專題11數列的通項公式和前n項和（解密講義）

專題11數列的通項公式和前n項和（解密講義）【知識梳理】【考點1】數列的通項公式1.數列的通項公式(1)通項公式：如果數列{an}的第n項an與n之間的關系可以用一個式子an＝f(n)來表示，那么這個公式叫做這個數列的通項公式.(2)遞推公式：如果已知數列{an}的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式.2.由遞推公式求通項公式的常用方法(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an，即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1.(2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an，即an＝··…···a1.(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，則an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系數法確定)，可轉化為等比數列{an＋k}．(4)形如an＋1＝(A，B，C為常數)的數列，可通過兩邊同時取倒數的方法構造新數列求解．3.若數列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an，則an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))4.遞推數列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關系不固定，隨項的變化而變化，應考慮an與an＋1(或者相鄰三項等)之間的遞推關系，或者Sn與Sn＋1(或者相鄰三項等)之間的遞推關系.方法技巧：1、等差數列與等比數列交匯的問題，常用“基本量法”求解，但有時靈活地運用性質，可使運算簡便．2、數列的通項公式或前n項和公式都可以看作關于n的函數，然后利用函數的性質求解數列問題．3、數列中的恒成立問題可以通過分離參數，通過求數列的值域求解．【考點2】數列的前n項和1.數列求和的幾種常用方法(1)分組轉化法把數列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數列，再求解.(2)裂項相消法把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.(3)錯位相減法如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，這個數列的前n項和可用錯位相減法求解.(4)倒序相加法如果一個數列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法求解.2.在利用裂項相消法求和時應注意：(1)在把通項裂開后，是否恰好等于相應的兩項之差；(2)要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質上造成正負相消是此法的根源與目的．3.用錯位相減法求和時，應注意(1)要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意4.Sn與an關系問題的求解思路根據所求結果的不同要求，將問題向兩個不同的方向轉化．①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn－1的關系式，再求解；②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為只含an，an－1的關系式，再求解．方法技巧：1、在處理一般數列求和時，一定要注意使用轉化思想．把一般的數列求和轉化為等差數列或等比數列進行求和，在求和時要分析清楚哪些項構成等差數列，哪些項構成等比數列，清晰正確地求解．在利用分組求和法求和時，由于數列的各項是正負交替的，所以一般需要對項數n進行討論，最后再驗證是否可以合并為一個公式．2、(1)錯位相減法適用于求數列{an·bn}的前n項和，其中{an}為等差數列，{bn}為等比數列；(2)所謂“錯位”，就是要找“同類項”相減．要注意的是相減后得到部分，求等比數列的和，此時一定要查清其項數．