2023-2024學(xué)年上海市黃浦區(qū)九年級(jí)上學(xué)期期末考數(shù)學(xué)試卷含詳解

九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷2024年1月

（滿分：150分，考試時(shí)間：100分鐘）

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置

上

1.下列命題中，真命題是（）

A.如果一個(gè)直角三角形一個(gè)銳角等于另一個(gè)直角三角形的銳角，那么這兩個(gè)三角形相似

B.如果一個(gè)等腰三角形一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)等腰三角形的內(nèi)角，那么這兩個(gè)三角形相似

C.如果一個(gè)直角梯形的一個(gè)銳角等于另一個(gè)直角梯形的銳角，那么這兩個(gè)梯形相似

D.如果一個(gè)等腰梯形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)等腰梯形的內(nèi)角，那么這兩個(gè)梯形相似

2.已知：△ABiGsa4&c2s△A^G，如果與△a與c2的相似比為2,與3c3相似

比為4,那么△A4C與的相似比為（）

A.2B.4C.6D.8

3.如圖，ABC三邊上點(diǎn)。、E、F,滿足DE〃BC,EF//AB,那么下列等式中，成立的是（)

DEAEADBFDEABADBF

B.-----=------D.-----=------

EF—ECDBFCEF—BCDBBC

4.已知G是，15C重心，記。=66+6。/=46+人。，那么下列等式中，成立的是（）

A.b=aB.b-2aC.b-3aD.b=4a

5.將二次函數(shù)丁=必+2工+3和y=-x2+2x-3的圖象畫(huà)在同一平面直角坐標(biāo)系中，那么這兩個(gè)圖象都是上升的

部分，所對(duì)應(yīng)自變量x的取值范圍是（）

A.x>lB.x<-lC.-1<X<1D.x>l^,x<-l

6.如圖，過(guò)矩形A3CD的頂點(diǎn)分別作對(duì)角線的垂線，垂足分別為￡、F、G、H,依次連接四個(gè)垂足，可得到矩

形EFGH.設(shè)對(duì)角線AC與班）的夾角為。（0<。<90°）,那么矩形ER汨與矩形A3CD面積的比值為

AD

A.sin2aB.cos2aC.tan2aD.cot2^z

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

「心。2?,b-a

7.已知；-=：,貝！J-----=.

b5b+a

11.

8.已知向量〃與是互不平行的非零向量，如果〃=2。+3瓦機(jī)=-/。-5〃，那么向量〃與力是否平行？答:

9.已知拋物線丁=〃/+"+。頂點(diǎn)位于第三象限內(nèi)，且其開(kāi)口向上，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足上述特征的拋物線的表達(dá)式

10.已知拋物線y=ox2+6x+c開(kāi)口向上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,4）和（—2,4）,如果點(diǎn)（1,%）與（2,必）在此拋物線上，那

么,為?（填“>”“<"或"="）

11.已知點(diǎn)A（l,4）、3（—2,0）,那么直線A5與％軸夾角的正弦值是.

12.如圖，在一A5C中，NACB=90°,AC=3,5C=6,CO是邊A3上的中線，G為JRC的重心，過(guò)點(diǎn)G作

GNBC交AB于點(diǎn)、N,那么一0GN的面積是.

13.已知等腰三角形的腰與底邊之比為3:2,那么這個(gè)等腰三角形底角的余弦值為.

14.如圖，N線段A5上一點(diǎn)，AC±AB,BD±AB,NMLAB,連接CM并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)P，連接

并延長(zhǎng)交A3于點(diǎn)Q.已知A3=4，AC=3,BD=2,MN=1,PN=12,那么QN=.

15.在一塊等腰直角三角形鐵皮上截一塊矩形鐵皮.如圖，已有的鐵皮是等腰直角三角形ABC,它的底邊A3長(zhǎng)

20厘米.要截得的矩形。磯W的邊肱V在A3上，頂點(diǎn)。、E分別在邊AC、上，設(shè)。石的長(zhǎng)為x厘米,

矩形。磯W的面積為〉平方厘米，那么〉關(guān)于x的函數(shù)解析式是.（不必寫(xiě)定義域）

16.如圖，點(diǎn)。、E分別位于_ABC邊BC、AB±.,AD與CE交于點(diǎn)F.已知A廠：￡0=1:1,

EF:FC=1:4,則mCD=.

17.如圖，在一ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,將_ABC繞點(diǎn)5旋轉(zhuǎn)到，QBE的位置，其中點(diǎn)。與

點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，點(diǎn)E與點(diǎn)C對(duì)應(yīng).如果圖中陰影部分的面積為4.5,那么NCBE的正切值是.

