歷年高考數(shù)學(xué)（文）知識(shí)清單-專(zhuān)題05 不等式與線性規(guī)劃（考點(diǎn)解讀）（原卷+解析版）

專(zhuān)題5不等式與線性規(guī)劃考情解讀與區(qū)域有關(guān)的面積、距離、參數(shù)范圍問(wèn)題及線性規(guī)劃問(wèn)題；利用基本不等式求函數(shù)最值、運(yùn)用不等式性質(zhì)求參數(shù)范圍、證明不等式是高考熱點(diǎn).備考時(shí)，應(yīng)切實(shí)文解與線性規(guī)劃有關(guān)的概念，要熟練掌握基本不等式求最值的方法，特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧方法．要特別加強(qiáng)綜合能力的培養(yǎng)，提升運(yùn)用不等式性質(zhì)分析、解決問(wèn)題的能力.重點(diǎn)知識(shí)梳理1．(1)若ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1和x2(x1<x2)ax2＋bx＋c>0(a>0)的解為{x|x>x2，或x<x1}，ax2＋bx＋c<0(a>0)的解為{x|x1<x<x2}；(2)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的條件是Δa<0，(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的條件是Δ<0.2．(1)ab≤22(a，b∈R)；(2)≥≥≥(a>0，b>0)；(3)不等關(guān)系的倒數(shù)性質(zhì)a>b11ab>0?a<b；(4)真分?jǐn)?shù)的變化性質(zhì)若0<n<m，c>0，則<；(5)形如y＝ax＋(a>0，b>0)，x∈(0，+∞)取最小值時(shí)，ax＝?x＝，即“對(duì)號(hào)函數(shù)”單調(diào)變化的分界點(diǎn)；(6)a>0，b>0，若a＋b＝P，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，ab的最大值為22；若ab＝S，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，a+b的最小值為2.3．不等式y(tǒng)>kx＋b表示直線y＝kx＋b上方的區(qū)域；y<kx＋b表示直線y＝kx＋b下方的區(qū)域.2高頻者點(diǎn)突破高頻考點(diǎn)一不等式的性質(zhì)及應(yīng)用例1、(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)若a>b，則()A．ln(a－b)>0B．3a<3bC．a(chǎn)3－b3>0D．|a|>|b|【舉一反三】(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，則A∩B＝()A．(-∞,1)C．(－31)D．(3，+∞)【方法規(guī)律】1．解一元二次不等式主要有兩種方法：圖象法和因式分解法.2．解含參數(shù)的“一元二次不等式”時(shí)，要把握好分類(lèi)討論的層次，一般按下面次序進(jìn)行討論：首先根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)進(jìn)行討論；其次根據(jù)相應(yīng)一元二次方程的根是否存在，即Δ的符號(hào)進(jìn)行討論；最后在根存在時(shí)，根據(jù)根的大小進(jìn)行討論.3．解決恒成立問(wèn)題可以利用分離參數(shù)法，一定要弄清楚誰(shuí)是自變量，誰(shuí)是參數(shù)．一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是自變量，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù).4．對(duì)于一元二次不等式恒成立問(wèn)題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.5．解決不等式在給定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，可先求出相應(yīng)函數(shù)這個(gè)區(qū)間上的最值，再轉(zhuǎn)化為與最值有關(guān)的不等式問(wèn)題.【變式探究】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)＞x的解集用區(qū)間表示為.高頻考點(diǎn)二基本不等式及應(yīng)用例2、（2018年天津卷）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，則2a+的最小值為.【變式探究】【2017江蘇，10】某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物600噸，每次購(gòu)買(mǎi)x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)之和最小,則x的值是▲.ax＋y＝1，(2)若直線＋＝1(a＞0，b＞0)過(guò)點(diǎn)(1,1)，則a＋b的最小值等于()3【方法技巧】1．常數(shù)代換法求最值的關(guān)鍵在于常數(shù)的變形，利用此方法求最值應(yīng)注意以下三個(gè)方面：(1)注意條件的靈活變形，確定或分離出常數(shù)，這是解題的基礎(chǔ)；(2)將常數(shù)化成“1”，這是代數(shù)式等價(jià)變形的基礎(chǔ)；(3)利用基本不等式求解最值時(shí)要滿(mǎn)足“一正、二定、三相等”，否則容易出現(xiàn)錯(cuò)解.2．