(3)為保證結果正確，可對得到的和取n＝1,2進行驗證．3、(1)裂項相消法的基本思想就是把通項an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*)的形式，從而達到在求和時某些項相消的目的，在解題時要善于根據這個基本思想變換數列{an}的通項公式，使之符合裂項相消的條件．(2)常用的裂項公式①eq\f(1,nn＋k)＝eq\f(1,k)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋k))；②eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))；③eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq\f(1,k)(eq\r(n＋k)－eq\r(n))．考點命題點考題數列的通項公式=1\*GB3①等差、等比數列的通項公式及性質=2\*GB3②求數列的通項公式2023北京卷T14，2023北京卷T10，2023全國乙卷（理）T15，2023全國乙卷（理）T10，2023天津卷T6，2022浙江卷T10，2022新高考II卷T3，2022全國乙卷（文）T10，2022全國乙卷（理）T8數列的前n項和=1\*GB3①公式法及分組法求前n項和=2\*GB3②裂項相消法=3\*GB3③錯位相減法2023全國乙卷（文）T18，2023全國甲卷（理）T17，2023新課標I卷T20，2023新課標II卷T18，2022天津卷T18，2022新高考II卷T17，考點一數列的通項公式命題點1等差、等比數列的通項公式及性質典例01（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記Sn為等差數列an的前n項和．若a2+aA．25 B．22 C．20 D．15【答案】C【分析】方法一：根據題意直接求出等差數列an的公差和首項，再根據前n方法二：根據等差數列的性質求出等差數列an的公差，再根據前n【詳解】方法一：設等差數列an的公差為d，首項為aa2+a又a4a8所以S5故選：C.方法二：a2+a6=2a4從而d=a8-所以S5故選：C.典例02（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知等比數列an的前3項和為168，a2-a5A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】設等比數列an的公比為q,q≠0，易得q≠1【詳解】解：設等比數列an的公比為q,q≠0若q=1，則a2所以q≠1，則a1+a所以a6故選：D.典例03（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記Sn為等差數列an的前n項和．若2S3【答案】2【分析】轉化條件為2a1【詳解】由2S3=3S2即2a1+2故答案為：2.典例04（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知an為等比數列，a2a4a5【答案】-2【分析】根據等比數列公式對a2a4a5=a3a【詳解】設an的公比為qq≠0，則a2則a4=q2，即a1q3則q15=q53故答案為：-2.命題點2求數列的通項公式典例01（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知數列an滿足an+1=A．當a1=3時，an為遞減數列，且存在常數M≤0，使得B．當a1=5時，an為遞增數列，且存在常數M≤6，使得C．當a1=7時，an為遞減數列，且存在常數M>6，使得D．當a1=9時，an為遞增數列，且存在常數M>0，使得【答案】B【分析】法1：利用數列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數列的性質，故可判斷B的正誤.