18.為了研究拋物線&:ynaV+Zzx+c與4：V=+匕%-。在同一平面直角坐標(biāo)系中的位置特征，我們可

以先取字母常數(shù)八從c的一些特殊值，試著畫(huà)出相應(yīng)的拋物線，通過(guò)觀察來(lái)發(fā)現(xiàn)乙與4的位置特征，你的發(fā)現(xiàn)

是：；我們知道由觀察得到的特征，其可靠性是需要加以論證才能成為一個(gè)結(jié)論的，那么請(qǐng)你就你所

發(fā)現(xiàn)的特征，簡(jiǎn)述一下理由吧.理由是：.

三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）

2

19計(jì)算：2sin60。+----------------cos230°.

cot45°-tan60°

20.已知拋物線丁=/+2》+3的頂點(diǎn)為人，它與丁軸的交點(diǎn)為B.

（1）求線段A5的長(zhǎng)；

（2）平移該拋物線，使其頂點(diǎn)在y軸上，且與X軸兩交點(diǎn)間的距離為4,求平移后所得拋物線的表達(dá)式.

21.如圖，在四邊形A3CD中，AD//BC,AD=1,BC=3,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)、E.

D

A

（1）設(shè)4。=凡30=6，試用“、匕的線性組合表示向量CD.

（2）如果求四邊形A3CD的面積.

22.在世紀(jì)公園的小山坡上有一棵松樹(shù)，初三（3）班的雛鷹小隊(duì)帶著工具對(duì)這棵松樹(shù)進(jìn)行測(cè)量，并試圖利用所學(xué)

的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法推算出這棵松樹(shù)的高度.他們選好位置架設(shè)測(cè)角儀先測(cè)出了這棵松樹(shù)的根部與頂端的仰角，并

繪制了如下示意圖：測(cè)角儀為樹(shù)根部為8、樹(shù)頂端為A,其中MN=1.5m,視線MB的仰角為u（已知

13

tana=—）,視線的仰角為少（已知tan，=—）.

64

（1）測(cè)得這兩個(gè)數(shù)據(jù)后，小明說(shuō)：“我可以算出這棵松樹(shù)的高度了.”小聰接著說(shuō)：“不對(duì)吧，只知道這兩個(gè)角

度，這個(gè)示意圖顯然是可以進(jìn)行放大或縮小的，高度一定是確定不了的.如果還能測(cè)出測(cè)角儀到松樹(shù)的垂直距

離，即圖示中NH的長(zhǎng)度，就可以了."設(shè)NH=a,請(qǐng)你用含有。的代數(shù)式表示松樹(shù)（AB）的高度.

（2）小明又反問(wèn)道：“雖然我們帶了尺，是一把刻度精確到1分米，長(zhǎng)為2米的直尺，但也沒(méi)有辦法量出NH的

長(zhǎng)度，我們總不能把坡給挖平了吧?”請(qǐng)你想一個(gè)測(cè)量辦法，利用現(xiàn)有的工具，測(cè)量出有關(guān)數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)可以用字母

常數(shù)表示），并用含有這些字母常數(shù)的表達(dá)式表示出松樹(shù)（河）的高度.

23.如圖，在平行四邊形A3CD中，AC±AD,過(guò)點(diǎn)A作班），垂足為E，再過(guò)點(diǎn)C作CE，CD交直

線AE于點(diǎn)尸.

B

(1)求證：CACD=CBCF；

(2)連接CE,求證：ZACE=ZF.

24.如圖，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A3.對(duì)稱軸為直線％=1的拋物線丁=。必+6*+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)

(2)將該拋物線平移，使其頂點(diǎn)在線段A5上點(diǎn)P處，得到新拋物線L,其與直線y=-x+3的另一個(gè)交點(diǎn)為

Q.

①如果拋物線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且與了軸的另一交點(diǎn)為O,求線段CD的長(zhǎng)；

②試問(wèn)：-CPQ的面積是否隨點(diǎn)P在線段A3上的位置變化而變化?如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)求出

-CPQ面積.

25.如圖，。是RtZXABC斜邊A5的中點(diǎn)，BHLCO交AC于D,垂足為連接00.

(1)求證：BC2^ACCD；

(2)如果,0￡>“與相似，求其相似比；

(3)如果9:。"=4:1,求NADO的大小.

