第五章幾何變換

第五章幾何變換第1頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.1基本變換幾何變換的定義：改變對(duì)象坐標(biāo)描述的變換稱為幾何變換，例如改變對(duì)象的方向、尺寸和形狀在坐標(biāo)系不變的情況下，由對(duì)象的幾何位置或比例改變等引起的變換第2頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月幾何變換的基本原理幾何變換：變換圖形就是要變換圖形的幾何關(guān)系，同時(shí)保持圖形的原拓?fù)潢P(guān)系第3頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.1

二維基本變換基本幾何變換的類型平移旋轉(zhuǎn)變比第4頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.1.1平移平移定義：對(duì)象沿直線運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的變換平移是一種不產(chǎn)生變形而移動(dòng)物體的剛體變換，物體的大小、方向、形狀和位置不變參數(shù)：平移向量(Tx,Ty)公式： x'=x+Tx y'=y+Ty第5頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月2D平移舉例5010050100(-20，20)308070120xyxy平移向量第6頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.1.2旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)定義：對(duì)象沿圓弧路徑運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的變換參數(shù):旋轉(zhuǎn)角θ，約定：逆時(shí)針為正旋轉(zhuǎn)點(diǎn)(基準(zhǔn)點(diǎn))：(xr，yr)旋轉(zhuǎn)變換也是一種剛體變換。物體的大小、形狀不變，但方向和位置要改變第7頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月針對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)公式:

x'=x*cosθ-y*sinθ

y'=x*sinθ+y*cosθ5.1.2旋轉(zhuǎn)xyPP'θФ

第8頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.1.2旋轉(zhuǎn)x'=rcos(θ+Ψ)

=rcosθcosΨ-rsinθsinΨy'=rsin(θ+Ψ)=rsinθcosΨ+rcosθsinΨ因?yàn)椋簒=rcosΨy=rsinΨ則：上兩個(gè)方程組可得到x'=xcosθ-ysinθy'=xsinθ+ycosθ第9頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月針對(duì)任意點(diǎn)（xr,yr）旋轉(zhuǎn)

x'=xr+(x-xr)*cosθ-(y-yr)*sinθy'=yr+(x-xr)*sinθ+(y-yr)*cosθ旋轉(zhuǎn)變換的計(jì)算效率改進(jìn)：小角近似5.1.2旋轉(zhuǎn)第10頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月變比定義：改變對(duì)象尺寸的變換參數(shù)：縮放系數(shù)(Sx,Sy)，固定點(diǎn)(Xf,Yf)公式:針對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)縮放 x'=x*Sx

y'=y*Sy

5.1.32D縮放(變比，比例變換)第11頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月2D縮放舉例11縮放變換(2，1)12xyxy1oo第12頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月2D縮放討論如果|Sx|或|Sy|大于1，則表示圖形在X軸方向或Y軸方向放大；如果|Sx|或|Sy|小于1，則表示圖形在X軸方向或Y軸方向縮??；如果|Sx|=|Sy|，則表示均勻縮放；如果|Sx|<>|Sy|，則表示差值縮放；如果|Sx|或|Sy|等于1，則表示圖形在X軸方向或Y軸方向不變；如果Sx或Sy小于零，則表示圖形在X軸方向或Y軸方向作鏡面變換。第13頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月2D縮放討論縮放變換后，對(duì)象可能被重定位11縮放變換(2，1)12xyxy1第14頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月2D變換的矩陣表示對(duì)于平移、旋轉(zhuǎn)和縮放變換，每個(gè)基本的變換都可表示為普通距陣形式：