法2：構造fx=14x-63+6-x，利用導數求得fx的正負情況，再利用數學歸納法判斷得各選項an所在區(qū)間，從而判斷an的單調性；對于A，構造hx=14x3-92x2+26x-47x≤3，判斷得an+1<an-1，進而取m=-【詳解】法1：因為an+1=1對于A，若a1=3，可用數學歸納法證明：an證明：當n=1時，a1-6=-3≤-3，此時不等關系設當n=k時，ak則ak+1-6=1由數學歸納法可得an≤3而an+114an-62-1≥9故an為減數列，注意故an+1-6=1所以6-an+1≥94若存在常數M≤0，使得an>M恒成立，則故6-M3>94n，故n<log故A不成立.對于B，若a1=5,可用數學歸納法證明：-1≤a證明：當n=1時，-1≤a1-6=-1≤0設當n=k時，5≤a則ak+1-6=1由數學歸納法可得5≤ak+1而an+114an-62-1<0，an若M=6，則an<6恒成立，故B對于C，當a1=7時，可用數學歸納法證明：0<a證明：當n=1時，0<a設當n=k時，6<a則ak+1-6=14由數學歸納法可得6<an而an+1-an=又an+1-6=an-6×1若an+1≤6+14n，若存在常數則M-6≤14n恒成立，故n≤log14對于D，當a1=9時，可用數學歸納法證明：an證明：當n=1時，a1設當n=k時，ak則ak+1-6=1由數學歸納法可得an≥9而an+1-an=又an+1-6=an-6×1若存在常數M>0，使得an<M恒成立，則故M>6+394n-1，故n<log94故選：B.法2：因為an+1令fx=1令f'x>0，得0<x<6-令f'x<0所以fx在-∞,6-23令fx=0，則14x3-92x注意到4<6-233所以結合fx的單調性可知在-∞,4和6,8上fx<0，在4,6對于A，因為an+1=1當n=1時，a1=3，a2假設當n=k時，ak當n=k+1時，ak+1-6=1綜上：an≤3，即因為在-∞,4上fx<0，所以因為an+1令hx=1因為h'x開口向上，對稱軸為所以h'x在-∞所以hx在-∞,3故an+1-a假設存在常數M≤0，使得an>M取m1=-M+4，其中因為an+1<a上式相加得，a-則am1=aM+4對于B，因為a1當n=1時，a1=5<6，假設當n=k時，ak當n=k+1時，因為ak<6，所以ak所以ak+1又當n=1時，a2-5=1假設當n=k時，ak當n=k+1時，因為ak≥5，所以ak所以ak+1綜上：5≤a因為在4,6上fx>0，所以an+1此時，取M=6，滿足題意，故B正確；對于C，因為an+1=1注意到當a1=7時，a2=猜想當n≥2時，ak當n=2與n=3時，a2=14+6假設當n=k時，ak當n=k+1時，所以ak+1綜上：an易知3n-1>0，則0<1所以an因為在6,8上fx<0，所以an+1假設存在常數M>6，使得an>M記m0=log32則3m故123m-1>所以am<M，故an>M對于D，因為a1當n=1時，a2-6=1假設當n=k時，ak當n=k+1時，ak+1-6=1綜上：an因為在8,+∞上fx>0，所以a因為an+1令gx=1因為g'x開口向上，對稱軸為所以g'x在9,+∞所以gx故an+1-a假設存在常數M>0，使得an<M取m2=M+1，其中因為an+1>a上式相加得，aM則am2=aM+1>M故選：B.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是根據首項給出與通項性質相關的相應的命題，再根據所得命題結合放縮法得到通項所滿足的不等式關系，從而可判斷數列的上界或下界是否成立.典例02（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知數列an各項均為正數，其前n項和Sn滿足①an的第2項小于3；

②an為等比數列；③an為遞減數列；

④a其中所有正確結論的序號是．【答案】①③④【分析】推導出an=9an-9an-1，求出a【詳解】由題意可知，?n∈N*，當n=1時，a12=9當n≥2時，由Sn=9an所以，9an-1=9a因為a2>0，解得a2假設數列an為等比數列，設其公比為q，則a22所以，S22=S1故數列an不是等比數列，②當n≥2時，an=9an-9假設對任意的n∈N*，an所以，a100000=9S故答案為：①③④.【點睛】關鍵點點睛：本題在推斷②④的正誤時，利用正面推理較為復雜時，可采用反證法來進行推導.典例03（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）記Sn為數列an的前n項和，bn為數列Sn的前（1）證明：數列bn是等差數列（2）求an【答案】（1）證明見解析；（2）an【分析】（1）由已知2Sn+1bn=2得Sn=2bn2bn-1,且bn≠0（2）由（1）可得bn的表達式,由此得到Sn的表達式,然后利用和與項的關系求得【詳解】（1）[方法一]：由已知2Sn+1bn=2得取n=1,由S1=b由于bn為數列Sn的前所以2b所以2b所以2b由于b所以22bn+1-1=所以數列bn是以b1=3[方法二]【最優(yōu)解】：由已知條件知bn=于是bn-1=S由①②得bnbn-1又2Sn+由③④得bn令n=1，由S1=b所以數列bn是以32為首項，[方法三]：