九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷2024年1月

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置

上

1.下列命題中，真命題是（）

A.如果一個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角等于另一個(gè)直角三角形的銳角，那么這兩個(gè)三角形相似

B.如果一個(gè)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)等腰三角形的內(nèi)角，那么這兩個(gè)三角形相似

C.如果一個(gè)直角梯形的一個(gè)銳角等于另一個(gè)直角梯形的銳角，那么這兩個(gè)梯形相似

D.如果一個(gè)等腰梯形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)等腰梯形的內(nèi)角，那么這兩個(gè)梯形相似

【答案】A

【分析】本題考查相似行的判定，掌握各角相等，各邊成比例的圖形是相似形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A.如果一個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角等于另一個(gè)直角三角形的銳角，那么這兩個(gè)三角形相似，是真

命題；

B.如果一個(gè)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)等腰三角形的內(nèi)角，那么這兩個(gè)三角形不一定相似，是因?yàn)闆](méi)有說(shuō)

明相等的角是頂角還是底角，是假命題；

C.如果一個(gè)直角梯形的一個(gè)銳角等于另一個(gè)直角梯形的銳角，缺少各邊成比例，那么這兩個(gè)梯形不一定相似，

是假命題；

D.如果一個(gè)等腰梯形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)等腰梯形的內(nèi)角，缺少各邊成比例，那么這兩個(gè)梯形不一定相似，

是假命題；

故選A.

2.已知：2c2s△A&G，如果△4與￡與2c2的相似比為2,△A/2C2與AAB3c3相似

比為4,那么△A與G與△4月。3的相似比為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì).根據(jù)相似三角形的相似比寫(xiě)出對(duì)應(yīng)邊的比，計(jì)算出4用與4名的比值，

也就是兩三角形的相似比.

【詳解】解：：3c3,如果△4用。1與△AB2G的相似比為2,與△$鳥(niǎo)。3

相似比為4,

/.A4:=2:1,:=4:1,

設(shè)A^B3=X,貝I=4-x,Ag=8%,

I

「.44：A3B3=8：,

△A^iG與△AB!C3的相似比為8.

故選：D.

3.如圖，ABC三邊上點(diǎn)D、E、F,滿足DE〃BC,EF//AB,那么下列等式中，成立的是（）

DEAEADBFDEABADBF

A.---—B.---—C.--------D.-------

EFECDBFCEFBCDBBC

【答案】B

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì).由題意可證四邊形3DEF是平行四邊形，可得5D=EF，DE=3戶,

由相似三角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例依次判斷可求解.

【詳解】解：；。石〃3C,EF//AB,

ZADE=ZB=ZEFC,ZAED=ZC,

：.ADEs；EFC,

DEAEADDE

-二——，故A錯(cuò)誤；--=—

~CF~ECEFCF

?：DE//BC,EF//AB,

，四邊形BDEF是平行四邊形,

BD=EF,DE=BF,

ADBF

故B正確;

BDFC

ABAV）

方,故c錯(cuò)誤;

BC-

ADAEBF士后「由、口

DBCE而‘故口錯(cuò)陜'

故選：B.

4.已知G是的重心，記。=GB+GC,b=AB+AC，那么下列等式中，成立的是（）

A.b=aB.b=2aC.b=3aD.b=4a

【答案】C

一1一--1-

【分析】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，重心的定義，先推出GD=—a,AD=-b,再由重心的性質(zhì)可得

22

1一1一-

GD=-ADf則GO=§AD,由此即可得到人=3〃.

【詳解】解：如圖所示，中，G是重心，AD是中線,

,?*GD+DB=GB,GD+DC=GC，

???GD+DB+GD+DC=GC+GB，

???2GD=GC+GB，

一1-

GD=—a,

2

1

同理可得AD=—/?,

2

???G是山45c的重心，

/.GD=-AD,

3

/.GD=-AD,

3

5,將二次函數(shù)丁=必+2工+3和y=-x2+2x-3的圖象畫(huà)在同一平面直角坐標(biāo)系中，那么這兩個(gè)圖象都是上升的

部分，所對(duì)應(yīng)自變量x的取值范圍是（）

A.x>lB.x<-lC.-1<X<1D.x>l^,x<-l

【答案】C

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后根據(jù)函數(shù)的圖象即可得到結(jié)論.

【詳解】解：列表：

-3-2-10123

63236718

-11-6-3-2-36

描點(diǎn)、連線，可得到這兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖:

由圖象知，這兩個(gè)圖象都是上升的部分，所對(duì)應(yīng)自變量X的取值范圍是-1WXW1,

故選：C.

6.如圖，過(guò)矩形ABCD的頂點(diǎn)分別作對(duì)角線的垂線，垂足分別為石、F、G、H,依次連接四個(gè)垂足，可得到矩

形EFGH.設(shè)對(duì)角線AC與5。的夾角為。(O<a<90°),那么矩形與矩形A3CD面積的比值為

()

A.sin2aB.cos2tzC.tan2aD.cot2a

【答案】B

OpOFPF

【分析】本題考查相似多邊形的判定和性質(zhì)，先推導(dǎo)qOEBjORi,得至IJ—=—=—=cos?,然后利用相

OBOAAB

似多邊形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.