拼湊法就是將代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危ㄟ^(guò)添項(xiàng)、拆項(xiàng)等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．此方法適用于已知關(guān)于變量的等式，求解相關(guān)代數(shù)式的最值問(wèn)題，或已知函數(shù)解析式，求函數(shù)的最值問(wèn)題.【變式探究】已知函數(shù)f(x)＝x2的值域?yàn)?-∞,0]∪[4，+∞)，則a的值是()AB高頻考點(diǎn)三求線性規(guī)劃中線性目標(biāo)函數(shù)的最值2x＋3y－6≥0，例3、(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)若變量x，y滿(mǎn)足約束條件x＋y－3≤0，則z＝3x－y的最大值是【舉一反三】（2018年北京卷）若,?y滿(mǎn)足x+1≤y≤2x，則2y??的最小A.-3B.-1C.1【變式探究】(1)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為元.x－3≤0，x－y＋1≥0，(2)若x，y滿(mǎn)足約束條件x＋y－3≥0x－3≤0，【方法技巧】求目標(biāo)函數(shù)的最值的方法則z＝x－2y的最小值為.41．幾何意義法(1)常見(jiàn)的目標(biāo)函數(shù)①截距型：形如z＝ax＋by，求這類(lèi)目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為yx通過(guò)求直b線的截距z的最值間接求出z的最值.b②距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，定點(diǎn)M(a，b)，則z＝|PM|2.③斜率型：形如z設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，定點(diǎn)M(a，b)，則z＝kPM.(2)目標(biāo)函數(shù)z＝xy的幾何意義①由已知得y故可理解為反比例函數(shù)y＝的圖象，最值需根據(jù)該函數(shù)圖象與可行域有公共點(diǎn)時(shí)進(jìn)行判斷.②設(shè)P(x，y)，則|xy|表示以線段OP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為對(duì)角線的矩形面積.2．界點(diǎn)定值法，利用可行域所對(duì)應(yīng)圖形的邊界頂點(diǎn)求最值.x＋y≥a，【變式探究】設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件x－y≤-1，且z＝x＋ay的最小值為7，則a＝()A5B．3C5或3D．5或－3真題感悟1、(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)若a>b，則()A．ln(a－b)>0B．3a<3bC．a(chǎn)3－b3>0D．|a|>|b|2、(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，則A∩B＝()A．(-∞,1)C．(－31)D．(3，+∞)2x＋3y－6≥0，y－2≤0，3、(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)若變量x，y滿(mǎn)足約束條件x＋y－3≤0，則z＝3x－y的最大值是y－2≤0，4．【2019年高考天津卷文數(shù)】設(shè)變量x,y滿(mǎn)足約束條件〈-，則目標(biāo)函數(shù)z=-4x+y的最大值為xy1.（2018年全國(guó)I卷）設(shè)變量xy滿(mǎn)足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=3x+5y的最大值為C.21D.452.（2018年北京卷）設(shè)集合A={(xy)x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2}則A.對(duì)任意實(shí)數(shù)a，B.對(duì)任意實(shí)數(shù)a2,1）C.當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí),（2,1）D.當(dāng)且僅當(dāng)號(hào)時(shí),（2,1）3.（2018年浙江卷）若xy滿(mǎn)足約束條件則z=x+3y的最小值是____________，最大值是.4.（2018年天津卷）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，則2a+的最小值為.5.（2018年北京卷）若,?y滿(mǎn)足x+1≤y≤2x，則2y??的最小值是.6.（2018年江蘇卷）在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,C，4ABC=120°,4ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+C的最小值為.7.（2018年全國(guó)III卷）若變量X,y滿(mǎn)足約束條件則的最大值是________.1.【2017課標(biāo)1，文7】設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件〈|x-y>1,則A.