由2Sn+1bn=2，得b又因為bn=Sn?在2Sn+1b故數列bn是以32為首項，[方法四]：數學歸納法

由已知2Sn+1bn=2，得Sn=2bn2bn下面用數學歸納法證明．當n=1時顯然成立．假設當n=k時成立，即bk那么當n=k+1時，bk+1=b綜上，猜想對任意的n∈N都成立．即數列bn是以32為首項，（2）由（1）可得，數列bn是以b1=∴bSn當n=1時，a1當n≥2時,an=Sn-S∴an【整體點評】（1）方法一從2Sn+1bn=2得Sn=方法二先從bn的定義，替換相除得到bnbn-1=Sn方法三由2Sn+1bn=2，得bn=Sn（2）由（1）的結論得到bn=12n+1，求得S1．已知數列an的前n項和為Sn，且SnA．an<an+1 B．Sn>【答案】D【分析】根據條件先求解出an的通項公式，A：根據an的通項公式結合指數函數的單調性進行判斷；B：根據Sn+1-Sn的結果進行判斷；C：根據an的通項公式結合Sn【詳解】當n=1時，a1當n≥2時，an所以n=1不滿足n≥2的情況，所以an對于A：當n≥2時，由指數函數單調性可知：43n>43對于B：因為Sn+1-Sn=對于C：當n=1時，2a當n≥2時，2a故2an+S對于D：當n=1時，a1當n≥2時，由指數函數的單調性可知an=4且43n>0恒所以0<an≤故選：D.2．（多選）已知正項等比數列an的前n項的積為Tn，且公比q≠1，若對于任意正整數n，TnA．0<a1<1 B．0<q<1 C．a【答案】AD【分析】根據數列的單調性即可求解0<a1【詳解】根據題意，Tn在n=2023時取得最小值，所以an為單調遞增數列，所以0<a1<1,q>1當a2024=1時，Tn由Tn≥T2023可得T2024T2023故選：AD．3．已知等差數列an的前n項和為Sn，a1>12，-a2，a1(1)求an及S(2)若bn=1Sn1+S【答案】(1)an=2n-1(2)T【分析】（1）根據等差等比數列的通項公式及性質列方程組求出公差、首項即可得解；（2）根據裂項相消法求和即可得解.【詳解】（1）設an的公差為d由題意得a3即d=2a解得a1=14（舍去）或所以an=2n-1，（2）由（1）知Sn所以bn所以Tn考點二數列的前n項和命題點1公式法及分組求和法求前n項和典例01（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）設{an}是公差為d的等差數列，{bn}是公比為q的等比數列．已知數列{an+bn}的前n項和Sn=n2-n+2n【答案】4【分析】結合等差數列和等比數列前n項和公式的特點，分別求得an,b【詳解】設等差數列an的公差為d，等比數列bn的公比為q，根據題意等差數列an的前n項和公式為P等比數列bn的前n項和公式為Q依題意Sn=P通過對比系數可知d2=1a1-d2故答案為：4【點睛】本小題主要考查等差數列和等比數列的前n項和公式，屬于中檔題.典例02（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知an為等差數列，bn=an-6,n為奇數2an,n為偶數，記Sn(1)求an(2)證明：當n>5時，Tn【答案】(1)an(2)證明見解析.