【詳解】如圖，設(shè)對(duì)角線AC與交于點(diǎn)。，

VABCD,EFGH是矩形,

OA=OB-OC=OD,

BFYAC,AE±BD,

\ZAEO=ZBFO^90°,

又：ZEOF=ZBOA,

OFB-OEA,

OF=OE

.OFOE

=—，ZEOF=ZAOB

,~OA~OB

OEFs工OBA,

OEOFEF

~OB~~OA~AB,

OEOF

cosa--------------:一,

OAOA

EF

cosa

AB-

OF_OG

ZAOD=ZFOG,

~OA~OD

OFG^.OAD,

.FGOF

??--------------=cosa,

ADOA

ppFG.

...矩形EFGH與矩形A3CD面積的比為-------=cos'a,

ABAD

故選B.

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

「「a2…b-a

7.已矢口一=一，貝U-------.

b5b+a

3

【答案】-

771

【分析】由，=匚可得3=—,設(shè)3=—=k,則a=2k,b=5k,然后代入;一^求解即可.

b52525b+a

【詳解】解：??.?==

b5

ta_b

^2~~5

5abe

設(shè)一=—=k,貝！Ja=2k,b=5k

25

.5k-2k_3

一5k+2k~7?

3

故填,?

【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，正確的對(duì)已知條件進(jìn)行變形成為解答本題的關(guān)鍵.

8.已知向量。與匕是互不平行的非零向量，如果a=2a+3Z?,m=—ga—gb,那么向量”與加是否平行？答：

【答案】否

【分析】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，若向量〃與機(jī)平行，則〃=左加1為常數(shù)，且左W0）,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：*?'n=2a+3bjtn=—a—b,

23

:.n不km（左為常數(shù),且左/0）,

向量〃與機(jī)不平行，

故答案為：否.

9.已知拋物線丁=。必+6%+。頂點(diǎn)位于第三象限內(nèi)，且其開(kāi)口向上，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足上述特征的拋物線的表達(dá)式

【答案】y=_?+2x（答案不唯一）

【分析】本題考查二次函數(shù)的解析式，先寫(xiě)出符合條件的二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，然后化為一般式解題.

【詳解】解：拋物線的表達(dá)式為：y=（x+lf-l=x1+2*42x,

故答案為：丁=爐+2%.（答案不唯一）

10.已知拋物線丁=4必+6》+。開(kāi)口向上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,4）和（—2,4）,如果點(diǎn)（1,%）與（2,%）在此拋物線上，那

么%%.（填“>”“<”或“="）

【答案】<

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性和增減性是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：；拋物線y=+八+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,4）和（—2,4）,

對(duì)稱軸為x=3力=-，

22

:開(kāi)口向上，

對(duì)稱軸右側(cè)y隨尤的增大而增大，

.?.當(dāng)g<l<2時(shí)，y1<y2,

故答案：<.

11.已知點(diǎn)4（1,4）、5（-2,0）,那么直線A3與x軸夾角的正弦值是.

4

【答案】1##0.8

【分析】本題考查了正弦函數(shù).在直角坐標(biāo)系中，過(guò)A作軸，構(gòu)造直角三角形，可得直線與x軸夾角

的正弦值.

【詳解】解：過(guò)A作軸，交x軸于點(diǎn)。，則C(1,O),

VA(l,4),6(-2,0),

AAC=4,BC=3,

在RtZXABC中，AB=VAC2+BC2=5'

AC4

直線AB與九軸夾角的正弦值=sinNABC=F=z，

AB5

4

故答案為：—.

12.如圖，在一ABC中，/48=90。,4。=3,5。=6,。0是邊45上的中線，G為一A5C的重心，過(guò)點(diǎn)G作

GNBC交AB于點(diǎn)、N,那么.OGN的面積是

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，先根據(jù)中線分出的兩個(gè)三角形的面積相等得到S.，然后

根據(jù)平行得到(ONGs^OfiC,進(jìn)而得到屋迫=(變］計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

SOBCV℃J

【詳解】解：是邊A5上中線，

._1_11.11A_9

??Sv——Sv——x-BCxAC——x—x6x3=一，

n°BRCr2ARr22222

又；G為ABC的重心，GN|BC,

：.ONGs_OBC,

；SONG_/Ir1

SOBC0C)3J9

1191

?SONG二S.OBC~X

992~2

故答案為：—.

2

13.己知等腰三角形的腰與底邊之比為3:2,那么這個(gè)等腰三角形底角的余弦值為.

【答案】|

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、余弦函數(shù)的定義.從頂點(diǎn)向底邊作高，構(gòu)造直角三角形，可得底角的余弦

值.

