遼寧省沈陽市中山私立中學(xué)高二數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

遼寧省沈陽市中山私立中學(xué)高二數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足f（x）=2xf′（1）+lnx，則f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e參考答案：B【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則；導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則．【分析】已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），利用求導(dǎo)公式對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：∵函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足f（x）=2xf′（1）+lnx，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故選B；2.已知是R上的偶函數(shù)，若將的圖象向右平移一個(gè)單位，則得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象，若則

A．1

B．0

C．

D．參考答案：B試題分析：由將f（x）的圖象向右移一個(gè)單位得到函數(shù)f（x-1）是一個(gè)奇函數(shù)可知f（x）的圖象過點(diǎn)（-1，0）即f（-1）=0，同時(shí)f（-x-1）=-f（x-1），又f（x）是偶函數(shù)，因此f（1）=0且f（x+1）=-f（x-1）即f（x+2）=-f（x），所以f（3）=0，又f（2）=-1，則f（4）=1，由f（x+2）=-f（x）可知f（x+4）=f（x）即函數(shù)為以4為周期的周期函數(shù)，又f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，所以f（1）=0.考點(diǎn)：函數(shù)的周期性與奇偶性3.設(shè),則 （）A． (B) C． D．參考答案：A略4.如圖，二面角的大小為，A，B為棱l上相異的兩點(diǎn)，射線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于棱l．若線段AC，AB和BD的長分別為m，d和n，則CD的長為A．B．C．

D．

參考答案：A與夾角的大小就是二面角，可得,,，故選A.

5.對(duì)于上可導(dǎo)的任意函數(shù),若滿足,則必有

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略6.某程序框圖如下左圖所示，該程序運(yùn)行后的的值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A7.我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對(duì)“相關(guān)曲線”．已知F1、F2是一對(duì)相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，P是它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2=60°時(shí)，這一對(duì)相關(guān)曲線中雙曲線的離心率是（） A． B． C． D．2參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)；橢圓的簡單性質(zhì)． 【專題】壓軸題；新定義；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】設(shè)F1P=m，F(xiàn)2P=n，F(xiàn)1F2=2c，由余弦定理4c2=m2+n2﹣mn，設(shè)a1是橢圓的長半軸，a1是雙曲線的實(shí)半軸，由橢圓及雙曲線定義，得m+n=2a1，m﹣n=2a2，由此能求出結(jié)果． 【解答】解：設(shè)F1P=m，F(xiàn)2P=n，F(xiàn)1F2=2c， 由余弦定理得（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°， 即4c2=m2+n2﹣mn， 設(shè)a1是橢圓的長半軸，a2是雙曲線的實(shí)半軸， 由橢圓及雙曲線定義，得m+n=2a1，m﹣n=2a2， ∴m=a1+a2，n=a1﹣a2， 將它們及離心率互為倒數(shù)關(guān)系代入前式得3a22﹣4c2+=0， a1=3a2，e1e2===1， 解得e2=． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線和橢圓的簡單性質(zhì)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正確理解“相關(guān)曲線”的概念． 8.已知直線與直線是異面直線，直線在平面內(nèi)，在過直線所作的所有平面中，下列結(jié)論正確的是A.一定存在與平行的平面，也一定存在與平行的平面；B.一定存在與平行的平面，也一定存在與垂直的平面；C.一定存在與垂直的平面，也一定存在與平行的平面；D.一定存在與垂直的平面，也一定存在與垂直的平面。參考答案：B略9.如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援，則cosθ=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】利用余弦定理求出BC的數(shù)值，正弦定理推出∠ACB的余弦值，利用cosθ=cos（∠ACB+30°）展開求出cosθ的值．【解答】解：如圖所示，在△ABC中，AB=40，AC=20，∠BAC=120°，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cos120°=2800，所以BC=20．由正弦定理得sin∠ACB=?sin∠BAC=．由∠BAC=120°知∠ACB為銳角，故cos∠ACB=．故cosθ=cos（∠ACB+30°）=cos∠ACBcos30°﹣sin∠ACBsin30°=．故選B【點(diǎn)評(píng)】本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡求值，余弦定理、正弦定理的應(yīng)用，注意角的變換，方位角的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．10.過點(diǎn)P(3,1)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為()

A．2x＋y－3＝0

B．2x－y－3＝0

C．4x－y－3＝0

D．4x＋y－3＝0參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.；；；；…觀察上面列出的等式，則可得出第n個(gè)等式為

．參考答案：（）;

12.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

；參考答案：略13.許多因素都會(huì)影響貧窮，教育也許是其中的一個(gè)，在研究這兩個(gè)因素的關(guān)系時(shí)，收集了某國50個(gè)地區(qū)的成年人至多受過9年教育的百分比（x%）和收入低于官方規(guī)定的貧困線的人數(shù)占本地區(qū)人數(shù)的百分比（y%）的數(shù)據(jù)，建立的回歸直線方程是y=0.8x+4.6，這里，斜率的估計(jì)0.8說明一個(gè)地區(qū)受過9年或更少的教育的百分比每增加1%，則收入低于官方規(guī)定的貧困線的人數(shù)占本地區(qū)人數(shù)的百分比將增加左右．參考答案：0.8%【考點(diǎn)】回歸分析的初步應(yīng)用．【專題】計(jì)算題．【分析】回歸直線方程y=0.8x+4.6中，回歸系數(shù)是0.8，回歸截距是4.6，根據(jù)相應(yīng)的意義可求．【解答】解：回歸直線方程y=0.8x+4.6中，回歸系數(shù)是0.8，回歸截距是4.6，斜率的估計(jì)0.8表示個(gè)地區(qū)受過9年或更少的教育的百分比每增加1%，則收入低于官方規(guī)定的貧困線的人數(shù)占本地區(qū)人數(shù)的百分比將增加0.8%左右．故答案為1%，0.8%【點(diǎn)評(píng)】本題考查回歸直線方程重回歸系數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．14.已知點(diǎn)P在圓x2+y2=1運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（2，0），Q為線段PM的中點(diǎn)，則點(diǎn)Q的軌跡方程為