-15B.-9C.1D93.【2017課標(biāo)3，文5】設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件〈|l，則z=x-y的取值范圍是()A．[–3,0]B．[–3,2]C．[0,2]D．[0,3]（A）1（B）3（C）5（D）9A.-3B.-1C.17.【2017江蘇，10】某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物600噸，每次購(gòu)買(mǎi)x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)之和最小,則x的值是▲.+b2專(zhuān)題+b2考情解讀與區(qū)域有關(guān)的面積、距離、參數(shù)范圍問(wèn)題及線性規(guī)劃問(wèn)題；利用基本不等式求函數(shù)最值、運(yùn)用不等式性質(zhì)求參數(shù)范圍、證明不等式是高考熱點(diǎn).備考時(shí)，應(yīng)切實(shí)文解與線性規(guī)劃有關(guān)的概念，要熟練掌握基本不等式求最值的方法，特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧方法．要特別加強(qiáng)綜合能力的培養(yǎng)，提升運(yùn)用不等式性質(zhì)分析、解決問(wèn)題的能力.重點(diǎn)知識(shí)梳理1．(1)若ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1和x2(x1<x2)ax2＋bx＋c>0(a>0)的解為{x|x>x2，或x<x1}，Δ<0.(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的條件是ax2＋bx＋c<0(aΔ<0.(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的條件是(2)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的條件是a<0，Δ<0.aa2＋b2≥2ab≥a＋b≥ab2a2＋b2≥2ab≥a＋b≥ab2(2)2(3)不等關(guān)系的倒數(shù)性質(zhì)<<a>bab>0a<若0<n<m，c>0，則nm(5)形如y＝ax＋b,即“對(duì)號(hào)函數(shù)”單調(diào)變化的分?x=x(a>0(5)形如y＝ax＋b,即“對(duì)號(hào)函數(shù)”單調(diào)變化的分?x=xaxa界點(diǎn)；P(6)a>0，b>0，若a＋b＝P，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b(6)a>0，b>0，若a＋b＝P，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，ab的最大值為2.b的最小值為2S.3．不等式y(tǒng)>kx＋b表示直線y＝kx＋b上方的區(qū)域；y<kx＋b表示直線y＝kx＋b下方的區(qū)域.高頻考點(diǎn)突攻高頻考點(diǎn)一不等式的性質(zhì)及應(yīng)用例1、(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)若a>b，則()A．ln(a－b)>0B．3a<3bC．a(chǎn)3－b3>0D．|a|>|b|【解析】法一：不妨設(shè)a1，b2，則a＞b，可驗(yàn)證A，B，D錯(cuò)誤，只有C正確.法二：由a＞b，得a－b＞0.但a－b＞1不一定成立，則ln(a－b)＞0不一定成立，故A不一定成立.因?yàn)閥＝3x在R上是增函數(shù)，當(dāng)a＞b時(shí)，3a＞3b，故B不成立.因?yàn)閥＝x3在R上是增函數(shù)，當(dāng)a＞b時(shí)，a3＞b3，即a3－b3＞0，故C成立.因?yàn)楫?dāng)a＝3，b6時(shí)，a＞b，但|a|＜|b|，所以D不一定成立.故選C.【答案】C【舉一反三】(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，則A∩B＝()A．(-∞,1)C．(－31)D．(3，+∞)【解析】A∩B＝{x|x2－5x＋6＞0}∩{x|x－1＜0}＝{x|x＜2或x＞3}∩{x|x＜1}＝{x|x＜1}．故選A.【答案】A【方法規(guī)律】1．解一元二次不等式主要有兩種方法：圖象法和因式分解法.2．解含參數(shù)的“一元二次不等式”時(shí)，要把握好分類(lèi)討論的層次，一般按下面次序進(jìn)行討論：首先根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)進(jìn)行討論；其次根據(jù)相應(yīng)一元二次方程的根是否存在，即Δ的符號(hào)進(jìn)行討論；最后在根存在時(shí)，根據(jù)根的大小進(jìn)行討論.3．解決恒成立問(wèn)題可以利用分離參數(shù)法，一定要弄清楚誰(shuí)是自變量，誰(shuí)是參數(shù)．一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是自變量，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù).4．對(duì)于一元二次不等式恒成立問(wèn)題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.5．