吉林省長(zhǎng)春市第一五三中學(xué)高二數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

吉林省長(zhǎng)春市第一五三中學(xué)高二數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若則（

）

A．

9

B．27

C．8

D．8參考答案：A略2.如圖是某四面體ABCD水平放置時(shí)的三視圖（圖中網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)為1，則四面體ABCD外接球的表面積為（）A．20π B． C．25π D．100π參考答案：C【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專(zhuān)題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；立體幾何．【分析】還原三視圖成直觀圖，得到如圖所示的三棱錐P﹣ABC，其中AC⊥BC，PA⊥平面ABC，AB=BC=2且PA=3．利用線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)，證出PB是Rt△PAB與Rt△PBC公共的斜邊，從而得到PB的中點(diǎn)O就是多面體的外接球的球心．再根據(jù)勾股定理和球的表面積公式加以計(jì)算，可得答案．【解答】解：根據(jù)三視圖的形狀，將該多面體還原成直觀圖，得到如圖所示的三棱錐P﹣ABC．其中△ABC中，AC=4，AB=BC=2，PA⊥平面ABC，PA=3∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC．∵BC⊥AC，PA∩AC=C，∴BC⊥平面PAC結(jié)合PC?平面PAC，得BC⊥PC因此，PB是Rt△PAB與Rt△PBC公共的斜邊，設(shè)PB的中點(diǎn)為0，則OA=OB=OC=OP=PB．∴PB的中點(diǎn)O就是多面體的外接球的球心∵Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，∴AB=2．又∵Rt△PAB中，PA=3，∴PB==，所以外接球表面積為S=4πR2=25π．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題給出三視圖，求多面體的外接球的表面積．著重考查了三視圖的認(rèn)識(shí)、線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理和球的表面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．3.若集合，，則＝()A.

B.

C.

D.參考答案：D4.已知?jiǎng)狱c(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，且點(diǎn)與點(diǎn)連線(xiàn)的斜率之積為，則等于（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略5.已知F1(2,0)，F(xiàn)2（a,b）為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，那么ab的最大值是(

)A.4

B.8

C.12

D.16參考答案：B6.拋物線(xiàn)C：y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線(xiàn)為l，焦點(diǎn)為F，圓M的圓心在x軸的正半軸上，圓M與y軸相切，過(guò)原點(diǎn)O作傾斜角為的直線(xiàn)m，交直線(xiàn)l于點(diǎn)A，交圓M于不同的兩點(diǎn)O、B，且|AO|=|BO|=2，若P為拋物線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A．﹣2 B．2 C． D．3參考答案：B【考點(diǎn)】拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求出p的值，從而求出拋物線(xiàn)方程，求出圓心和半徑可求出⊙M的方程，表示出，然后根據(jù)點(diǎn)在拋物線(xiàn)上將y消去，求關(guān)于x的二次函數(shù)的最小值即可；【解答】解：因?yàn)?OA?cos=2×=1，即p=2，所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為y2=4x，設(shè)⊙M的半徑為r，則=2，所以⊙M的方程為（x﹣2）2+y2=4設(shè)P（x，y）（x≥0），則=x2﹣3x+2+y2=x2+x+2，所以當(dāng)x=0時(shí)，有最小值為2故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的方程和拋物線(xiàn)方程，以及向量數(shù)量積的最值，屬于中檔題．7.設(shè)a,b,c,d是非零實(shí)數(shù)，則“ad=bc”是“a,b,c,d成等比數(shù)列”的（

）（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件參考答案：B8.某容量為180的樣本的頻率分布直方圖共有n(n>1)個(gè)小矩形，若第一個(gè)小矩形的面積等于其余n--1個(gè)小矩形的面積之和的，則第一個(gè)小矩形對(duì)應(yīng)的頻數(shù)是(

)A.20

B.25

C.30

D.35 參考答案：C9.觀察式子：，，，……則可歸納出式子（）（

）A.

B.C.