P'=M1*P+M2

P’、P表示變換前后兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的列向量M1是一個(gè)包含乘法系數(shù)的2×2距陣M2是一個(gè)包含平移項(xiàng)的兩元素列距陣第15頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月2D變換的矩陣表示平移：M1是單位距陣；旋轉(zhuǎn)或縮放：包含與基準(zhǔn)點(diǎn)或縮放固定點(diǎn)相關(guān)的平移項(xiàng)。為了利用這個(gè)方程實(shí)現(xiàn)先縮放、再旋轉(zhuǎn)后平移這樣的變換順序，必須每次一步一步地計(jì)算點(diǎn)在變換后的坐標(biāo)。有效方法是最后坐標(biāo)位置能從初始坐標(biāo)位置得到，這就消除了中間坐標(biāo)值的計(jì)算。引入齊次坐標(biāo)技術(shù)對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)重新表示第16頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月2D變換的矩陣表示齊次坐標(biāo)：Maxwell.E.A在1946年從幾何的角度提出來的基本思想是把一個(gè)n維空間的幾何問題轉(zhuǎn)換到n+1維空間中去從形式上來說，就是用一個(gè)n+1維的向量表示一個(gè)n維向量的方法，即n+1維向量表示n維空間中的點(diǎn)。第17頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月2D變換的矩陣表示如：二維空間中點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)的齊次坐標(biāo)表示為(h*x，h*y，h)(h≠0的任意實(shí)數(shù))。只要給定一個(gè)點(diǎn)的齊次坐標(biāo)表示(xh，yh，h)，就能得到唯一的笛卡兒坐標(biāo)(x,y)x=xh/h，y=yh/h第18頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月2D變換的矩陣表示一個(gè)笛卡兒坐標(biāo)表示的點(diǎn)，用齊次坐標(biāo)表示時(shí)，是無窮的，但一個(gè)齊次坐標(biāo)表示的點(diǎn)，用笛卡兒坐標(biāo)表示時(shí)，是唯一的齊次坐標(biāo)表示不是唯一的，通常當(dāng)h=1是時(shí)，稱為規(guī)格化齊次坐標(biāo)用齊次坐標(biāo)技術(shù)，可改寫平移變換、縮放變換和旋轉(zhuǎn)變換為統(tǒng)一的乘積形式第19頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月平移變換 x'10txx y'=01tyy10011

P'=T(tx,ty)*P 2D變換的矩陣表示第20頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月旋轉(zhuǎn)變換 x'cosθ-sinθ0x y'=sinθcosθ0y10011

P'=R(θ)*P2D變換的矩陣表示第21頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月變比變換 x'sx00x y'=0sy0y10011

P'=S(sx,sy)*P2D變換的矩陣表示第22頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.3復(fù)合變換利用距陣表示，就可通過計(jì)算單個(gè)變換的距陣乘積，將任意順序變換的距陣建立為組合變換距陣。形成變換距陣的乘積被稱為距陣的合并或組合第23頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.3復(fù)合變換連續(xù)平移連續(xù)旋轉(zhuǎn)連續(xù)變比針對(duì)任意點(diǎn)的變換針對(duì)任意方向的變換實(shí)現(xiàn)第24頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.3.1連續(xù)平移兩個(gè)連續(xù)的平移向量(tx1,ty1)和(tx2,ty2)被用于點(diǎn)P，那么最后的點(diǎn)坐標(biāo)可計(jì)算為 P'=T(tx2,ty2)·

{T(tx1,ty1)·P} ={T(tx2,ty2)·T(tx1,ty1)}·

P計(jì)算時(shí)，可先計(jì)算兩個(gè)平移變換距陣的乘積 T(tx2,ty2)·T(tx1,ty1)=T(tx2+tx1,ty2+ty1)這表明：兩個(gè)連續(xù)平移變換是相加的第25頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.3.2連續(xù)旋轉(zhuǎn)應(yīng)用于點(diǎn)P的兩個(gè)連續(xù)旋轉(zhuǎn)，得到的點(diǎn)P'的坐標(biāo)可計(jì)算為

P'=R(θ2)·{R(θ1)·P}={R(θ2)·R(θ1)}·P可以證明：兩個(gè)連續(xù)旋轉(zhuǎn)是相加的 R(θ2)