【分析】（1）設等差數列an的公差為d，用a1,d表示Sn（2）方法1，利用（1）的結論求出Sn，bn，再分奇偶結合分組求和法求出Tn，并與Sn作差比較作答；方法2，利用（1）的結論求出Sn，bn，再分奇偶借助等差數列前n項和公式求出【詳解】（1）設等差數列an的公差為d，而b則b1于是S4=4a1+6d=32所以數列an的通項公式是a（2）方法1：由（1）知，Sn=n(5+2n+3)當n為偶數時，bn-1Tn當n>5時，Tn-S當n為奇數時，Tn當n>5時，Tn-S所以當n>5時，Tn方法2：由（1）知，Sn=n(5+2n+3)當n為偶數時，Tn當n>5時，Tn-S當n為奇數時，若n≥3，則T=32n2+52當n>5時，Tn-S所以當n>5時，Tn典例03（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設an是等差數列，bn是等比數列，且(1)求an與b(2)設an的前n項和為Sn，求證：(3)求k=12n【答案】(1)a(2)證明見解析(3)(6n-2)【分析】（1）利用等差等比數列的通項公式進行基本量運算即可得解；（2）由等比數列的性質及通項與前n項和的關系結合分析法即可得證；（3）先求得[a2k-(-1)2k-1a【詳解】（1）設{an}公差為d，{bn由a2-b2=所以an（2）證明：因為bn+1=2b即證(Sn+1+即證an+1而an+1=S（3）因為[=(4k-1+4k-3)×2所以k=12n[=k=1設T所以Tn則4T作差得-3=(2-6n)所以Tn所以k=12n[a命題點2裂項相消法典例01（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數列an滿足a1=1,an+1=an1+aA．32<S100<3 B．3<S【答案】A【分析】顯然可知，S100>32，利用倒數法得到1an+1=1an+1an=【詳解】因為a1=1,an+1=由a∴1a根據累加法可得，1an<1+n-12則1an≤∴∴a由累乘法可得an≤6則an≤6由裂項求和法得：所以S100≤61故選：A．【點睛】本題解題關鍵是通過倒數法先找到an,an+1的不等關系，再由累加法可求得an≥4(n+1)2，由題目條件可知要證S典例02（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記Sn為數列an的前n項和，已知a1(1)求an(2)證明：1a【答案】(1)a(2)見解析【分析】（1）利用等差數列的通項公式求得Snan=1+13n-1=n+23，得到Sn=n+2an3（2）由（1）的結論，利用裂項求和法得到1a1+1【詳解】（1）∵a1=1，∴S1=又∵Snan∴Snan=1+∴當n≥2時，Sn-1∴an整理得：n-1a即an∴a=1×3顯然對于n=1也成立，∴an的通項公式a（2）1a∴1a1典例03（2019·浙江·高考真題）設等差數列{an}的前n項和為Sn，a3=4，a（1）求數列{a（2）記Cn=a【答案】（1）an=2n-1，bn【分析】(1)首先求得數列an的首項和公差確定數列an的通項公式，然后結合三項成等比數列的充分必要條件整理計算即可確定數列(2)結合(1)的結果對數列cn的通項公式進行放縮，然后利用不等式的性質和裂項求和的方法即可證得題中的不等式【詳解】(1)由題意可得：a1+2d=4a則數列an的通項公式為a其前n項和Sn則nn-1nn+1據此有：n2故bn(2)結合(1)中的通項公式可得：Cn則C1【點睛】本題主要考查數列通項公式的求解，，裂項求和的方法，數列中用放縮法證明不等式的方法等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.命題點3錯位相減法典例01（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為20dm×12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm【答案】5720-【分析】（1）按對折列舉即可；（2）根據規(guī)律可得Sn，再根據錯位相減法得結果【詳解】（1）由對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3故對折4次可得到如下規(guī)格：54×12，52×6，5×3，10×3（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為12的等比數列，首項為120dm2,第n次對折后的圖形面積為120×12n-1，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數，根據（1設S=k=1則12兩式作差得：1=240+=360-120因此，S=720-240故答案為：5；720-15【點睛】方法點睛：數列求和的常用方法：（1）對于等差等比數列，利用公式法可直接求解；（2）對于anbn結構，其中a（3）對于an（4）對于1anan+1結構，其中an是等差數列，公差為dd≠0典例02（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設Sn為數列an的前n項和，已知(1)求an(2)求數列an+12n的前n【答案】(1)a(2)T【分析】（1）根據an（2）根據錯位相減法即可解出．