解決不等式在給定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，可先求出相應(yīng)函數(shù)這個(gè)區(qū)間上的最值，再轉(zhuǎn)化為與最值有關(guān)的不等式問(wèn)題.【變式探究】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)＞x的解集用區(qū)間表示為.【解析】通解：先求出函數(shù)f(x)在R上的解析式，然后分段求解不等式f(x)>x，即得不等式的解集.設(shè)x<0，則－x>0，于是f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，由于f(x)是R上的奇函數(shù)，所以－f(x)＝x2＋4x，即f(x)x2－4x，且f(0)＝0，于是f(x)＝!0，x＝0，當(dāng)x>0時(shí)，由x2－-x2－4x，x<0.當(dāng)x<0時(shí)，由－x2－4x>x得－5<x<0，故不等式的解集為(－5,0)∪(5，+∞).優(yōu)解：數(shù)形結(jié)合作出y1＝x2－4x與y2＝x的圖象使y1的圖象在y2圖象的上部所對(duì)應(yīng)的x的范圍.設(shè)y1＝f(x)＝x2－4x，y2＝x(x>0).令y1＝y(tǒng)2，∴x2－4x＝x，∴x＝0或x作y1＝f(x)及y2＝x的圖象，則A(5,5)，由于y1＝f(x)及y2＝x都是奇函數(shù)，作它們關(guān)于(0,0)的對(duì)稱(chēng)圖象，則B(－55)，由圖象可看出當(dāng)f(x)>x時(shí)，x∈(5，+∞)及(－5,0).【答案】(－5,0)∪(5，+∞)高頻考點(diǎn)二基本不等式及應(yīng)用例2、（2018年天津卷）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，則2a+的最小值為.【答案】【解析】由a-3b+6=0可知a-3b=-6，且：，因?yàn)閷?duì)于任意x，恒成立，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得：.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.綜上可得的最小值為.【變式探究】【2017江蘇，10】某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物600噸，每次購(gòu)買(mǎi)x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)之和最小,則x的值是▲.【答案】30【解析】總費(fèi)用4x+6=4(x+)42=240，當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=30時(shí)等號(hào)成立.x＋by＝1x＋by＝1【解析】通解：依題意，由ax＋y＝1得y＝1－ax，代入x＋by＝1得x＋b(1－ax)＝1，即(1－ab)x＝1-b.由原方程組無(wú)解得，關(guān)于x的方程(1－ab)x＝1－b無(wú)解，因此1－ab＝0且1－b≠0，即ab＝1且b≠1.又a＞0，b＞0，a≠b，ab＝1，因此a＋b＞2＝2，即a＋b的取值范圍是(2，+∞).x＋by＝1x＋by＝1從而可得ab＝1，且a≠b.無(wú)解，則直線ax＋y＝1與x＋by＝1平行且不重合，又a＞0，b＞0，故a＋b＞2＝2，即a＋b的取值范圍是(2，+∞).【答案】(2，+∞)(2)若直線＋＝1(a＞0，b＞0)過(guò)點(diǎn)(1,1)，則a＋b的最小值等于()【解析】通解：因?yàn)橹本€＋＝1(a＞0，b＞0)過(guò)點(diǎn)(1,1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＋＝2＋aba.+b≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取“=?,aba.優(yōu)解：如圖a，b分別是直線＋＝1在x，y軸上的截距，A(a,0)，B(0，b)，當(dāng)a→1時(shí)，b→+∞,當(dāng)b→1時(shí)，a→+∞,只有點(diǎn)(1,1)為AB的中點(diǎn)時(shí)，a＋b最小，此時(shí)a＝2，b＝2，∴a＋b＝4.【答案】C【方法技巧】1．常數(shù)代換法求最值的關(guān)鍵在于常數(shù)的變形，利用此方法求最值應(yīng)注意以下三個(gè)方面：(1)注意條件的靈活變形，確定或分離出常數(shù)，這是解題的基礎(chǔ)；(2)將常數(shù)化成“1”，這是代數(shù)式等價(jià)變形的基礎(chǔ)；(3)利用基本不等式求解最值時(shí)要滿(mǎn)足“一正、二定、三相等”，否則容易出現(xiàn)錯(cuò)解.2．拼湊法就是將代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過(guò)添項(xiàng)、拆項(xiàng)等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．此方法適用于已知關(guān)于變量的等式，求解相關(guān)代數(shù)式的最值問(wèn)題，或已知函數(shù)解析式，求函數(shù)的最值問(wèn)題.【變式探究】已知函數(shù)f(x)＝x2的值域?yàn)?-∞,0]∪[4，+∞)，則a的值是()AB【解析】選C.