·

R(θ1)=R(θ1+θ2) 則P’的坐標(biāo)可計(jì)算為 P'=R(θ1+θ2)·

P第26頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.3.3連續(xù)變比兩個(gè)連續(xù)縮放操作的變換距陣連接，產(chǎn)生的組合變換距陣 S(sx2,sy2)·S(sx1,sy1)=S(sx1·sx2,sy1·sy1)表明：連續(xù)縮放操作是相乘的，非疊加的第27頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.3.4針對(duì)任意點(diǎn)變換對(duì)于繞任意基準(zhǔn)點(diǎn)(xr,yr)的旋轉(zhuǎn)，通過平移－旋轉(zhuǎn)－平移變換這樣的序列變換操作來完成方法平移對(duì)象使基準(zhǔn)點(diǎn)移動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)針對(duì)原點(diǎn)做指定變換反向平移對(duì)象使基準(zhǔn)點(diǎn)回到原位置第28頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)針對(duì)固定點(diǎn)縮放

10xf

01yf

001

sx000sy0001

10-xf

01-yf

001舉例

sx0xf(1-sx)0

syyf(1-sy)001

=第29頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)針對(duì)固定點(diǎn)縮放xy(xf,yf)yxxyxy第30頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)針對(duì)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

利用距陣連接可得到這個(gè)變換序列的組合變換距陣

R=T(xr,yr)·R(θ)·T(-xr,-yr)

其中：T(-xr,-yr)=T-1(xr,yr)第31頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)針對(duì)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

10xr

01yr

001

cosθ-sinθ0sinθcosθ0001

10-xr

01-yr

001

cosθ-sinθxr(1-cosθ)+

yrsinθsinθcosθyr(1-cosθ)+

xrsinθ001

=第32頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)針對(duì)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)xy(xf,yf)yxxyxy第33頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)針對(duì)任意方向變換方法旋轉(zhuǎn)對(duì)象使指定方向與坐標(biāo)軸方向重合針對(duì)坐標(biāo)軸方向做指定變換反向旋轉(zhuǎn)使方向回到原方向例第34頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月例:沿指定方向縮放xyS2S1θ第35頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月例:沿指定方向縮放cos-θ-sin-θ0sin-θcos-θ0001Sx000Sy0001cosθ-sinθ0sinθcosθ0001s1cos2θ+

s2sin2θ(s2

-s1)cosθsinθ0(s2

-s1)cosθsinθs1sin2θ+

s2cos2θ0001

=第36頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月例cos-45-sin-450sin-45cos-450001100020001S1=1,S2=2θ=45(0.5,1.5)cos45-sin450sin45cos4500011.50.500.51.50001T=xy(2,2)(1.5,0.5)xy11(1,1)第37頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月通用變換矩陣 x'rsxxrsxytrsxx y'= rsyxrsyytrsyy10011 rsij是變換中（僅包含旋轉(zhuǎn)角和縮放系數(shù)）的多重旋轉(zhuǎn)-縮放項(xiàng)trsx、trsy是平移項(xiàng) 計(jì)算效率

2D變換的矩陣表示第38頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.3.6實(shí)現(xiàn)P154~P155第39頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.42D其他變換反射：產(chǎn)生對(duì)象的鏡像沿X軸反射沿Y軸反射沿原點(diǎn)反射沿y=x反射錯(cuò)切:使對(duì)象發(fā)生形變沿X方向錯(cuò)切沿Y方向錯(cuò)切第40頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.4.1反射沿x軸反射1000-100011232'3'1'xy第41頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月沿y軸反射-1000100011231'3'2'xy5.4.1反射第42頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月

沿(0,0)反射

-1000-100011231'3'2'xy5.4.1反射第43頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月沿直線y=x反射cos-45-sin-450sin-45cos-4500011000-10001cos45-sin450sin45cos450001xyS1y=x010100001第44頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月010100001沿直線y=x反射y=x121'2'xy33'第45頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月0-10-100001沿直線y=-x反射y=-x121'2'xy33'第46頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.4.2錯(cuò)切錯(cuò)切：是一種使對(duì)象形狀發(fā)生變化的變換參數(shù)：錯(cuò)切系數(shù)yxyx第47頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.4.2沿x軸方向錯(cuò)切公式：