【詳解】解：設(shè)等腰三角形的腰為3a,底邊為2a,

如圖，即AB=AC=3a,BC=2a,

過(guò)A作AOSBC,交于點(diǎn)。，

.-.BD=CD=-BC=a,ZB=Z,C,

2—―

CD1

在RtZkABD中，cosZB=cosZC=——=-,

3

故答案為：—■

3

14.如圖，N是線段A5上一點(diǎn)，AC±AB,BD±AB,NMLAB,連接。0并延長(zhǎng)交A5于點(diǎn)尸，連接

并延長(zhǎng)交A5于點(diǎn)Q.已知AB=4,AC=3,BD=2,MN=1,PN=12,那么QN=.

【答案】1.6

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì).先證求得PN、NB,再證△MNQSADBQ,可

得QN.

【詳解】解：AC±AB,NMLAB,

,\ZCAP=ZMNP=90°,

ZMPN=ZCPA,

:.^MNPs4CAP,

.PN_MN

,,=，

PACA

AC=3fMN=1,PN=12,

:.PA=3.6,PB=AB-PA=OAfNB=NP+PB=16,

設(shè)QN=x,則Q6=%+1.6,

BDLAB,NMLAB,

:.NMNQ=/DBQ=9。。，

/DQB=NMQN,

:.Z\MNQ^Z\DBQ,

.MN_QN

-DB~QB9

BD=2,MN=\,

1x

一二-----,

2x+1.6

解得：x=1.6,

即QN=L6,

故答案為：L6.

15.在一塊等腰直角三角形鐵皮上截一塊矩形鐵皮.如圖，已有的鐵皮是等腰直角三角形ABC,它的底邊A5長(zhǎng)

20厘米.要截得的矩形DEMN的邊在A5上，頂點(diǎn)。、￡分別在邊AC、5C上，設(shè)的長(zhǎng)為工厘米，

矩形DEMN的面積為>平方厘米，那么丁關(guān)于元的函數(shù)解析式是.（不必寫(xiě)定義域）

1

【答案】y=——x92+10x

2

【分析】本題考查等腰直角三角形、矩形的性質(zhì)和函數(shù)表達(dá)式.根據(jù)圖中的幾何關(guān)系先把OE表示出來(lái)，再利用矩

形面積公式得到y(tǒng)與X的表達(dá)式.

【詳解】解：ABC是等腰直角三角形，四邊形DEAW是矩形，

△ADN是等腰直角三角形，

：.MN=DE=x,BM=ME=DN=AN=；(20—x),

y—x—(20-x)=-—x-+10x.

1,

故答案為：y=--x2+10x.

16.如圖，點(diǎn)。、E分別位于—ABC邊BC、AB上，AD與CE交于點(diǎn),F.已知￡0=1:1,

EF:FC=1:4,則6￡>:CD=.

【答案】2:3

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理.作。G〃AB,證明，AEFsDGF,

推出砂=EG,由DG"BE,利用平行線分線段成比例定理即可求解.

詳解】解：作。G〃AB,

AEFsDGF,

.EFAF

"~GF~~DFJ

-：AF;FD=1:1,

：.EF=FG,

；EF:FC=1:4,

EG:GC=2:3,

DGIIBE,

：.BD:CD=EG:GC=2:3,

故答案為：2:3.

17.如圖，在ABC中，ZACB=9Q°,AC=4,BC=3,將ABC繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)到上。旗的位置，其中點(diǎn)。與

點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，點(diǎn)E與點(diǎn)C對(duì)應(yīng).如果圖中陰影部分的面積為4.5,那么NCBE的正切值是.

B

D

C°-------------

9

【答案有

【分析】本題考查了正切函數(shù)的定義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理.作EG，8。于點(diǎn)G,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及面積

9

法和勾股定理求得防=1，BF=屈,解得FG=m，再利用由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得NCBE=NEBG,據(jù)此求解

即可.

詳解】解：作/于點(diǎn)G,

VZACB=9Q°,AC=4,BC=3,

?■-AB=V32+42=5-

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BE=3,BD=5,ZBED=90°,

由題意得S陰影=—x4x3——xEFx3=4.5,

解得EF=1，

BF=^BE2+EF2=Vid，

:SABFD=S陰影=e義BDxFG=4.5,

9

解得FG=1,

BG=y/BF2-FG2=—,

5

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，ZCBA=ZEBD,則NCBE=NFBG,

9

FGW9

：.NCBE的正切值=tanZFBG=—=2=一,

BG1313

y

9

故答案為：—.

