）因?yàn)閍n是首項為1的等比數(shù)列且a1，3a所以6a2=即9q2-6q+1=0，解得q=所以bn（2）[方法一]：作差后利用錯位相減法求和TnSnTn-Sn2設(shè)Γn=0-則13Γn由⑧⑨得23所以Γn因此Tn故Tn[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯位相減求和法證明：由（1）可得SnTn=13T①-②得23Tn所以Tn所以Tn-S所以Tn[方法三]：構(gòu)造裂項法由（Ⅰ）知bn=n13n，令c通過等式左右兩邊系數(shù)比對易得α=32,β=則Tn[方法四]：導(dǎo)函數(shù)法設(shè)f(x)=x+x由于x1-則f'又bn所以Tn==3【整體點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項化簡的更為簡潔.（2）的方法一直接作差后利用錯位相減法求其部分和，進(jìn)而證得結(jié)論；方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，分別利用公式法和錯位相減法求得Sn,Tn,方法三采用構(gòu)造數(shù)列裂項求和的方法，關(guān)鍵是構(gòu)造cn=(αn+β)13n方法四利用導(dǎo)數(shù)方法求和，也是代替錯位相減求和法的一種方法.1．在等比數(shù)列an中，a2=2,a4a6-16a5=0，若bn=A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)及分組求和法，利用等比數(shù)列的前n項和及數(shù)列的單調(diào)性即可求解.【詳解】由a4a6-16故a5=16，設(shè)an的公比為q，則q故an則S2n=1+4+16+?+4n-1由于n≥2時，bn故S2n隨著n的增大而增大，而S10=故滿足S2n>360的最小正整數(shù)n的值為故選：B.2．已知正項數(shù)列an的前n項和為Sn，a1=4，且當(dāng)(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足bn=log2SnSn，數(shù)列bn【答案】(1)a(2)Tn【分析】（1）由n≥2時，an=Sn-Sn-1，及條件可得S（2）由bn的通項公式可知，利用錯位相減法求出Tn，再由不等式的性質(zhì)比較Tn與【詳解】（1）因?yàn)閚≥2時2n-1數(shù)列an為正項數(shù)列，所以S由累加法得Sn又S1=a1=2故當(dāng)n≥2時，an=因此an（2）Tn由題意及（1）可得bn故Tn14兩式相減，得34得Tn=89-8+6n9×3．已知首項為正數(shù)的等差數(shù)列an的公差為2，前n項和為Sn，滿足(1)求數(shù)列an(2)令bn=4cosnπ?n+1【答案】(1)a(2)當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn=12n+3-【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前n和公式即可求出a1（2）分n為奇數(shù)和偶數(shù)討論并結(jié)合裂項求和即可.【詳解】（1）由題意得an是公差為2的等差數(shù)列，且S即4a1+12=a1所以數(shù)列an的通項公式a（2）由（1）知bn當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn當(dāng)n為奇數(shù)時，Tn經(jīng)檢驗(yàn)，n=1時，滿足Tn綜上，當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn當(dāng)n為奇數(shù)時，TnAA·新題速遞1．（2023·廣東東莞·東莞市東華高級中學(xué)?？家荒＃┮阎炔顢?shù)列an與等差數(shù)列bn的前n項和分別為Sn與Tn,且SnTA．2921 B．2911 C．5821【答案】D【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)可得a3b11+a9b11=2【詳解】因?yàn)閿?shù)列an、bn都是等差數(shù)列,所以又S11=11故a6=S1111在SnT2n-1=5n+3故a3故選：D.2．（2024·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考一模）已知等比數(shù)列an滿足a1=1，其前n項和SA．?dāng)?shù)列an的公比為p B．?dāng)?shù)列aC．r=-p-1 D．當(dāng)p-14r【答案】D【分析】利用退一相減法可得數(shù)列的遞推公式，進(jìn)而可得公比為p+1p，r=-p，進(jìn)而可判斷數(shù)列an的單調(diào)性，再根據(jù)基本不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)p=12【詳解】由已知Sn=pan+1+r，當(dāng)n≥2時，S當(dāng)n=1時，a1=pa2+r所以a2=p+1pa1=p+1p又a1=1>0，p>0，則公比p+1p=1+1p-14r=p+14p≥2p?14p=1，當(dāng)且僅當(dāng)p=14p故選：D.3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足a12n+1+a22n+a32n-1+?