D.參考答案：C10.拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果函數(shù)，那么函數(shù)的最大值等于

▲

．參考答案：3

12.，則的最小值是

．參考答案：913.設(shè)常數(shù)．若的二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，則

．參考答案：14.已知拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)F，點(diǎn)P為拋物線(xiàn)C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)A（3，1），則|PF|+|PA|的最小值為．參考答案：4考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程；圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題．分析：設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為D，則根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知|PF|=|PD|進(jìn)而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|PA|+|PD|取得最小，進(jìn)而可推斷出當(dāng)D，P，A三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)|PA|+|PD|最小，答案可得．解答：解：拋物線(xiàn)C：y2=4x的準(zhǔn)線(xiàn)為x=﹣1．設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為D，則根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知|PF|=|PD|，要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最?。?dāng)D，P，A三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，|PA|+|PD|最小，為3﹣（﹣1）=4．故答案為：4．點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷當(dāng)D，P，A三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)|PA|+|PD|最小，是解題的關(guān)鍵．15.我校籃球隊(duì)曾多次獲得全國(guó)中學(xué)生籃球賽冠軍！在一次比賽中，需把包括我?；@球隊(duì)在內(nèi)的7個(gè)籃球隊(duì)隨機(jī)地分成兩個(gè)小組（一組3個(gè)隊(duì)，一組4個(gè)隊(duì)）進(jìn)行小組預(yù)賽，則我?；@球隊(duì)和另6個(gè)隊(duì)中實(shí)力最強(qiáng)的隊(duì)分在同一小組的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】先求出基本事件總數(shù)n=，再求出我?；@球隊(duì)和另6個(gè)隊(duì)中實(shí)力最強(qiáng)的隊(duì)分在同一小組包含的基本事件個(gè)數(shù)m=，由此能求出我校籃球隊(duì)和另6個(gè)隊(duì)中實(shí)力最強(qiáng)的隊(duì)分在同一小組的概率．【解答】解：包括我?；@球隊(duì)在內(nèi)的7個(gè)籃球隊(duì)隨機(jī)地分成兩個(gè)小組（一組3個(gè)隊(duì)，一組4個(gè)隊(duì)）進(jìn)行小組預(yù)賽，基本事件總數(shù)n=，我?；@球隊(duì)和另6個(gè)隊(duì)中實(shí)力最強(qiáng)的隊(duì)分在同一小組包含的基本事件個(gè)數(shù)為：m=，∴我?；@球隊(duì)和另6個(gè)隊(duì)中實(shí)力最強(qiáng)的隊(duì)分在同一小組的概率：p===．故答案為：．16.以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（－2，－4）的拋物線(xiàn)方程是