x'=x+y·shx(shx≠0)y'=yshx為錯(cuò)切系數(shù)yxyx1shx0010001第48頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月沿x軸方向錯(cuò)切1shx0010001xy1123(2,1)(3,1)shx=2xy11(1,1)第49頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月100shy100015.4.2沿y軸方向錯(cuò)切shy=2xy11(1,1)xy11232(1,3)(1,2)第50頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.5坐標(biāo)系間的變換xyX'Y'x0y0θ從xy坐標(biāo)變換到x'y'坐標(biāo)平移:(x0,y0)到(0,0)旋轉(zhuǎn):使x'軸與x軸重合M=R(-θ)·T(-x0,-y0)第51頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月光柵系統(tǒng)的特殊能力為變換物體提供另一種方法。光柵系統(tǒng)將圖像信息作為像素樣式存儲(chǔ)在幀緩沖器中。一些簡單的變換可通過簡單地將儲(chǔ)存的像素值的長方形數(shù)組在幀緩沖器內(nèi)從一個(gè)位置移到另一個(gè)位置而快速地執(zhí)行，僅需很少的算術(shù)操作，因此像素變換特別有效操縱長方形像素?cái)?shù)組的光柵功能通常稱為光柵操作，將一塊像素從一個(gè)位置移到另一位置稱為像素的塊移動(dòng)。在二值系統(tǒng)中，這個(gè)操作稱為位塊移動(dòng)5.8變換的光柵方法第52頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.8變換的光柵方法從指定光柵矩形區(qū)域中將像素亮度讀入到另一個(gè)數(shù)組，而后將數(shù)組復(fù)制回到光柵新的位置。原始物體可通過用背景亮度來填充其矩形區(qū)域而刪除平移的塊移動(dòng)：所有在矩形區(qū)域顯示的位作為一塊復(fù)制到光柵的另一部分。第53頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月

旋轉(zhuǎn)用塊移動(dòng)可完成90度的倍數(shù)的旋轉(zhuǎn)。將陣列的每一行的像素值顛倒，而后交換其行和列來將物體逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度；將陣列的每一行中元素的次序顛倒，而后將行的次序顛倒來得到180度的旋轉(zhuǎn)對(duì)于不是90度倍數(shù)的陣列旋轉(zhuǎn)，需要完成更多的計(jì)算。變換的光柵方法第54頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月369122581114710R(90)121110987654321R(180)變換的光柵方法初始陣列123456789101112

旋轉(zhuǎn)第55頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月縮放通過縮放原始像素區(qū)域并映射到一組目標(biāo)像素區(qū)域上，然后根據(jù)兩個(gè)區(qū)域的重疊情況設(shè)置目標(biāo)像素的亮度8×6Sx=Sy=0.5變換的光柵方法第56頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.9

三維幾何變換基本變換：平移、縮放、旋轉(zhuǎn)矩陣表示法特殊變換：反射、錯(cuò)移變換組合變換第57頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.9.1平移平移定義：參數(shù)：平移矢量(tx,ty,tz)公式： 100tx010ty001tz0001x'y'z'1x'y'z'1=第58頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.9.2旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)定義：參數(shù):旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)角θ，方向公式:

繞z軸旋轉(zhuǎn)

cosθ-sinθ0 0sinθcosθ000 0 100

001第59頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.9.2旋轉(zhuǎn)繞x軸旋轉(zhuǎn) 1 0 000cosθ-sinθ00sinθcosθ00 0 0 1第60頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.9.2旋轉(zhuǎn)