+an【答案】4048【分析】將已知化簡為20a1+21a2+2【詳解】因?yàn)閍12n+1當(dāng)n≥2時，20兩式相減得2n-1所以an=2n+2，（又a1=4滿足所以an=2n+2，（令bn=an-kn=(2-k)n+2若Sn的最大值為S2023，則b2023所以實(shí)數(shù)k的最大值是40482023故答案為：404820234．（2024·湖北武漢·武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考二模）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)在an與an+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成一個公差為dn的等差數(shù)列，在數(shù)列dn中是否存在3項dm，dk，dp（其中m【答案】(1)證明見解析；(2)不存在，理由見解析.【分析】（1）利用等比數(shù)列定義，根據(jù)將n=1，n=2代入構(gòu)造方程組解得a1=2，q=4，可得數(shù)列an（2）假設(shè)存在dm，dk，dp成等比數(shù)列，由m，k，p成等差數(shù)列可得2k=m+p，且(k+1)2=m+1【詳解】（1）由題意知當(dāng)n=1時，a1當(dāng)n=2時，a1聯(lián)立①②，解得a1=2，所以數(shù)列an的通項公式a（2）由（1）知an=2×4所以an+1=a設(shè)數(shù)列dn中存在3項dm，dk，dp（其中m，k，所以6×4k-1k+1又因?yàn)閙，k，p成等差數(shù)列，所以2k=m+p，所以(k+1)2=m+1p+1，化簡得又2k=m+p，所以k=m=p與已知矛盾；所以在數(shù)列dn中不存在3項dm，dk5．（2024·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列an是公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列bn是等差數(shù)列，(1)求數(shù)列an(2)設(shè)cn=an+1b【答案】(1)an=2(2)2【分析】（1）根據(jù)等差、等比數(shù)列公式法求出通項；（2）利用等比數(shù)列前n項和公式以及裂項相消法求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列bn的公差為d則a1=所以an=2（2）cn則S=26．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足1a1(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=log2an（x表示不超過【答案】(1)an=n?(2)5530【分析】（1）由an（2）分別求出bn的各項，再求前100項和【小題1】因?yàn)?a1當(dāng)n≥2時，1a1①?②，得nan=當(dāng)n=1時，由①得a1所以an=n?2【小題2】由（1）得bn當(dāng)n=1時，log2n=0當(dāng)n=2,3時，log2n=1當(dāng)n=4,5,6,7時，log2n=2當(dāng)n=8,9,???,15時，log2n=3當(dāng)n=16,17,???,31時，log2n=4當(dāng)n=32,33.···,63時，log2n=5當(dāng)n=64,65,???,100時，log2n=6所以bn的前100項和S100=b7．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足Sn(1)求數(shù)列an(2)設(shè)數(shù)列bn滿足bn=2an,n【答案】(1)a(2)4【分析】（1）應(yīng)用Sn與an的關(guān)系即可求解；（2【詳解】（1）因?yàn)镾nn≥2時，Sn-1兩式相減得anaa2a1=2，a3相乘得ana1=n當(dāng)n=1時符合上式，所以an（2）bn當(dāng)n為奇數(shù)時bnT==48．（2023·全國·模擬預(yù)測）數(shù)列an的前n項和Sn滿足(1)令bn=a(2)令cn=2log3an+1+3【答案】(1)b(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，當(dāng)n=1時，解得a1=2，當(dāng)n≥2時，2an=2Sn-2Sn-1=3（2）由（1）知，cn=【詳解】（1）因?yàn)?Sn=3an-2n，所以當(dāng)當(dāng)n≥2時，2S兩式相減得2an=3所以當(dāng)n≥2時，an即當(dāng)n≥2時，bn=3b所以bn是以3為首項，3所以bn（2）由（1）知bn則cn所以T=1因?yàn)?(n+1)?3n9．（2024·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）數(shù)列an滿足a1=1(1)求數(shù)列an(2)求數(shù)列an的前n項和S【答案】(1)a(2)S【分析】（1）將遞推關(guān)系變形得到an+1+1n+1=2an+1（2）設(shè)n?2n的前n項和為Tn，先用錯位相減法求解出T【詳解】（1）因?yàn)閚an+1-2(n+1)所以nan+1+1又a1+11=2≠0，所以an所以an+1n（2）設(shè)n?2n的前n項和為因?yàn)門n所以2T兩式作差可得-T所以-T所以Tn所以Sn10．