。參考答案：y2=－8x或x2=－y

略17.已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（5，θ），且tanθ=﹣，＜θ＜π，則點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為．參考答案：（﹣3，4）【考點(diǎn)】G9：任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求出【解答】解：∵tanθ=﹣，＜θ＜π，∴cosθ=﹣，sinθ=，∴x=5cosθ=﹣3，y=5sinθ=4，∴點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（﹣3，4），故答案為：（﹣3，4）三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿(mǎn)分13分)從含有兩件正品a，b和一件次品c的3件產(chǎn)品中每次任取一件，連續(xù)取兩次，(1)每次取出不放回；求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件是次品的概率．(2)每次取出后放回；求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件是次品的概率．參考答案：(1)每次取出不放回的所有結(jié)果有(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，其中左邊的字母表示第一次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第二次取出的產(chǎn)品，共有6個(gè)基本事件，其中恰有一件次品的事件有4個(gè)，所以每次取出不放回，取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件是次品的概率為.(2)每次取出后放回的所有結(jié)果：(a，a)，(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，(c，c)共有9個(gè)基本事件，其中恰有一件次品的事件有4個(gè)，所以每次取出后放回，取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件是次品的概率為.19.已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若，求a的取值范圍.參考答案：（1）見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）求出，分a=0和a＞0時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．（2）當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝﹣≤0，符合題意，當(dāng)a＞0時(shí)，利用函數(shù)的最值列出不等式，求解即可；【詳解】（1）由，當(dāng)a=0時(shí)，則f（x）在（0，+∞）上遞減，當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）＝0得或（負(fù)根舍去），令f'（x）＞0得；令f'（x）＜0得，所以f（x）在上遞增，在上遞減．綜上：a=0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上遞減，a＞0時(shí)，f（x）在上遞增，在上遞減（2）由（1）當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝﹣≤0，符合題意，當(dāng)a＞0時(shí)，，因?yàn)閍＞0，所以，令,則函數(shù)單調(diào)遞增，又，故得綜上，a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，注意分類(lèi)討論的應(yīng)用與第二問(wèn)的聯(lián)系，是中檔題20.已知曲線(xiàn)C1：（t為參數(shù)），C2：（θ為參數(shù)）．（1）化C1，C2的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線(xiàn)；（2）若C1上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=，Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線(xiàn)C1：（t為參數(shù)）距離的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】QK：圓的參數(shù)方程；IT：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式；QJ：直線(xiàn)的參數(shù)方程．【分析】（1）分別消去兩曲線(xiàn)參數(shù)方程中的參數(shù)得到兩曲線(xiàn)的普通方程，即可得到曲線(xiàn)C1表示一個(gè)圓；曲線(xiàn)C2表示一個(gè)橢圓；（2）把t的值代入曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程得點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后把直線(xiàn)的參數(shù)方程化為普通方程，根據(jù)曲線(xiàn)C2的參數(shù)方程設(shè)出Q的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出M的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式表示出M到已知直線(xiàn)的距離，利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，利用正弦函數(shù)的值域即可得到距離的最小值．【解答】解：（1）把曲線(xiàn)C1：（t為參數(shù)）化為普通方程得：（x+4）2+（y﹣3）2=1，所以此曲線(xiàn)表示的曲線(xiàn)為圓心（﹣4，3），半徑1的圓；把C2：（θ為參數(shù)）化為普通方程得：+=1，所以此曲線(xiàn)方程表述的曲線(xiàn)為中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸為8，短半軸為3的橢圓；（2）把t=代入到曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程得：P（﹣4，4），把直線(xiàn)C3：（t為參數(shù)）化為普通方程得：x﹣2y﹣7=0，設(shè)Q的坐標(biāo)為Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）所以M到直線(xiàn)的距離d==，（其中sinα=，cosα=）從而當(dāng)cosθ=，sinθ=﹣時(shí)，d取得最小值．【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生理解并運(yùn)用直線(xiàn)和圓的參數(shù)方程解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．21.某校要建一個(gè)面積為450平方米的矩形球場(chǎng)，要求球場(chǎng)的一面利用舊墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成，且在矩形一邊的鋼筋網(wǎng)的正中間要留一個(gè)3米的進(jìn)出口（如圖）．設(shè)矩形的長(zhǎng)為x米，鋼筋網(wǎng)的總長(zhǎng)度為y米．（1）列出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出其定義域；（2）問(wèn)矩形的長(zhǎng)與寬各為多少米時(shí)，所用的鋼筋網(wǎng)的總長(zhǎng)度最??？參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【分析】（1）求出矩形的寬，可得y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出其定義域；（2）用到基本不等式的性質(zhì)注意能否取到“=”．【解答】解：（1）矩形的寬為：米，=定義域?yàn)閧x|0＜x＜150}注：定義域?yàn)閧x|0＜x≤150}不扣分（2）y=當(dāng)且僅當(dāng)即x=30時(shí)取等號(hào)，此時(shí)寬為：米所以，長(zhǎng)為30米，寬為15米，所用的鋼筋網(wǎng)的總長(zhǎng)度最小．22.已知回歸直線(xiàn)方程是：=bx+a，其中=，a=﹣b．假設(shè)學(xué)生在高中時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)是線(xiàn)性相關(guān)的，若10個(gè)學(xué)生在高一下學(xué)期某次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)x（總分150分）和物理成績(jī)y（總分100分）如下：X122131126111125136118113115112Y87949287909683847984（1）試求這次高一數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)間的線(xiàn)性回歸方程（系數(shù)精確到0