18.為了研究拋物線，：y=+法+。與4：y=-ax2+bx-c在同一平面直角坐標(biāo)系中的位置特征，我們可

以先取字母常數(shù)4、氏C的一些特殊值，試著畫(huà)出相應(yīng)的拋物線，通過(guò)觀察來(lái)發(fā)現(xiàn)。與4的位置特征，你的發(fā)現(xiàn)

是：；我們知道由觀察得到的特征，其可靠性是需要加以論證才能成為一個(gè)結(jié)論的，那么請(qǐng)你就你所

發(fā)現(xiàn)的特征，簡(jiǎn)述一下理由吧.理由是：.

【答案】①.頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱②.頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖象，得出頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；分別求得拋物線

乙和4的頂點(diǎn)坐標(biāo)，據(jù)此即可求解.

【詳解】解：取a=6=c=l時(shí)，則拋物線4：>=必+%+1與4：y=-—+X—1；

取a=c=l,Z?=—2時(shí)，則拋物線L]:y=—2x+1與4：V=—-2x—1；

觀察圖象，發(fā)現(xiàn)乙與4的位置特征是：拋物線的形狀相同，開(kāi)口方向相反，頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;

拋物線，：y=依2+加；+。的頂點(diǎn)坐標(biāo)為----,--------,

12a4aJ

2(b4x(—a)x(—c)—〃1?(b4ac—b2

Z>2：V=—a%~+匕X—C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為——―7-----------r-----，即，------

--12x(-0)4x(-0)J12a4a

頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，理由是：頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù).

故答案為：頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù).

三、解答題：(本大題共7題，滿分78分)

2,

19.計(jì)算：2sin60°+---------------cos230°.

cot45°-tan60°

7

【答案】一—

4

【分析】本題考查了特殊角的混合運(yùn)算：先化簡(jiǎn)各個(gè)特殊角的函數(shù)值，再進(jìn)行分母有理化，最后進(jìn)行加減混合運(yùn)算,

即可作答.

【詳解】解:2sin60°+---------------cos230°

cot45°-tan60°

=V3-1-V3--

4

7

4

20.已知拋物線丁=/+2》+3的頂點(diǎn)為人，它與y軸的交點(diǎn)為3.

（1）求線段A3的長(zhǎng)；

（2）平移該拋物線，使其頂點(diǎn)在y軸上，且與X軸兩交點(diǎn)間的距離為4,求平移后所得拋物線的表達(dá)式.

【答案】（1）41

⑵y=X2-4

【分析】本題考查二次函數(shù)的配方求頂點(diǎn)和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

（1）求出頂點(diǎn)和與v軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式解題即可；

（2）先設(shè)解析式為y=/+c,然后寫(xiě)出與X軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，代入計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：y=x?+2,x+3=（x+1）~+2,

???頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,2）,

當(dāng)％=0時(shí)，y=3,

.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,3）,

???AB=J（—I—。］+（2—3）2=及;

【小問(wèn)2詳解】

解：設(shè)平移后的解析式為y=f+c,

???與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4,

/.與x軸兩交點(diǎn)為（-2,0）和（2,0）,

把（2,0）代入y=f+c得o=4+c,

解得c=T,

/.平移后所得拋物線的表達(dá)式為y=犬-4.

21.如圖，在四邊形A3CD中，AD//BC,AD=1,BC=3,對(duì)角線AC、應(yīng)＞交于點(diǎn)￡.

(1)設(shè)AC=a,BC=6,試用以b的線性組合表示向量C。.

(2)如果/43。=90°,4。1.5。，求四邊形A3CD的面積.

【答案】(1)CD=-b-a

3

⑵26

【分析】本題考查平面向量、相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)利用參

數(shù)解決問(wèn)題.

11-_

(1)根據(jù)題意可得4。=§3。=§人，然后利用平行四邊形法則得到即可；

(2)過(guò)點(diǎn)。作AC交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R則有ABD^,DFB,得到四=也，求出5。長(zhǎng)，然后利用

BDFB

勾股定理得到A5長(zhǎng)計(jì)算面積即可

【小問(wèn)1詳解】

解：,/AD//BC,AD=1,BC=3,

AD=—BC=—b,

33

CD=AD-AC=-b-a；

3

【小問(wèn)2詳解】

過(guò)點(diǎn)。作AC交5C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R

AD/7BC,

ACFD為平行四邊形，

CF=AD=1,

：.BF=BC+CF=3+1=4,

■：ZABC=90°,AC±BD,

：.ZBDF=ZBEC=90°=ZABC,

又：AD//BC,

：.ZBAD=180°-ZABC=90°=NBDF,ZADB=ZDBF

.ABD^DFB，

ADBD1BD

---=----,即an----=----,

BDFBBD4

解得：應(yīng)＞=2或應(yīng)＞=—2（舍去）

AB=yjBD2-AD2=A/22-I2=-

1]LL

???S梯形s=3（5+叱）”5=^（1+3）義石=2石.