（2023·山東濰坊·山東省昌樂第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知(1)證明：Sn+1為等比數(shù)列，求出(2)若bn=nan，求b【答案】(1)證明見解析，a(2)T【分析】（1）根據(jù)Sn+1-2Sn=1可推出Sn+1+1=2Sn（2）由（1）的結(jié)果可得bn=【詳解】（1）∵Sn+1-2Sn∴Sn+1∴Sn∵a1=1，故Sn+1的首項為∴Sn+1=2當(dāng)n≥2時，Sn-1=2n-1-1∴an（2）由（1）可得bn=n故12兩式相減得：12故TnBB·易錯提升1．已知函數(shù)fx=1x+1，在正項等比數(shù)列an中，aA．20232 B．1012 C．2023 D．【答案】A【分析】由題設(shè)可得fx+f1x=1，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)有【詳解】由題意fx由等比數(shù)列性質(zhì)得a1所以an=1所以i=1故選：A2．（多選）設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a15>0，且A．2aB．SnC．當(dāng)Sn>0時，nD．?1≤m≤15，m∈N*【答案】AD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和求和公式及其性質(zhì)，對于A選項，當(dāng)n≥2由2an2an-1為定值即可判斷；對B，Snn=a1+(n-1)d2=d2【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因?yàn)閍所以a15+a16<0，又a對于A選項，2a所以2an是以2a1為首項，2對于B選項，易知Sn則Sn所以Snn是以a1又d<0，故Snn是遞減的等差數(shù)列，故B對丁C選項，因?yàn)閍15所以S29因?yàn)閍15+a故當(dāng)Sn>0時，n的最大值為29，故C對于D選項，因?yàn)?1≤m≤15，m∈N*，Smm=當(dāng)且僅當(dāng)m=1時取等號，所以Smm≥a故選：AD.3．（多選）設(shè)5+22n+1n∈N*的整數(shù)部分為aA．?dāng)?shù)列an+bn是等比數(shù)列C．bnan【答案】ABC【分析】借助二項式展開式，得到an=5+2【詳解】由5+25-2則5=2C由C2n+115故5+22n+1的整數(shù)部分即為小數(shù)部分即為5-2即an=5an+bn=由5+23>1，5+22bn故C正確；1-b故D錯誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于觀察出5+22n+1與5-22n+1的展開式特點(diǎn)，得到5+22n+1-4．（多選）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，1SA．Sn=12-C．S12S【答案】ABC【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式，令n=1，求得a1=12，于是當(dāng)n≥2時，可得1Sn-Sn=Sn-Sn-1，平方后即可判斷A；結(jié)合以上分析可推出1S【詳解】當(dāng)n=1時,1當(dāng)n≥2時，1S平方可得1Sn+Sn則n≥2時，Sn-1=所以1S故{1Sn-1}是首項為1S則1S∴S所以an=(記f(n)=4nS則f(n+1)f(n)故fn+1>fn所以fn≥f1=4a12故選：ABC【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：此題綜合考查了數(shù)列的遞推式、通項公式以及數(shù)列的單調(diào)性等，綜合新較強(qiáng)，難點(diǎn)在于選項C的判斷，解答時要巧妙設(shè)出f(n)=4nS12S5．（多選）已知遞增的正整數(shù)列an的前n項和為Sn．以下條件能得出anA．Sn=nC．a(chǎn)n+2=a【答案】AC【分析】用Sn與an的關(guān)系，計算判斷A和B；按n的奇偶求出an，再結(jié)合遞增的正整數(shù)列推出an+1-an=1判斷C【詳解】對于A，n≥2時，Sn-Sn-1=n2而且n∈N*時，an+1-a對于B，Sn-Sn-1=得an=2,n=12n-1,n≥2，因此數(shù)列對于C，an+2-an=2n∈則a2-a1>0，a3-a2于是a2n-1=a1+2(n-1)=所以an為等差數(shù)列，C對于D，a2n=2an∈N*，a2n=2a2n-1，即數(shù)列a2從a2n-1到a2n中間恰有而2n-1a1到2n若a1=2，則會出現(xiàn)如：2，4，5，8，9，10，11，16…的數(shù)列，非等差數(shù)列，D故選：AC6．2022年第二十四屆北京冬奧會開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數(shù)學(xué)中也有一朵美