【詳解】（1）因為2S當n=1時，2a1=當n=3時，21+a3當n≥2時，2Sn-1=化簡得：n-2an=n-1an-1，當當n=1,2時都滿足上式，所以an（2）因為an+12n12兩式相減得，12=1-1+n212典例03（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設an是首項為1的等比數列，數列bn滿足bn=nan（1）求an和b（2）記Sn和Tn分別為an和bn的前【答案】（1）an=(13)【分析】（1）利用等差數列的性質及a1得到9（2）利用公式法、錯位相減法分別求出Sn,Tn【詳解】（1）因為an是首項為1的等比數列且a1，3a所以6a2=即9q2-6q+1=0，解得q=所以bn（2）[方法一]：作差后利用錯位相減法求和TnSnTn-Sn2設Γn=0-則13Γn由⑧⑨得23所以Γn因此Tn故Tn[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯位相減求和法證明：由（1）可得SnTn=13T①-②得23Tn所以Tn所以Tn-S所以Tn[方法三]：構造裂項法由（Ⅰ）知bn=n13n，令c通過等式左右兩邊系數比對易得α=32,β=則Tn[方法四]：導函數法設f(x)=x+x由于x1-則f'又bn所以Tn==3【整體點評】本題主要考查數列的求和，涉及到等差數列的性質，錯位相減法求數列的和，考查學生的數學運算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時采用作差法，或者作商法要根據式子得結構類型靈活選擇，關鍵是要看如何消項化簡的更為簡潔.（2）的方法一直接作差后利用錯位相減法求其部分和，進而證得結論；方法二根據數列的不同特點，分別利用公式法和錯位相減法求得Sn,Tn,方法三采用構造數列裂項求和的方法，關鍵是構造cn=(αn+β)13n方法四利用導數方法求和，也是代替錯位相減求和法的一種方法.1．在等比數列an中，a2=2,a4a6-16a5=0，若bn=A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據等比數列性質及分組求和法，利用等比數列的前n項和及數列的單調性即可求解.【詳解】由a4a6-16故a5=16，設an的公比為q，則q故an則S2n=1+4+16+?+4n-1由于n≥2時，bn故S2n隨著n的增大而增大，而S10=故滿足S2n>360的最小正整數n的值為故選：B.2．已知正項數列an的前n項和為Sn，a1=4，且當(1)求數列an(2)若數列bn滿足bn=log2SnSn，數列bn【答案】(1)a(2)Tn【分析】（1）由n≥2時，an=Sn-Sn-1，及條件可得S（2）由bn的通項公式可知，利用錯位相減法求出Tn，再由不等式的性質比較Tn與【詳解】（1）因為n≥2時2n-1數列an為正項數列，所以S由累加法得Sn又S1=a1=2故當n≥2時，an=因此an（2）Tn由題意及（1）可得bn故Tn14兩式相減，得34得Tn=89-8+6n9×3．已知首項為正數的等差數列an的公差為2，前n項和為Sn，滿足(1)求數列an(2)令bn=4cosnπ?n+1【答案】(1)a(2)當n為偶數時，Tn=12n+3-【分析】（1）根據等差數列前n和公式即可求出a1（2）分n為奇數和偶數討論并結合裂項求和即可.【詳解】（1）由題意得an是公差為2的等差數列，且S即4a1+12=a1所以數列an的通項公式a（2）由（1）知bn當n為偶數時，Tn當n為奇數時，Tn經檢驗，n=1時，滿足Tn綜上，當n為偶數時，Tn當n為奇數時，TnAA·新題速遞1．（2023·廣東東莞·東莞市東華高級中學校考一模）已知等差數列an與等差數列bn的前n項和分別為Sn與Tn,且SnTA．2921 B．2911 C．5821【答案】D【分析】由等差數列性質可得a3b11+a9b11=2【詳解】因為數列an、bn都是等差數列,所以又S11=11故a6=S1111在SnT2n-1=5n+3故a3故選：D.2．