22.在世紀(jì)公園的小山坡上有一棵松樹(shù)，初三（3）班的雛鷹小隊(duì)帶著工具對(duì)這棵松樹(shù)進(jìn)行測(cè)量，并試圖利用所學(xué)

的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法推算出這棵松樹(shù)的高度.他們選好位置架設(shè)測(cè)角儀先測(cè)出了這棵松樹(shù)的根部與頂端的仰角，并

繪制了如下示意圖：測(cè)角儀為MN,樹(shù)根部為3、樹(shù)頂端為A,其中MN=1.5m,視線MB的仰角為a（已知

13

tana=-）,視線的仰角為少（已知tan，=—）.

64

（1）測(cè)得這兩個(gè)數(shù)據(jù)后，小明說(shuō)：“我可以算出這棵松樹(shù)的高度了.”小聰接著說(shuō)：“不對(duì)吧，只知道這兩個(gè)角

度，這個(gè)示意圖顯然是可以進(jìn)行放大或縮小的，高度一定是確定不了的.如果還能測(cè)出測(cè)角儀到松樹(shù)的垂直距

離,即圖示中的長(zhǎng)度，就可以了."設(shè)=請(qǐng)你用含有。的代數(shù)式表示松樹(shù)（AB）的高度.

（2）小明又反問(wèn)道：“雖然我們帶了尺，是一把刻度精確到1分米，長(zhǎng)為2米的直尺，但也沒(méi)有辦法量出的

長(zhǎng)度，我們總不能把坡給挖平了吧？”請(qǐng)你想一個(gè)測(cè)量辦法，利用現(xiàn)有的工具，測(cè)量出有關(guān)數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)可以用字母

常數(shù)表示），并用含有這些字母常數(shù)的表達(dá)式表示出松樹(shù)（AB）的高度.

7

【答案】（1）—＜2

12

（2）在松樹(shù)上取點(diǎn)D,便BD=MN,并用測(cè)角儀測(cè)出點(diǎn)。的仰角8,用直尺測(cè)出小山坡的長(zhǎng)度=米；

AB=—bcosq

12

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)M作MCLAH于點(diǎn)C,證明四邊形肱VHC為矩形，得出MC=NH=a,根據(jù)

tana=—求出=根據(jù)tanQ=AC=4￡=9,求出AC=』a,即可得出答案；

MCa66MCa44

(2)在松樹(shù)上取點(diǎn)。，使BD=MN,并用測(cè)角儀測(cè)出點(diǎn)。的仰角。，用直尺測(cè)出小山坡的長(zhǎng)度NB=Z?米，連接

MD,過(guò)點(diǎn)/作MC，AH于點(diǎn)C,證明四邊形"NB。為平行四邊形，得出VD=A?=。，求出MC=Z?COS8，

利用解析(1)的方法求出A3即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：過(guò)點(diǎn)M作A/C_L于點(diǎn)C,如圖所示：

?/ZMNH=ZNHB=NMCH=90°,

...四邊形肱VHC為矩形，

：.MC=NH=a,

4人dBCBC1

在RtAMCB中，tana=----=——=-

MCa6

解得：BC=-a,

ArAC3

在RtZ^MCZ中，tan分二——=——=-,

MCa4

3

解得：AC=-a,

4

317

AB=AC—BC=—a—a=—a.

4612

【小問(wèn)2詳解】

解：在松樹(shù)上取點(diǎn)。，使3。=上加，并用測(cè)角儀測(cè)出點(diǎn)。的仰角。，用直尺測(cè)出小山坡的長(zhǎng)度人以=5米，連接

MD,過(guò)點(diǎn)M作MC_LAH于點(diǎn)C,如圖所示：

'：MN±NH,AH±NH,

：.MN//AH,

?/MN=BD,

四邊形A1NB￡＞為平行四邊形，

：.MD=NB=b,

MCMC

在RtAMCD中，cow='=」，

MDb

MC=bcosO

B

?AdCBC1

在RtAMCB中，tana==--------=-

MCbcosO6

解得：BC=—bco^q,

6

AC3

在RtZ\MC4中,tanL=

MCbcosO4

3

解得：AC=—bcosq,

317

/.AB=AC-BC=—bcos]--bcosq=—bco^[.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形函數(shù)

的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形函數(shù)的定義，數(shù)形結(jié)合.

23.如圖，在平行四邊形A3CD中，ACLAD,過(guò)點(diǎn)A作應(yīng)），垂足為E，再過(guò)點(diǎn)。作CE，CD交直

線AE于點(diǎn)尸.

(1)求證：CACD=CBCF；

(2)連接CE,求證：ZACE=ZF.