繞y軸旋轉(zhuǎn)cosθ0sinθ 00 1 0 0-sinθ0 cosθ 00 0 0 1第61頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.9.2.1一般三維旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)軸平行于某坐標(biāo)軸平移物體使其旋轉(zhuǎn)軸與平行于該軸的一個(gè)坐標(biāo)軸重合完成指定的旋轉(zhuǎn)反向平移物體使其旋轉(zhuǎn)軸回到原來的位置第62頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.9.2.1一般三維旋轉(zhuǎn)舉例旋轉(zhuǎn)軸平行于X軸xyzL復(fù)合變換矩陣M=T-1RX(θ)T第63頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.9.2.1一般三維旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)軸不平行于任何坐標(biāo)軸平移物體，使旋轉(zhuǎn)軸通過原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)物體使旋轉(zhuǎn)軸與某一坐標(biāo)軸重合完成指定旋轉(zhuǎn)反向旋轉(zhuǎn)使旋轉(zhuǎn)軸回到原始方向反向平移使旋轉(zhuǎn)軸回到原始位置第64頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月5.9.2.1一般三維旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)軸由兩個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)確定

P1(x1,y1,z1)

P2(x2,y2,z2)旋轉(zhuǎn)軸矢量V=P2－P1=(Vx,Vy,Vz)沿旋轉(zhuǎn)軸的單位向量u=V/|V|=(a,b,c)a=(x2-x1)/|V|、b=(y2-y1)/|V|c=(z2-z1)/|V||V|=sqrt(Vx2+Vy2+Vz2)P1P2xzyu第65頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第一步：平移物體，使旋轉(zhuǎn)軸通過原點(diǎn)

平移矢量T1=T(tx,ty,tz)=T(-x1,-y1,-z1)

=xzyP1'P2'1 0 0 -x10 1 0 -y10 0 1 -z10 0 0 1第66頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第二步:旋轉(zhuǎn)物體使旋轉(zhuǎn)軸與z軸重合旋轉(zhuǎn)物體使旋轉(zhuǎn)軸與z軸重合分兩步將向量U繞x軸旋轉(zhuǎn)到xz平面上:Rx(α)將向量U繞y軸旋轉(zhuǎn)到z軸上:Ry(β)xzyu(a,b,c)αxzyβu''(a,0,d)u''(a,0,d)uz(0,0,1)第67頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第二步:旋轉(zhuǎn)物體使旋轉(zhuǎn)軸與z軸重合第二步的第一小步將向量U繞x軸旋轉(zhuǎn)到xz平面上:Rx(α)u'為u在yz平面上的投影u'(0,b,c)αxzyu(a,b,c)αu''(a,0,d)uz(0,0,1)第68頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月將向量U繞x軸旋轉(zhuǎn)到xz平面上:Rx(α)cos(α)，sin(α)求解利用向量的點(diǎn)乘運(yùn)算確定余弦項(xiàng)cos(α)=u'.uz/(|u'|.|uz|)=c/d|uz|=1及|u'|=d=sqrt(b2+c2)利用向量的叉乘運(yùn)算確定正弦項(xiàng)u'×uz=ux|u'|.|uz|sin(α)=b.uxsin(α)=b/d第69頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月將向量U繞x軸旋轉(zhuǎn)到xz平面上：Rx(α)

Rx(α)=1 0 0 00c/d-b/d 00b/dc/d 00 00 1第70頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第二步：旋轉(zhuǎn)物體使旋轉(zhuǎn)軸與z軸重合第二步的第二小步將向量U繞y軸旋轉(zhuǎn)到z軸上:Ry(β)xzyβu''(a,0,d)uz(0,0,1)第71頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月將向量U繞y軸旋轉(zhuǎn)到z軸上：Ry(β)cos(β)，sin(β)求解利用向量的點(diǎn)乘運(yùn)算確定余弦項(xiàng)cos(β)=u''.uz/(|u''|.|uz|)=d|uz|=1及|u''|=sqrt(d2+a2)=|u|=1利用向量的叉乘運(yùn)算確定正弦項(xiàng)u''×uz=uy|u''||uz|sin(β)=-a.uysin(β)=-a第72頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月將向量U繞y軸旋轉(zhuǎn)到z軸上：Ry(β)

Ry(β)=d 0 -a 00 1 0 0a 0 d 00 0 0 1第73頁，課件共87頁，創(chuàng)作于2023年2月第三步：完成指定旋轉(zhuǎn)Rz(θ)

Rz(θ)=cosθ-sinθ 0 0sinθ cosθ 0 0