．參考答案：（x﹣1）2+y2=

【考點(diǎn)】軌跡方程．【分析】本題宜用代入法求軌跡方程，設(shè)Q（x，y），P（a，b），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到a=2x﹣2，b=2y，代入x2+y2=16到Q（x，y）點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程，整理即得點(diǎn)Q的軌跡方程．【解答】解：設(shè)Q（x，y），P（a，b）由M（2，0），Q為線段PM的中點(diǎn)故有a=2x﹣2，b=2y又P為圓x2+y2=1上一動(dòng)點(diǎn)，∴（2x﹣2）2+（2y）2=16，整理得（x﹣1）2+y2=，故Q的軌跡方程是（x﹣1）2+y2=．故答案為：（x﹣1）2+y2=．【點(diǎn)評(píng)】本題的考點(diǎn)是軌跡方程，考查用代入法求支點(diǎn)的軌跡方程，代入法適合求動(dòng)點(diǎn)與另外已知軌跡方程的點(diǎn)有固定關(guān)系的點(diǎn)的軌跡方程，用要求軌跡方程的點(diǎn)的坐標(biāo)表示出已知軌跡方程的點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入已知的軌跡方程，從而求出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程．15.若直線ax+2y+a=0和直線3ax+（a﹣1）y+7=0平行，則實(shí)數(shù)a的值為

．參考答案：0或7【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．【分析】直接利用直線的平行的充要條件，列出方程求解即可．【解答】解：直線ax+2y+a=0和直線3ax+（a﹣1）y+7=0平行，當(dāng)a≠0時(shí)，則：，解得a=7，當(dāng)a=0時(shí)顯然平行，故答案為：a=0或a=716.已知直線：與直線：相互垂直，則實(shí)數(shù)等于

▲

．參考答案：617.正四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為

.

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（1）已知點(diǎn)和，過點(diǎn)的直線與過點(diǎn)的直線相交于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，如果，求點(diǎn)的軌跡.（2）用正弦定理證明三角形外角平分線定理：如果在中，的外角平分線與邊的延長線相交于點(diǎn)，則.參考答案：（1）解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，……………2分整理得……………4分所以點(diǎn)的軌跡是以為頂點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的橢圓（除長軸端點(diǎn)）…6分18(2)證明：設(shè)在中，由正弦定理得……①……………8分在中，由正弦定理得即………②………10分①②兩式相比得.……………12分略19.（1）解不等式：x2﹣3x﹣4≤0（2）當(dāng)x＞1時(shí)，求x+的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】基本不等式；一元二次不等式的解法．【專題】計(jì)算題；構(gòu)造法；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（1）先對(duì)二次三項(xiàng)式因式分解，再得解集；（2）先配成積為定值的形式，再運(yùn)用基本不等式求最小值．【解答】解：（1）不等式x2﹣3x﹣4≤0可化為：（x﹣4）（x+1）≤0，解得，﹣1≤x≤4，即不等式的解集為{x|﹣1≤x≤4}；（2）因?yàn)閤＞1，所以x﹣1＞0，則x+=（x﹣1）++1≥2?+1=2+1=3，當(dāng)且僅當(dāng)：x=2時(shí)，取“=”，因此，原式的得最小值3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次不等式的解法和運(yùn)用基本不等式求最值，注意“一正，二定，三相等”是用基本不等式求最值的前提條件，基礎(chǔ)題．20.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的一個(gè)長軸頂點(diǎn)為A（2，0），離心率為，直線y=k（x﹣1）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）當(dāng)△AMN的面積為時(shí)，求k的值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（Ⅰ）根據(jù)橢圓一個(gè)頂點(diǎn)為A（2，0），離心率為，可建立方程組，從而可求橢圓C的方程；（Ⅱ）直線y=k（x﹣1）與橢圓C聯(lián)立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，從而可求|MN|，A（2，0）到直線y=k（x﹣1）的距離，利用△AMN的面積為，可求k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵橢圓一個(gè)頂點(diǎn)為A（2，0），離心率為，∴∴b=∴橢圓C的方程為；（Ⅱ）直線y=k（x﹣1）與橢圓C聯(lián)立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=，∴|MN|==∵A（2，0）到直線y=k（x﹣1）的距離為∴△AMN的面積S=∵△AMN的面積為，∴∴k=±1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確求出|MN|．21.已知數(shù)列，.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）數(shù)列中，是否存在連續(xù)的三項(xiàng)，這三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列？試說明理由；（3）設(shè)，其中為常數(shù)，且，，求.參考答案：解：⑴∵=，∴，∵∴為常數(shù)∴數(shù)列為等比數(shù)列⑵取數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，∵，，∴，即，∴數(shù)列中不存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列；

⑶當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)；而為奇數(shù)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，發(fā)現(xiàn)符合要求，下面證明唯一性（即只有符合要求）。由得，設(shè)，則是上的減函數(shù)，∴的解只有一個(gè)從而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，發(fā)現(xiàn)符合要求，下面同理可證明唯一性（即只有符合要求）。從而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)