由題意可得a＞0，①當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x2≥2＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取等號(hào)；②x當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x＋a＋2≤-2＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－時(shí)取等號(hào)．所以xC.高頻考點(diǎn)三求線性規(guī)劃中線性目標(biāo)函數(shù)的最值y－2≤0，2x＋3y－6≥0，例3、(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)若變量x，y滿(mǎn)足約束條件x＋y－3≤0y－2≤0，【解析】作出已知約束條件對(duì)應(yīng)的可行域(圖中陰影部分)，由圖易知，當(dāng)直線y＝3x－z過(guò)點(diǎn)C時(shí)z最小，即z最大.x＋y－3＝0，解得2x＋3y－6＝0解得即C點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)， x＝3，y＝0，【答案】9【舉一反三】（2018年北京卷）若,?y滿(mǎn)足x+1≤y≤2x，則2y??的最小【答案】3【解析】不等式可轉(zhuǎn)化為，即滿(mǎn)足條件的在平面直角坐標(biāo)系中的可行域如下圖令，由圖象可知，當(dāng)2y-x=z過(guò)點(diǎn)p(1,2)時(shí)，Z取最小值，此時(shí)z=2×2-1=3，.2y-x的最小值為3.A.-3B.-1C.1【答案】D【解析】畫(huà)出約束條件{x+3>0表示的可行域,如圖中陰影部分所示，平移直線x+2y=0,可知選D.【變式探究】(1)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為元.【解析】由題意，設(shè)產(chǎn)品A生產(chǎn)x件，產(chǎn)品B生產(chǎn)y件，利潤(rùn)z＝2100x＋900y，線性約束條件為 1.5x＋0.5y≤150 1.5x＋0.5y≤1505x＋3y≤600y≥0，y∈N*,作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，又由x∈N*，y∈N*，可知取得最大值時(shí)的最優(yōu)解為(60,100)，所以zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元).【答案】216000x－y＋1≥0，(2)若x，y滿(mǎn)足約束條件x＋y－3≥0，則z＝x－2y的最小值為x－y＋1≥0，x－3≤0，【解析】通解：作出可行域如圖中陰影部分所示，由z＝x－2y得y＝x－z，作直線y＝x并平移，觀察可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,4)時(shí)，zmin＝3－2×45.優(yōu)解：因?yàn)榭尚杏驗(yàn)榉忾]區(qū)域，所以線性目標(biāo)函數(shù)的最值只可能在邊界點(diǎn)處取得，易求得邊界點(diǎn)分別為(3,4)，(1,2)，(3,0)，依次代入目標(biāo)函數(shù)可求得zmin5.【答案】－5【方法技巧】求目標(biāo)函數(shù)的最值的方法1．幾何意義法(1)常見(jiàn)的目標(biāo)函數(shù)①截距型：形如z＝ax＋by，求這類(lèi)目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為yx通過(guò)求直b線的截距z的最值間接求出z的最值.b②距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，定點(diǎn)M(a，b)，則z＝|PM|2.③斜率型：形如z設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，定點(diǎn)M(a，b)，則z＝kPM.(2)目標(biāo)函數(shù)z＝xy的幾何意義①由已知得y故可理解為反比例函數(shù)y＝的圖象，最值需根據(jù)該函數(shù)圖象與可行域有公共點(diǎn)時(shí)進(jìn)行判斷.②設(shè)P(x，y)，則|xy|表示以線段OP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為對(duì)角線的矩形面積.2．界點(diǎn)定值法，利用可行域所對(duì)應(yīng)圖形的邊界頂點(diǎn)求最值.x＋y≥a，x－y≤-1，【變式探究】設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件且z＝x＋ayx＋y≥a，x－y≤-1，A5B．3C5或3D．5或－3 a－1a＋1【解析】通解：選B.二元一次不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，其中A2，2 a－1a＋1=0，可知在點(diǎn)A2，2=0，可知在點(diǎn)A2，2處，z取得最小值，因此＋a×＝7，化簡(jiǎn)得a2＋2a－15＝0，解得a＝3或a5，但a5時(shí)，z取得最大值，故舍去，答案為a＝3，故選B.優(yōu)解：由z＝x＋ay得yx＋當(dāng)a＜0時(shí)，由可行域知，當(dāng)y＝－x＋過(guò)A點(diǎn)時(shí)最小，z有最大值，不合題意.當(dāng)a＞0時(shí)，yx＋過(guò)A點(diǎn)時(shí)，最小，z也最小，故只能選B.真題感悟1、(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)若a>b，則()A．