【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解

【分析】本題考查了相似三角形性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，：

(1)運(yùn)用三角形內(nèi)角和，對(duì)頂角相等，得NBDC=ZAFC,結(jié)合三角形內(nèi)角和以及對(duì)頂角相等，得N8DC=NAEC,

CACF

則-BCDs_ACF,J=J,即可作答.

CBCD

(2)先由.ACFs5CD,結(jié)合對(duì)頂角相等，證明.AEG--3CG,因?yàn)閵A角相等，兩邊成比例，證明CGE^^BGA,

結(jié)合平行四邊形性質(zhì)，即可作答.

【小問(wèn)1詳解】

解：：四邊形A3CD是平行四邊形，ACLAD

ABCLAC,ZACB=90°

?：CF±CD

ZDCF=90°,

VZBCA+ZACD=90°+ZACD^ZDCF+ZACD

即N5CD=NACN

:對(duì)頂角相等，AE±BD,CFX.CD

：.ZBDC^ZAFC

：.BCDsACF

,CACF

','CB~'CD，

^CACD=CBCF；

【小問(wèn)2詳解】

解：如圖：AC與相交于點(diǎn)G

D

、G\,

B

；_ACFsBCD

：.ZCBG=ZEAG

??,ZAGE=ZBGC

：...AEG^,BCG

.AGGE

"1G~GC

■:ZCGE=ZBGA

；.CGEsBGA

ZACE=ZABG

?：四邊形A3CD是平行四邊形

/.ABCD

：.ZCDB=ZABG

■:、ACFsBCD

：.ZCDB=NF

即ZACE=ZF

24.如圖，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、3.對(duì)稱軸為直線x=l的拋物線丁=。必+6%+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)

(2)將該拋物線平移，使其頂點(diǎn)在線段A3上點(diǎn)P處，得到新拋物線L,其與直線y=-x+3的另一個(gè)交點(diǎn)為

Q.

①如果拋物線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且與x軸的另一交點(diǎn)為￡),求線段CD的長(zhǎng);

②試問(wèn)：_CPQ的面積是否隨點(diǎn)p在線段A5上的位置變化而變化?如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)求出

-CPQ面積.

【答案J(1)y——x2+2x+3；

(2)①CD=2；②&CP。的面積不變，一CP。的面積為2.

【分析XI)先求得4(3,0),3(0,3),利用拋物線的對(duì)稱性求得C(-LO),設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x+l)(%-3),

利用待定系數(shù)法即可求解；

(2)①CD=2；②聯(lián)立求得。(加+1,2-m)，利用待定系數(shù)法求得直線CQ的解析式為y=:3x+:二，作

zzzI2TYII2

(2—加2—加、

P尺〃y軸交直線CQ于點(diǎn)R,求得Rm，一--m+--,利用三角形的面積公式，列式計(jì)算即可求解.

Im+2m+2J

【小問(wèn)1詳解】

解：令x=0,則y=3；令y=。，則0=-％+3,解得％=3；

.?.4(3,0),3(0,3),

..?對(duì)稱軸為直線1=1,其與X軸的另一交點(diǎn)為C,

/.C(-LO),

設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x+l)(x—3),

把6(0,3)代入y=。(1+1)(%—3),得3=a(0+l)(0—3),

解得a--l,

，拋物線的表達(dá)式為y=-(x+l)(x-3)=-X2+2X+3；

【小問(wèn)2詳解】

解：①根據(jù)題意設(shè)新拋物線L的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(帆3-加)，則新拋物線L的解析式為y=-(%-加了+3-m，

:拋物線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,

0=-(3-m)-+3—m,

解得加=3(舍去)或加=2,

當(dāng)77?=2時(shí)，新拋物線L的解析式為y=—(x—2)2+1,

令y=0,則0=一(%—2了+1,

解得x=3或％=1；

...與x軸的另一交點(diǎn)為。(1,0)；

CD=l-(-l)=2；

②右CPQ的面積不變,

1/新拋物線L的解析式為y=-(x-mf+3-m,

聯(lián)立得-x+3=-(x-m)2+3—m,整理得x?—(2機(jī)+l)x+機(jī)(m+1)=0,

解得％=根或%=加+1;

2(m+L2-m),

設(shè)直線CQ的解析式為y=&+4，

2-m

—k+bi=0_加+2

o>解得：，

[m+Yjk+by=2-m人2-m

1m+2

直線CQ的解析式為y=2二2x+2二2，

m+2m+2

作網(wǎng)〃y軸交直線CQ于點(diǎn)H,

,「J2-m2-m

則點(diǎn)火m,-------m+------

\m+2m+2

c1nnII1(2-m2—mA/.

：.SCPQ^-PR，\XQ-Xc\^-m--.m+—^m+^

11_2m-rr^+2-m\

=—3-m---------------------m+2

2(m+2Jv