（2024·江西贛州·南康中學校聯(lián)考一模）已知等比數列an滿足a1=1，其前n項和SA．數列an的公比為p B．數列aC．r=-p-1 D．當p-14r【答案】D【分析】利用退一相減法可得數列的遞推公式，進而可得公比為p+1p，r=-p，進而可判斷數列an的單調性，再根據基本不等式可得當且僅當p=12【詳解】由已知Sn=pan+1+r，當n≥2時，S當n=1時，a1=pa2+r所以a2=p+1pa1=p+1p又a1=1>0，p>0，則公比p+1p=1+1p-14r=p+14p≥2p?14p=1，當且僅當p=14p故選：D.3．（2023·全國·模擬預測）已知數列an滿足a12n+1+a22n+a32n-1+?+an【答案】4048【分析】將已知化簡為20a1+21a2+2【詳解】因為a12n+1當n≥2時，20兩式相減得2n-1所以an=2n+2，（又a1=4滿足所以an=2n+2，（令bn=an-kn=(2-k)n+2若Sn的最大值為S2023，則b2023所以實數k的最大值是40482023故答案為：404820234．（2024·湖北武漢·武漢市第六中學校聯(lián)考二模）已知等比數列an的前n項和為Sn，且(1)求數列an(2)在an與an+1之間插入n個數，使這n+2個數組成一個公差為dn的等差數列，在數列dn中是否存在3項dm，dk，dp（其中m【答案】(1)證明見解析；(2)不存在，理由見解析.【分析】（1）利用等比數列定義，根據將n=1，n=2代入構造方程組解得a1=2，q=4，可得數列an（2）假設存在dm，dk，dp成等比數列，由m，k，p成等差數列可得2k=m+p，且(k+1)2=m+1【詳解】（1）由題意知當n=1時，a1當n=2時，a1聯(lián)立①②，解得a1=2，所以數列an的通項公式a（2）由（1）知an=2×4所以an+1=a設數列dn中存在3項dm，dk，dp（其中m，k，所以6×4k-1k+1又因為m，k，p成等差數列，所以2k=m+p，所以(k+1)2=m+1p+1，化簡得又2k=m+p，所以k=m=p與已知矛盾；所以在數列dn中不存在3項dm，dk5．（2024·江西贛州·南康中學校聯(lián)考模擬預測）已知數列an是公比為2的等比數列，數列bn是等差數列，(1)求數列an(2)設cn=an+1b【答案】(1)an=2(2)2【分析】（1）根據等差、等比數列公式法求出通項；（2）利用等比數列前n項和公式以及裂項相消法求出結果.【詳解】（1）設數列bn的公差為d則a1=所以an=2（2）cn則S=26．（2024·全國·模擬預測）已知數列an滿足1a1(1)求數列an(2)設bn=log2an（x表示不超過【答案】(1)an=n?(2)5530【分析】（1）由an（2）分別求出bn的各項，再求前100項和【小題1】因為1a1當n≥2時，1a1①?②，得nan=當n=1時，由①得a1所以an=n?2【小題2】由（1）得bn當n=1時，log2n=0當n=2,3時，log2n=1當n=4,5,6,7時，log2n=2當n=8,9,???,15時，log2n=3當n=16,17,???,31時，log2n=4當n=32,33.···,63時，log2n=5當n=64,65,???,100時，log2n=6所以bn的前100項和S100=b7．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預測）已知數列an的前n項和為Sn，且滿足Sn(1)求數列an(2)設數列bn滿足bn=2an,n【答案】(1)a(2)4【分析】（1）應用Sn與an的關系即可求解；（2【詳解】（1）因為Snn≥2時，Sn-1兩式相減得anaa2a1=2，a3相乘得ana1=n當n=1時符合上式，所以an（2）bn當n為奇數時bnT==48．（2023·全國·模擬預測）數列an的前n項和Sn滿足(1)令bn=a(2)令cn=2log3an+1+3【答案】(1)b(2)證明見解析【分析】（1）根據題意，當n=1時，解得a1=2，當n≥2時，2an=2Sn-2Sn-1=3（2）由（1）知，cn=【詳解】（1）因為2Sn=3an-2n，所以當當n≥2時，2S兩式相減得2an=3所以當n≥2時，an即當n≥2時，bn=3b所以bn是以3為首項，3所以bn（2）由（1）知bn則cn所以T=1因為1(n+1)?3n9．