ln(a－b)>0B．3a<3bC．a(chǎn)3－b3>0D．|a|>|b|【解析】法一：不妨設(shè)a1，b2，則a＞b，可驗(yàn)證A，B，D錯(cuò)誤，只有C正確.法二：由a＞b，得a－b＞0.但a－b＞1不一定成立，則ln(a－b)＞0不一定成立，故A不一定成立.因?yàn)閥＝3x在R上是增函數(shù)，當(dāng)a＞b時(shí)，3a＞3b，故B不成立.因?yàn)閥＝x3在R上是增函數(shù)，當(dāng)a＞b時(shí)，a3＞b3，即a3－b3＞0，故C成立.因?yàn)楫?dāng)a＝3，b6時(shí)，a＞b，但|a|＜|b|，所以D不一定成立.故選C.【答案】C2、(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，則A∩B＝()A．(-∞,1)C．(－31)D．(3，+∞)【解析】A∩B＝{x|x2－5x＋6＞0}∩{x|x－1＜0}＝{x|x＜2或x＞3}∩{x|x＜1}＝{x|x＜1}．故選A.【答案】A2x＋3y－6≥0，y－2≤0，3、(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)若變量x，y滿(mǎn)足約束條件x＋y－3≤0，則z＝3x－y的最大值是y－2≤0，【解析】作出已知約束條件對(duì)應(yīng)的可行域(圖中陰影部分)，由圖易知，當(dāng)直線y＝3x－z過(guò)點(diǎn)C時(shí)z最小，即z最大.x＋y－3＝0，解得2x＋3y－6＝0解得【答案】9x＝3，y＝0，||x-y+4．【2019年高考天津卷文數(shù)】設(shè)變量x,y滿(mǎn)足約束條件〈-大值為【答案】D【解析】已知不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分.目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線y=4x+z在y軸上的截距，故目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值.故選C.【答案】C【解析】畫(huà)出滿(mǎn)足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示.平移直線y=-x+z可知，當(dāng)該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值.l3x-y-4=0ly=2即點(diǎn)A坐標(biāo)為A(2,2)，【答案】-3；1【解析】根據(jù)題中所給約束條件作出可行域，如圖中陰影部分所示.設(shè)y-x=z，則y=x+z，求出滿(mǎn)足在可行域范圍內(nèi)z的最大值、最小值即可，即在可行域內(nèi)，當(dāng)直線y=x+z的縱截距最大時(shí)，z有最大值，當(dāng)直線y=x+z的縱截距最小時(shí)，z有最小值.由圖可知，當(dāng)直線y=x+z過(guò)點(diǎn)A時(shí),z有最大值，xy【答案】【解析】92 .xyxyxyxy所以xy的最小值為91.（2018年全國(guó)I卷）設(shè)變量xy滿(mǎn)足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=3x+5y的最大值為C.21D.45【答案】C【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：A(2,3)，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：=3x+5y=3×2+5×3=21，本題選擇C選項(xiàng)。2.（2018年北京卷）設(shè)集合A={(xy)x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2}則A.對(duì)任意實(shí)數(shù)a，B.對(duì)任意實(shí)數(shù)a2,1）C.當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí),（2,1）D.當(dāng)且僅當(dāng)號(hào)時(shí),（2,1）【答案】D故選D.3.（2018年浙江卷）若xy滿(mǎn)足約束條件則z=x+3y的最小值是____________，最大值是.【答案】(1).-2(2).8【解析】作可行域，如圖中陰影部分所示，則直線Z=X+3Y過(guò)點(diǎn)A(2,2)時(shí)Z取最大值8，過(guò)點(diǎn)B(4,-2)時(shí)Z取最小值-2.4.（2018年天津卷）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，則2a+的最小值為.【答案】【解析】由a-3b+6=0可知a-3b=-6，且：，因?yàn)閷?duì)于任意x，恒成立，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得：.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.綜上可得的最小值為.5.（2018年北京卷）若,?y滿(mǎn)足x+1≤y≤2x，則2y??的最小值是.【答案】3【解析】不等式可轉(zhuǎn)化為，即滿(mǎn)足條件的在平面直角坐標(biāo)系中的可行域如下圖令，由圖象可知，當(dāng)2y-x=z過(guò)點(diǎn)p(1,2)時(shí)，Z取最小值，此時(shí)z=2×2-1=3，.2y-x的最小值為3.6.（2018年江蘇卷）在AABC中