（2024·四川成都·成都七中?？寄M預測）數列an滿足a1=1(1)求數列an(2)求數列an的前n項和S【答案】(1)a(2)S【分析】（1）將遞推關系變形得到an+1+1n+1=2an+1（2）設n?2n的前n項和為Tn，先用錯位相減法求解出T【詳解】（1）因為nan+1-2(n+1)所以nan+1+1又a1+11=2≠0，所以an所以an+1n（2）設n?2n的前n項和為因為Tn所以2T兩式作差可得-T所以-T所以Tn所以Sn10．（2023·山東濰坊·山東省昌樂第一中學校考模擬預測）設數列an的前n項和為Sn，已知(1)證明：Sn+1為等比數列，求出(2)若bn=nan，求b【答案】(1)證明見解析，a(2)T【分析】（1）根據Sn+1-2Sn=1可推出Sn+1+1=2Sn（2）由（1）的結果可得bn=【詳解】（1）∵Sn+1-2Sn∴Sn+1∴Sn∵a1=1，故Sn+1的首項為∴Sn+1=2當n≥2時，Sn-1=2n-1-1∴an（2）由（1）可得bn=n故12兩式相減得：12故TnBB·易錯提升1．已知函數fx=1x+1，在正項等比數列an中，aA．20232 B．1012 C．2023 D．【答案】A【分析】由題設可得fx+f1x=1，結合等比數列的性質有【詳解】由題意fx由等比數列性質得a1所以an=1所以i=1故選：A2．（多選）設等差數列an的前n項和為Sn，a15>0，且A．2aB．SnC．當Sn>0時，nD．?1≤m≤15，m∈N*【答案】AD【分析】根據等差數列的通項公式和求和公式及其性質，對于A選項，當n≥2由2an2an-1為定值即可判斷；對B，Snn=a1+(n-1)d2=d2【詳解】設等差數列an的公差為d，因為a所以a15+a16<0，又a對于A選項，2a所以2an是以2a1為首項，2對于B選項，易知Sn則Sn所以Snn是以a1又d<0，故Snn是遞減的等差數列，故B對丁C選項，因為a15所以S29因為a15+a故當Sn>0時，n的最大值為29，故C對于D選項，因為?1≤m≤15，m∈N*，Smm=當且僅當m=1時取等號，所以Smm≥a故選：AD.3．（多選）設5+22n+1n∈N*的整數部分為aA．數列an+bn是等比數列C．bnan【答案】ABC【分析】借助二項式展開式，得到an=5+2【詳解】由5+25-2則5=2C由C2n+115故5+22n+1的整數部分即為小數部分即為5-2即an=5an+bn=由5+23>1，5+22bn故C正確；1-b故D錯誤.故選：ABC.【點睛】關鍵點睛：本題關鍵在于觀察出5+22n+1與5-22n+1的展開式特點，得到5+22n+1-4．（多選）已知數列an的前n項和為Sn，1SA．Sn=12-C．S12S【答案】ABC【分析】根據數列遞推式，令n=1，求得a1=12，于是當n≥2時，可得1Sn-Sn=Sn-Sn-1，平方后即可判斷A；結合以上分析可推出1S【詳解】當n=1時,1當n≥2時，1S平方可得1Sn+Sn則n≥2時，Sn-1=所以1S故{1Sn-1}是首項為1S則1S∴S所以an=(記f(n)=4nS則f(n+1)f(n)故fn+1>fn所以fn≥f1=4a12故選：ABC【點睛】難點點睛：此題綜合考查了數列的遞推式、通項公式以及數列的單調性等，綜合新較強，難點在于選項C的判斷，解答時要巧妙設出f(n)=4nS12S5．（多選）已知遞增的正整數列an的前n項和為Sn．以下條件能得出anA．Sn=nC．an+2=a【答案】AC【分析】用Sn與an的關系，計算判斷A和B；按n的奇偶求出an，再結合遞增的正整數列推出an+1-an=1判斷C【詳解】對于A，n≥2時，Sn-Sn-1=n2而且n∈N*時，an+1-a對于B，Sn-Sn-1=得an=2,n=12n-1,n≥2，因此數列對于C，an+2-an=2n∈則a2-a1>0，a3-a2于是a2n-1=a1+2(n-1)=所以an為等差數列，C對于D，a2n=2an∈N*，a2n=2a2n-1，即數列a2從a2n-1到a2n中間恰有而2n-1a1到2n若a1=2，則會出現如：2，4，5，8，9，10，11，16…的數列，非等差數列，D故選：AC6．2022年第二十四屆北京冬奧會開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數學中也有一朵美